第2讲 实数
知识点1 平方根
平方根:如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根．
也就是说，若，则就叫做的平方根．
一个非负数的平方根可用符号表示为“”．
一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.
【典例】
1.一个正数的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2，则a的值为____
【答案】-1
【解析】解：因为一个正数有两个平方根，它们互为相反数
所以：2a﹣1﹣a+2=0，
解得：a=﹣1，
【方法总结】
本题主要考察：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，另外还需注意：0的平方根是0；负数没有平方根.
2.下列说法正确的是（ ）
A.正数的平方根是它本身
B.100的平方根是10
C.﹣10是100的一个平方根
D.﹣1的平方根是﹣1
【答案】C.
【解析】解：A、正数的平方根是它本身，错误；
B、100的平方根是10，错误，应为±10；
C、﹣10是100的一个平方根，正确；
D、﹣1没有平方根，故此选项错误；
故选：C
【方法总结】
本题主要考察平方根的相关性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.
【随堂练习】
1．（2019春 宣城期末）实数3的平方根是
A．3 B． C． D．
【解答】解：，
的平方根是为．
故选：．
2．（2019春 巴南区期中）若一个正数的平方根为和，则
A．7 B．16 C．25 D．49
【解答】解：一个正数的的平方根是与，
，解得：．
．
．
故选：．
3．（2019 滨州）若与的和是单项式，则的平方根为
A．4 B．8 C． D．
【解答】解：由与的和是单项式，得
，．
，64的平方根为．
故选：．
4．（2019春 梁子湖区期中）和是某个正数的两个平方根，则实数的值为
A． B． C．2 D．
【解答】解：根据题意得：，
移项合并得：，
故选：．
5．（2019春 浉河区校级月考）若与是同一个数的平方根，则的值是
A． B．1 C．或 D．3
【解答】解：由题意知，，
解得．
故选：．
6．（2018秋 无锡期末）若没有平方根，则的取值范围为
A． B． C． D．
【解答】解：由题意知，
解得，
故选：．
二．填空题（共3小题）
7．（2019春 南充期末）若，则 4或0 ．
【解答】解：，
，
解得或0．
故答案为：4或0．
8．（2019春 高密市期末）若没有平方根，则的取值范围为 ．
【解答】解：由题意知，
解得，
故答案为：．
9．（2019春 营山县期末）已知，则的平方根是 ．
【解答】解：，
．
故答案为：．
知识点2 算术平方根
算术平方根：一个正数有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做的算术平方根，可用符号表示为“”；
有一个平方根，就是，的算术平方根也是，负数没有平方根，当然也没有算术平方根．
【典例】
的算术平方根为____
【答案】3
【解析】解：∵=9，32=9
∴的算术平方根为3．
【方法总结】
此题主要考查了算术平方根，关键是掌握算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
【随堂练习】
1．（2019春 洛宁县期末）实数的平方根
A．3 B．5 C． D．
【解答】解：，
故实数的平方根为：．
故选：．
2．（2019春 婺源县期末）等于
A． B． C．3 D．
【解答】解：．
故选：．
3．（2019春 厦门期末）9的平方根是，用下列式子表示正确的是
A． B． C． D．
【解答】解：．
故选：．
4．（2019 广东）化简的结果是
A． B．4 C． D．2
【解答】解：．
故选：．
5．（2019 建邺区校级二模）值等于
A． B． C． D．
【解答】解：．
故选：．
6．（2019春 大丰区期中）正方形的面积为6，则正方形的边长为
A． B． C．2 D．4
【解答】解：正方形的面积为6，
正方形的边长为．
故选：．
7．（2019春 海淀区期中）根据表中的信息判断，下列语句中正确的是
15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16
225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256
A．
B．235的算术平方根比15.3小
C．只有3个正整数满足
D．根据表中数据的变化趋势，可以推断出将比256增大3.19
【解答】解：．根据表格中的信息知：，
，故选项不正确；
．根据表格中的信息知：，
的算术平方根比15.3大，故选项不正确；
．根据表格中的信息知：，
正整数或242或243，
只有3个正整数满足，故选项正确；
．根据表格中的信息无法得知的值，
不能推断出将比256增大3.19，故选项不正确．
故选：．
知识点3 立方根
立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根，也就是说，若则就叫做的立方根.
