课件36张PPT。本章优化总结第二章 函 数 求函数y＝|x|＋1的最小值．
【分析】 ∵x∈R，有|x|≥0.
【解】 函数的定义域是R.
∵|x|≥0，∴|x|＋1≥1.
∴函数y＝|x|＋1的最小值是1.
2．配方法
有关二次函数的值域或最值问题(函数值域端点值为函数最值)可用配方的方法．若函数定义域为R，则自变量取对称轴时函数值最大或最小；若函数定义域为某个区间
[a，b],当对称轴x＝t在这个区间内，则求出
f(a),f(b)，f(t)中最大者为最大值，最小者为最小值；当对称轴x＝t不在这个区间内，
则只需比较f(a)与f(b),它们中大者为最大值，小者为最小值．
已知函数f(x)＝x2＋ax＋3在区间
[－1,1]上的最小值m为－3，求实数a的取值范围．
【思路总结】 利用图像可以更清楚地看出何时取最小值．
3．单调性法
先判断函数的单调性，再利用其单调性求最值．常用到下面的结论：①如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是增加的，在区间[b，c)上是减少的，则函数y＝f(x)在x＝b处有最大值f(b)；②如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是减少的，在区间[b，c)上是增加的，则函数y＝f(x)在x＝b处有最小值f(b)．
【分析】 先判断函数在(0，＋∞)的单调性再求最值．【思维总结】 一般地在公共定义域内有增函数＋增函数仍为增函数．
【误区警示】 换元后要注意新元的范围，这是易忽略的地方．
函数的单调性和奇偶性始终为高考的重点和热点，常见的应用有：
(1)已知函数的奇偶性求函数的解析式．
抓住奇偶性讨论函数在各个分类区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于f(x)的方程，从而得到f(x)的解析式．
(2)已知带有字母系数的函数的表达式及奇偶性参数，常常采用待定系数法，利用f(x)±f(－x)＝0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可求得字母的值．
(3)奇函数?图像关于原点对称，偶函数?图像关于y轴对称，因此在关于原点对称的区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2) 用定义证明f(x)在(－1,1)上是递增的；
(3)解不等式f(t－1)＋f(t)<0.
【分析】 由于0∈(－1,1)可借助f(0)＝0的条件，用单调性定义证明单调性．
【思维总结】若x＝0在奇函数的定义域内，则必有f(0)＝0.本题(3)把f(t－1)＋f(t)表达式求出来是很麻烦的方法，故直接利用(2)的结论求解．
抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是高中数学中的一个难点，高考中经常出现关于抽象函数的试题．因为抽象，解题时思维常常受阻，思路难以展开．抽象函数问题一般是由所给的性质，讨论函数的单调性、奇偶性、图像的对称性,或是求函数值、解析式等，主要处理方法是“赋值法”，通常是抓住函数特性，特别是定义域上恒等式，利用变量代换解题．
已知函数f(x)的定义域是R，且对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)成立，当x<0时，f(x)<0，f(－2)＝－4，求函数f(x)在[3,5]上的最大值与最小值．
【分析】 通过赋值法及有关概念，要挖掘出本题函数所隐含的性质:奇偶性、单调性.
【解】 令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.
令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，
∴f(－x)＝f(x)．
∴函数f(x)为奇函数．
设x1，x2∈R，且x1于是f(x1－x2)<0，
且f(x1)＝f((x1－x2)＋x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)故f(x)为R上的增函数，
从而f(x)在[3,5]上的最大值为f(5)，最小值为f(3)．
由f(2)＝－f(－2)＝4.f(2)＝f(1)＋f(1)，得f(1)＝2，
∴f(3)＝f(1＋2)＝f(1)＋f(2)＝6，
f(5)＝f(2＋3)＝f(2)＋f(3)＝10，
即所求的最大值为10，最小值为6.
【思维总结】 证明奇函数，就是要从f(x＋y)＝f(x)＋f(y)恒成立中推出f(－x)＋f(x)＝0的结论．
证明单调性:利用“x<0时，f(x)<0”来构造,
f(x1)＝f[(x1－x2)＋x2]．
如果y＝f(u)，u＝g(x)．则函数y＝f[g(x)]可看作y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，其单调性规律“同增异减”．
【分析】 函数f(x)是复合函数，利用法则“同增异减”来求单调区间．
【名师点睛】 首先求定义域，单调区间是定义域的子集．2．(2012·合肥调研)集合A＝{a，b}，B＝{－1,0,1}，从A到B的映射f：A→B满足f(a)＋f(b)＝0，那么这样的映射f：A→B有( )
A．2个 B．3个
C．5个 D．8个
解析：选B.
3．(2012·铜州调研)函数f(x)＝x2－4x＋5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，则m的取值范围是________．
解析：f(x)＝(x－2)2＋1.
如图，f(0)＝5.关于
x＝2对称，f(4)＝5.
∴m∈[2,4]．
答案：[2,4]
4.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时，f(x)＝x2－2x＋m.
(1)求m及f(－3)的值；
(2)求f(x)的解析式并画出简图；
(3)写出f(x)的单调区间(不用证明)．
解：(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝0，∴m＝0，
∴当x≥0时，f(x)＝x2－2x，
∴f(－3)＝－f(3)＝－3.
f(x)的图像如图
(3)由f(x)的图像可知:f(x)的增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞)，减区间为[－1,1]．
本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件5张PPT。第二章 函 数课标领航课件31张PPT。第二章 函 数第二章 函 数§1 生活中的变量关系
?
