第9讲 一次函数的应用
知识点1 一次函数的解析式
用待定系数法求一次函数解析式的步骤如下：
①设一次函数解析y=kx+b(k≠0)；
②代入两个已知点的坐标，得到关于k、b的方程组；
③解方程组得到k、b的值；
④写出一次函数的解析式.
若一次函数为正比例函数，则b=0，只需代入一个点的坐标，求出系数k即可.
【典例】
1.已知一次函数y=kx+b经过点（1，1），（2，﹣4），则一次函数的解析式为__________.
【答案】y=﹣5x+6
【解析】解：把（1，1），（2，﹣4）代入y=kx+b，
得，
解得k=﹣5，b=6
∴函数的解析式为y=﹣5x+6，
故答案为y=﹣5x+6.
2.下列表格列出了一项实验的统计数据，它表示皮球从一定高度落下时，下落高度y与弹跳高度x的关系，求y与x之间的函数解析式.
【答案】
【解析】解：观察表格可知y与x是一次函数关系，设函数关系式为y=kx+b（k、b是常数，k≠0），
则，
解得，
所以y与x的函数关系式为y=2x﹣10．
3.八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，求该直线l的解析式.
【答案】
【解析】解：设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，过A作AC⊥OC于C，
∵正方形的边长为1，
∴OB=3.
∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，
∴S△AOB=4+1=5，
∴OB AB=5，
∴AB=，
∴OC=，
由此可知直线l经过（﹣，3），
设直线方程为y=kx（k≠0），
则3=﹣k，
k=﹣，
∴直线l解析式为y=﹣x，
【方法总结】
典例1直接将两点坐标代入解析式，联立组成方程组，解方程组即可；典例2需要先设出解析式，再代入两点坐标；典例3中的l过原点，为正比例函数，先由图形的面积关系求出直线l上一点的坐标，再代入即可求出解析式.
待定系数法是求一次函数解析式的主要方法，解题关键是找到或求出直线上的两点（正比例函数为一个点）的坐标.
【随堂练习】
1．（2018秋 宁德期末）已知函数y＝kx+b的部分函数值如下表所示，则该函数的图象不经过（ ）
x … ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … 0 3 6 9 …
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：将（﹣2，0），（﹣1，3）代入y＝kx+b，得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为y＝3x+6．
∵3＞0，6＞0，
∴一次函数y＝3x+6的图象经过第一、二、三象限．
故选：D．
2．（2019 长安区一模）已知等腰△OAB的面积为3，其底边OB在x轴上，且点B的坐标为（2，0），点A在第四象限，则OA所在的直线的解析式为（ ）
A．y＝3x B．y＝﹣3x C．y＝x D．y＝﹣x
【解答】解：设A（m，n）（m＞0，n＜0），
∵等腰△OAB的面积为3，
∴×2×|n|＝3，解得n＝﹣3，
∵AB＝AO，
∴m＝1，
∴A（1，﹣3），
设直线OA的解析式为y＝kx，
把A（1，﹣3）代入得k＝﹣3，
∴直线OA的解析式为y＝﹣3x．
故选：B．
3．（2019 荔湾区校级模拟）能表示如图所示的一次函数图象的解析式是（ ）
A．y＝2x+2 B．y＝﹣2x﹣2 C．y＝﹣2x+2 D．y＝2x﹣2
【解答】解：设该一次函数的解析式为y＝kx+b，
∵点（﹣1，0）、（0，2）在此一次函数的图象上，
∴，解得，
即该一次函数解析式为y＝2x+2．
故选：A．
4．（2019春 乐亭县期末）已知一次函数的图象过点（0，3），且与两坐标轴所围成的三角形面积为3，则这个一次函数的表达式为（ ）
A．y＝1.5x+3 B．y＝﹣1.5x+3
C．y＝1.5x+3或y＝﹣1.5x+3 D．y＝1.5x﹣3或y＝﹣1.5x﹣3
【解答】解：设这个一次函数的表达式为y＝kx+b（k≠0），与x轴的交点是（a，0）．
∵一次函数y＝kx+b（k≠0）图象过点（0，3），
∴b＝3．
∵这个一次函数与两坐标轴所围成的三角形面积为3，
∴×3×|a|＝3，
解得：a＝2或﹣2．
把（2，0）代入y＝kx+3，解得：k＝﹣1.5，则函数的解析式是y＝﹣1.5x+3；
把（﹣2，0）代入y＝kx+3，得k＝1.5，则函数的解析式是y＝1.5x+3．
故选：C．
5．（2019春 白山期末）若点P（﹣1，3）在过原点的一条直线上，则这条直线所对应的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣3x B．y＝x C．y＝3x﹣1 D．y＝1﹣3x
【解答】解：设过原点的直线解析式为y＝kx，
将点P（﹣1，3）代入，得3＝﹣k，解得k＝﹣3
∴直线解析式为：y＝﹣3x．
