课件30张PPT。本章优化总结第一章 集 合1．集合中元素的三性
集合中的元素具有确定性,互异性和无序性,判断所给对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”“无序性”．
若－1∈{m－1,3m，m2－1}，求实数m.
【分析】【名师点睛】 运用分类讨论的方法对集合的元素进行依次求值，然后验证是否满足集合元素的互异性，这是解决有关集合元素问题的关键．
2．集合的三种表示方法
集合的常用表示法有列举法、描述法和Venn图法．这三种表示方法各有特点，应结合具体问题适当选用.特别要注意的是,在用描述法表示集合时,一定要弄清代表元素是什么.
下列说法正确的是( )
【分析】 从集合的表示方法及表示意义，逐个分析，确定答案．
【答案】 C
【方法升华】 表示集合时，要考虑“集合中的元素是什么”，尤其要分清数集和点集(有序实数对)．在看不清问题时，可先转化为自然语言，弄清集合中元素的特征．
3．集合的三类
按照集合中元素个数的多少，集合可分为有限集、无限集和空集三类，其中，空集是一个特殊的集合，它不含有任何元素，
是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解决集合之间关系的问题时，它往往易被忽视而导致解题出现失误．
已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}且A∩B＝B，求实数a组成的集合C.
【分析】集合A、B均是用描述法表示的，均是方程的解集，由于集合B是集合A的子集，则集合B中的元素均在集合A中，又由于空集是任何集合的子集，则须分类讨论集合B是否是空集．
【易误警示】 本题容易忽视B＝?的情况，导致出现错误a＝1,2.避免此类错误的方法是考虑问题要全面，要注意空集是任何集合的子集．
4．集合与集合的三种关系
在一般情况下，集合与集合的关系有两种，即包含与不包含，但包含又可分为真包含和相等，所以集合与集合之间可看作有三种关系．在判断集合与集合的关系时，要重视使用Venn图，体会直观图对理解抽象概念的作用．
(2012·铜川质检)符合条件{a}
P?{a，b，c}的集合P的个数是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
【分析】 由题意可知，满足条件的P为含有元素a的{a，b，c}的子集．逐个写出即可【解析】 由{a}?P可知，P中至少含有元素a，还有b或c.
∴P：{a，b}，{a，c}，{a，b，c}．
【答案】 B
【思维升华】 理解 与?的含义是解题关键．
5．集合的三种运算
集合有交、并、补三种运算，设全集为U，已知集合A，B，则A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}, A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}，?UA＝{x|x∈U，且x?A}．
解决具体集合的运算问题,关键在于把握集合的“元素构成”——集合由哪些元素组成;涉及与不等式有关的集合运算问题，
应注意利用数轴来求解，特别要注意端点的取值；解决抽象集合的运算问题，应注意运用Venn图把它形象化、直观化．
(2012·九江调研)如图,U是全集,M、
P、S是U的三个子集，则阴影部分所表示的集合是( )
A．(M∩P)∩S
B．(M∩P)∪S
C．(M∩P)∩(?US)
D．(M∩P)∪(?US)
【分析】 逐个验证，排除法即可．
【解析】 设阴影部分为集合R，则R
M∩P并且R??US，∴R＝(M∩P)∩(?US)．
【答案】 C
【名师点评】本题所涉及的集合都是抽象集合,故用Venn图来体现它们间的关系及运算,比较方便．
“正难则反”策略是指当某一问题从正面解决较困难时，我们可以从其反面入手解决，这种“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求?UA，再由?U(?UA)＝A求A.
已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0}，若集合A中至多只有一个元素,求a的取值范围.
【分析】先求出A中有两个元素时a的范围，再求其解集．
【解】 假设集合A中有两个元素，即方程ax2＋2x＋1＝0有两个不等实根，则所以若集合A中至多只有一个元素，实数a的取值范围为a≥1或a＝0.