学习导航
学习目标
重点难点
重点：两个变量间的函数关系．
难点：两个变量间函数关系的判定．
变量关系
1．变量与变量之间的依赖关系在生活中随处可见．在这些关系中，有一些量是不会发生变化的，有一些量是在变化着的，还有一些变化的两个量之间存在着一定的联系．
并非有依赖关系的两个变量都有函数关系，只有满足对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有______________的值时，才称它们之间有函数关系．
做一做
下列等式中的变量x，y不具有函数关系的是( )
唯一确定解析：选D.D中，当x＝2时，y＝±3，即给定了一个x的值，有两个y值与之对应，因此y不是x的函数；当y＝3时，x＝±2，即给定了一个y的值，有两个x值与之对应，因此x也不是y的函数．
2．在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定了一个x的值，相应地确定了唯一的y值，那么我们称________的函数，其中x是自变量，y是因变量．
y是x想一想
如果变量y是变量x的函数，那么变量x是变量y的函数吗？
提示：不一定．例如变量x，y满足y＝x2，很明显y是x的二次函数，但是当y＝4时，x＝±2，即有两个x值与y对应，所以此时x不是y的函数.又例如变量x，y满足y＝2x－1，很明显y是x的一次函数，
题型一 变量间的关系
下列各组两个变量之间是否具有依赖关系？其中哪些是函数关系？
(1)人的身高与体重；
(2)球的半径与体积；
(3)家庭收入与支出．
【解】
【思维升华】可根据两个变量之间的内在联系来判断两个变量之间是否具有依赖关系,可根据初中函数的概念来判断是否具有函数关系．
变式训练
1．判断下列现象是否为函数关系．
据中国出版集团、现代教育出版社统计：山东水浒书业有限公司的教辅资料质量越来越好，该公司的效益越来越高，那么该公司的教辅质量与其效益是什么关系？
解：质量与效益之间存在着依赖关系，但具有不确定性．故两者之间不是函数关系．
题型二 利用图像分析变量间的关系
如图所示，是某地某天气温随时间变化的函数图像，根据图像，回答在这一天中：
(1)什么时间气温最高？什么时间气温最低？最高气温和最低气温各是多少？
(2)20时的气温是多少？
(3)什么时间气温为6 ℃？
(4)哪段时间内气温不断下降？
(5)哪段时间内气温保持不变？
【解】 (1)凌晨4时的气温最低，气温是
－4 ℃；16时的气温最高，气温是10 ℃.
(2)20时的气温是8 ℃.
(3)10时和22时的气温都是6 ℃.
(4)0时到4时和16时到24时这两段时间内气温不断下降．
(5)12时到14时内气温保持不变．
【名师点睛】 判断图像描述的两个变量间的关系，要根据图像的横轴和纵轴的意义，确定自变量和因变量，然后据图判断两者之间的对应关系，从而说明因变量如何随自变量的变化而变化．
题型三 函数的应用
问题：如果行车速度是60000 m/h，那么在
冰雪道路行驶和在无冰雪道路行驶相比，刹车距离相差多少米？你是怎样得出的？
【解】 当v＝60000 m/h时，即v＝60 km/h时2分
冰雪道路刹车距离S1＝×602＝72(米)，代入计算函数值……………………4分
无冰雪道路刹车距离S2＝×602＝36(米)，代入计算函数值6分
则S1－S2＝72－36＝36(米)，8分
∴两种不同道路情况下，汽车刹车距离相差36米．……………………………10分
名师微博
要写出结论，不然会失分的噢！
【误区警示】 在解答本题的过程中易出现把v＝60000代入原函数关系中的错误，导致这种错误的原因是忽视了函数关系中速度v的单位是km/h.
变式训练
2．某风景区集体门票的收费标准是20人以内(含20人)，每人25元，超过20人的，超过部分每人10元．
(1)写出门票费y(元)与游玩人数x(人)之间的函数关系式；
(2)利用(1)中函数关系式，确定某班54名学生去该风景区游玩，为购门票应花多少钱？
(3)某旅游团购买门票共花了2000元，则该旅游团共有多少人？
解： (1)当x≤20时，y＝25x；
当x>20时，y＝25×20＋10(x－20)；
1．口香糖的生产已有很长的历史，咀嚼口香糖有很多益处,但其残留物也会带来污染,为了研究口香糖的黏附力与温度的关系，一位同学通过实验，测定了在不同温度下除去糖分的口香糖与瓷砖地面的黏附力，得到了如下表所示的一组数据：
请回答下列问题：
(1)请根据上述数据，绘制出口香糖黏附力F随温度t变化的图像．
(2)根据上述数据以及得到的图像，你得到怎样的实验结论？
解：(1)根据表中数据的范围
绘制出F随t变化的图像如右
图．(2)可得实验结论：①随
着温度的升高，口香糖的黏
附力先增大后减小；②当温
度在约37 ℃时，口香糖的黏附力最大；当温度在50 ℃时，黏附力最小．所以可通过加热的办法除去磁砖上的口香糖残留物．
2．矩形面积为15，如果矩形长为x,宽为y，对角线长为d，周长为l，你能获得关于这些量的哪些函数关系？并分别指出它们的自变量和因变量．(写出3个即可)
方法技巧
1．研究两个变量之间关系时，一般先分析它们之间是否具有依赖关系，在具有依赖性的条件下，再分析它们之间是否具有确定性关系，而确定性关系是理想化的两个变量之间的因果关系,这也是函数概念的基本思想.
2．对于现实生活中两个变量之间的关系问题，若能建立函数关系式，则一般先建立函数关系式，然后再利用函数关系式分析确定关系或利用一变量值求另一变量的值．
3．图像(图表)题是以一种直观的形式体现某些已知条件的问题，解决这类问题的关键是由图中数值(或变化趋势)发现规律后应用于解题，做出正确判断．
失误防范
生活中存在许许多多的变量，但并不是任意两个变量之间都具有依赖关系，也并不是具有依赖关系的两个变量一定具有函数关系．
课件39张PPT。§2 对函数的进一步认识
2．1 函数概念
学习导航
学习目标
重点难点
重点:用集合语言刻画函数及求函数定义域.
难点:函数符号f(x)的理解．
1．集合观点的函数定义
给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把_________________叫作定义在集合A上的函数，记作f：A→B，或y＝f(x)，x∈A.
对应关系f此时， x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域，集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．习惯上我们称y是x的函数．
想一想
集合B等于函数y＝f(x)的值域吗？
提示：B不是恰好是值域…值域
{f(x)|x∈A}?B…
2．函数的构成要素
函数概念有三个要素：__________________
___________.其中核心是对应关系f，它是函数关系的本质特征．
3．区间的概念
设a，b是两个实数，而且a定义域，值域，对应关系f[a，b](a，b)(a，b)(a，b]这里实数a，b都叫作相应区间的端点．4．无穷大概念
(1)实数集R用区间表示为_______________,
“∞”读作______________，“－∞”读作___________，“＋∞”读作___________．
(2)无穷区间的表示
(－∞，＋∞)无穷大负无穷大正无穷大做一做
1.下列各式中，y是x的函数的是( )
解析：选A. ③中变量x的取值为?，故不是函数；④中变量x的一个值,可对应两个y值,故也不是函数．
3．已知函数f(x)＝2x2－3x＋1，写出下列各式的结果：
(1)f(0)＝________；
(2)f(－2)＝________；
(3)f(x－1)＝________；
(4)f(2x)＝________.