故选：A．
二．填空题（共2小题）
6．（2019春 铜仁市期末）试写出经过点A（1，2）的一个一次函数表达式 y＝x+1（答案不唯一） ．
【解答】解：设函数关系式是y＝kx+b（k≠0），
可设k＝1，将A（1，2）代入函数关系式，得b＝1
因此一次函数表达式为y＝x+1
故答案为：y＝x+1（答案不唯一）．
7．（2019 东丽区一模）已知一次函数y＝kx+b经过（﹣1，2），且与y轴交点的纵坐标为4，则它的解析式为 y＝2x+4 ．
【解答】解：将（﹣1，2）、（0，4）代入y＝kx+b，得：
，解得：，
∴该一次函数的解析式为y＝2x+4．
故答案为：y＝2x+4．
三．解答题（共2小题）
8．（2019春 雨花区校级期末）已知一次函数y＝kx﹣4，当x＝2时，y＝﹣2，求它的解析式以及该直线与坐标轴的交点坐标．
【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣4，当x＝2时，y＝﹣2，
∴﹣2＝2k﹣4，解得k＝1，
∴一次函数的解析式为y＝x﹣4．
∵当y＝0时，x＝4；
当x＝0时，y＝﹣4，
∴该直线与x轴交点的坐标是（4，0），与y轴的交点坐标是（0，﹣4）．
9．（2019春 平谷区期末）如图，一次函数y＝kx+4的图象交x轴于点A（2，0），与y轴交于B点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）求线段AB的长．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+4过A（2，0）
∴2k+4＝0
∴k＝﹣2
∴一次函数表达式y＝﹣2x+4
（2）令x＝0，得y＝4
∴B （0，4）
∴OB＝4，OA＝2
∴AB＝
知识点2 一次函数的图形变换
图形变换的三种方式：平移、对称、旋转.
一次函数平移的方法：左加右减，上加下减.
一次函数图象的常见对称变换：
对于直线y=kx+b（k≠0，且k，b为常数），
①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y=kx+b，即y=﹣kx﹣b（关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）；
②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y=k（﹣x）+b，即y=﹣kx+b（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）；
③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y=k（﹣x）+b，即y=kx﹣b（关于原点对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）．
【典例】
1.将一次函数y=﹣2x﹣2的图象先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的函数图象的表达式为________________.
【答案】y=﹣2x﹣10
【解析】解：把函数y=﹣2x﹣2的图象向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，可得到的图象的函数解析式是：y=﹣2（x+3）﹣2﹣2=﹣2x﹣10．
故选答案为y=﹣2x﹣10.
2.在平面直角坐标系中，将直线y=5x+6先关于x轴作轴对称变换，再将所得直线关于y轴作轴对称变换，则经两次变换后所得直线的表达式是_______________.
【答案】y=5x﹣4
【解析】解：∵关于x轴对称的点的坐标横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴将直线y=5x+6关于x轴作轴对称变换所得直线的解析式为：﹣y=5x+6；
∵关于y轴对称的点的坐标纵坐标不变，横坐标互为相反数，
∴将直线﹣y=5x+6关于y轴作轴对称变换所得直线的解析式为：﹣y=-5x+4，即y=5x﹣4．
故答案为y=5x﹣4.
3.把一次函数y=x+1的图象绕点（1，0）旋转180°，求所得直线的函数解析式.
【答案】
【解析】解：令x=0，则y=1，即直线y=x+1与y轴交点为（0，1）；
令y=0，则x=﹣1，即直线y=x+1与x轴交点为（﹣1，0）．
点（0，1）绕点（1，0）旋转180°变为（2，﹣1）；点（﹣1，0）绕点（1，0）旋转180°变为（3，0）．
设旋转后所得直线的表达式为y=kx+b（k、b是常数，k≠0），
则有，
解得：．
故旋转后所得直线的表达式为y=x﹣3．
【方法总结】
求平移和特殊对称后一次函数的解析式比较简单，按照法则将解析式做变换即可.求关于某点旋转后的一次函数的解析式，一般需要找到原来函数图像上的两点，求出这两点关于某点旋转后的坐标，再用待定系数法确定旋转后的一次函数的解析式.
