课件21张PPT。本章优化总结第三章 指数函数和对数函数比较两数(式)或几个数(式)大小问题是一个重要题型，它主要是考查幂函数、指数函
数、对数函数图像与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用，常用的方法有单调性法、图像法、中间量搭桥法、作差法、作商法、分析转化法等．
【答案】 c＞b＞a
指数函数、对数函数是中学数学中重要的函数，它们的图像和性质是考查的重点，应熟练掌握图像的形状特征及画法，记熟性质，特别要注意指数函数与对数函数的底数在取不同值时，对图像和性质的影响．
【误区警示】 将原函数化归为二次函数，用配方法求指定区间上的最值是常见题型．求最值时，要注意自变量的取值范围． 求不等式loga(2x＋7)＞loga(4x－1)
(a＞0且a≠1)中x的取值范围．
【分析】 根据对数函数y＝logax，a＞1或0＜a＜1的单调性，去掉对数符号．
【名师点评】 结合单调性，将对数不等式转化为熟悉的不等式组，注意对数式有意义时真数大于0的条件，当底数a不确定时，需要对底数a分两种情况进行讨论．
已知函数f(x)＝loga(x＋3)在区间
[－2，－1]上总有|f(x)|＜2，求实数a的取值范围．
【分析】当x∈[－2，－1]时，x＋3∈[1,2]，而对数loga(x＋3)有正、有负，根据a的取值,去掉|f(x)|的绝对值符号．
【名师点评】 此题应先对底数a分情况讨论，再利用函数的单调性及已知条件，列出关于参数a的不等式(组)，解不等式(组)得到参数的范围，解决此类问题的关键是合理转化与分类讨论．
1.若a＝log3π，b＝log76，c＝log20.8,则
( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
解析：选A.利用界值法可得a＞log33＝1,0＜b＝log76＜log77＝1，c＝log20.8＜log21＝0.故选A.
2．已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a＞0，a≠1)的图像如图所示，则a，b满足的关系是
( )
A．0＜a－1＜b＜1
B．0＜b＜a－1＜1
C．0＜b－1＜a＜1
D．0＜a－1＜b－1＜1
4．不等式2x＋3－2m＞0在x∈[0，＋∞)时恒成立，求实数m的取值范围．
解：原不等式可转化为2m－3＜2x在x∈[0，＋∞)时恒成立，只要2m－3小于2x的最小值即可．当x∈[0，＋∞)时，由y＝2x的单调性知，2x的最小值是20＝1，
∴2m－3＜1，∴m＜2.∴实数m的取值范围为(－∞，2)．
?
本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件7张PPT。第三章 指数函数和对数函数课标领航本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件29张PPT。第三章 指数函数和对数函数第三章 指数函数和对数函数§1 正整数指数函数
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学习目标
重点难点
重点：正整数指数函数的概念及性质．
难点：正整数指数幂的运算及函数性质．
1．正整数指数函数的概念
一般地，函数_____________ (a＞0，a≠1，x∈N＋)叫作正整数指数函数，其中x是自变量，定义域是正整数集N＋.
y＝ax做一做
答案：D
2．正整数指数函数的图像和性质
由于正整数指数函数的定义域
是正整数集N＋，所以用描点
法画正整数指数函数的图像时，
不能用平滑的曲线将各点连接
起来．也就是说，正整数指数
函数的图像是由一些____________组成的．
孤立的点(1)当底数a＞1时，正整数指数函数的图像是_________的；
(2)当底数0＜a＜1时，正整数指数函数的图像是_________的．
由此得出正整数指数函数的单调性：
上升下降(1)当底数a＞1时,正整数指数函数是___函数;
(2)当底数0＜a＜1时，正整数指数函数是
____函数．
想一想
y＝2x(x∈N＋)的单调增区间是N＋吗？
提示：不是 由于正整数指数函数的定义域是N＋，而N＋
不是区间，因此正整数指数函数虽然是单调函数，却没有单调区间．
增减做一做题型一 正整数指数函数的概念
若x∈N＋，判断下列函数是否是正整数指数函数，若是，指出其单调性．
【名师点睛】 根据函数的解析式判断是否为正整数指数函数时，关键是抓住正整数指数函数解析式的基本特征：ax前的系数必须是1，自变量x∈N＋，且x在指数位置上，底数a＞0，a≠1.