解析：(1)(2)均是求当自变量x取某个具体值时，函数f(x)的值，只需将所给的自变量值代入函数的解析式，便可求出f(0)＝2×02－3×0＋1＝1，f(－2)＝2×(－2)2－3×(－2)＋1＝15，而(3)和(4)中是分别用x－1和2x去取代函数自变量，即占据了函数f(x)自变量的位置，所以只需把函数f(x)中的自变量x分别换为x－1和2x即可,故f(x－1)＝2(x－1)2－3(x－1)＋1＝2x2－7x＋6，f(2x)＝2(2x)2－3(2x)＋1＝8x2－6x＋1.
答案：(1)1 (2)15 (3)2x2－7x＋6 (4)8x2－6x＋1
题型一 函数的概念
下列对应是否是从A到B的函数？
①A＝R，B＝{x|x＞0}，f：A→B，求绝对
值；
②A＝Z，B＝N，f：A→B，求平方；
③A＝Z，B＝Z，f：A→B，求算术平方根;
④A＝N，B＝Z，f：A→B，求平方根；
⑤A＝{x|－2≤x≤2,x∈R},B＝{x|－3≤x≤3,
x∈R}，f：A→B，求立方．
【解】 只有②是从A到B的函数，①③④⑤都不是．
对于①，A中的元素0在B中无元素和它对应,故不是函数．
对于③，A中的负数没有算术平方根，故B中无元素和它们对应．
对于④，A中的每一个元素(除0外)都有2个平方根，所以B中有2个元素和它对应，故不是函数．
对于⑤，集合A中的一些元素，如2，立方后不在集合B中，所以在B中无元素和它对应.
【名师点睛】 判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断：
(1)A、B必须是非空数集；
(2)A中任一元素在B中必须有元素与其对应;
(3)A中任一元素在B中必须有唯一元素与其对应．
变式训练
1．设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|1≤y≤2}，给出下列四个图形，如图所示，其中能表示集合M到N的函数关系的是________．
解析：由图可看出，(1)(2)不满足1≤y≤2，(3)不满足唯一性，只有(4)正确．
答案：(4)
题型二 判断两个函数相等
下列四组函数，表示同一函数的组为________．
【解析】 对于①，两函数的解析式相同，但f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为N，定义域不同．对于②，虽然定义域均为R，但解析式不同．对于③，g(x)＝|x＋1|与f(x)的解析式是不同的．对于④，虽然f(x)与g(t)的自变量用不同的字母表示，但两函数的定义域和对应关系都相同，所以表示同一函数．应填④.
【答案】 ④
【思维升华】 判断两个函数是同一函数的准则是两个函数的定义域和对应关系分别相同．
变式训练
题型三 求函数的定义域
求下列函数的定义域．
【方法提炼】 (1)由函数的解析式求函数的定义域时，通常要注意以下几个方面：
①分式——x取值使分母不为零．
②偶次根式——x取值使被开方数非负．
③y＝(f(x))0→f(x)≠0.
(2)求函数的定义域时，一般先转化为解不等式或不等式组，最后取各部分的交集，定义域要写成集合或区间的形式．
变式训练
题型四 求函数值及值域问题
【思路点拨】求值问题，先分清对应法则，再代入求值．求值域问题首先确定定义域．
【思维总结】 (1)求类似f[g(2)]的值，要注意f、g作用的对象，按“由内向外”的顺序求值．
(2)求函数值域，先确定定义域，再根据具体情况确定y的取值范围．
变式训练
解：(1)将x＝1,2,3,4,5分别代入y＝3x＋1计算，得
函数y＝3x＋1(x∈{1,2,3,4,5})的值域为{4,7,10,13,16}．方法技巧
1．如果函数是一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么它的定义域是各基本函数定义域的交集．
2．已知f(x)的定义域，求f[φ(x)]的定义域，其实质就是由φ(x)的取值范围，求出x的取值范围；
如已知y＝f(x)的定义域x∈[1,2]，则f(x＋1)的定义域求法:令(x＋1)∈[1,2]得到x∈[0,1].
3．已知f[φ(x)]的定义域，求f(x)的定义域，其实质就是由x的取值范围，求φ(x)的取值范围．
如已知y＝f(x＋1)的定义域为[0,1]，则f(x)的定义域求法：x∈[0,1]可推得(x＋1)∈[1,2]，即为f(x)的定义域．
失误防范
(1)f(x)与f(a)有区别：f(x)表示函数式．
f(a)表示当x＝a时对应的函数值．
(2)求函数值域，切勿丢掉定义域．
课件35张PPT。2．3 映 射
学习导航
学习目标
重点难点
重点：映射的概念，原像与像的计算．
难点：用映射的概念解释函数的概念．
1．映射
(1)映射的含义
两个_______集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的__________元素x，B中总有_______的一个元素y与它对应，则称这样的对应为从A到B的映射，记作___________.
非空每一个唯一f：A→B(2)像与原像的概念
在映射f：A→B中,_____________ 称为原像,
________________称为x的像,记作________.
(3)一一映射f：A→B的概念
一一映射是一种特殊的映射，它满足：
①A中每一个元素在B中都有___________与之对应．
②A中的__________元素的像也不同．
③B中的每一个元素都有____________．
A中的元素xB中的对应元素yf：x→y唯一的像不同原像想一想
1.形成映射的两个集合A、B必须是数集吗？
提示：A、B可以是非空的任意集合，数
集、点集或其它集合都可以．
2．从A到B的映射f：A→B，B中的元素必须有原像吗？
提示：B中的元素可以没原像，也可以有唯一的一个原像，也可以有多个原像．
2．函数与映射
________是一种特殊的映射，是从非空数集到非空数集的映射，函数概念可以叙述为：设A，B是两个非空数集，f是A到B的一个映射，那么映射f：A→B就叫作A到B的函数．
函数做一做
1.在映射f：A→B中，A＝B＝{(x，y)|x，y∈R}，且f：(x，y)→(x－y，x＋y)，则与A中的元素(－1,2)对应的B中的元素为( )
A．(－3,1) B．(1,3)
C．(－1，－3) D．(3,1)
解析：选A.由所给的x＝－1，y＝2可知x－y＝－3；x＋y＝1.