【思维总结】 补集思想就是在正向思维受阻后改用逆向思维的思想方法，补集思想具有转移求解对象的功能．在一些题目中出现“至多”“至少”这些词时，我们若能巧妙运用补集思想，定能收到奇特的效果．
试题是在已有集合知识的基础上，引出新的定义，运算符号或条件、结论开放的题型．这类题目能很好地考查同学们的阅读能力、数学语言的转化能力及创新意识．
【分析】 要求集合A⊙B的所有非零元素之积，只需根据条件求出z的所有非零值．
【答案】 A
【名师点评】 “A⊙B”新运算符号的含
义．把它合理转化为已学的集合知识解决．本题用分类依次列举的方法求得答案．
1．(2012·上饶质检)设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，C＝{2,3,4}，则A∩B∪C＝( )
A．{1,2,3} B．{1,2,4}
C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}
解析：选D.A∩B＝{1,2}．∵C＝{2,3,4}．
∴A∩B∪C＝{1,2}∪{2,3,4}＝{1,2,3,4}．
2．设集合A＝{0,1}，B＝{y|x2＋y2＝1，x∈A}，则A与B的关系是( )
A．A＝B B．A B
C．A B D．A?B
解析：选B.由已知，得A＝{0,1}，
B＝{y|x2＋y2＝1，x∈A}＝{－1,0,1}．
所以A B，故选B.
3．(2012·榆林调研)若集合A满足{1}∪A＝{1,3,5}，则集合A＝________.
解析：A中至少含有元素3和5.A＝{3,5}，
A＝{1,3,5}．
答案：{3,5}或{1,3,5}
4．设全集为U，集合A＝{0,2,4,6}，?UA＝
{－1，－3,1,3}，?UB＝{－1,0,2}，求A∩B和A∪B.
解：∵A＝{0,2,4,6}，?UA＝{－1，－3,1,3}，
∴U＝{－3，－1,0,1,2,3,4,6}．
又?UB＝{－1,0,2}，∴B＝{－3,1,3,4,6}．
则A∩B＝{4,6}．
A∪B＝{－3,0,1,2,3,4,6}．
课件5张PPT。第一章 集 合课标领航本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件51张PPT。第一章 集 合第一章 集 合§1 集合的含义与表示
学习导航
预习目标
重点难点
重点：元素与集合的关系，集合的表示方法．
难点：集合中元素特性的应用及集合表示方法的应用．
一、集合的概念
1．集合与集合中的元素
一般地，指定的某些对象的全体称为集合．集合常用大写字母A，B，C，D，…标记．数的集合简称数集，为了书写方便，规定常用的数集用特定的字母表示，如：
(1)自然数组成的集合简称自然数集,记作N；
(2)正整数组成的集合简称正整数集,记作N＋;
(3)整数组成的集合简称整数集，记作Z；
(4)有理数组成的集合简称有理数集,记作Q;
(5)实数组成的集合简称实数集，记作R.
集合中的每个对象叫作这个集合的______．元素常用小写字母a，b，c，d，…标记．
元素想一想
1.把你现在所在班的全体同学看作一个集合A，A中的元素是什么？
提示：班里的每一个同学．
2．元素与集合的关系
若a在集合A中，就说a属于集合A，记作
_____________；若a不在集合A中，就说a不属于集合A，记作______________.
a∈Aa?A做一做
1.下列关系中，正确的个数为
3．集合中元素的特征
(1)确定性：给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素就确定了，即任何对象都能明确它是或不是这个集合的元素，两者必居其一，不会模棱两可．这是判断一组对象能否构成集合的标准．如“ 较大的整数”就不能构成集合．
(2)互异性：给定集合中的元素是互不相同的(或者说是互异的)，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素．
(3)无序性：集合中各元素之间无先后排列的要求，没有一定的顺序关系．
做一做解析：①不正确.“优秀演员”中,达到什么标准算优秀呢？显然这里没有明确的标准,即不满足集合中元素的确定性，不能作为元素来组成集合．②不正确．根据集合中元素的互异性可知，该集合中只有3个元素．③正确．集合中的元素无先后顺序的要求，也可说元素为3，－1.故填③.
答案：③
二、集合的表示方法
1．自然语言
通过日常语言来描述集合问题中被研究的对象，如全体实数组成的集合、正整数集等．
2．列举法
把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的方法叫作列举法．
3．描述法
描述法：用确定的__________表示某些对象属于一个集合并写在大括号内的方法．
格式： ，其中x是集合中的
___________，A是x的取值范围，P(x)是x满足的共同特征，竖线不可省略．
条件代表元素想一想
提示：不是相同的集合，由初中知识可知A表示函数y＝x2的x的取值，即x∈R.