【随堂练习】
1．（2019春 松北区期末）将直线平移后，得到直线，则原直线
A．沿轴向上平移了8个单位 B．沿轴向下平移了8个单位
C．沿轴向左平移了8个单位 D．沿轴向右平移了8个单位
【解答】解：将直线平移后，得到直线，
而，
原直线沿轴向上平移了8个单位，
故选：．
2．（2019春 邓州市期末）将直线怎样平移可以得到直线
A．向上平移2个单位 B．向上平移3个单位
C．向下平移2个单位 D．向下平移3个单位
【解答】解：根据上加下减的平移原则，直线可以看作是由直线向上平移3个单位得到的；
故选：．
3．（2019春 锦江区期末）将一次函数的图象向下平移6个单位，得到新的图象的函数解析式为
A． B． C． D．
【解答】解：将一次函数的图象向下平移6个单位，那么平移后所得图象的函数解析式为：，
故选：．
4．（2019 翔安区模拟）如果将直线平移后得到直线，那么下列平移过程正确的是
A．将向左平移2个单位 B．将向右平移2个单位
C．将向上平移2个单位 D．将向下平移2个单位
【解答】解：将函数的图象向上平移2个单位长度，所得图象对应的函数解析式是．
故选：．
5．（2019春 罗庄区期末）把直线向上平移个单位后，与直线的交点在第二象限，则的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：直线向上平移个单位后可得：，
联立两直线解析式得：，
解得：，
即交点坐标为，，
交点在第二象限，
，
解得：．
故选：．
二．填空题（共2小题）
6．（2019春 天河区期末）把直线沿着轴向上平移2个单位，所得直线的函数解析式为 ．
【解答】解：把直线沿着轴向上平移2个单位，所得直线的函数解析式为，即．
故答案为：．
7．（2019春 石景山区期末）直线向上平移2个单位长度，则所得新直线的函数表达式为 ．
【解答】解：直线向上平移2个单位长度，则所得新直线的函数表达式为：．
故答案为：．
知识点3 简单的实际问题
常见的关于一次函数的实际问题的模型有：
①单个一次函数，包括简单的行程问题、销售问题、弹簧伸长问题等；
②分段函数，包括阶梯电价、阶梯水费等；
③两个一次函数，包括追及问题、相遇问题等.
【典例】
1.甲、乙两名大学生骑一辆电动车从学校出发到某乡镇进行社会调查，出发行驶20分钟时发现忘带相机，甲下车继续步行前往乡镇，乙骑电动车按出发时速度的2倍按原路返回，乙到学校用了5分钟取到相机，然后按出发时的速度在距乡镇22.5千米处追上甲后同车前往乡镇．如图是甲、乙距学校的距离为y（千米）与出发的时间为x（分）的函数关系式．
（1）求线段CD对应函数关系式；
（2）求甲步行的速度．
【答案】
【解析】解：（1）设线段OA所在直线的函数关系式为y=kx（k≠0），
∵点A（20，18）在直线OA上，
∴18=20k，
∴k=．
∵乙骑电动车按出发时速度2倍的按原路返回，乙到学校用了5分钟取到相机，
∴点B的坐标为（30，0），点C的坐标为（35，0）．
设线段CD所在直线对应函数关系式为y=x+b，
∵点C（35，0）在线段CD上，
∴0=×35+b，
∴b=﹣，
∴线段CD所在直线对应的函数关系式为y=x﹣．
当y=45时，有x﹣=45，
解得：x=85，
∴线段CD对应函数关系式为y=x﹣（35≤x≤85）．
（2）45﹣22.5=22.5（千米），
当y=22.5时，有x﹣=22.5，
解得：x=60．
甲步行的速度为（22.5﹣18）÷（60﹣20）=0.1125（千米/分）．
答：甲步行的速度为0.1125千米/钟．
2.某城市电业局为鼓励居民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，居民应交电费y（元）与用电量x（度）的函数关系如图所示．
（1）分别求出当0≤x＜50和x≥50时，y与x的函数解析式；
（2）若某居民该月用电65度，则应交电费多少元？
【答案】
【解析】解：（1）当0≤x≤50时．图象经过（0，0），（50，26）．
可设函数解析式为y=kx（k≠0）．
代入（50,26），得50k=26，
解得k=，
∴y=x（0≤x≤50）．
当x≥50时．图象经过（50，26），（80，48），
可设函数解析式为y=kx+b（k、b是常数，k≠0）．
则有，解得，
∴y=x﹣．
（2）当x=65时，65＞50，y=×65﹣=37．
答：该用户应交电费37元.
【方法总结】
解题时运用一次函数的性质，把实际问题与函数图象结合进行分析，从函数图象中获取实际问题中的数据，把实际问题中的数据转化为函数图象中的点的坐标，并且运用一次函数图象描述实际问题．解题的关键在于读懂题意，并用待定系数法求函数的解析式．
【随堂练习】
1．（2018 湖北）甲、乙两车从A地出发，匀速驶向B地．甲车以80km/h的速度行驶1h后，乙车才沿相同路线行驶．乙车先到达B地并停留1h后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙车的速度是120km/h；②m=160；③点H的坐标是（7，80）；④n=7.5．其中说法正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解：由图象可知，乙出发时，甲乙相距80km，2小时后，乙车追上甲．则说明乙每小时比甲快40km，则乙的速度为120km/h．①正确；
由图象第2﹣6小时，乙由相遇点到达B，用时4小时，每小时比甲快40km，则此时甲乙距离4×40=160km，则m=160，②正确；
当乙在B休息1h时，甲前进80km，则H点坐标为（7，80），③正确；
乙返回时，甲乙相距80km，到两车相遇用时80÷（120+80）=0.4小时，则n=6+1+0.4=7.4，④错误．
故选：B．
2．（2018 咸宁）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：