2．下列各图表示的是从集合A到集合B的对应，其中哪些是映射？哪些是一一映射？哪些是函数？为什么？
解：(1)是映射，也是一一映射和函数，因为集合A，B都是非空数集，且是“一对一”的对应方式．
(2)是映射，且是函数，但不是一一映射，因为集合B中的元素1的原像不是唯一的．
(3)不是映射，更不是一一映射或者函数，因为集合A中的元素0在集合B中有两个对应元素1和－1.
(4)是映射，且是一一映射，但不是函数，因为集合A，B不是数集．
题型一 映射、一一映射、函数的判断
判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射，其中哪些是一一映射？哪些是函数？为什么？
(1)A＝R，B＝{非负实数}，对应关系f：y＝x2，x∈A，y∈B.
(2)A＝R，B＝{正实数}，对应关系f：y＝x2,
x∈A，y∈B.
(3)A＝{x∈R|x>0}，B＝R，对应关系f：A中的元素对应它的平方根．
(4)A＝{x|x≥2}，B＝{y|y＝x2－4x＋3}，
f：y＝x－3，x∈A，y∈B.
【解】 (1)是映射，且是函数，但不是一一映射，因为A中的任何一个元素，在B中都能找到唯一的元素与之对应，又A、B均为非空数集，所以此映射是函数，因为x以及x的相反数在B中的对应元素相同，所以不是一一映射．
(2)不是从集合A到集合B的映射，更不是函数或者一一映射．因为A中的元素0，在集合B中没有对应的元素．
(3)不是从集合A到集合B的映射，更不是函数或者一一映射，因为任何正数的平方根都有两个值，即集合A中的任何元素，在集合B中都有两个元素与之对应．
(4)当x≥2时，x－3≥－1，而y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，因而能构成映射，且是函数，并且B中每一个元素在A中都有唯一的一个原像，所以又是一一映射．
【方法小结】(1)两个集合之间只有一对一，多对一才是映射，其中一对一为一一映射．
(2)并非所有映射都是函数，只有集合A、B都是非空数集时，映射才是函数．
变式训练
解析：选B.在A中，当x＝3时，|x－3|＝0，而0?B，于是A中有一元素3在B中没有元素和它对应，故不是函数；在C中，集合A中的负数在B中没有元素和它对应，故也不是函数；在D中，集合A中的元素0，其倒数不存在，因而0在B中无对应元素，故同样不是函数．只有B项符合定义，故选B.
题型二 像与原像的对应
已知映射f：A＝B＝{(x，y)|x∈R，
y∈R}，f：A中元素(x，y)对应B中元素(3x－2y＋1,4x＋3y－1)，
(1)求A中(－1，－2)的像；
(2)求B中(1,2)的原像；
(3)是否存在这样的元素(a，b)，使它的像仍是自己？若有，求出这个元素．
【名师点睛】 (1)解答此类问题的关键是：
①分清原像和像；
②搞清楚由原像到像的对应关系；
(2)对A中元素，求像只需将原像代入对应关系即可，对于B中元素求原像，可先设出它的原像,然后利用对应关系列出方程组求解.
变式训练
2．已知(x，y)在映射f作用下的像是(x＋y，xy)．
(1)(－2,3)在f作用下的像是________；
(2)若在f作用下的像是(2，－3)，则它的原像是________．
解析：(1)(－2,3)在映射f作用下的像是(－2＋3，－2×3)，即(1，－6)．
答案：(1)(1，－6) (2)(3，－1)或(－1,3)题型三 映射或函数的个数
已知A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6}，取适当的对应法则．
(1)以集合A为定义域、B为值域(注意：值域为B.而不是B的子集，即B中元素都有原像)的函数有多少个？
(2)在所有以集合A为定义域、B为值域的函数中，满足条件f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4)的函数有多少个？
【思路点拨】 根据函数的定义可用列举法探索解题思路．
【解】 (1)根据映射与函数的定义，集合A中的元素均可与B中的两个元素对应，故从A到B可建立24＝16个函数(审题可要慎之又慎噢！)，但在1,2,3,4都对应5或都对应6这两种情况下，值域不是B，应予以排除，所以以集合A为定义域、B为值域的函数有14个.
(2)在上述14个函数中，满足条件
f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4)的函数具体为：
(含义：对应的像由小到大排列)
f(1)＝5，f(2)＝f(3)＝f(4)＝6；
f(1)＝f(2)＝5，f(3)＝f(4)＝6；
f(1)＝f(2)＝f(3)＝5，f(4)＝6.
(使用一一列举法)
所以满足条件的函数共有3个．
【思维总结】 A中有m个元素，B中有n个元素．f：A→B的映射个数为nm个．
变式训练
3．(1)已知A＝{a，b}，B＝{1,2}，用图示法表示所有从集合A到集合B的映射．这样的映射共有多少个？
(2)若A＝{a，b，c}，B＝{1,2}，从集合A到集合B可以建立多少个不同的映射？从集合B到集合A呢？
解：(1)依据映射定义，从集合A到集合B的映射有：22＝4(个)，如图．
(2)A＝{a，b，c}，B＝{1,2}，则从A到B的映射共有：23＝8(个)．反过来从B到A的映射共有：32＝9(个)．
1．已知集合A＝{1,2,3,4,5,6}，集合B＝{－1,1,3,5,7,9},集合C＝{－8，－2,4,10,16,22}，对应关系f为“乘2减3”，对应关系g为“乘3减5”，对应关系h为“先乘2减3，再将所得结果乘3减5”，分别求下列映射所对应的函数表达式．
(1)映射f：A→B；
(2)映射g：B→C；
(3)映射h：A→C.
解：(1)由题意知y＝f(x)，
∴函数表达式为y＝2x－3.
(2)由题意知y＝g(x)，
∴函数表达式为y＝3x－5.
(3)由题意得y＝h(x)＝g[f(x)]，∵g[f(x)]＝3f(x)－5＝3(2x－3)－5＝6x－14,
∴函数表达式为y＝6x－14.
2．(2012·西安质检)已知A＝{a，b，c}，B＝{－1，0,1}，映射f：A→B满足f(a)＋f(b)＝f(c)，求映射f：A→B的个数．
解：(1)当A中三个元素都对应0时，则f(a)＋f(b)＝0＋0＝0＝f(c)有1个映射．
(2)当A中三个元素对应B中两个时，满足f(a)＋f(b)＝f(c)的映射有4个，分别为1＋0＝1,0＋1＝1，(－1)＋0＝－1,0＋(－1)＝－1.