B表示函数y＝x2的y的取值，即y≥0，C是点集，是指函数y＝x2的图像．
做一做三、集合的分类
按照集合中元素个数的多少，集合分为
___________、__________和__________.
有限集无限集空集有限无限?想一想题型一 集合的概念
以下能组成集合的是________．
①π的近似值的全体； ②2012年北京四中暑假新入学的学生； ③平方等于－1的实数的全体； ④平面直角坐标系中第一象限内的一些点； ⑤1,2,3,1.
【解析】 ①中π的“近似值”的标准不明确,不能组成集合．②“学生”是确定的,能组成一个集合．③中平方等于－1的实数不存在,因此可以组成集合?.④中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，不能组成集合．⑤中的对象是确定的，可以组成集合．所以能组成集合的是②③⑤.
【答案】 ②③⑤
变式训练
1．下列所给对象不能构成集合的是( )
A．一个平面内的所有点
B．所有小于零的整数
C．某校高一(4)班的高个子学生
D．某一天到商场买过货物的顾客
解析：选C。在A中对于任何一个点要么在这个平面内，要么不在这个平面内，因而它可以组成一个集合．在B中由于小于零的整数是明确的，因此B也能组成一个集
合，即负整数集．C中由于“高个子”没有一个确定的标准，因而不能判定一个学生到底是不是高个子，故它不能组成集合．而D中对于任何一个顾客在这一天是否到过某商
场，以及是否买过货物是确定的，因此它也能组成一个集合．
题型二 元素与集合的关系
【名师点睛】 判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征．像此类题，主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形式．
变式训练
解析：选D.设1＝2a＋1，则a＝0∈Z，即1∈M，同理可得0?M,2?M，－1∈M.
题型三 集合的表示方法
选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是无限集,哪些是有限集,哪些是空集:
(1)大于1且小于70的自然数组成的集合；
(2)大于1且小于70的实数组成的集合；
(3)方程x2－x＋2＝0的实数解组成的集合；
(4)平面直角坐标系中函数y＝－x＋2图像上的所有点组成的集合．
(3)设方程x2－x＋2＝0的实数解组成的集合为D，因为Δ＝1－8＝－7<0，所以该方程
不存在实数解,即集合D中不存在任何元素，则D＝?.
(4)设平面直角坐标系中函数y＝－x＋2图像上的所有点组成的集合为E，则集合E是无限集，又函数y＝－x＋2图像上的点可以用坐标(x，y)表示,则E＝{(x，y)|y＝－x＋2}．
变式训练
答案：(3)(5)(6)(7)题型四 集合中元素特性的应用
【思路点拨】 由确定性可知x2＝0,1或x，由互异性用元素的三个特性分析题意可知x≠1,0.
名师微博
你根据互异性检验了吗，也是得分点哟．【满分总结】 既要应用集合中元素的确定性、互异性和无序性解题，又要利用它们检验解的正确与否,特别是互异性最易被忽视,必须在学习中引起足够重视．分类讨论要全面，既要“分”，还要“合”．
变式训练
1．下列命题中，真命题有( )
①0∈?；②?∈{?}；③0∈{0}；④??{a}．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选B.?是不含任何元素的集合，故①不正确；而{?}是由空集作为元素组成的一个集合，故②正确；同理③正确；因为?是表示元素与集合之间的关系符号，所以④不正确．即只有两个是正确的．
方法技巧
1．判断一组对象能否组成集合，关键看该对象是否满足确定性．如果此组对象满足确定性，就可组成集合;否则,不能组成集合．
2．判断元素是否在集合内，关键是弄清集合中元素所具有的特性，然后看此元素是否具有这一性质．
3．元素较少的有限集宜采用列举法表示；
对无限集或元素较多的有限集宜采用描述法表示．但是对于元素较多的有限集，如果其中的元素具有规律性，那么也可以用列举法表示，常用省略号表示多个元素．
失误防范本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件34张PPT。§2 集合的基本关系学习导航
学习目标
重点难点
重点：子集、真子集的概念．
难点：以子集为条件求参数范围问题．
1．Venn图的概念
为了直观地表示集合间的关系，我们常用
________________表示集合,称为Venn图.
2．子集、集合相等、真子集的概念
封闭曲线的内部任何一个a∈B??包含于包含任何一个B中的元素都是A中的元素＝等于A?BA≠B真包含于真包含想一想
1.若A?B，则A是由B中的“部分元素”所组成的，对吗？
提示：集合A是集合B的子集不能理解为集合A是由集合B中的“部分元素”组成的，因为集合A可能是?，也可能是B.