①甲步行的速度为60米/分；
②乙走完全程用了32分钟；
③乙用16分钟追上甲；
④乙到达终点时，甲离终点还有300米．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：由图可得，
甲步行的速度为：240÷4=60米/分，故①正确，
乙走完全程用的时间为：2400÷（16×60÷12）=30（分钟），故②错误，
乙追上甲用的时间为：16﹣4=12（分钟），故③错误，
乙到达终点时，甲离终点距离是：2400﹣（4+30）×60=360米，故④错误，
故选：A．
3．（2018 沙坪坝区校级二模）一辆货车从A地匀速驶往相距350km的B地，当货车行驶1小时经过途中的C地时，一辆快递车恰好从C地出发以另一速度匀速驶往B地，当快递车到达B地后立即掉头以原来的速度匀速驶往A地．（货车到达B地，快递车到达A地后分别停止运动）行驶过程中两车与B地间的距离y（单位：km）与货车从出发所用的时间x（单位：h）间的函数关系如图所示．则货车到达B地后，快递车再行驶_____h到达A地．
【解答】解：由题意货车的速度=350﹣270=80km/h，设快递车的速度为xkm/h，
则有：3（80+x）=270×2，
解得x=100，
∴两车相遇后，快递车需要=3.2小时到达A地，货车需要=小时到达B地，
∴货车到达B地后，快递车再行驶3.2﹣=h到达A地．
故答案为．
知识点4 方案、决策问题
【典例】
1.某通讯公司推出了A，B两种上宽带网的收费方式（详情见下表）．
设月上网时间为x h（x为非负整数），请根据表中提供的信息回答下列问题：
（1）设方案A的收费金额为y1元，方案B的收费金额为y2元，分别写出y1，y2关于x的函数解析式；
（2）当35＜x＜50时，选取哪种方式能节省上网费？请说明理由．
【答案】
【解析】解：（1）方案A的收费：
①当0≤x≤25时，y1=30；
②当x＞25时，y1=30+0.05×60×（x﹣25），即y1=3x﹣45；
方案B的收费：
①当0≤x≤50时，y2=50；
②当x＞50时，y2=50+0.05×60×（x﹣50），即y2=3x﹣100；
（2）当35＜x＜50时，选取方式B能节省上网费，理由如下：
∵当35＜x＜50时，y1=3x﹣45，y2=50，
∴y1﹣y2=3x﹣45﹣50=3x﹣95，即y=3x﹣95．
∵3＞0，
∴y随x的增大而增大，
又∵x=35时，y=10，
∴当35＜x＜50时，y＞10，
∴y1＞y2，
∴当35＜x＜50时，选取方式B能节省上网费．
【方法总结】
第（1）问根据两种方式的收费标准，进行分类讨论即可求解；第（2）问当35＜x＜50时，计算出y1﹣y2的值，根据一次函数的性质即可得出答案．
此题考查了一次函数的应用，注意根据图表得出解题需要的信息，正确理解收费标准求出函数解析式是解题的关键．
【随堂练习】
1．（2019春 内黄县期末）为提高市民的精神生活美化城市环境，城市管理局从外地新进一批绿化树苗，现有两种运输方式可供选择
方式一：使用快递公司的邮车运输，装卸收费500元，另外每公里再加收5元
方式二：使用铁路运输公司的火车运输，装卸收费900元，另外每公里再加收3元
（1）请分别写出邮车、火车运输的总费用（元，（元与运输路程（公里）间的函数关系式
（2）你认为选用哪种运输方式较好，为什么？
【解答】解：（1）由题意得：；；
（2）令，解得，
所以当运输路程小于200公里时，，选择邮车运输较好，
当运输路程等于200公里时，，两种方式一样，
当运输路程大于200公里时，，选择火车运输较好．
2．（2019 梧州一模）为响应习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，今年植树节期间，学校组织七年级学生参加义务植树，美化校园活动．已知甲班共植树100棵，乙班共植树120棵，两班完成植树任务所用时间相同，且甲班每天比乙班少植树5棵．
（1）问甲、乙两班每天各植树多少棵？
（2）学校计划购进桂花树苗和榕树苗共200棵，桂花树苗每棵80元，榕树苗每棵70元．设桂花树苗买了棵，购买两种树苗所需总费用为元，求与的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，如果购买榕树苗的数量不多于桂花树苗数量的一半，求购买桂花树苗多少棵时总费用最低？
【解答】解：（1）设乙班每天植树棵，则甲班每天植树棵，依题意得：
，
解得：，
检验：把，代入，
是原方程的解，
（棵；
（2）依题意得：；
（3）依题意得：，
解得：，
，且为整数，
，
随的增大而增大，
则当时，有最小值；
答：（1）甲班每天植树25棵，乙班每天植树30棵；
（2）与的函数表达式为；
（3）桂花树苗购买134棵时总费用最低．
3．（2018秋 南山区期末）某校为奖励该校在南山区第二届学生技能大赛中表现突出的20名同学，派李老师为这些同学购买奖品，要求每人一件，李老师到文具店看了商品后，决定奖品在钢笔和笔记本中选择．如果买4个笔记本和2支钢笔，则需86元；如果买3个笔记本和1支钢笔，则需57元．
（1）求笔记本和钢笔的单价分别为多少元？
（2）售货员提示，购买笔记本没有优惠：买钢笔有优惠，具体方法是：如果买钢笔超过10支，那么超出部分可以享受8折优惠，若买支钢笔，所需费用为元，请你求出与之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，如果买同一种奖品，请你帮忙计算说明，买哪种奖品费用更低．
【解答】解：（1）设笔记本，钢笔单价分别为，元，根据题意得
解得，，
答：笔记本，钢笔单价分别为14元，15元；
（2）；
（3）买20本笔记本费用：元；
买20支钢笔费用：元，
所以买钢笔费用低．
综合运用
1.下表是弹簧挂重后的总长度L（cm）与所挂物体重量x（kg）之间的几个对应值，则可以推测L与x之间的关系式是________________.