变式训练
1．若函数y＝(a2－3a＋3)·ax为正整数指数函数，则实数a的值为________．
解析：根据正整数指数函数解析式的结构特征，若函数y＝(a2－3a＋3)·ax为正整数指数函数，则ax的系数a2－3a＋3＝1，且底数
a＞0，a≠1.由此可知，实数a的值为2.
答案：2
题型二 正整数指数函数的图像与性质
(本题满分10分)在同一平面直角坐标系中，分别画出下列两组函数的图像，并分析底数的不同对函数的单调性和图像递增或递减快慢的影响．
(1)y＝2x，x∈N＋，与y＝3x，x∈N＋；
【思路点拨】 正整数指数函数的图像是由一些孤立的点组成的．由(1)(2)的图像可推广出正整数指数函数的底数对函数单调性的影响以及正整数指数函数随底数的增大，其图像改变快慢的问题．
【解】 两组函数的图像如下(为了便于辨认某点在哪一函数图像上，特用虚线将同一函数图像上的点连接)．
5分
由上图可以看出，对于正整数指数函数y＝ax(a＞0，a≠1，x∈N＋)，当a＞1时，底数a越大，图像上升的越快；
当0＜a＜1时，底数a越小，图像下降的越
快. 10分
【问题技巧】描点作图是常用的作图方法，根据图像研究函数的性质又是常用的研究函数的方法，其间用到数形结合的数学思想．
变式训练
2．比较下列各组幂值的大小(用“＞”或“＜”填空)．
(1)1.5819________1.5820；
(2)0.52012________0.52013.
解析：(1)考虑正整数指数函数y＝1.58x，x∈N＋.
∵1.58＞1，∴y＝1.58x在N＋上是增函数
又∵19＜20，∴1.5819＜1.5820.
(2)考虑正整数指数函数y＝0.5x，x∈N＋.
∵0＜0.5＜1，∴y＝0.5x在N＋上是减函数．
又∵2012＜2013，∴0.52012＞0.52013.
答案：＜ ＞
题型三 正整数指数函数的实际应用
某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的
84%.(1)写出这种物质的剩留量y随时间
x(x∈N＋)变化的函数关系式；(2)画出该函
数的图像；(3)说明该函数的单调性；(4)从图像上求出经过多少年，剩留量是原来的一
半．
【解】 (1)设这种物质最初的质量是1，经过x年，剩留量是y，由题意得
经过1年，剩留量y＝1×84%＝0.841；
经过2年,剩留量y＝1×84%×84%＝0.842；
……
一般地，经过x年，剩留量y随时间x变化的函数关系式为y＝0.84x(x∈N＋)．
(2)根据函数关系式列表如下：
用描点法画出指数函数y＝0.84x(x∈N＋)的图像，它的图像是由一些孤立的点组成的．
(3)通过计算和看图知道，随着时间的增加，剩留量在逐渐减少，该函数为减函数．
(4)从图上看出y＝0.5，只需x≈4.
即约经过4年，剩留量是原来的一半．
【思维总结】在实际生活中，增长率问题、降低率问题、复利问题、浓度问题等都是常见的正整数指数函数．
变式训练
3．一个蜂巢里有1只蜜蜂．第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出
去，各自找回了5个伙伴，…，如果找伙伴的过程这样继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有多少只蜜蜂？
解：设第n天共有yn只蜜蜂，则：
y1＝5＋1＝6，
y2＝6×5＋6＝62，
y3＝62×5＋62＝63
yn＝6n，
∴y6＝66＝46656，
∴第6天共有46656只蜜蜂．
1．比较下列几个幂.0.910,0.911,1.14,1.15,0.010的大小．
解:可先考察正整数指数函数y＝0.9x(x∈N＋),因为此函数是减函数，所以0.911＜0.910＜1;再考察正整数指数函数y＝1.1x(x∈N＋),因为此函数是增函数，所以1.15＞1.14＞1.因此0.911＜0.910＜0.010＜1.14＜1.15.
2．解不等式4x＞23－2x(x∈N＋)．方法技巧
根据正整数指数函数的解析式y＝ax(a＞0，a≠1，x∈N＋)的特征来判断，如果是正整数指数函数，那么根据底数与1的大小关系来确定其单调性．
失误防范
1．要注意正整数指数函数与幂函数y＝xa的区别：正整数指数函数解析式中的底数是常数，而幂函数解析式中的指数是常数．
2．正整数指数函数的值域不是[a，＋∞)，而是{a，a2，a3，…}．?
课件36张PPT。§2 指数扩充及其运算性质
学习导航
学习目标
重点难点
重点：幂的运算性质．
难点：无理数指数幂、分数指数幂的含义.