做一做
1.下列表述不正确的是( )
A．??{1,2} B．{0}?{1,2}
C．{1,2}?{2} D．{1,2}?{2,1}
解析：选B.显然??{1,2}，A正确；由子集的概念知C，D正确;∵0?{1,2},∴{0} {1,2}．
3．子集、真子集的性质
(1)任何一个集合都是它本身的子集，但不是真子集．
(2)传递性:对于集合A,B,C,如果A?B,B?C，那么A?C；如果A B,B C,那么A C.
(3)我们规定：?是任何集合的子集，且?是任何非空集合的真子集.即对任意的集合A,都有??A；对任意的非空集合A，都有? A.
想一想
2.下列表述是否正确？
?∈{?}．? {?}．
做一做
2.集合A＝{x|0≤x<2，x∈N}的真子集的个数为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：选B.A＝{0,1}真子集为?，{0}，{1}．
题型一 求集合的(真)子集
写出满足{a，b} A?{a，b，c，d}的所有集合A.
【解】 由题设可知,一方面A是集合{a,b,c,d}的子集，另一方面A又真包含集合{a，b}，
故集合A中至少含有两个元素a，b,且含有c,d两个元素中的一个或两个．
故满足条件的集合有{a，b，c},{a，b，d}，{a，b，c，d}．
【误区警示】 写一个集合的子集时，按子集中元素个数的多少，以一定顺序来写不易发生重复和遗漏现象．集合M中含有n个元素,则集合M有2n个子集,有2n－1个真子集，记住这个结论，可以提高解题速度．
变式训练
1．已知集合A {0,1,2,3}，且集合A中至少含有一个奇数，则这样的集合A有( )
A．11个 B．12个
C．15个 D．16个
解析：选A.若集合A中仅有一个奇数1，那么集合A可以为{1}，{0,1}，{1,2}，{0,1,2}；
若集合A中仅有一个奇数3，那么集合A可以为{3}，{0,3}，{2,3}，{0,2,3}；
若集合A中有两个奇数1和3，那么集合A可以为{1,3}，{0,1,3}，{1,2,3}．
故选A.
题型二 集合间基本关系
判断下列两个集合之间的关系：
(1)A＝{1,2,4}，B＝{x|x是8的约数}；
(2)A＝{x|x＝3k，k∈N}，B＝{x|x＝6z，z∈N}；
(3)A＝{x|x是4和10的最小公倍数}，B＝{x|x＝20m，m∈N＋}；
(3)由于4和10的最小公倍数是20，所以A＝{20}，又B＝{20,40,60，…}，则A?B，又40∈B,40?A，所以A B.
(4)A＝{0,1}，对于B，当n为偶数时，x＝1，当n为奇数时，x＝0，∴B＝{0,1}，∴A＝B.
【方法小结】 判断两集合的关系时，首先要从定义入手对两个集合进行分析，看元素是由什么组成的，对于有明显特征的集合，可将集合中元素列举出来进行判断；若表达式不统一，要先将表达式统一，可利用通
分、分类讨论等方法．
变式训练
2．集合M＝{(x，y)|(x－3)2＋(y＋2)2＝0}，N＝{－2,3}，则M与N的关系是( )
A．M＝N B．M?N
C．M?N D．M，N无公共元素
解析：选D.集合M是点集，集合N是数集，
二者的代表元素和集合类型不同，故选D.