【答案】L=2x+20
【解析】解：设L与x之间的关系式是L=ax+b（a、b是常数，a≠0），
当x=0，L=20时，当x=1，L=22时，得
，解得，
L与x之间的关系式是L=2x+20，
故答案为L=2x+20，
2.在平面直角坐标系中，将直线l1：y=﹣2x+4平移后得到直线l2，l2与x轴交于点（4，0），则平移方式可以是_______________.
【答案】将l1沿y轴向上平移4个单位（或将l1沿x轴向右平移2个单位）
【解析】解：设直线l2的解析式为y=﹣2x+b，将（4，0）代入，
得0=﹣2×4+b，解得b=8，
则直线l2的解析式为y=﹣2x+8（l1沿y轴向上平移4个单位得到）．
∵l1：y=﹣2x+4=﹣2（x﹣2），
l2：y=﹣2x+8=﹣2（x﹣4），
∴l1沿x轴向右平移2个单位后得到直线l2，
∴将l1沿y轴向上平移4个单位或将l1沿x轴向右平移2个单位后得到直线l2．
故答案为：将l1沿y轴向上平移4个单位（或将l1沿x轴向右平移2个单位）
3.如图，在直角坐标系中，直线y=kx+4与x轴正半轴交于一点A，与y轴交于点B，已知△OAB的面积为10，求这条直线的解析式．
【答案】
【解析】解：当y=0时，kx+4=0，解得x=﹣，则A（﹣，0），
当x=0时，y=kx+4=4，则B（0，4），
因为△OAB的面积为10，
所以·（﹣）·4=10，解得k=﹣，
所以直线解析式为y=﹣x+4．
4.求下列一次函数的解析式：
（1）直线y=2x+1向右平移2个单位后的解析式；
（2）直线y=2x+1绕原点旋转180°后的直线解析式是_____________；
【答案】
【解析】解：（1）∵直线向右平移2个单位，
∴平移后的解析式为：y=2（x﹣2）+1=2x﹣3．
故答案为：y=2x﹣3；
（2）∵直线y=2x+1与y轴、x轴的交点为A、B，
∴A（0，1），B（﹣，0）．
∵点A, B绕原点旋转180°后的坐标为A′（0，﹣1），B′（，0），
∴设旋转后的直线解析式为y=kx+b（k≠0），
∴，解得，
∴直线解析式为y=2x﹣1．
故答案为：y=2x﹣1.
5.已知四条直线y=kx﹣3（k<0），y=﹣1，y=3和x=1所围成的四边形的面积是12，求k的值.
【答案】
【解析】解：在y=kx﹣3中，令y=﹣1，
解得x=；
令y=3，x=；
当k＜0时，四边形的面积是：[（1﹣）+（1﹣）]×4=12，
解得k=﹣2；
即k的值为﹣2．
6.长春和吉林两地之间的铁路交通设有特快列车和普通快车两种车次，某天一辆普通快车从长春出发匀速驶向吉林，同时另一辆特快列车从吉林出发匀速驶向长春，两车与长春的距离s（千米）与行驶时间t（时）之间的函数关系如图所示．
（1）长春到吉林的距离为_________千米，普通快车到达吉林所用时间为_________小时;
（2）求特快列车与长春的距离s与t之间的函数解析式;
（3）在长春、吉林两地之间有一座铁路桥，特快列车到铁路桥后又行驶0.5小时与普通快车相遇，求长春与铁路桥之间的距离．
【答案】
【解析】解：（1）由图象可得，
长春到吉林的距离为450千米，
普通快车到达吉林所用时间为：450÷（150÷2.5）=7.5（时），
故答案为：450，7.5；
（2）设特快列车与长春的距离s与t之间的函数关系式是s=kt+b（k、b是常数，k≠0），
根据图像可得，
解得，
即特快列车与长春的距离s与t之间的函数解析式是s=﹣120t+450；
（3）设长春与铁路桥之间的距离是x千米，
x=﹣120×（2.5﹣0.5）+450=﹣240+450=210，
答：长春与铁路桥之间的距离是210千米．
7.如图，购买一种苹果，付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买5千克这种苹果比分五次每次购买1千克这种苹果可节省多少元？
【答案】
【解析】解：由图象可知A（2，20），B（4，36），
设直线OA解析式为y=kx，则2k=20，解得k=10，
∴直线OA解析式为y=10x（0≤x≤2），
∴买1千克时，付款金额为y=10×1，
∴分五次购买1千克所需要费用为50元，
设直线AB解析式为y=tx+b，
∴，解得，
∴直线AB解析式为y=8x+4（x＞2），
∴当x=5时，y=44，即一次购买5千克所需费用为44元，
∵50﹣44=6，
∴一次购买5千克这种苹果比分五次每次购买1千克这种苹果可节省6元，
8.为了美化环境，建设宜居成都，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉，经市场调查，甲种花卉的种植费用y（元）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米100元．
（1）直接写出当0≤x≤300和x＞300时，y与x的函数关系式；
（2）广场上甲、乙两种花卉的种植面积共1200m2，若甲种花卉的种植面积不少于200m2，且不超过乙种花卉种植面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植总费用最少？最少总费用为多少元？
【答案】
【解析】解：（1）y=.
