第12章 复数 章末综合检测(十二)（Word含解析）

章末综合检测(十二)
(时间：120分钟，满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数＋i＝(　　)
A．－2i　　 B． i
C． 0 D． 2i
2．已知i是虚数单位，复数z满足z(1－i)＝2i，则复平面内表示z的共轭复数的点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．若复数z＝，则＝(　　)
A．2 B．2
C． D．20
4．若复数z 满足iz－1＝2i，则在复平面内，复数z对应的点的坐标是(　　)
A． B．
C． D．
5．若虚数1－2i是关于x的方程x2－ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根，则＝(　　)
A．29 B．
C． D．3
6.＝(　　)
A．－i B．＋i
C．－－i D．－＋i
7．复数a＋bi与m＋ni的积是实数的充要条件是(　　)
A．an＋bm＝0 B．am＋bn＝0
C．am＝bn D．an＝bm
8．任何一个复数z＝a＋bi(其中a，b∈R，i为虚数单位)都可以表示成z＝r(其中r≥0，θ∈R)的形式，通常称之为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：[r(cos θ＋isin θ]n＝rn(cos nθ＋isin nθ)(n∈N＋)，我们称这个结论为棣莫弗定理．由棣莫弗定理可知，“n为偶数”是“复数n为纯虚数的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下面四个命题中的真命题为(　　)
A．若复数z满足∈R，则z∈R
B．若复数z满足z2∈R，则z∈R
C．若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2
D．若复数z∈R，则∈R
10．设复数z＝－＋i，则以下结论正确的是(　　)
A．z2≥0 B．z2＝
C．z3＝1 D．z2 020＝z
11．已知i为虚数单位，则下面命题正确的是(　　)
A．若复数z＝3＋i，则＝－
B．复数z满足＝1，z在复平面内对应的点为，则x2＋2＝1
C．若复数z1，z2满足z1＝2，则z1z2≥0
D．复数z＝1－3i的虚部是3
12．已知复数z＝1＋cos 2θ＋isin 2θ(其中i为虚数单位)，下列说法正确的是(　　)
A．复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限
B．z可能为实数
C．＝2cos θ
D．的实部为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．复数的共轭复数是________．
14．i为虚数单位，若为纯虚数，则实数a的值为________．
15．已知复数z1＝3－i，z2＝1＋2i，若2表示z2的共轭复数，则复数的模长等于________．
16．已知方程x2－kx＋2＝0(k∈R)的两个虚根为x1，x2，若|x1－x2|＝2，则k ＝________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)已知z是复数，z＋2i与均为实数．
(1)求复数z；
(2)复数2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
18．(本小题满分12分)已知复数z1＝1＋i，z2＝ai，21＋z2∈R.
(1)求实数a的值；
(2)设z1，z2，z1－z2在复平面上对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
19．(本小题满分12分)设虚数z1，z2满足z＝z2.
(1)若z1，z2是一个实系数方程的两根，求z1，z2；
(2)若z1＝1＋mi(m∈R)，≤，复数ω＝z2＋3，求的取值范围．
20．(本小题满分12分)设虚数z满足|2z＋15|＝|＋10|.
(1)计算的值；
(2)是否存在实数a，使＋∈R？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
21．(本小题满分12分)设复数z1，z2满足z1z2＋2iz1－2iz2＋1＝0.
(1)若z1，z2满足2－z1＝2i，求z1，z2.
(2)若＝，则是否存在常数k，使得等式＝k恒成立？若存在，试求出k的值；若不存在，请说明理由．
22．(本小题满分12分)在复平面内复数z1，z2所对应的点为Z1，Z2，O为坐标原点，i是虚数单位．
(1)z1＝1＋2i，z2＝3－4i，计算z1z2与OZ1·OZ2；
(2)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，求证：≤，并指出向量OZ1，OZ2满足什么条件时该不等式取等号．
解析：
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数＋i＝(　　)
A．－2i　　 B． i
C． 0 D． 2i
解析：选C．＋i＝＋i＝－i＋i＝0，故选C．
2．已知i是虚数单位，复数z满足z(1－i)＝2i，则复平面内表示z的共轭复数的点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C．复数z满足z(1－i)＝2i，所以z＝＝＝－1＋i，
所以＝－1－i，即z的共轭复数对应的点的坐标为，所以z的共轭复数对应的点在第三象限．
故选C．
3．若复数z＝，则＝(　　)
A．2 B．2
C． D．20
解析：选B．z＝＝4＋2i，故|z|＝＝2.故选B．
4．若复数z 满足iz－1＝2i，则在复平面内，复数z对应的点的坐标是(　　)
A． B．
C． D．
解析：选D．由题意iz＝1＋2i，所以iz(－i)＝(1＋2i)·(－i)，所以z＝2－i.