题型三 利用集合间的关系求参数
(本题满分10分)设A＝{x|－2≤x≤5},
B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．若B?A，求实数m的取值范围．
【思路点拨】 把集合A表示在数轴上，在B中，当m＋1>2m－1时B＝?，故讨论B＝?与B≠?两种情况下，使B?A，借助数轴分
析，x的端点值的关系．
【解】 (从B?A条件下发现B≠?和B＝?两种情况．)①B≠?时，如图所示，
解得2≤m≤3. 6分
从B?A条件下发现B≠?和B＝?两种情况．
②B＝?时，m＋1>2m－1，解得m<2. 8分
由以上可得m≤3. 10分
名师微博
此步易被漏掉，这可是本题的最终结论噢．【名师点评】 (1)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．
(2)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”,尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解．因此分类讨论思想是必须的．
变式训练
3．已知A＝{x|x<－1或x>5}，B＝{x∈R|a
解：根据题意将集合A，
B在数轴上表示出来，
如下图所示．
∵A B，∴a＋4≤－1或a≥5，∴a≤－5或a≥5.
1．已知集合M＝{1,1＋d,1＋2d}，N＝{1,q，q2}，若M＝N，求q的值．
2．已知集合A＝{1,2}，集合B＝{x|x2－ax＋b＝0}，设A?B，求实数，a，b满足的条件.方法技巧
1．集合A的子集包括由集合A的部分元素构成的集合，还包括?和集合A本身．
2．判断集合间关系的方法有两种：
(1)一一列举出来，通过观察可判断．
(2)集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清构成集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．
失误防范
3．对于不等式表示的集合的关系，要注意验证等号是否取到．如{x|x2，而a≥2是错的．
4．解题中要特别注意“∈”与“?”的区别，不要犯“0?{0}”，“{1}∈{0,1,2}”等概念错误.注意区分?与 的区别,B A,
则A中至少比B中多一个元素．
课件34张PPT。§3 集合的基本运算
3．1 交集与并集
学习导航
学习目标
重点难点
重点：会利用数轴或Venn图求集合的交
集、并集．
难点：交集、并集的区别，含有字母参数的集合的交集，并集的计算．
1．交集的概念
一般地，由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，叫作A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”，即A∩B＝{x|x∈A,且x∈B}．用Venn图表示A∩B如图所示．
2．交集的性质
对于任意两个集合A，B，根据交集的概念可得：
(1)A∩B＝B∩A；
(2)A∩B?A，A∩B?B；
(3)A∩A＝A；
(4)A∩?＝?.
想一想
1.A?B与A∩B＝A之间有什么关系？
提示：A∩B＝A?A?B.
做一做
1.已知集合A＝{0,2,4,6}，B＝{2,4,8,16}，则A∩B＝( )
A．{2} B．{4}
C．{0,2,4,6,8,16} D．{2,4}
解析：选D.观察集合A，B，可得公共元素是2,4.
2.已知A＝{奇数},B＝{偶数},则A∩B＝( )
A．A B．B
C．无法计算 D．?
解析：选D.A与B无公共元素，∴A∩B＝?.
3．并集的概念
一般地，由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合，叫作A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．用Venn图表示A∪B如图所示．
4．并集的性质
对于任意两个集合A，B，根据并集的概念可得：
(1)A∪B＝B∪A；
(2)A?A∪B，B?A∪B；
(3)A∪A＝A；
(4)A∪?＝A.
5．交集、并集的运算性质的推论
(1)(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)；
(2)(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)；
(3)A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)；
(4)A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)．
想一想
2.A?B与A∪B＝B有什么关系？
提示：A?B?A∪B＝B.
做一做
3.A＝{x|x>3}，B＝{x|x<3},则A∪B＝( )
A．? B．R
C．{x|x≠3} D．无法计算
答案：C
想一想
3.若A∩B＝A∪B，则A与B有什么关系？
提示：A＝B.
题型一 交集、并集的简单运算
(1)(2011·高考课标全国卷)已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有( )