（2）设甲种花卉种植为 a m2，则乙种花卉种植（12000﹣a）m2．
∴，
∴200≤a≤800
当200≤a＜300时，W1=130a+100（1200﹣a）=30a+120000．
当a=200 时．Wmin=126000元；
当300≤a≤800时，W2=80a+15000+100（1200﹣a）=135000﹣20a．
当a=800时，Wmin=119000元.
∵119000＜126000
∴当a=800时，总费用最少，最少总费用为119000元．
此时乙种花卉种植面积为1200﹣800=400（m2）．
答：应该分配甲、乙两种花卉的种植面积分别是800m2 和400m2，才能使种植总费用最少，最少总费用为119000元．
9.如图，四边形OABC是长方形，点D在OC边上，以AD为折痕，将△OAD向上翻折，点O恰好落在BC边上的点E处，若OC=，A点坐标为（，0），求线段AD所在直线的解析式．
【答案】
【解析】解：∵四边形OABC是长方形，
∴AB=OC=，
∵A（，0），
∴OA=BC=，
设OD=t，由折叠的性质可得DE=OD=t，OA=AE=，
∴CD=﹣t，
在Rt△ABE中，由勾股定理可得BE2=AE2-AB2，
即BE2=，
∴BE=2.
∴CE=BC﹣BE=﹣2=，
在Rt△CDE中，由勾股定理可得DE2=CD2+CE2，
∴t2=（﹣t）2+（）2，解得t=，
∴D（0，），
设直线AD的解析式为y=kx+b（k、b是常数，k≠0），
∴，解得，
∴直线AD的解析式为y=﹣x+．
23第9讲 一次函数的应用
知识点1 一次函数的解析式
用待定系数法求一次函数解析式的步骤如下：
①设一次函数解析y=kx+b(k≠0)；
②代入两个已知点的坐标，得到关于k、b的方程组；
③解方程组得到k、b的值；
④写出一次函数的解析式.
若一次函数为正比例函数，则b=0，只需代入一个点的坐标，求出系数k即可.
【典例】
1.已知一次函数y=kx+b经过点（1，1），（2，﹣4），则一次函数的解析式为__________.
2.下列表格列出了一项实验的统计数据，它表示皮球从一定高度落下时，下落高度y与弹跳高度x的关系，求y与x之间的函数解析式.
3.八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，求该直线l的解析式.
【方法总结】
典例1直接将两点坐标代入解析式，联立组成方程组，解方程组即可；典例2需要先设出解析式，再代入两点坐标；典例3中的l过原点，为正比例函数，先由图形的面积关系求出直线l上一点的坐标，再代入即可求出解析式.
待定系数法是求一次函数解析式的主要方法，解题关键是找到或求出直线上的两点（正比例函数为一个点）的坐标.
【随堂练习】
1．（2018秋 宁德期末）已知函数y＝kx+b的部分函数值如下表所示，则该函数的图象不经过（ ）
x … ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … 0 3 6 9 …
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2019 长安区一模）已知等腰△OAB的面积为3，其底边OB在x轴上，且点B的坐标为（2，0），点A在第四象限，则OA所在的直线的解析式为（ ）
A．y＝3x B．y＝﹣3x C．y＝x D．y＝﹣x
3．（2019 荔湾区校级模拟）能表示如图所示的一次函数图象的解析式是（ ）
A．y＝2x+2 B．y＝﹣2x﹣2 C．y＝﹣2x+2 D．y＝2x﹣2
4．（2019春 乐亭县期末）已知一次函数的图象过点（0，3），且与两坐标轴所围成的三角形面积为3，则这个一次函数的表达式为（ ）
A．y＝1.5x+3 B．y＝﹣1.5x+3
C．y＝1.5x+3或y＝﹣1.5x+3 D．y＝1.5x﹣3或y＝﹣1.5x﹣3
5．（2019春 白山期末）若点P（﹣1，3）在过原点的一条直线上，则这条直线所对应的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣3x B．y＝x C．y＝3x﹣1 D．y＝1﹣3x
二．填空题（共2小题）
6．（2019春 铜仁市期末）试写出经过点A（1，2）的一个一次函数表达式 ．
7．（2019 东丽区一模）已知一次函数y＝kx+b经过（﹣1，2），且与y轴交点的纵坐标为4，则它的解析式为 ．
8．（2019春 雨花区校级期末）已知一次函数y＝kx﹣4，当x＝2时，y＝﹣2，求它的解析式以及该直线与坐标轴的交点坐标．
9．（2019春 平谷区期末）如图，一次函数y＝kx+4的图象交x轴于点A（2，0），与y轴交于B点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）求线段AB的长．
知识点2 一次函数的图形变换
图形变换的三种方式：平移、对称、旋转.
