(共15张PPT)
22.1.3 二次函数
y=ax2+k的图象和性质
人教版九年上数学
二次函数y=ax 的图象及其性质？
性质：
1、顶点坐标和对称轴？
2、位置和开口方向？
3、增减性和极值？
一般地，二次函数y=ax (a≠0)的图象是一条抛物线；
复习引入
在同一直角坐标中画出函数y=x2 +1和y=x2 -1的图象，
一、列表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 +1 … …
y=x2 -1 … …
10
5
2
1
5
2
10
8
3
0
-1
0
3
8
新知探究
二、描点：
三、连线：
y=x2 +1
y=x2 -1
O
-2
-1
x
y
1
2
3
4
2
4
6
8
10
-3
-4
-4
-6
-2
-8
y=x2 +1
y=x2 -1
观察思考
(1)抛物线y=x2 +1,
y=x2 -1的开口方、对称轴和顶点各是什么？
(2)抛物线y=x2 +1,
y=x2 -1与抛物线y=x2有什么关系？
1.二次函数y=ax2+k的图象可以y=ax2由平移得到，k＞0向上平移，k＜0向下平移；
2.当a＞0时,开口向上, 顶点是最低点;
当a＜0时，开口向下,顶点是最高点，
3.函数y=ax2对称轴是y轴；
4. 顶点坐标是（0，0）；
5. 如果a＞0时,当x＜0时,y随x的增大而减
小；当x＞0时,y随x的增大而增大；
如果当a＜0,当x＜0时,y随x的增大而增
大；当x＞0时，y随x的增大而减小.
归纳小结
y=ax2+k a＞0 a＜0
开口方向 向上 向下
对称轴 y轴（x=0） y轴（x=0）
顶点坐标 （0,k） （0,k）
最值 当x=0时，y最小值=k 当x=0时，y最大值=k
增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大. 当x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大.
注意：k带前面的符号！
二次函数y=ax2+k（a≠0）的性质
归纳小结
1.函数 的图象的顶点坐标是______，对称轴是____，开口向____ .
2.函数 的图象的顶点坐标是______，对称轴是____，开口向____ .
复习巩固
3.由抛物线y=2x2向____平移
个单位可得到y=2x -3
4.函数 的图象
可由抛物线
向____平移___个单位得到的.
5.在坐标系中,作
的图象，则它们 ( )
A．都是抛物线开口向上
B．顶点都在原点
C．都是关于y轴对称
D．以上都不对
7.若抛物线
的顶点在x轴下方，则m的值为________.
6.将抛物线y=3x2+5向下平移3个单位后，所得抛物线的顶点坐标是______.
1.将抛物线y=ax2向下平移4个单位后，经过点A（1，-2），
(1)求出此抛物线的解析式;
(2) 若点P在第一象限抛物线上的动点，P的横坐标为t，
△POA的面积为S,求
S与t的关系式.
拓展延伸
A
P
O
课后总结
这节课你学会了哪些知识？
课后总结
y=ax2+k
开口
对称轴
顶点
最值
增减性
再见(共28张PPT)
22.1.3 二次函数
y=a(x-h)2+k的图象和性质
1.抛物线y=-2x2+1
具有哪些性质？
它与抛物线 y=2x2 有什么关系？
复习引入
2.抛物线y=2(x-3)2具有哪些特点？
它与抛物线 y=2x2 有什么关系？
复习引入
画出函数y=- -1的图象.并指出它的开口方向、对称轴和顶点.
怎样移动抛物线y=- 得到y=-
-1的图象？
新知探究
-2
-1
O
x
y
1
2
3
4
-2
-3
-4
-4
-2
-6
-8
函数y=- -1
开口方向 ；
对称轴 ； 顶点是 ；
抛物线y=- 向 平移 单位长度，再向 平移 单位长度，就得到
y=- -1.
新知探究
-1
O
x
y
1
2
3
4
2
4
6
8
10
-2
-3
-4
y= (x+1)2-3
y= (x-1)2+2
在同一直角坐标中画出函数
y= (x+1)2 -3 和y=(x-1)2 +2的图象.
新知探究
抛物线y=a(x-h) +k与y=ax 形状相同，位置不同。把抛物线 y=ax 向上(下)向左(右)平移，可以得到抛物线y=a(x-h) +h。抛物线 y=a(x-h) +k 有如下特点:(1) 当a>0 时，开口向上;当a<0 时，开口向下。(2) 对称轴是x=h.(3) 顶点是(h，k).
归纳小结
y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0
开口方向 向上 向下
对称轴 x=h x=h
顶点坐标 （h,k） （h,k）
最值 当x=h时，y最小值=k 当x=h时，y最大值=k
增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大. 当x＞h时，y随x的增大而减小；x＜h时，y随x的增大而增大.