1．分数指数幂
给定正实数a，对于任意给定的整数m，n
(m，n互素)，存在唯一的正实数b，使得bn＝am，就把b叫作 ________________，记作_______________.它就是分数指数幂．
没有意义0由于有理数分为整数和分数，则引入分数指数幂的概念后，指数概念就实现了由整数指数幂向有理数指数幂的扩充．
想一想做一做 答案：A其中m，n∈N＋.
当a＞0，b＞0时，对任意实数m，n都满足上述性质，上述五条运算性质也可以归纳为三条：
(1)aman＝__________；(2)(am)n＝_______；(3)(ab)n＝__________.
am＋namnanbn3．无理数指数幂
对于无理数指数幂，我们可以从有理数指数幂来理解，由于无理数是无限不循环小数，因此可以取无理数的不足近似值和过剩近似值来无限逼近它．
一般来说，无理数指数幂ap(a＞0，p是一个无理数)是一个确定的实数．
由于实数分为有理数和无理数，则规定了无理数指数幂后，我们就把指数扩大为全体实数了．
做一做
题型一 分数指数幂与根式的转化
计算下列各式的值：
【思维总结】 解决本题的关键是理解分数指数幂的意义，根式是分数指数幂的另一种形式，将根式化为分数指数幂的形式是计算的前提．
变式训练题型二 指数幂的综合运算
计算下列各式．
【名师点睛】 进行指数运算时，要化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时还要注意运算顺序问题．
变式训练题型三 有关指数幂的条件求值
【思维总结】 巧妙地换元、整体代换、完全平方公式、立方和公式等是解这类题常用的方法和知识．
方法技巧
1．指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算；负指数幂化为正指数幂的倒数；底数是负数，先确定符号；底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．2．在分数指数幂运算中，既含有分数指数幂，又含有根式，应该把根式统一化为分数指数幂的形式，便于运算，如果根式中根指数不同，也应化为分数指数幂的形式．
失误防范
课件43张PPT。§3 指数函数学习导航
学习目标
重点难点
重点：指数函数的图像与性质．
难点：指数函数中底数a的变化对函数值变化的影响．
1．指数函数的概念
函数y＝ax(a＞0且a≠1，x∈R)叫作指数函
数，在这个函数中，自变量x出现在指数的位置上，底数a是一个大于0且不等于1的常量，函数的定义域是实数集R.
做一做
1.下列函数是指数函数的是( )
A．y＝(－3)x B．y＝－3x
C．y＝32x D．y＝2x＋1
解析：选C.32x＝(32)x＝9x是指数函数．
2．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1，x∈R)的图像与性质
(0,1)01y＞10＜y＜10＜y＜1y＞1增函数减函数非奇非偶做一做
2.函数y＝15x的图像是( )
解析：选B.x＝0，y＝1，且为增函数．
答案：D想一想题型一 与指数函数相关的定义域、值域问题
求下列函数的定义域和值域：
对于值域问题，一方面要考虑函数的定义域和单调性，另一方面还必须兼顾指数函数的值域是(0，＋∞)．一般地，对于y＝af(x)型函数，建议先求出f(x)的值域A，再画出y＝ax(x∈A)的草图和利用函数的单调性，就能很容易求出整个函数的值域．
变式训练题型二 有关指数不等式的求解
画出函数y＝|3x－1|的图像，并利用图像回答：k为何值时,方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？
【解】 函数y＝|3x－1|的图像如下(图中实线部分)．
由图可知，当k＜0时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图像无交点,即方程|3x－1|＝k无解;
当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图像有唯一的交点，即方程|3x－1|＝k有一解；
当0＜k＜1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图像有两个不同交点，即方程|3x－1|＝k有两解．
【思维总结】 方程根(x)的个数，就是两个函数图像交点的个数．
变式训练题型三 指数函数性质及应用
名师微博
【思维总结】 法一用单调性定义，法二是复合函数法，“同增异减”求值域时易丢掉“y＞0”．
题型四 有关指数不等式的求解
【名师点睛】 利用指数函数的单调性解不等式时，需将不等式两边的数凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小关系．
变式训练
3．比较下列各题中两个数的大小：
(1)1.72.5 ,1.73；(2)2.3－0.28 ,0.67－3.1；(3)a1.3，a2.5(a＞0且a≠1)．
解：(1)由于1.72.5与1.73的底数都是1.7，故可以构造函数y＝1.7x，则函数y＝1.7x是R上的增函数，又2.5＜3，所以1.72.5＜1.73.