一次函数平移的方法：左加右减，上加下减.
一次函数图象的常见对称变换：
对于直线y=kx+b（k≠0，且k，b为常数），
①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y=kx+b，即y=﹣kx﹣b（关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）；
②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y=k（﹣x）+b，即y=﹣kx+b（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）；
③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y=k（﹣x）+b，即y=kx﹣b（关于原点对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）．
【典例】
1.将一次函数y=﹣2x﹣2的图象先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的函数图象的表达式为________________.
2.在平面直角坐标系中，将直线y=5x+6先关于x轴作轴对称变换，再将所得直线关于y轴作轴对称变换，则经两次变换后所得直线的表达式是_______________.
3.把一次函数y=x+1的图象绕点（1，0）旋转180°，求所得直线的函数解析式.
【方法总结】
求平移和特殊对称后一次函数的解析式比较简单，按照法则将解析式做变换即可.求关于某点旋转后的一次函数的解析式，一般需要找到原来函数图像上的两点，求出这两点关于某点旋转后的坐标，再用待定系数法确定旋转后的一次函数的解析式.
【随堂练习】
1．（2019春 松北区期末）将直线平移后，得到直线，则原直线
A．沿轴向上平移了8个单位 B．沿轴向下平移了8个单位
C．沿轴向左平移了8个单位 D．沿轴向右平移了8个单位
2．（2019春 邓州市期末）将直线怎样平移可以得到直线
A．向上平移2个单位 B．向上平移3个单位
C．向下平移2个单位 D．向下平移3个单位
3．（2019春 锦江区期末）将一次函数的图象向下平移6个单位，得到新的图象的函数解析式为
A． B． C． D．
4．（2019 翔安区模拟）如果将直线平移后得到直线，那么下列平移过程正确的是
A．将向左平移2个单位 B．将向右平移2个单位
C．将向上平移2个单位 D．将向下平移2个单位
5．（2019春 罗庄区期末）把直线向上平移个单位后，与直线的交点在第二象限，则的取值范围是
A． B． C． D．
6．（2019春 天河区期末）把直线沿着轴向上平移2个单位，所得直线的函数解析式为 ．
7．（2019春 石景山区期末）直线向上平移2个单位长度，则所得新直线的函数表达式为 ．
知识点3 简单的实际问题
常见的关于一次函数的实际问题的模型有：
①单个一次函数，包括简单的行程问题、销售问题、弹簧伸长问题等；
②分段函数，包括阶梯电价、阶梯水费等；
③两个一次函数，包括追及问题、相遇问题等.
【典例】
1.甲、乙两名大学生骑一辆电动车从学校出发到某乡镇进行社会调查，出发行驶20分钟时发现忘带相机，甲下车继续步行前往乡镇，乙骑电动车按出发时速度的2倍按原路返回，乙到学校用了5分钟取到相机，然后按出发时的速度在距乡镇22.5千米处追上甲后同车前往乡镇．如图是甲、乙距学校的距离为y（千米）与出发的时间为x（分）的函数关系式．
（1）求线段CD对应函数关系式；
（2）求甲步行的速度．
2.某城市电业局为鼓励居民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，居民应交电费y（元）与用电量x（度）的函数关系如图所示．
（1）分别求出当0≤x＜50和x≥50时，y与x的函数解析式；
（2）若某居民该月用电65度，则应交电费多少元？
【方法总结】
解题时运用一次函数的性质，把实际问题与函数图象结合进行分析，从函数图象中获取实际问题中的数据，把实际问题中的数据转化为函数图象中的点的坐标，并且运用一次函数图象描述实际问题．解题的关键在于读懂题意，并用待定系数法求函数的解析式．
【随堂练习】
1．（2018 湖北）甲、乙两车从A地出发，匀速驶向B地．甲车以80km/h的速度行驶1h后，乙车才沿相同路线行驶．乙车先到达B地并停留1h后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙车的速度是120km/h；②m=160；③点H的坐标是（7，80）；④n=7.5．其中说法正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（2018 咸宁）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：
①甲步行的速度为60米/分；
②乙走完全程用了32分钟；
③乙用16分钟追上甲；
④乙到达终点时，甲离终点还有300米．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2018 沙坪坝区校级二模）一辆货车从A地匀速驶往相距350km的B地，当货车行驶1小时经过途中的C地时，一辆快递车恰好从C地出发以另一速度匀速驶往B地，当快递车到达B地后立即掉头以原来的速度匀速驶往A地．（货车到达B地，快递车到达A地后分别停止运动）行驶过程中两车与B地间的距离y（单位：km）与货车从出发所用的时间x（单位：h）间的函数关系如图所示．则货车到达B地后，快递车再行驶_____h到达A地．