A.2个 B.4个 C.6个 D.8个
(2)(2011·高考福建卷改编)若集合A＝
{x|1≤x≤3}，B＝{x|x>2}，则A∩B等于
________．A∪B＝________.
(1)【解析】 ∵M＝{0,1,2,3,4},N＝{1,3,5}，
∴M∩N＝{1,3}．
∴M∩N的子集共有22＝4(个)．
【答案】 B
(2)【解析】 画出数轴表示A，B
由数轴得A∩B＝{x|1≤x≤3且x＞2}
＝{x|2A∪B＝{x|1≤x≤3或x>2}＝{x|x≥1}．
【答案】 {x|2【名师点睛】 解答有关两集合(或两个以上集合)交、并集的运算时，(1)如果集合是有限集，则需先把集合中的元素一一列举出来,然后根据集合交、并集的定义分别求出;
(2)如果集合是无限集，则常借助于数轴，把集合分别表示在数轴上，然后再利用交、并集的定义去求解，这样处理比较形象直观，但解答过程中需注意边界问题．
变式训练
1．(2011·高考辽宁卷)已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|－1A．{x|－1－1}
C．{x|－1解析：选D.如图所示，
A∩B＝{x|x>1}∩{x|－12.设集合A＝{x|－1解：如图所示，结合数轴易知：
A∪B＝{x|－1＝{x|－1题型二 含字母参数的交集、并集
设集合A＝{x|(x－7)(x＋a)＝0,x∈R}，
B＝{x|(x＋1)(x＋2)＝0}，求A∪B，A∩B.
【解】 由已知得B＝{－2，－1}．
①当－a＝－1，即a＝1时，A＝{7，－1}，
得A∪B＝{－2，－1,7}，A∩B＝{－1}；
②当－a＝－2，即a＝2时，A＝{7，－2}，
得A∪B＝{－2，－1,7}，A∩B＝{－2}；
③当－a＝7，即a＝－7时，A＝{7}，
得A∪B＝{－2，－1,7}，A∩B＝?；
④当a≠1且a≠2，a≠－7时, A＝{7，－a}，
得A∪B＝{－2，－1，－a,7}，A∩B＝?.
综上可知：a＝1时A∪B＝{－2，－1,7}，A∩B＝{－1}，
当a＝2时, A∪B＝{－2,－1,7}A∩B＝{－2};
当a＝－7时, A∪B＝{－2,－1,7},A∩B＝?;
当a≠1且a≠2且a≠－7时，A∪B＝{－2，
－1，－7}，A∩B＝?.
【误区警示】 对a不讨论盲目计算为；
A∪B＝{－2，－1，－a,7}，A∩B＝?.
变式训练
3．设集合A＝{|a＋1|,3,5},集合B＝{2a＋1，a2＋2a，a2＋2a－1}，当A∩B＝{2,3}时，求A∪B.
解：由题意得|a＋1|＝2，解得a＝1或a＝－3.
当a＝1时,集合B的元素a2＋2a＝3,2a＋1＝3.
由集合的元素具有互异性知a≠1.
当a＝－3时，集合B＝{－5,2,3}，
∴A∪B＝{－5,2,3,5}．
题型三 利用交、并集性质求字母参数
(本题满分12分)设A＝{x|a≤x≤a＋3},
B＝{x|x<－1或x>5}，当a为何值时，
(1)A∩B＝?；(2)A∩B≠?；(3)A∩B＝A.
【思路点拨】 解题：依据交集、并集的含义及数形结合的思想．解题过程：在数轴上表示出集合A、B.(1)A∩B＝?；
(2)A∩B≠?；
(3)A∩B＝A?A?B.
解题方法：根据数轴上端点位置写出正确的关系式进行求解．
【解】 如图
名师微博
这是得分点，别漏掉“＝”哟．
【思维升华】 应用集合的交集、并集求解参数或确定另外集合的关键是将运算结果利用交集、并集的定义转化为元素与集合的关系，利用两个集合的端点的数的大小关系，构造方程，不等式(组)等求解．
变式训练
4．集合A＝{x|x－2>3}，B＝{x|2x－3>3x＋a}，且A∪B＝{x|x<4或x>5}，求a的值．
解：A＝{x|x－2>3}＝{x|x>5}，B＝{x|2x－3>3x＋a}＝{x|x<－3－a}．
又∵A∪B＝{x|x<4或x>5}，∴－3－a＝4，∴a＝－7，即a的值为－7.
1．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－4x＋a＝0}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
解：A＝{1,2}，∵A∪B＝A，∴B?A，集合B有两种情况，B＝?，B≠?.
①当B＝?时，方程x2－4x＋a＝0无实数根，
∴Δ＝16－4a<0，∴a>4.
②当B≠?时，当Δ＝0时，
a＝4，B＝{2}?A满足条件；
当Δ>0时，若1,2是方程x2－4x＋a＝0的根，
由根与系数的关系知矛盾，无解，∴a＝4.