(2)由指数函数的性质知：2.3－0.28＜2.30＝1,0.67－3.1＞0.670＝1，所以2.3－0.28＜0.67－3.1.
(3)当0＜a＜1时,函数y＝ax是R上的减函数，此时a1.3＞a2.5；当a＞1时，函数y＝ax是R上的增函数，此时a1.3＜a2.5.
综上所述，当0＜a＜1时，a1.3＞a2.5；当a＞1时，a1.3＜a2.5.
1．函数y＝a2x＋2ax－1(a＞0，a≠1)在区间
[－1,1]上有最大值14，求a的值．
解：y＝(ax)2＋2ax－1＝(ax＋1)2－2，
令ax＝t，则y＝(t＋1)2－2，对称轴为t＝－1.
①当a＞1时，已知－1≤x≤1，
方法技巧
1．指数幂ax和1的比较：
当x＜0,0＜a＜1或x＞0，a＞1时，ax＞1，即指数x和0比较，底数a和1比较，当不等号的方向相同时，ax大于1，简称为“同大”．
当x＜0，a＞1或x＞0,0＜a＜1时,0＜ax＜1，即指数x和0比较,底数a和1比较,当不等号的方向相反(异)时,ax小于1,简称为“异小”．
因此简称为“同大异小”．
2．设a＞b＞1＞c＞d＞0，则y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图像如图所示，从图中可以看出：在y轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小，在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．
3．比较指数幂的大小时，通常有以下几种方法：当幂式的底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较，当底数中含有字母时要注意分类；若幂式的底数不同而指数相同时，可以根据指数函数的图像随底数的变化规律，利用图像进行比较；若底数不同且幂指数也不同时,则需要引入中间量进行比较,
中间量可以是幂式，使它与其中一个底数相同而与另外一个指数相同，或用0、1作为中间量．失误防范
1．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)解析式的结构特征：
①底数：大于零且不等于1的常数；
②指数：自变量x；
③系数：1.
指数函数解析式的结构的三个特征是判断函数是否为指数函数的三个标准，缺一不可．
课件32张PPT。§4 对 数
4．1 对数及其运算
学习导航
学习目标
重点难点
重点难点 重点：对数的概念及运算性质．
难点：指数式与对数式的互化，对数性质的应用．
1．对数的概念
(1)定义：一般地，如果ab＝N(a＞0，且
a≠1)，那么数b叫作以a为底N的________，
记作b＝______________，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．
(2)指数式与对数式的关系
对数logaN底数指数幂底数对数2.两种特殊的对数
(1)以10为底的对数叫作________________，简记为lgN.常用对数(2)以无理数e＝2.71828…为底数的对数叫作____________，简记为lnN.
3．对数的基本性质
(1)零和负数_________对数；
(2)alogaN＝______ (a＞0，a≠1)；
(3)loga1＝______ (a＞0，a≠1)；
(4)logaa＝________ (a＞0，a≠1)．
自然对数没有N01做一做
1.3b＝5化为对数式是( )
A．logb3＝5 B．log35＝b
C．log5b＝3 D．log53＝b
解析：选B.底数不变，幂值为对数的真数，指数为对数值．
2．log117＝x化为指数式是( )
A．7x＝11 B．11x＝7
C．x7＝11 D．x11＝7
答案：B
4．对数的运算性质
如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则：
(1)loga(MN)＝________________；(2)logaMn＝____________________ (n∈R)；logaM＋logaNnlogaMlogaM－logaN做一做答案：A
4．lg2＋lg5＝________.
解析：lg2＋lg5＝lg2×5＝lg10＝1.
答案：1
题型一 指数式与对数式的互化
利用指数式、对数式的互化求下列各式中的x.
【思路点拨】 将对数式与指数式互化即可得解．
【名师点评】(1)在指数式ab＝N中，若已知
a，N，求幂指数b，便是对数运算b＝logaN.
题型二 对数基本性质的应用
求下列各式中x的值．
(1)log2(log4x)＝0；
(2)log3(lgx)＝1；
【解】(1)∵log2(log4x)＝0，∴log4x＝20＝1.
∴x＝41＝4.
【名师点睛】 利用“底数”和“1”的对数的值为“1”和“0”，有利于化简和计算．
变式训练
1．求下列各式的值．
(1)71＋log75；(2)alogab·blogbc(a，b为不等于1的正数，c＞0)；(3)log22log21；(4)log5(lg10)．
解：(1)原式＝7·7log75＝7×5＝35；
(2)原式＝bc；
(3)原式＝log220＝log21＝0；
(4)原式＝log51＝0.