知识点4 方案、决策问题
【典例】
1.某通讯公司推出了A，B两种上宽带网的收费方式（详情见下表）．
设月上网时间为x h（x为非负整数），请根据表中提供的信息回答下列问题：
（1）设方案A的收费金额为y1元，方案B的收费金额为y2元，分别写出y1，y2关于x的函数解析式；
（2）当35＜x＜50时，选取哪种方式能节省上网费？请说明理由．
【方法总结】
第（1）问根据两种方式的收费标准，进行分类讨论即可求解；第（2）问当35＜x＜50时，计算出y1﹣y2的值，根据一次函数的性质即可得出答案．
此题考查了一次函数的应用，注意根据图表得出解题需要的信息，正确理解收费标准求出函数解析式是解题的关键．
【随堂练习】
1．（2019春 内黄县期末）为提高市民的精神生活美化城市环境，城市管理局从外地新进一批绿化树苗，现有两种运输方式可供选择
方式一：使用快递公司的邮车运输，装卸收费500元，另外每公里再加收5元
方式二：使用铁路运输公司的火车运输，装卸收费900元，另外每公里再加收3元
（1）请分别写出邮车、火车运输的总费用（元，（元与运输路程（公里）间的函数关系式
（2）你认为选用哪种运输方式较好，为什么？
2．（2019 梧州一模）为响应习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，今年植树节期间，学校组织七年级学生参加义务植树，美化校园活动．已知甲班共植树100棵，乙班共植树120棵，两班完成植树任务所用时间相同，且甲班每天比乙班少植树5棵．
（1）问甲、乙两班每天各植树多少棵？
（2）学校计划购进桂花树苗和榕树苗共200棵，桂花树苗每棵80元，榕树苗每棵70元．设桂花树苗买了棵，购买两种树苗所需总费用为元，求与的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，如果购买榕树苗的数量不多于桂花树苗数量的一半，求购买桂花树苗多少棵时总费用最低？
3．（2018秋 南山区期末）某校为奖励该校在南山区第二届学生技能大赛中表现突出的20名同学，派李老师为这些同学购买奖品，要求每人一件，李老师到文具店看了商品后，决定奖品在钢笔和笔记本中选择．如果买4个笔记本和2支钢笔，则需86元；如果买3个笔记本和1支钢笔，则需57元．
（1）求笔记本和钢笔的单价分别为多少元？
（2）售货员提示，购买笔记本没有优惠：买钢笔有优惠，具体方法是：如果买钢笔超过10支，那么超出部分可以享受8折优惠，若买支钢笔，所需费用为元，请你求出与之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，如果买同一种奖品，请你帮忙计算说明，买哪种奖品费用更低．
综合运用
1.下表是弹簧挂重后的总长度L（cm）与所挂物体重量x（kg）之间的几个对应值，则可以推测L与x之间的关系式是________________.
2.在平面直角坐标系中，将直线l1：y=﹣2x+4平移后得到直线l2，l2与x轴交于点（4，0），则平移方式可以是_______________.
3.如图，在直角坐标系中，直线y=kx+4与x轴正半轴交于一点A，与y轴交于点B，已知△OAB的面积为10，求这条直线的解析式．
4.求下列一次函数的解析式：
（1）直线y=2x+1向右平移2个单位后的解析式；
（2）直线y=2x+1绕原点旋转180°后的直线解析式是_____________；
5.已知四条直线y=kx﹣3（k<0），y=﹣1，y=3和x=1所围成的四边形的面积是12，求k的值.
6.长春和吉林两地之间的铁路交通设有特快列车和普通快车两种车次，某天一辆普通快车从长春出发匀速驶向吉林，同时另一辆特快列车从吉林出发匀速驶向长春，两车与长春的距离s（千米）与行驶时间t（时）之间的函数关系如图所示．
（1）长春到吉林的距离为_________千米，普通快车到达吉林所用时间为_________小时;
（2）求特快列车与长春的距离s与t之间的函数解析式;
（3）在长春、吉林两地之间有一座铁路桥，特快列车到铁路桥后又行驶0.5小时与普通快车相遇，求长春与铁路桥之间的距离．
7.如图，购买一种苹果，付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买5千克这种苹果比分五次每次购买1千克这种苹果可节省多少元？
8.为了美化环境，建设宜居成都，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉，经市场调查，甲种花卉的种植费用y（元）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米100元．
（1）直接写出当0≤x≤300和x＞300时，y与x的函数关系式；
（2）广场上甲、乙两种花卉的种植面积共1200m2，若甲种花卉的种植面积不少于200m2，且不超过乙种花卉种植面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植总费用最少？最少总费用为多少元？
9.如图，四边形OABC是长方形，点D在OC边上，以AD为折痕，将△OAD向上翻折，点O恰好落在BC边上的点E处，若OC=，A点坐标为（，0），求线段AD所在直线的解析式．
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