综上，a的取值范围是a≥4.
2.某班有50人，参加学校举行
的甲、乙、丙三科竞赛，选甲
的有38人，选乙的有35人，选
丙的有31人，兼选甲、乙两门
的有29人，兼选甲、丙两门的有28人，兼选乙、丙两门的有26人，甲、乙、丙三门均选的有24人．
问：此班三门均未选的有多少人？
解：由图知，选甲、乙而不选丙的有a＝29－24＝5(人)，
选甲、丙而不选乙的有b＝28－24＝4(人)，
选乙、丙而不选甲的有c＝26－24＝2(人)，
仅选乙的有d＝35－24－a－c＝4(人)，
仅选丙的有e＝31－24－b－c＝1(人)，
至少选了一科的有甲＋d＋c＋e＝45(人)，
故三门均未选的有50－45＝5(人)．
方法技巧
解答有关两集合(或两个以上集合)交、并集的运算时，(1)如果集合是有限集，一般需先把集合中的元素一一列举出来，然后结合集合交、并集的定义分别求出；
(2)如果集合是无限集，则常借助于数轴，把集合分别表示在数轴上，然后再利用交、并集的定义去求解，这样处理比较形象直观，但解答过程中需注意边界问题．
失误防范
1．用定义求两集合的交集与并集时，要注意“或”“且”的意义,“或”是两者皆可;
“且”是两者都有，在使用时切勿混淆．
?2．在求两集合的交集或并集的运算中，易漏掉对空集的讨论，应引起足够重视．如A∩B＝A，A可以为?.
3．利用集合交、并求字母参数时，要注意验证：
端点值是否适合题意，如{x|x>a}∩{x|x>3}＝{x|x>a}时，则应该是a≥3而不是a>3.
4．求交集时，要注意集合中的代表元素的意义．如{y|y＝x2, x∈R}∩{(x，y)|y＝x＋2，x∈R}＝?才正确，而不是{(－1,1)，(2,4)}
课件26张PPT。3．2 全集与补集学习导航
学习目标
重点难点
重点：集合的交、并、补的混合运算．
难点：集合交、并、补的区别及Venn图的使用．
1．全集
在研究某些集合的时候，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作
________，常用字母______表示．全集含有我们所要研究的这些集合的全部元素．
2．补集
全集U不属于A?UA{x|x∈U，且x?A}想一想
若a∈N，但a?N＋，则a会等于什么？
提示：a∈?NN＋，即a＝0.
做一做
1.设集合U＝{2,3,4,5,6}，?UA＝{3,5}，则A＝________.
解析：由于?UA＝{x|x∈U，且x?A}，
所以A＝{2,4,6}．
答案：{2,4,6}
3．补集的性质
(1)?UU＝_________；
(2)?U?＝__________；
(3)A∪(?UA)＝_________；
(4)A∩(?UA)＝_________；
(5)?U(?UA)＝_________；
(6)(?UA)∪(?UB)＝________________；
(7)(?UA)∩(?UB)＝__________________．
?UU?A?U(A∩B)?U(A∪B)做一做
2.若U＝{1,2,3,4}，M＝{1,2}，N＝{2,3}，则?U(M∪N)是( )
A．{1,2,3} B．{2}
C．{1,3,4} D．{4}
解析：选D.M∪N＝{1,2,3}，
?U(M∪N)＝{4}．
题型一 补集的概念及简单运算
(1)(2011·高考江西卷)若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于( )
A．M∪N B．M∩N
C．(?UM)∪(?UN) D．(?UM)∩(?UN)
(2)(2010·高考陕西卷)集合A＝{x|－1≤x≤2},
B＝{x|x<1}，则A∩(?RB)＝( )
A．{x|x>1} B．{x|x≥1}
C．{x|1【解析】 (1)∵?UM＝{1,4,5,6}，?UN＝{2,3,5,6}，∴(?UM)∩(?UN)＝{5,6}，∴选D.