一个数的立方根可用符号表示“”，其中“”叫做根指数，不能省略．
前面学习的“”其实省略了根指数“”，即：也可以表示为．
任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，
正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，的立方根为．
【典例】
1.计算的结果是（ ）
【答案】3
【解析】解：==3，
【方法总结】
此题主要考查了立方根，正确把握立方根的定义是解题关键．若则就叫做的立方根.
2如果m2=36，n3=﹣64，=5，则m+n﹣x的值有____个．
【答案】4
【解析】解：∵m2=36，n3=﹣64，=5，
∴m=6或﹣6、n=﹣4、x=5或﹣5，
当m=6、n=﹣4、x=5时，m+n﹣x=6﹣4﹣5=﹣3；
当m=6、n=﹣4、x=﹣5时，m+n﹣x=6﹣4+5=7；
当m=﹣6、n=﹣4、x=5时，m+n﹣x=﹣6﹣4﹣5=﹣15；
当m=﹣6、n=﹣4、x=﹣5时，m+n﹣x=﹣6﹣4+5=﹣5；
【方法总结】
此题主要考查平方根的定义、算术平方根的定义及立方根的定义，比较简单．做题时，关键是掌握它们的定义.
【随堂练习】
1．（2019春 天津期末）计算等于
A．8 B．3 C． D．
【解答】解：．
故选：．
2．（2019春 商南县期末）已知一个正数的两个平方根分别为和，则这个正数的立方根是
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：一个正数的两个平方根分别为和，
，
解得：，
，
则这个正数是64，
这个正数的立方根是，
故选：．
3．（2019春 洛阳期中）的算术平方根是
A． B． C． D．
【解答】解：，
的算术平方根是：．
故选：．
4．（2019春 河东区期末）有下列说法
①36的平方根是6；②9的平方根是3； ③；④的立方根是；⑤的平方根是4；⑥81的算术平方根是，其中正确的个数是
A．0个 B．1个 C．3个 D．5个
【解答】解：①36的平方根是；
②9的平方根是；
③；
④的立方根是；
⑤的平方根是；
⑥81的算术平方根是9．
故选：．
5．（2019春 马山县期末）下列各式计算正确的是
A． B． C． D．
【解答】解：；
；
；
．
故选：．
6．（2019春 长垣县期末）下列计算正确的是
A． B． C． D．
【解答】解：，故本选项符合题意；
，故本选项不合题意；
，故本选项不合题意；
，故本选项不合题意；
故选：．
7．（2019春 和平区期末）若，则的值为
A． B． C． D．
【解答】解：，
，
故选：．
8．（2019 济宁）下列计算正确的是
A． B． C． D．
【解答】解：、，故此选项错误；
、，故此选项错误；
、，故此选项错误；
、，正确．
故选：．
二．填空题（共1小题）
9．（2019春 雨花区期末）实数8的立方根是 2 ．
【解答】解：实数8的立方根是：
．
故答案为：2．
知识点4 实数
1 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数．
注意：（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，但不是所有带根号的数都是无理数．
（2）圆周率及一些含的数是无理数．
（3）不循环的无限小数是无理数．
（4）有理数可化为分数，而无理数则不能化为分数．
2 无理数的性质：设a为有理数，b为无理数，则a+b，a-b是无理数；
3 实数的概念：有理数和无理数统称为实数．
实数的分类：
4 实数与数轴上的点一一对应：
即数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示，反过来，每个实数都可以在数轴上找到表示它的点．
【典例】
1.下列各数中：，，，﹣π，，﹣0.1010010001，无理数有_____个
【答案】3
【解析】解：，，﹣π，是无理数，
【方法总结】
本题主要考察无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数．
常见的无理数形式有四种：
（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，但不是所有带根号的数都是无理数．
（2）圆周率及一些含的数是无理数．
（3）不循环的无限小数是无理数．
（4）有理数和无理数的结合，例如：设a为有理数，b为无理数，则a+b，a-b是无理数；
2.把下列各数填入相应的集合：
﹣1、、π、﹣3.14、、﹣、、0、0.131331333、﹣
（1）有理数集合{ }；
（2）无理数集合{ }
（3）整数集合{ }
（4）负实数集合{ }
【答案】
【解析】解：（1）有理数集合{﹣1、﹣3.14、、0、0.131331333、﹣}；
（2）无理数集合{、π、﹣、}；
（3）整数集合{﹣1、、0、﹣}；
（4）负实数集合{﹣1、﹣3.14、﹣、、﹣}．
【方法总结】
本题主要考察了实数的分类：
3.与最接近的整数是______
【答案】6
【解析】解：∵36＜37＜49，
∴＜＜，即6＜＜7，
∵37与36最接近，
∴与最接近的是6．
【方法总结】
本题考查了估算无理数的大小，在紧邻前后两个完全平方数的算数平方根之间.