(3)当A中的三个元素对应B中的三个元素时,有2个映射,分别是(－1)＋1＝0,1＋(－1)＝0.
因此满足题设条件的映射有7个．
方法技巧
1．映射的概念：
(1)
(2)映射也是两个集合A与B元素之间存在的某种对应关系．说其是一种特殊的对应，是因为它只允许存在“一对一”与“多对一”这两种对应，而不允许存在“一对多”的对应．
2．在求像与原像问题上，有解析式的只要列出方程即可解得，要特别注意有图表情况的，要找好对应关系即可解得．
失误防范
1．一一映射与映射的区别
2.映射与函数的区别
课件41张PPT。§3 函数的单调性学习导航
学习目标
重点难点
重点:函数单调性定义及应用．
难点:证明函数的单调性求单调区间和最值.
1．函数单调性的定义
一般地，对于函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1f(x1)如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．相应的子集叫作
________________．
f(x1)>f(x2)单调区间如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加或减少的，我们分别称这个函数为单调增函数或减函数，统称为单调函数．
想一想
如果函数y＝f(x)，对于任意x1，x2∈A，x1≠x2都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，能说f(x)在A上是增函数吗？
提示：f(x)在A上是增函数．
x1符合增函数的定义．
做一做
1.下列命题正确的是( )
A．定义在(a，b)上的函数f(x),如果存在x1，x2∈(a，b)，使得x1B．定义在(a，b)上的函数f(x)，如果有无穷多对x1，x2∈(a，b)，使得x1 C．如果f(x)在区间I1上为增函数，在区间I2上也为增函数，那么f(x)在I1∪I2上也一定为增函数
D．如果f(x)在区间I上为增函数且
f(x1)解析：选D.A，B项中的x1,x2不具有任意性,
C项中f(x)在I1和I2上均为增函数，但在I1∪I2上的单调性无法判定．
2．函数f(x)在R上是减函数，则有( )
A．f(3)C．f(3)>f(5) D．f(3)≥f(5)
答案：C
3．已知函数y＝f(x)的图像
如图所示，则它的单调减
区间为________．
2．最大值
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果
存在实数M满足：
(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.
那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值
(maximum value)．
3．最小值
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果
存在实数m满足：
(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≥m；
?(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝m.
那么，我们称m是函数y＝f(x)的最小值
(minimum value)．
做一做
4.函数f(x)＝x－1在区间[3,6]上的最大值和最小值分别是( )
A．6,3 B．5,2
C．9,3 D．7,4
解析：选B.函数f(x)＝x－1在区间[3,6]上是增函数,则当3≤x≤6时,f(3)≤f(x)≤f(6)，即2≤f(x)≤5,所以最大值和最小值分别是5,2.
题型一 函数单调性的判断与证明
证明函数f(x)＝x3在R上为增函数．
【名师点睛】有的同学认为直接由x1变式训练
题型二 已知函数单调性求参数
设函数f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的减函数．求a的取值范围．
【解】 任取x1，x2∈R，且x1f(x1)－f(x2)＝(2a－1)x1＋b－[(2a－1)x2＋b]＝(2a－1)(x1－x2)，因为x1又函数f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的减函数，
所以f(x1)－f(x2)>0，即(2a－1)(x1－x2)>0，
【思维总结】 已知函数的单调性求参数取值范围的方法是：视参数为已知数，参照单调性的定义或图像求出f(x1)－f(x2)的符号，结合已知条件建立不等式，然后从中分析参数的取值范围．
变式训练
题型三 利用单调性求函数最值
【规律小结】 若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
变式训练
题型四 利用单调性比较大小或解不等式
(本题满分10分)已知f(x)是定义在
(0，＋∞)上的减函数，实数a满足f(a＋1)<
f(－4a＋1)，求实数a的取值范围．
【思路点拨】 把a＋1.－4a＋1分别看成一个整体，结合减函数的定义，“剥掉”符号“f ”转化为关于a的不等式．
名师微博
这是求a的前提，满足定义域，易漏掉．
【名师点评】 本题实质是解不等式组，由于函数f(x)的解析式不明确，增加了本题的难度．常用的技巧是借助于函数的单调性“剥掉外衣”，即去掉符号“f”，转化为解不等式组．
变式训练
4．设函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈R，且x1≠x2，都有(x1－x2)·(f(x1)－f(x2))>0，试比较f(－3)，f(－π)的大小．
解：法一：由题意可知(－3＋π)·(f(－3)－f(－π))>0，又－3＋π>0，所以f(－3)－f(－π)>0，f(－3)>f(－π)．
法二：由题意可知x1，x2的大小关系与相应函数值f(x1)，f(x2)的大小关系一致，则函数f(x)是定义在R上的增函数，又－3>－π，所以f(－3)>f(－π)．
2．设函数f(x)是实数集R上的增函数，令F(x)＝f(x)－f(2－x)，求证F(x)在R上是增函数．
证明：任取x1，x2∈R，且x1则2－x1>2－x2.
∵f(x)是R上的增函数，
∴f(x1)f(2－x2)，
即f(x1)－f(x2)<0，f(2－x2)－f(2－x1)<0，∴F(x1)－F(x2)＝[f(x1)－f(2－x1)]－[f(x2)－f(2－x2)]＝[f(x1)－f(x2)]＋[f(2－x2)－f(2－x1)]<0，
即F(x1)∴F(x)在R上是增函数．
方法技巧
1．函数单调性证明的一般步骤为：
(1)任取所给区间内两个值x1、x2，且x1(2)作差：f(x1)－f(x2)；(3)变形；(4)定号；(5)结论．
在上述几步中，关键一步是变形，变形的目的是判断符号．
2．判断函数单调性的方法有定义法、图像法、复合函数法，两个函数和(差)的单调性的判断，增＋增＝增，减＋减＝减，增－减＝增，减－增＝减．
3．单调性定义的等价形式
(1)设x1，x2∈[a，b](x1≠x2，a≤b)，那么
失误防范
3．确定单调性一定要相对于某个区间而言,而且一定要在定义域内．如y＝x2只可说在
(0,＋∞)上为增，在R上无单调性．
4．已知函数单调性求参数范围的问题，解法是根据单调性的概念得到恒成立的不等式,还要注意定义域的限制．
课件40张PPT。§4 二次函数性质的再研究
4．1 二次函数的图像
?