注意：k带前面的符号！
二次函数y=ax（x-h）2+k（a≠0）的性质
归纳小结
1、指出下面二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：
复习引入
填空：
2、由抛物线y=2x 向____平移_____个单位,再向____平移______个单位可得到y=2(x +1)2 –3
3、函数
的图象向______平移_____个单位，再向____平移 个单位可得到
4.如果抛物线
的顶点坐标是（-1，5）则抛物线的解析式是 ;
顶点坐标是 ; 对称轴是 .
5、 如果一条抛物线的形状与
的形状、开口方向相同，且顶点坐标是（４,-２）, 则函数关系式是什么？
例.要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？
解：如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立直角坐标系
点（1，3）是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数解析式是 y=a（x-1）2+3（0≤ x≤3）
由这段抛物线经过点（3,0），可得
0=a（3-1）2+3
当x=0时，y=2.25，也就是说，水管应2.25m长。
1.抛物线的顶点坐标为(1，-2),并且经过原点，求此抛物线解析式.
拓展提升
2.如图，抛物线对称轴是x=1，与x轴交于A,B两点，若B点坐标是 ，则A点的坐标为（ ）.
A
B
1
y
x
（1）
（2）
（3）
3.
如图，顶点坐标为(1,4.5)的抛物线与y轴交于点C(0,4),与x轴交于A、B两点.
1.求此抛物线解析式.
挑战自我
2.点M在线段AB上以每秒1个单位的速度从A向B运动(不与A，B重合)同时点N在射线BC上以每秒2个单位的速度从B向C运动，设运动时间为t,当t为何值时,△MNB的面积S最大？
这节课你有什么
收获和体会？
课后总结
y=a(x-h)2+k
开口
对称轴
顶点
最值
增减性
O
x
y
上下平移
左右平移
左右平移
上下平移
再见(共15张PPT)
22.1.3 二次函数
y=a(x-h)2+k的图象和性质
第二课
人教版九年上数学
二次函数y=ax +k的图象及其性质？
性质：
1、顶点坐标和对称轴？
2、位置和开口方向？
3、增减性和极值？
复习引入
4、y=ax2+k的图象与y=ax2的图象有怎样关系？
在同一直角坐标中画出函数y=(x+1)2 和y=(x-1)2 的图象.
一、列表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=(x+1)2 … …
y=(x-1)2 … …
4
1
0
1
9
4
16
9
4
1
0
1
4
16
新知探究
-1
O
x
y
1
2
3
4
2
4
6
8
10
-2
-3
-4
二、描点：
三、连线：
y=(x+1)2
y=(x-1)2
观察思考
(1)抛物线y=(x+1)2 ,
y=(x-1)2 的开口方、对称轴和顶点各是什么？
(2)抛物线y=(x+1)2 ,
y=(x-1)2 与抛物线y=x2有什么关系？
1.二次函数y=a(x-h)2 的图象可以y=ax2由平移得到，h＞0向右平移，h＜0向左平移；
2.当a＞0时,开口向上, 顶点是最低点,
当a＜0时,开口向下,顶点是最高点;
3.函数y=a(x-h)2 对称轴是直线x=h；
4. 顶点坐标是（h，0）；
5. 如果a＞0时,当x＜h时,y随x的增大而减
小；当x＞h时,y随x的增大而增大；
如果当a＜0,当x＜h时,y随x的增大而增
大；当x＞h时，y随x的增大而减小.
归纳小结
y=a(x-h)2 a＞0 a＜0
开口方向 向上 向下
对称轴 x=h x=h
顶点坐标 （h,0） （h,0）
最值 当x=h时，y最小值=0 当x=h时，y最大值=0
增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大. 当x＞h时，y随x的增大而减小；x＜h时，y随x的增大而增大.
注意：k带前面的符号！
二次函数y=ax（x-h）2（a≠0）的性质
归纳小结
1、由抛物线y=2x 向_____平移 ______个单位可得到
y=2(x +1)2 ，它的顶点坐标是______，对称轴是____，开口向____ .当当x＜ 时,y随x的增大而减小；当x＞ 时,y随x的增大而增大；
复习巩固
2、函数y= -5(x -4)2 的图象，可以由抛物线________ 向___平移 4 个单位而得到的，它的顶点坐标是______，对称轴是____，开口向____ .
复习巩固
3、把函数 的图象向 平移 个单位，就能得到函数
的图象.
复习巩固
4.说出函数
的图象的(1)顶点坐标
(2)对称轴。
(3)开口方向
(4)增减性
(5)极值
复习巩固
拓展延伸
拓展延伸
课后总结
y=ax2+k
开口
对称轴
顶点
最值
增减性
再见