3.计算：
﹣12+（﹣2）3×﹣×（）
【答案】
【解析】解：﹣12+（﹣2）3×﹣×（）
=﹣1﹣8×+3×（﹣）
=﹣1﹣1﹣1
=﹣3．
【方法总结】
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
【随堂练习】
1．（2019春 濉溪县期末）下列各式中，运算正确的是
A． B． C． D．
【解答】解：、，正确；
、，故此选项错误；
、，无法合并，故此选项错误；
、，故此选项错误；
故选：．
2．（2019 东河区二模）在实数、，，，，1.414中有理数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：在实数、，，，，1.414中有理数有，，，1.414，一共有4个．
故选：．
3．（2019春 大同期末）如图，以原点为圆心，长为半径画弧与数轴交于点，若点表示的数为，则的值为
A． B． C． D．
【解答】解：由图可知，，
则，（舍去）．
故选：．
4．（2019春 嘉祥县期末）如果，，为有理数，那么
A．3 B． C．2 D．
【解答】解：，
，
，为有理数，
，，
．
故选：．
5．（2019春 微山县期末）如果，，为有理数，那么
A． B．11 C．7 D．3
【解答】解：，为有理数），
，
，，
．
故选：．
6．（2019春 肥城市期末）下列说法其中错误的个数有
①实数和数轴上的点是一一对应的；
②无理数是开方开不尽的数；
③负数没有立方根；
④16的平方根是，用式子表示是
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解答】解：①实数和数轴上的点是一一对应的，正确；
②无理数是开方开不尽的数，错误，无理数是无限不循环小数；
③负数没有立方根，错误，负数有立方根；
④16的平方根是，用式子表示是：，故此选项错误．
故选：．
7．（2019春 左贡县期中）下列各式中，正确的是
A． B． C． D．
【解答】解：、，故此选项错误；
、，故此选项错误；
、，故此选项错误；
、，正确．
故选：．
8．（2019春 洛阳期中）如图，若实数，则数轴上表示的点应落在
A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上
【解答】解：实数，
，
在数轴上，表示的点应落在线段上．
故选：．
9．（2019春 东城区期末）若实数，，在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是
A． B． C． D．
【解答】解：，；错误；
，；错误；
，；正确；
从图中可观察错误．
故选：．
综合运用
1.的平方根是 ．
【答案】±
【解析】解：的平方根是±，
故答案为：±．
2.（﹣4）2的算术平方根是 ．
【答案】4
【解析】解：（﹣4）2=16．
16的算术平方根是4．
故答案为：4．
3.计算：= ．
【答案】﹣0.4
【解析】解：∵（﹣0.4）3=﹣0.064，
∴=﹣0.4，
故答案为：﹣0.4．
4.已知一个正数的两个平方根分别为2m﹣6和3+m，则（﹣m）2018的值为 ．
【答案】1
【解析】解：∵一个正数的两个平方根分别为2m﹣6和3+m，
∴2m﹣6+3+m=0，解得：m=1，
∴（﹣m）2018=（﹣1）2018=1．
故答案为：1．
5.已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根为±4，则a+2b的平方根是 ．
【答案】±3
【解析】解：2a﹣1=（±3）2，3a+b﹣1=（±4）2，
∴a=5，b=2，
a+2b=5+4=9，
±，
故答案为：±3．
6.在，2π，﹣2，0，0.454454445…，﹣，中，无理数的有 个．
【答案】4
【解析】解：无理数有2π、0.454454445…、﹣、这4个，
故答案为：4．
7.设n为正整数，且n＜＜n+1，则n的值为 ．
【答案】8
【解析】解：∵＜＜，
∴8＜＜9，
∵n＜＜n+1，
∴n=8，
故答案为：8．
8.比大且比小的整数是 ．
【答案】3
【解析】解：比大且比小的整数是：=3．
故答案为：3．
9.将下列各数填入相应的集合内．﹣3.14，，﹣，﹣，0，，π，1010010001…
有理数集合{ …}
无理数集合{ …}
负实数集合{ …}．
【答案】
【解析】解：①有理数集合{﹣3.14，，﹣，0，，…}
②无理数集合{﹣，π，1010010001…}
负实数集合{﹣3.14，﹣，﹣，…}．
10.计算：﹣2+|﹣2|．
【答案】
【解析】解：原式=2﹣2+2﹣
=4﹣3．
11.计算：
﹣﹣（﹣2）2．
【答案】
【解析】解：
﹣﹣（﹣2）2
=3+3﹣4
=2．
12.一个数值转换器，如图所示：
（1）当输入的x为16时．输出的y值是 ；
（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由；