则在复平面内，z所对应的点的坐标是(2，－1).故选D．
5．若虚数1－2i是关于x的方程x2－ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根，则＝(　　)
A．29 B．
C． D．3
解析：选B．由题意可得，2－a＋b＝0，所以b－a－3＋i＝0，
故a＝2，b＝5，则|a＋bi|＝|2＋5i|＝.故选B．
6.＝(　　)
A．－i B．＋i
C．－－i D．－＋i
解析：选D．因为＝＝－＋i，故选D．
7．复数a＋bi与m＋ni的积是实数的充要条件是(　　)
A．an＋bm＝0 B．am＋bn＝0
C．am＝bn D．an＝bm
解析：选A．＝am－bn＋i为实数，故an＋bm＝0，
故选A．
8．任何一个复数z＝a＋bi(其中a，b∈R，i为虚数单位)都可以表示成z＝r(其中r≥0，θ∈R)的形式，通常称之为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：[r(cos θ＋isin θ]n＝rn(cos nθ＋isin nθ)(n∈N＋)，我们称这个结论为棣莫弗定理．由棣莫弗定理可知，“n为偶数”是“复数n为纯虚数的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B．n＝cos ＋isin 为纯虚数，故cos ＝0且sin ≠0，
故n＝2＋4k，k∈Z，且n≠4k，k∈Z，故“n为偶数”是“n＝2＋4k，k∈Z”的必要不充分条件．故选B．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下面四个命题中的真命题为(　　)
A．若复数z满足∈R，则z∈R
B．若复数z满足z2∈R，则z∈R
C．若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2
D．若复数z∈R，则∈R
解析：选AD．若复数z满足∈R，但z∈R，故命题A为真命题；
复数z＝i满足z2＝－1∈R，则z R，故命题B为假命题；
若复数z1＝i，z2＝2i满足z1z2∈R，但z1≠2，故命题C为假命题；
若复数z∈R，则＝z∈R，故命题D为真命题．故选AD．
10．设复数z＝－＋i，则以下结论正确的是(　　)
A．z2≥0 B．z2＝
C．z3＝1 D．z2 020＝z
解析：选BCD．因为z＝－＋i，所以z2＝2＝－i－＝－－i＝，
z3＝zz2＝＝－i2＝1，所以z3n＋k＝zk，
则z2 020＝z3×673＋1＝z，所以，A选项错误，B选项正确，C选项正确，D选项正确．
故选BCD．
11．已知i为虚数单位，则下面命题正确的是(　　)
A．若复数z＝3＋i，则＝－
B．复数z满足＝1，z在复平面内对应的点为，则x2＋2＝1
C．若复数z1，z2满足z1＝2，则z1z2≥0
D．复数z＝1－3i的虚部是3
解析：选ABC．由＝＝＝－，故A正确；
由z在复平面内对应的点为，则|z－2i|＝|x＋i|＝1，即＝1，
则x2＋2＝1，故B正确；设复数z1＝a＋bi，则z2＝a－bi，所以z1z2＝＝a2＋b2≥0，故C正确；复数z＝1－3i的虚部是－3，故D不正确．
故选ABC．
12．已知复数z＝1＋cos 2θ＋isin 2θ(其中i为虚数单位)，下列说法正确的是(　　)
A．复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限
B．z可能为实数
C．＝2cos θ
D．的实部为
解析：选BCD．因为－<θ<，所以－π<2θ<π，所以－1当sin 2θ＝0，θ＝0∈时，复数z是实数，故B选项正确；
|z|＝＝＝2cos θ，故C选项正确；
＝＝
＝，的实部是＝，故D选项正确；
故选BCD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．复数的共轭复数是________．
解析：＝＝＝－i，其共轭复数为＋i.
答案：＋i
14．i为虚数单位，若为纯虚数，则实数a的值为________．
解析：＝＝＝＋i为纯虚数，则所以a＝－2.故答案为－2.
答案：－2
15．已知复数z1＝3－i，z2＝1＋2i，若2表示z2的共轭复数，则复数的模长等于________．
解析：复数＝＝＝＝＝－1＋i，
由模长公式得，||＝，故答案为.
答案：
16．已知方程x2－kx＋2＝0(k∈R)的两个虚根为x1，x2，若|x1－x2|＝2，则k ＝________．
解析：因为方程x2－kx＋2＝0的两个虚根为x1，x2，
可设x1＝a＋bi，x2＝a－bi(a，b∈R).所以x1＋x2＝2a＝k，x1x2＝a2＋b2＝2，
因为|x1－x2|＝2，所以|2bi|＝2，联立解得b＝±1，a＝±1.所以k＝±2.故答案为±2.