题型三 对数运算性质的应用
计算下列各式的值：
【思路点拨】逆用、正用对数的运算性质，把真数逐渐变小．
【思维总结】 对于同底的对数的化简，常用方法是：
(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数．
(2)“拆”,将积(商)的对数拆成对数的和(差).
解：由已知可得lg(MN)＝lg(M－2N)2，
故得MN＝(M－2N)2，
整理得M2－5MN＋4N2＝0，
即(M－N)(M－4N)＝0.
2．(1)已知log567＝a，计算log568和log5698的值；
(2)已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，lgx＝－2＋0.7781，求x.
方法技巧
1．对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式与指数形式的互化又是解决问题的重要手段．
失误防范
1．在使用对数的运算性质时，应注意各个字母的取值范围：
a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，尤其是M，N都是正数这一条件，否则M，N中有一个小于或等于0，就导致logaM或logaN无意义，另外还要注意M＞0,N＞0与M·N＞0并不等价.
例如lg[(－2)×(－3)]存在，但lg(－2)、lg(－3)不存在，lg(－10)2存在，而2lg(－10)不存在等，因此不能得出lg[(－2)×(－3)]＝lg(－2)＋lg(－3)，lg(－10)2＝2lg(－10)．
2．运用对数的运算性质，可进行对数式的化简求值问题，但要防止出现下面的错误：
loga(M±N)＝logaM±logaN；loga(M＋N)＝logaM·logaN；
课件27张PPT。4．2 换底公式学习导航
学习目标
重点难点
重点：换底公式的特征．
难点：用换底公式进行对数式的化简求值．
对数换底公式
logbN＝_______(a，b＞0，a，b≠1，N＞0).
想一想
1.logab与logba(a＞0，a≠1，b＞0，b≠1)有什么关系？
做一做 2．log47·log74等于( )
A．0 B．1
C．4 D．7
想一想
2.(logab)·(logbc)·(logca)(a，b，c＞0且a，b，c≠1)的值是多少？
题型一 用换底公式求对数式的值
计算：(1)log1627log8132；
(2)(log32＋log92)(log43＋log83)．
【思维总结】 求对数式的值时，若底数不同，可用换底公式化为同底，再利用对数运算性质计算．变式训练
1．计算(log2125＋log425＋log85)(log52＋
log254＋log1258)．
题型二 用已知对数表示其它对数
已知log189＝a,18b＝5，试用a，b表示log3645.
【名师点睛】 求条件对数式的值，可从条件入手，从条件中分化出要求的对数式，进行求值；也可从结论入手，转化成能使用条件的形式；还可同时化简条件和结论，直到找到它们之间的联系．
变式训练题型三 利用对数求值
【思路点拨】 把a，b用对数形式表示后，转化为对数的运算求值．
【解】法一：由3a＝4b＝36，得log336＝a，log436＝b，……2分
【名师点评】 解答带有附加条件的对数式求值问题，通常需要指数式与对数式互化或对等式两边取对数等，但要注意对底数的合理选取及化同底．
变式训练
1．已知f(3x)＝4xlog23＋234，则f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)的值等于________．
解析：令t＝3x，则x＝log3t，
∴f(t)＝4log3t·log23＋234
答案：2016
2．设x，y，z∈(0，＋∞)，且3x＝4y＝6z，比较3x,4y,6z的大小．
方法技巧失误防范
要注意对数换底公式的特征：一个对数换为两个同底的对数的商，而不是商的对数．要保证对数有意义，如：
log(－2)2(－3)4直接化为2log(－2)(－3)显然是无意义的．
课件36张PPT。§5 对数函数
5．2 对数函数y＝log2x的图像和性质
学习导航
学习目标
重点难点
重点：对数函数的概念及y＝log2x的图像性质．
难点：y＝ax与y＝logax互为反函数的关系．1．对数函数的概念
做一做
1.下列为对数函数的是( )
A．y＝log1x B．y＝3log21x
C．y＝log19(x＋1) D．y＝log32x
答案：D
2．函数y＝log22x的定义域、值域分别是
( )A．(0，＋∞)，(0，＋∞)
B．R，(0，＋∞)
C．(0，＋∞)，R
D．(0，＋∞)，[1，＋∞)
解析：选C.y＝log22x＝log22＋log2x＝1＋log2x，x＞0，y∈R.