（3）若输出的y是，请写出两个满足要求的x值： ．
【答案】
【解析】解：（1）∵16的算术平方根是4，4是有理数，4不能输出，
∴4的算术平方根是2，2是有理数，2不能输出，
∴2的算术平方根是，是无理数，输出，
故答案为：
（2）∵0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，
∴当x=0和1时，始终输不出y的值；
（3）9的算术平方根是3，3的算术平方根是，
故答案为：3和9．
18第2讲 实数
知识点1 平方根
平方根:如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根．
也就是说，若，则就叫做的平方根．
一个非负数的平方根可用符号表示为“”．
一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.
【典例】
1.一个正数的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2，则a的值为____
【方法总结】
本题主要考察：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，另外还需注意：0的平方根是0；负数没有平方根.
2.下列说法正确的是（ ）
A.正数的平方根是它本身
B.100的平方根是10
C.﹣10是100的一个平方根
D.﹣1的平方根是﹣1
【方法总结】
本题主要考察平方根的相关性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.
【随堂练习】
1．（2019春 宣城期末）实数3的平方根是
A．3 B． C． D．
2．（2019春 巴南区期中）若一个正数的平方根为和，则
A．7 B．16 C．25 D．49
3．（2019 滨州）若与的和是单项式，则的平方根为
A．4 B．8 C． D．
4．（2019春 梁子湖区期中）和是某个正数的两个平方根，则实数的值为
A． B． C．2 D．
5．（2019春 浉河区校级月考）若与是同一个数的平方根，则的值是
A． B．1 C．或 D．3
6．（2018秋 无锡期末）若没有平方根，则的取值范围为
A． B． C． D．
二．填空题（共3小题）
7．（2019春 南充期末）若，则 ．
8．（2019春 高密市期末）若没有平方根，则的取值范围为 ．
9．（2019春 营山县期末）已知，则的平方根是 ．
知识点2 算术平方根
算术平方根：一个正数有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做的算术平方根，可用符号表示为“”；
有一个平方根，就是，的算术平方根也是，负数没有平方根，当然也没有算术平方根．
【典例】
的算术平方根为____
【方法总结】
此题主要考查了算术平方根，关键是掌握算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
【随堂练习】
1．（2019春 洛宁县期末）实数的平方根
A．3 B．5 C． D．
2．（2019春 婺源县期末）等于
A． B． C．3 D．
3．（2019春 厦门期末）9的平方根是，用下列式子表示正确的是
A． B． C． D．
4．（2019 广东）化简的结果是
A． B．4 C． D．2
5．（2019 建邺区校级二模）值等于
A． B． C． D．
6．（2019春 大丰区期中）正方形的面积为6，则正方形的边长为
A． B． C．2 D．4
7．（2019春 海淀区期中）根据表中的信息判断，下列语句中正确的是
15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16
225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256
A．
B．235的算术平方根比15.3小
C．只有3个正整数满足
D．根据表中数据的变化趋势，可以推断出将比256增大3.19
知识点3 立方根
立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根，也就是说，若则就叫做的立方根.
一个数的立方根可用符号表示“”，其中“”叫做根指数，不能省略．
前面学习的“”其实省略了根指数“”，即：也可以表示为．
任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，
正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，的立方根为．
【典例】
1.计算的结果是（ ）
【方法总结】
此题主要考查了立方根，正确把握立方根的定义是解题关键．若则就叫做的立方根.
2如果m2=36，n3=﹣64，=5，则m+n﹣x的值有____个．
【方法总结】
此题主要考查平方根的定义、算术平方根的定义及立方根的定义，比较简单．做题时，关键是掌握它们的定义.