学习导航
学习目标
重点难点
重点：二次函数图像变换及求解析式．
难点：对图像变换的理解及图像的应用．
1．二次函数的定义及解析式
(1)二次函数的概念
函数________________________叫作二次函数，它的定义域是R.
(2)二次函数的解析式
①一般式：______________________；
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)②顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中
____________为图像的顶点坐标；
③两点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中____________，___________为图像与x轴的两交点坐标．
(h，k)(x1,0)(x2,0)做一做
1.函数y＝2x2＋4x－1的对称轴和顶点分别是( )
A．x＝－2，(－2，－1)
B．x＝2，(－2，－1)
C．x＝－1，(－1，－3)
D．x＝1，(－2,3)
解析：选C.y＝2x2＋4x－1＝2(x＋1)2－3.
顶点(－1，－3)．
2．二次函数图像间的变换
(1)y＝x2与y＝ax2(a≠0)间的变换
(2)y＝ax2与y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)间的变换
纵坐标a左hk上右|h|下|k|做一做
3.函数y＝x2的图像________平移________个单位长度，得到函数y＝(x＋2)2的图像，再________平移________个单位长度，得到函数y＝(x＋2)2－1的图像，若想要变回原来的函数，则需将函数y＝(x＋2)2－1的图像先________平移________个单位长度，再________平移________个单位长度．
答案:向左 2 向下 1 向上 1 向右 2
题型一 二次函数图像的变换
将函数y＝2(x＋1)2－3的图像向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图像对应的函数解析式为( )
A．y＝2x2 B．y＝2(x＋2)2－6
C．y＝2x2－6 D．y＝2(x＋2)2
【解析】 将函数y＝2(x＋1)2－3的图像向左平移1个单位长度，得函数y＝2(x＋1＋1)2－3的图像，即y＝2(x＋2)2－3的图像；将y＝2(x＋2)2－3的图像向上平移3个单位长
度，得函数y＝2(x＋2)2－3＋3的图像，即函数y＝2(x＋2)2的图像．
【答案】 D
【规律小结】研究二次函数图像的变换时，一般将二次函数化成y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的形式，然后比较平移前后两函数式中的h和k是怎样变化的，根据结论“h决定图像的左右平移(h正左移，h负右移)，k决定图像的上下平移(k正上移，k负下移)”对原式进行变形即可．
变式训练
1．将二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向左平移2个单位，再向上平移3个单位，便得到函数y＝x2－2x＋1的图像，则b＝________，c＝________.
∴抛物线y＝x2＋bx＋c的顶点为(3，－3)，
∴y＝x2＋bx＋c＝(x－3)2－3
＝x2－6x＋6.
∴b＝－6，c＝6.
答案：－6 6
题型二 二次函数图像特征
设b>0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1
(a≠0)的图像为如图所示的四个图像之一,则a的值为( )
【答案】 B
【误区警示】 解决二次函数的图像问题有以下两种方法：
(1)采用排除法，抓住函数的特殊性质或特殊点；
(2)讨论函数的图像，依据b对a进行讨论，画出a值不同时对应的函数图像,从而进行判断.
显然(1)对解决选择题更为有效．
变式训练
2.二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)图像如图所示，有下列结论：
①a＋b＋c<0；
②a－b＋c>0；
③abc>0；
④b＝2a.
其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
题型三 求二次函数解析式
(本题满分10分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与x轴相交于点A(－3,0),对称轴为x＝－1，顶点M到x轴的距离为2，求此函数的解析式．
【思路点拨】 该题给出了三个条件，但实际上此题还有一个隐含条件，如利用A点关于对称轴x＝－1审题时画出简易图，
则易得该隐含条件，又已知顶点M到x轴的距离为2，对称轴为x＝－1，因此可以找顶点坐标为(－1，±2)，故本题方法不唯一．
【解】法一：因为二次函数图像的对称轴是x＝－1，又顶点M到x轴的距离为2，所以顶点的坐标为M(－1,2)或M′(－1，－2)，2分
故设二次函数的解析式为y＝a(x＋1)2＋2或y＝a(x＋1)2－2.4分
法二:因为二次函数图像的对称轴为x＝－1,
又图像过点A(－3,0)，所以点A关于对称轴的对称点A′(1,0)也在图像上，所以可设二次函数的解析式为y＝a(x＋3)(x－1)(a≠0). 4分
由题意得顶点坐标为(－1,2)或(－1，－2)，
名师微博
一题多解，异曲同工．
【思维总结】 利用已知条件寻找对应的设法，往往可使函数解析式的求解变得简单．
变式训练
3．已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数．
1．如果二次函数y＝2x2－2ax＋2a－1与二次函数y＝x2－(b＋2)x＋b有相同的顶点，试确定这两个二次函数的解析式．
2．已知二次函数y＝2x2－4x－6.
(1)求此函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出图像．
(2)求此函数图像与x轴、y轴的交点坐标，并求出以此三点为顶点的三角形面积．
(3)x为何值时，y>0，y＝0，y<0?
解：(1)配方，得y＝2(x－1)2－8.
∵a＝2>0，
∴函数图像开口向上，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，－8)．
列表：
描点并画图，得函数
y＝2x2－4x－6的图像，
如图所示．
方法技巧
1．一般式在任何题目中都适用，其缺点是所设的字母较多，容易引起混乱．顶点式一般需要先知道二次函数的顶点坐标，而两根式则需要先知道图像与x轴的交点坐标．在解题时，遵循的原则是出现字母越少越好．
2．a，b，c对二次函数图像的影响．
(1)a决定抛物线的开口方向：
a>0，开口向上；a<0，开口向下．
(2)a、b决定抛物线的对称轴的位置：
c>0，与y轴的交点在y轴的正半轴上；
c＝0，抛物线经过原点；
c<0，与y轴的交点在y轴的负半轴上．
(4)b2－4ac决定抛物线与x轴交点的个数：
当b2－4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点；
当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点;
当b2－4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．
失误防范
1．二次函数表达式y＝ax2＋bx＋c中，系数a≠0是二次函数的必备条件．待定系数法是求二次函数表达式的常用方法．
2．左右平移是相对于“x”来说，即“x”到“x＋h”的形式.才能确定平移方向及单位个数.