2．反函数的概念
通常情况下，x表示自变量，y表示函数，所以对数函数应该表示为y＝logax(a＞0，a≠1),指数函数表示为y＝ax(a＞0，a≠1)，因此，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)是对数函
数y＝logax(a＞0，a≠1)的________;同时,对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)也是指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的反函数．
反函数想一想
y＝log2x、x＝2y,y＝2x图像之间有什么关系？
提示：y＝log2x与x＝2y的数量关系是相同的,图像是一致的．
y＝log2x与y＝2x是一对互为反函数，图像关于y＝x对称，都是增函数．
做一做
3．函数y＝log2x的图像与性质
R＞＜增函数做一做
4.(2010·高考四川卷)函数y＝log2x的图像大致是( )
答案：C
5．已知函数f(x)＝log2x，则( )
答案：A
题型一 对数函数的定义域
求下列函数的定义域：
(1)y＝loga(9－x)(a＞0，a≠1);(2)y＝log(x－1)
(3－x)．
【误区警示】 解答本题(2)时易出现定义域为(1,3)的错误， 出现错误的原因是忽略了底数x－1不能为1，故x≠2.
变式训练
题型二 求函数的反函数
写出下列函数的反函数：
【名师点睛】 解题时，求出反函数的解析式后，容易忽视标明定义域，这一点一定要注意，通过求出原来函数的值域来标明反函数的定义域．
变式训练解：根据指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)互为反函数来判
断．(2)和(3)组是，
因为它们的定义域、值域互换，对应法则互换，符合y＝ax和y＝logax的关系；
(1)和(4)组不是，不符合y＝ax和y＝logax的关系．
题型三 函数y＝log2x的图像与性质
(本题满分10分)根据函数f(x)＝log2x的图像和性质解决以下问题．
(1)若f(a)＞f(2)，求a的取值范围；
(2)y＝log2(2x－1)在x∈[2,14]上的最值；
(3)求函数y＝log2(2x－1)的图像所过的定点坐标．
【思路点拨】 根据单调性求解(1)(2)，根据y＝log2x的定点(1,0)，求(3)的定点．
【解】 函数y＝log2x的图像如图．
3分
(1)因为y＝log2x是增函数，
若f(a)＞f(2)，即log2a＞log22，则a＞2.
所以a的取值范围为(2，＋∞).5分
(2)∵2≤x≤14，
∴3≤2x－1≤27，
∴log23≤log2(2x－1)≤log227.
∴函数y＝log2(2x－1)在x∈[2,14]上的最小值为log23，
最大值为log227.8分
(3)令2x－1，∴x＝1，∴y＝0，
∴y＝log2(2x－1)过定点(1,0).10分
名师微博
把(2x－1)当作整体，是一个真数、关键点.
【思维总结】 解这类题的关键是理解y＝log2x图像性质．
变式训练
2．函数y＝(0.2)－x＋1的反函数是( )
A．y＝log5x＋1(x＞0)
B．y＝logx5＋1(x＞0且x≠1)
C．y＝log5(x－1)(x＞1)
D．y＝log5x－1(x＞0)
解析：选C.y＝(0.2)－x＋1＝5x＋1的反函数应是先用原函数式中的y表示x，即x＝log5(y－1)，再将x，y互换可得y＝log5(x－1)．
方法技巧
1．对数函数的解析式同时满足：
(1)对数符号前面的系数是1；
(2)对数的底数是不等于1的正实数常数；
(3)对数的真数仅有自变量x，才可为对数函数．
2．当函数y＝f(x)存在反函数时，求反函数一般遵循以下步骤：
(1) 求y＝f(x)的值域；
(2) 由y＝f(x)解出x＝f－1(y)；
(3)将x＝f－1(y)中的x与y互换位置，得
y＝f－1(x)；
(4)由y＝f(x)的值域|,确定y＝f－1(x)的定义域.
失误防范课件42张PPT。5．3 对数函数的图像和性质学习导航
学习目标
重点难点
重点：对数函数y＝logax的图像性质．
难点：对数函数图像的变化及应用，指数函数与对数函数之间的关系．
对数函数的图像和性质
研究对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的图像
和性质，底数要分为_________和_________两种情况，如下表：
a＞10＜a＜1(0，＋∞)R(1,0)0＞0＜x＜1＞0＜x＜1想一想
1.函数y＝ax与y＝logax(a＞0，a≠1)的图像是什么关系？
提示：y＝ax与y＝logax互为反函数，其图像关于y＝x对称．
想一想
做一做
1.函数y＝logax＋1(a＞0，a≠1)的图像过定点( )
A．(1,1) B．(1,0)
C．(0,1) D．(0,0)
解析：选A.当x＝1时，y＝1.