答案：±2
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)已知z是复数，z＋2i与均为实数．
(1)求复数z；
(2)复数2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
解：(1)设z＝x＋yi(x，y∈R)，所以z＋2i＝x＋(y＋2)i;
＝＝，
由条件得，y＋2＝0且x＋2y＝0,
所以x＝4，y＝－2.
所以z＝4－2i.
(2)(z＋ai)2＝(4－2i＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，
由条件得
解得218．(本小题满分12分)已知复数z1＝1＋i，z2＝ai，21＋z2∈R.
(1)求实数a的值；
(2)设z1，z2，z1－z2在复平面上对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
解：(1)由z1＝1＋i，z2＝ai，
得21＋z2＝2＋(2a2＋a－10)i，又因为21＋z2∈R，
所以2a2＋a－10＝0，解得a＝2或a＝－(舍去)，
所以a＝2.
(2)由(1)得z1＝1＋i，z2＝2i，z1－z2＝1－i，
所以A(1，1)，B(0，2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝×2×1＝1，
所以△ABC的面积为1.
19．(本小题满分12分)设虚数z1，z2满足z＝z2.
(1)若z1，z2是一个实系数方程的两根，求z1，z2；
(2)若z1＝1＋mi(m∈R)，≤，复数ω＝z2＋3，求的取值范围．
解：(1)因为z1，z2是一个实系数方程的两个虚根，所以由“共轭虚根定理”知z1＝2.
设z1＝x＋yi(x，y∈R，y≠0)，则z2＝x－yi，
因为z＝z2，所以(x＋yi)2＝x－yi，所以x2－y2＋2xyi＝x－yi，
由复数相等的充要条件得所以
所以z1＝－±i，z2＝－ i.
(2)由|z1|≤，得1＋m2≤2，所以0又z2＝(1＋mi)2＝1－m2＋2mi，所以ω＝4－m2＋2mi，
所以|ω|＝＝＝.
因为0所以|ω|∈.
20．(本小题满分12分)设虚数z满足|2z＋15|＝|＋10|.
(1)计算的值；
(2)是否存在实数a，使＋∈R？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，则＝a－bi，
因为|2z＋15|＝|＋10|，
所以|(2a＋15)＋2bi|＝|(a＋10)－bi|，
所以＝·，
所以a2＋b2＝75，所以＝5，
所以|z|＝5.
(2)存在．设z＝c＋bi(c，b∈R且b≠0)，假设存在实数a使＋∈R，
则有＋＝＋＋i∈R，
所以－＝0，因为b≠0所以a＝±，
由(1)知|z|＝＝5，
所以a＝±5.
21．(本小题满分12分)设复数z1，z2满足z1z2＋2iz1－2iz2＋1＝0.
(1)若z1，z2满足2－z1＝2i，求z1，z2.
(2)若＝，则是否存在常数k，使得等式＝k恒成立？若存在，试求出k的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)由2－z1＝2i，可得z2＝1－2i，
代入已知方程得z1＋2iz1－2i＋1＝0，
即|z1|2－2i1－3＝0.令z1＝a＋bi，
所以a2＋b2－2i－3＝0，
即－2ai＝0，
所以
解得或
所以z1＝3i，z2＝－5i或z1＝－i，z2＝－i.
(2)存在．由已知得z1＝，又|z1|＝，
所以||＝，所以|2iz2－1|2＝3|z2＋2i|2，
所以＝3(z2＋2i)(2－2i)，
整理得＝27，所以|z2－4i|2＝27，
即|z2－4i|＝3，所以存在常数k＝3，使得等式|z2－4i|＝k恒成立．
22．(本小题满分12分)在复平面内复数z1，z2所对应的点为Z1，Z2，O为坐标原点，i是虚数单位．
(1)z1＝1＋2i，z2＝3－4i，计算z1z2与OZ1·OZ2；
(2)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，求证：≤，并指出向量OZ1，OZ2满足什么条件时该不等式取等号．
解：(1)z1z2＝·＝11＋2i，
OZ1＝，OZ2＝，
所以OZ1·OZ2＝－5.
(2)因为z1＝a＋bi，z2＝c＋di，
所以z1z2＝＋i，
所以|z1z2|2＝2＋2，
因为OZ1＝，OZ2＝，
所以OZ1·OZ2＝ac＋bd，|OZ1·OZ2|2＝2，
所以|z1z2|2－|OZ1·OZ2|2＝2＋2－2
＝2－4ac·bd＝2≥0，
所以|1·2|≤|z1z2|，当且仅当ad＝cb时取“＝”，此时OZ1∥OZ2．