如由y＝x2得到y＝(1－x)2＝(－x＋1)2是把y＝x2向右平移1个单位,而不是向左平移．
课件40张PPT。4．2 二次函数的性质
学习导航
学习目标
重点难点
重点:利用配方法研究y＝ax2＋bx＋c的性质.
难点：求二次函数在给定区间上的最大值、最小值．
二次函数的性质
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质如下表:
向上向下(－∞，－][－，＋∞)(－∞，－][－，＋∞)想一想
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在整个定义域上具有单调性吗？
做一做
1.抛物线y＝x2＋2x－2的顶点坐标是( )
A．(2，－2) B．(1，－2)
C．(1，－3) D．(－1，－3)
解析：选D.y＝x2＋2x－2＝(x＋1)2－3.
顶点为(－1，－3)．
2．函数y＝x2－x＋1的值域是( )
3．函数y＝5x2－4x－1在区间________上是增函数，在区间 ________上为减函数．
题型一 二次函数的对称性、单调性及应用
变式训练
1.(1)已知函数f(x)＝x2－2ax＋4在区间(－∞,－1)上是递减的，求实数a的取值范围;
(2)已知函数f(x)＝x2－2ax＋4的减区间是
(－∞，－1)，求实数a的值．解：(1)函数f(x)＝x2－2ax＋4的对称轴是x＝a，函数f(x)＝x2－2ax＋4在区间(－∞，－1)上是递减的，则(－∞，－1)?(－∞，a]，所以a≥－1.
(2)由题意知，函数f(x)＝x2－2ax＋4的对称轴是x＝－1，所以a＝－1.
题型二 二次函数的值域(最值)
已知二次函数f(x)＝x2－2x＋2.
(1)当x∈[－3,0]时,求f(x)的最大值和最小值;
(2)若f(x)的定义域为[－3,3],试求f(x)的值域;
(3)若x∈[t，t＋1](t∈R)，试求f(x)的最小值g(t)．
【解】 f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1.
(1)当x∈[－3,0]时，
f(x)在[－3,0]上为减函数，
故当x＝－3时，
f(x)有最大值f(－3)＝17.
当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝2.
(2)当x∈[－3,3]时，f(x)是先减后增，
当x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝1.
∵|－3－1|>|3－1|，
∴当x＝－3时，
f(x)有最大值f(－3)＝17.
∴函数f(x)的值域为[1,17]
(3)①当t＋1≤1，即t≤0时，由图(1)知，截取减区间上的一段，g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1；②当1③当t＋1>2，即t>1时，由图(3)可知，截取增区间上的一段，
g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2.综上可知，【思维总结】 此类题要注意对称轴与区间的位置关系，当位置不确定时要分轴在区间内、区间外讨论．
变式训练
2.已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1,1]，求函数f(x)的最小值．
解：函数f(x)的对称轴为x＝a,且开口向上，如图所示，
当a>1时，f(x)在[－1,1]上单调递减，故f(x)min＝f(1)＝3－2a；
当－1≤a≤1时，f(x)在[－1,1]上先减后增，故f(x)min＝f(a)＝2－a2；
当a<－1时，f(x)在[－1,1]上单调递增，故f(x)min＝f(－1)＝3＋2a.
综上可知，
题型三 二次函数与二次方程的关系
(本题满分12分)已知关于x的函数
y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1的图像与x轴总有交点．
(1)求实数m的取值范围；
(2)当函数图像与x轴有两个交点且两交点的横坐标的倒数之和等于－4时，求m的值；
(3)当函数图像恒在x轴上方时，求m的范围.
【思路点拨】 函数图像与x轴交点个数问题，等价于方程y＝0的根的个数问题，须分m＋6＝0和m＋6≠0讨论(审题时切勿认为就是二次函数)
名师微博
利用根与系数的关系，建立关于m的方程．
【思维总结】 研究二次方程根时，常与二次函数图像性质结合起来，此题容易失误的地方是不讨论m＋6＝0.
变式训练
3．若抛物线y＝x2＋bx＋8的顶点在x轴的负半轴上，求b的值．
1．已知函数y＝－3(x－m)2＋2m2，当
x∈[2,3]时，y有最大值8，求m的值．
解：已知抛物线的对称轴为x＝m，相对于区间[2,3]有三种情况：
①当2≤m≤3时，ymax＝2m2＝8，解得m＝
±2，
∵2≤m≤3，∴m＝－2舍去，∴m＝2.
2．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a，b为常数,且a≠0)满足条件f(1＋x)＝f(1－x)，且方程f(x)＝x有等根．
(1)求f(x)的解析式；
(2)是否存在数m，n(m方法技巧
1．对于一元二次方程根的个数问题或根的分布问题，我们常转化为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与x的交点
个数或交点位置，一般都是利用图像数形结合处理，使得问题得到简化．
2．对于二次函数f(x)＝a(x－h)2＋k(a>0)在
区间[m，n]上的最值可作如下讨论
失误防范
1．对于函数y＝ax2＋bx＋c，勿直接认为就是二次函数．
2．函数y＝f(x)在“区间[m，n]上单调”与“单调区间为[m，n]”两者意义不同．
课件56张PPT。§5 简单的幂函数
学习导航
学习目标
重点难点
1．幂函数的定义
形如y＝xα(其中底数x为_________，指数α为__________)的函数叫幂函数．
自变量常量做一做 (2)性质
[0，＋∞)非奇
非偶0,＋∞－∞,0(0,0)想一想
1.幂函数的图像能过第四象限吗？
提示：不能，对幂函数y＝xα而言,当x>0时,
必有y>0，故幂函数图像不过第四象限．
做一做
3．函数的奇偶性
已知y＝f(x)，x∈A,则f(x)奇偶性定义见下表
原点y满足f(－x)＝－f(x)满足f(－x)＝f(x)想一想
2.存在既是奇函数，又是偶函数的函数吗？
提示：存在. f(x)＝0且定义域关于原点对称,既是奇函数，又是偶函数．
做一做
解析：选D.f(x)的定义域为{0}，∴f(x)＝0.
4．若奇函数在x＝0处有意义，则f(0)＝________.
?解析：由f(－x)＝－f(x)，∴f(0)＝－f(0)．
∴f(0)＝0.