解析：选D.使函数有意义，需log2x－2≥0，即log2x≥2＝log24，∴x≥4.
3．当0＜a＜1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图像是( )
题型一 比较对数值的大小
比较大小．
(1)log23.4，log28.5；(2)log0.31.8，log0.32.7；
(3)log67，log76；(4)log3π，log20.8；(5)log712，log812.
【解】 (1)考查对数函数y＝log2x，
∵2＞1，∴它在(0，＋∞)上是增函数．
∴log23.4＜log28.5.
(2)考查对数函数y＝log0.3x，
∵0＜0.3＜1，
∴它在(0，＋∞)上是减函数，
∴log0.31.8＞log0.32.7.
(3)∵log67＞log66＝1，log76＜log77＝1，
∴log67＞log76.
(4)∵log3π＞log31＝0，log20.8＜log21＝0，
∴log3π＞log20.8.
(5)在同一坐标系中作出函数y＝log7x与y＝log8x的图像，如图，由底数
变化对图像位置的影响知：
log712＞log812.
【方法小结】 (1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接判断；
(2)若底数不同，真数相同，则可用换底公式化为同底，再进行比较；
(3)若底数、真数都不相同，则常借助1,0等中间量进行比较．
变式训练
1．比较下列各组中两个值的大小；
(1)log31.9，log32；
(2)log23，log0.32；
(3)logaπ，loga3.141.
解：(1)(单调性法)因为y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，所以log31.9＜log32.
(2)(中间量法)因为log23＞log21＝0,log0.32＜0,
所以log23＞log0.32.
(3)(分类讨论)当a＞1时，函数y＝logax在定义域上是增函数，则有logaπ＞loga3.141；
当0＜a＜1时，函数y＝logax在定义域上是减函数，则有logaπ＜loga3.141.
综上所得，当a＞1时，logaπ＞loga3.141；
当0＜a＜1时，logaπ＜loga3.141.
题型二 对数函数的图像
作出函数y＝log2|x＋1|的图像，由图像指出函数的单调区间，并说明它的图像可由y＝log2x的图像经过怎样变换而得到．
【解】作出函数y＝log2x的图像，将其关于y轴对称得到函数y＝log2|x|的图像的另一分支曲线，再将整个图像向左平移1个单位长度就得到函数y＝log2|x＋1|的图像,如图所示：
由图可得函数y＝log2|x＋1|
的递减区间为(－∞，－1)，
递增区间为(－1，＋∞)．
【名师点评】 由y＝logax到y＝loga(x＋h)是平移变换，由y＝logax到y＝loga|x|是对称变换，有对称又有平移时，先对称再平移．
变式训练题型三 有关对数不等式【误区警示】 对数不等式切记不要漏掉定义域．变式训练
题型四 对数函数性质的综合应用
名师微博
一定要总结噢！不然要失分.变式训练
解：(1)由－x2＋2x＋8＞0，得x2－2x－8＜0,－2＜x＜4，画u＝－x2＋2x＋8的图像，如图甲所示，由图像知u∈(0,9]．
2．若函数y＝lg(x2＋2x＋a2)的值域为R，求实数a的取值范围．
解：已知函数y＝lg(x2＋2x＋a2)的值域为R,
令u(x)＝x2＋2x＋a2，则其值域为(0，＋∞),
于是方程x2＋2x＋a2＝0一定有实根，
因此，由Δ≥0，即22－4a2≥0，解得a2≤1，即－1≤a≤1，故a的取值范围是[－1,1]．
3．求下列函数的单调区间．
(1)y＝log0.3(x2－2x－8)；
(2)y＝(log0.4x)2－2log0.4x＋2.
解：(1)令t＝x2－2x－8，则y＝log0.3t在(0，＋∞)上单调递减，
由t＝x2－2x－8＞0作出
t＝x2－2x－8的图像,如图．
得x＜4，或x＜－2，
而t＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，在
(－∞，－2)上单调递减．
∴函数y＝log0.3(x2－2x－8)的单调增区间为
(－∞，－2)，单调减区间为(4，＋∞)．
(2)令t＝log0.4x，则它在(0，＋∞)上单调递
减，∴y＝t2－2t＋2＝(t－1)2＋1在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1]上单调递减，
∵由t＝log0.4x≥1，得0＜x≤0.4，
由t＝log0.4x≤1，得x≥0.4.