【随堂练习】
1．（2019春 天津期末）计算等于
A．8 B．3 C． D．
2．（2019春 商南县期末）已知一个正数的两个平方根分别为和，则这个正数的立方根是
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2019春 洛阳期中）的算术平方根是
A． B． C． D．
4．（2019春 河东区期末）有下列说法
①36的平方根是6；②9的平方根是3； ③；④的立方根是；⑤的平方根是4；⑥81的算术平方根是，其中正确的个数是
A．0个 B．1个 C．3个 D．5个
5．（2019春 马山县期末）下列各式计算正确的是
A． B． C． D．
6．（2019春 长垣县期末）下列计算正确的是
A． B． C． D．
7．（2019春 和平区期末）若，则的值为
A． B． C． D．
8．（2019 济宁）下列计算正确的是
A． B． C． D．
二．填空题（共1小题）
9．（2019春 雨花区期末）实数8的立方根是 ．
知识点4 实数
1 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数．
注意：（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，但不是所有带根号的数都是无理数．
（2）圆周率及一些含的数是无理数．
（3）不循环的无限小数是无理数．
（4）有理数可化为分数，而无理数则不能化为分数．
2 无理数的性质：设a为有理数，b为无理数，则a+b，a-b是无理数；
3 实数的概念：有理数和无理数统称为实数．
实数的分类：
4 实数与数轴上的点一一对应：
即数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示，反过来，每个实数都可以在数轴上找到表示它的点．
【典例】
1.下列各数中：，，，﹣π，，﹣0.1010010001，无理数有_____个
【方法总结】
本题主要考察无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数．
常见的无理数形式有四种：
（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，但不是所有带根号的数都是无理数．
（2）圆周率及一些含的数是无理数．
（3）不循环的无限小数是无理数．
（4）有理数和无理数的结合，例如：设a为有理数，b为无理数，则a+b，a-b是无理数；
2.把下列各数填入相应的集合：
﹣1、、π、﹣3.14、、﹣、、0、0.131331333、﹣
（1）有理数集合{ }；
（2）无理数集合{ }
（3）整数集合{ }
（4）负实数集合{ }
【方法总结】
本题主要考察了实数的分类：
3.与最接近的整数是______
【方法总结】
本题考查了估算无理数的大小，在紧邻前后两个完全平方数的算数平方根之间.
3.计算：
﹣12+（﹣2）3×﹣×（）
【方法总结】
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
【随堂练习】
1．（2019春 濉溪县期末）下列各式中，运算正确的是
A． B． C． D．
2．（2019 东河区二模）在实数、，，，，1.414中有理数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2019春 大同期末）如图，以原点为圆心，长为半径画弧与数轴交于点，若点表示的数为，则的值为
A． B． C． D．
4．（2019春 嘉祥县期末）如果，，为有理数，那么
A．3 B． C．2 D．
5．（2019春 微山县期末）如果，，为有理数，那么
A． B．11 C．7 D．3
6．（2019春 肥城市期末）下列说法其中错误的个数有
①实数和数轴上的点是一一对应的；
②无理数是开方开不尽的数；
③负数没有立方根；
④16的平方根是，用式子表示是
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．（2019春 左贡县期中）下列各式中，正确的是
A． B． C． D．
8．（2019春 洛阳期中）如图，若实数，则数轴上表示的点应落在
A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上
9．（2019春 东城区期末）若实数，，在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是
A． B． C． D．
综合运用
1.的平方根是 ．
2.（﹣4）2的算术平方根是 ．
3.计算：= ．
4.已知一个正数的两个平方根分别为2m﹣6和3+m，则（﹣m）2018的值为 ．
5.已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根为±4，则a+2b的平方根是 ．
6.在，2π，﹣2，0，0.454454445…，﹣，中，无理数的有 个．
7.设n为正整数，且n＜＜n+1，则n的值为 ．
8.比大且比小的整数是 ．
9.将下列各数填入相应的集合内．﹣3.14，，﹣，﹣，0，，π，1010010001…
有理数集合{ …}
无理数集合{ …}
负实数集合{ …}．
10.计算：﹣2+|﹣2|．
11.计算：
﹣﹣（﹣2）2．
12.一个数值转换器，如图所示：
（1）当输入的x为16时．输出的y值是 ；
（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由；
（3）若输出的y是，请写出两个满足要求的x值： ．
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