(2)因为B＝{x|x<1}，所以?RB＝{x|x≥1}，所以A∩(?RB)＝{x|1≤x≤2}．
【答案】 (1)D (2)D
【名师点睛】 (1)在解答有关集合补集运算时，如果所给集合是无限集，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，这样处理比较形象直观，解答过程中注意边界问题．
(2)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解，另外针对此类问题，在解答过程中也常常借助于Venn图来求解．这样处理起来，相对来说比较直观、形象且解答时不易出错．
变式训练
1．已知全集U＝R，集合M＝{x|－1≤x≤3},则?UM＝( )
A．{x|－1C．{x|x<－1或x>3} D．{x|x≤－1或x≥3}
解析：选C.?UM＝{x|x∈R且x?M}＝{x|x<－1或x>3}，故选C.
题型二 集合的交集、并集、补集的综合运算
(1)(2010·高考大纲全国卷Ⅱ)设全集U＝{x∈N＋|x<6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则?U(A∪B)＝( )
A．{1,4} B．{1,5}
C．{2,4} D．{2,5}
(2)设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2(1)【解析】 ∵U＝{1,2,3,4,5}，
A＝{1,3}，B＝{3,5}，
∴A∪B＝{1,3,5}．
∴?U(A∪B)＝{x|x∈U且x?A∪B}＝{2,4}．
故选C.
【答案】 C
(2)【解】把集合A、B在数轴上表示如下：
由图知，A∪B＝{x|2∴?R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}．
∵?RA＝{x|x<3或x≥7}，
∴(?RA)∩B＝{x|2【思维升华】 求?U(A∪B)时，可以化为(?UA)∩(?UB)．
变式训练
2．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合?U(A∪B)中元素的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选B.∵A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，B＝{x|x＝2a，a∈A}＝{2,4}，∴A∪B＝{1,2,4}，∴?U(A∪B)＝{3,5}．
题型三 由集合的交、并、补求字母参数
(本题满分12分)已知全集U＝{1,2,3,4,5},
A＝{x|x2－5x＋m＝0}，B＝{x|x2＋nx＋12＝0}，且(?UA)∪B＝{1,3,4,5}，求m＋n的值．
【思路点拨】 入手点：由(?UA)∪B＝
{1,3,4,5}可得2∈A.而A，B表示方程的解集,由此可求m和n的值．
【解】 ∵U＝{1,2,3,4,5}，(?UA)∪B＝{1,3,4,5}，∴2∈A， 2分
又A：{x|x2－5x＋m＝0}，
∴2是关于x的方程x2－5x＋m＝0的一个根，
得m＝6且A＝{2,3}．…6分
而(?UA)∪B＝{1,3,4,5}．
∴3∈B，又B＝{x|x2＋nx＋12＝0}．
∴3是关于x的方程x2＋nx＋12＝0的一个根,
得n＝－7. 10分
∴m＋n＝－1. 12分
名师微博
理解其运算含义是本题的灵魂．
【满分警示】 此题的解答逻辑性较强，即2∈A→m＝6→?UA→3∈B→n.环环相扣，不可倒置．
变式训练
3．(2010·高考重庆卷)设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若?UA＝{1,2}，则实数m＝________.
解析：∵?UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，∴0,3是方程x2＋mx＝0的两根，∴m＝－3.
答案：－3
1.设I为全集，M、N、P都是它的子集，则图中阴影部分表示的集合是( )
A．M∩[(?IN)∩P]
B．M∩(N∪P)
C．[(?IM)∩(?IN)]∩P
D．M∩N∪(N∩P)
解析：选A.法一：阴影部分在集合M内部，排除C；阴影部分不在集合N内，排除B、D.
法二：阴影部分在集合M内部，即是M的子集，又阴影部分在集合P内不在集合N内，即在(?IN)∩P内，所以阴影部分表示的集合是M∩[(?IN)∩P]．
2．已知集合A＝{x|2a－2解：?RB＝{x|x≤1或x≥2}≠?.
∵A ?RB，
∴分A＝?和A≠?两种情况讨论．
①若A＝?，此时有2a－2≥a，∴a≥2.
方法技巧
1．全集是相对于所研究问题而言的，求一个集合的补集离不开全集，任何一个元素一定是全集中的元素．
2．Venn图直观形象，要使用好Venn图，特别是有限集合的补集运算，如对集合A，B而言，有下图．
用好此图,在解题中能起到事半功倍的效果.
3．利用补集思想，采用“正难则反”的解题策略．
失误防范