答案：0
题型一 幂函数的定义、图像、性质
函数f(x)＝(m2－m－1)·xm2＋m－2是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是减函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)用描点法作出f(x)的图像；
(3)给出y＝f(x)的单调区间及其值域，并判断其奇偶性．
【解】 (1)∵f(x)＝(m2－m－1)·xm2＋m－2为幂函数，且在(0，＋∞)上为减函数，
∴m2－m－1＝1且m2＋m－2<0，
∴m＝－1，即f(x)＝x－2(x≠0)．
(2)列表
作图如图所示．
(3)由(2)可知，f(x)的单调区间为(－∞，0)及(0，＋∞)．
其中f(x)在区间(－∞，0)上为单调递增的，在区间(0，＋∞)上为单调递减的，且f(x)的值域为(0，＋∞)．
∵f(x)＝f(－x)，且定义域关于原点对称，
∴f(x)为偶函数．
【规律小结】 (1)求幂函数解析式的步骤：①设出幂函数的一般形式y＝xα(α为常数)；
②根据已知条件求出α的值；③写出幂函数的解析式．
(2)研究幂函数的性质常借助于幂函数的图像,利用图像可以较直观地分析出相应的函数性
质．
变式训练
(3)∵y＝x6为偶函数，∴(－0.31)6＝0.316，
又函数为[0，＋∞)上的增函数，且
0.31<0.35，
∴(－0.31)6<0.356.
题型二 函数奇偶性的判断
判断下列函数的奇偶性：
变式训练
2．(2011·高考广东卷)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数
B．f(x)－|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|＋g(x)是偶函数
D．|f(x)|－g(x)是奇函数
解析：选A.由f(x)是偶函数，可得f(－x)＝f(x)，由g(x)是奇函数可得g(－x)＝－g(x)，故|g(x)|为偶函数，∴f(x)＋|g(x)|为偶函数．
题型三 利用函数奇偶性求解析式
若f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x(2－x)．
(1)求函数f(x)在R上的解析式；
(2)画出函数f(x)的图像．
【解】 (1)法一：∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0.
当x>0时，－x<0，
∴f(x)＝－f(－x)＝x(2＋x)．
∴函数f(x)的解析式为
令t＝－x，若x<0，则t>0，且x＝－t.
∵f(x)＝x(2－x)(x<0)，
∴f(－t)＝－t(2＋t)，
即－f(t)＝－t(2＋t)．
∴f(t)＝t(2＋t)，
∴当x>0时，f(x)＝x(2＋x)．
∴函数f(x)的解析式为
列表：
图像如下
【名师点睛】 此类问题的一般做法是：
①“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内．
②要利用已知区间的解析式进行代入．
③利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
变式训练
3．已知函数是定义在R上的偶函数，且x≥0时，f(x)＝－x＋1，则f(x)的解析式为________．
解析：设x<0，则－x>0.
∵当x≥0时，f(x)＝－x＋1，
∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1.
∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(－x)＝f(x)．
∴当x<0时，f(x)＝x＋1.
题型四 函数的奇偶性与单调性综合应用
(本题满分12分) 已知f(x)是定义在
(－1,1)上的奇函数，且单调递减，若f(1－t)＋f(1－t2)>0，求t的取值范围．
【思路点拨】 ①f(x)定义在(－1,1)，即要求1－t,1－t2也在这个区间内．
②f(x)为奇函数，有结论f(－x)＝－f(x)．
③f(x)单调递减，即由f(x1)>f(x2)?x1 ④解题关键：由f(1－t)＋f(1－t2)>0变为f(x1)>f(x2)型．
【满分警示】 ①不要漏掉定义域，而只得到1－t②由f(1－t)>－f(1－t2)易错写为只f(1－t)>f(1＋t2)．
变式训练
4．设f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且有f(2a2＋a＋1)解：由f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，可知f(x)在(0，＋∞)上递减．
1.已知f(x)是奇函数,在(0,＋∞)上是减函数．
求证：f(x)在(－∞，0)上是减函数．
证明：设x1－x2>0.
∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴f(－x1)又f(x)是奇函数，
∴－f(x1)<－f(x2)，即f(x1)>f(x2)．
∴f(x)在(－∞，0)上是减函数．
解：(1)证明：由题意知函数f(x)的定义域关于原点对称，因为对定义域内的任意x1，x2都有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，
令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0，
令x1＝x2＝－1，得f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，即f(1)＝2f(－1)，即2f(－1)＝0，∴f(－1)＝0.
∵f(－x)＝f[(－1)·x]＝f(－1)＋f(x)＝f(x)，
方法技巧
1．判断函数奇偶性常用的方法有三种：
①定义法
首先考察函数的定义域是否关于原点对称．若否，则函数是非奇非偶函数；若是，则继续考察f(－x)＝±f(x)成立与否．若f(－x)＝－f(x)成立，则f(x)是奇函数；若f(－x)＝f(x)成立，则f(x)是偶函数；若f(－x)＝±f(x)都不成立，则f(x)是非奇非偶函数．
③图像法
步骤：(i)作出函数的图像；(ii)判断图像是否关于原点或y轴对称；(iii)得出结论．
2．常见结论
①如果f(x)，g(x)是定义域为D1，D2的奇函数,那么在D1∩D2上，f(x)＋g(x)是奇函数，f(x)·g(x)是偶函数．类似地有：“奇±奇＝
奇”，“奇×奇＝偶”，“偶±偶＝偶”，“偶×偶＝偶”，“奇×偶＝奇”．
②若f(x)是具有奇偶性的单调函数，则奇函数在其对称区间内具有相同的单调性，偶函数在其对称区间内具有相反的单调性．
③若f(x)的定义域关于原点对称，则F(x)＝f(x)＋f(－x)是偶函数，G(x)＝f(x)－f(－x)是奇函数．
④f(x)既是奇函数又是偶函数的充要条件是f(x)＝0.(定义域关于原点对称)⑤若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)可以表示成一个偶函数与一个奇函数的和．
⑥若奇函数在x＝0处有意义，则f(0)＝0.
⑦不论f(x)是奇函数还是偶函数，f(|x|)总是偶函数．
失误防范
1．函数奇偶性，首先有定义域关于原点对称，否则为非奇非偶函数．
2．判断一个函数是否为幂函数，依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，函数的解析式是一个幂的形式，且：
(1)指数是常数；
(2)底数为自变量；
(3)系数为1.