∴所求函数的递增区间为[0.4，＋∞)，递减区间为(0,0.4]．
方法技巧
1．对数函数的底数的大小决定了图像相对位置的高低，在第一象限内，自左向右，图像对应的对数函数的底数逐渐变大．
即b＞a＞1＞d＞c.
2．形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．
3．形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解．
失误防范
1．研究对数函数要做到“定义域优先”，如解不等式，研究单调性等．
如y＝log2(x2－1)增区间为(1，＋∞)，而不是(0，＋∞)．
2．研究对数函数性质，要注意底数的取值是(1，＋∞)还是(0,1)；否则要讨论．
课件36张PPT。§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
?
学习导航
学习目标
重点难点
重点：指数函数、对数函数、幂函数、直线增长的含义．
难点：三种增长函数模型的应用．
三种函数的增长趋势
当a＞1时，指数函数y＝ax是_________，并且当a越____时， 其函数值的增长就越快．
当a＞1时，对数函数y＝logax是_______，并且当a越_____时，其函数值的增长就越快．增函数大增函数小当x＞0，n＞1时，幂函数y＝xn显然也是
__________，并且当n越_______时，其函数值的增长就越快．
由于指数函数值增长非常快，人们常称这种现象为“指数爆炸”．
增函数大想一想
由于指数函数值增长非常快，所以对于x∈R都是2x＞x2，对吗？
提示：不对．y＝2x与y＝x2的图像有交叉现象，只有当x＞4时，才有2x＞x2成立．
做一做
1.当a＞1时，下列结论：
①指数函数y＝ax，当a越大时，其函数值的增长越快；
②指数函数y＝ax，当a越小时，其函数值的增长越快；
③对数函数y＝logax，当a越大时，其函数值的增长越快；
④对数函数y＝logax，当a越小时，其函数值的增长越快．
其中正确的结论是( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
答案：B
2．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的是( )
A．y＝2x B．y＝x10
C．y＝lgx D．y＝10x2
答案：A
题型一 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
关于x呈指数型函数变化的变量是______．
【解析】指数型函数呈“爆炸式”增长．
从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，变量y4的值越来越小，但是减小的速度很慢，故变量y4关于x不呈指数型函数变化；而变量y1，y2，y3的值都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快,画出它们的图像(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化，故填y2.
【答案】 y2
【点师点睛】 三种递增函数中，当自变量充分大时，指数函数的函数值最大，但必须是自变量的值达到一定程度．因此判断一个增函数是否为指数型函数时，要比较自变量增加到一定程度时，自变量增加相同的量，函数值的增长量是否为最大，若是，则这个函数就可能是指数型函数．
变式训练
1．三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：
则关于x分别呈对数型函数，指数型函数，幂函数型函数变化的变量依次为( )
A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3
C．y3，y2，y1 D．y1，y3，y2
解析：选C.通过指数型函数，对数型函数，幂函数型函数的增长规律比较可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；
指数型函数的增长是爆炸式增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数型函数的增长速度越来越快，y1随x的变化符合此规律,故选C.题型二 比较大小问题
比较下列各组数的大小．
【方法小结】 解决这类题目的关键在于构造适当的函数，若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；若指数不同底数相同，则考虑指数函数；若底数不同，指数也不同，需引入中间量,利用幂函数与指数函数的单调性,也可以借助幂函数与指数函数的图像．
变式训练
2．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x,当2＜x＜4时,有( )
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3
C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y3＞y1
解析：选B.在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2x，y＝x2，y＝log2x的图像(图略)，在区间(2,4)上从上往下图像依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x，所以y2＞y1＞y3.
题型三 几种增长函数模型的应用
(本题满分12分)某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(万元)随销售利润x(万元)的增加而增加，但奖励总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司要求？
【解】 借助计算器或计
算机作出函数y＝5，
y＝0.25x，y＝log7x＋1，
y＝1.002x的图像如图所示：
观察图像发现，在区间[10,1000]上模型y＝0.25x，y＝1.002x的图像都有一部分在y＝5的上方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励才能符合公司要求，下面通过计算确认上述判断．
对于模型y＝0.25x，它在区间[10，1000]上是单调递增的，当x∈(20，1000]时，y＞5，因此该模型不符合要求. ……………5分
对于模型y＝1.002x，利用计算器，可知
1.002806≈5.005，由于y＝1.002x是增函数，
故当x∈(806,1000]时，y＞5，因此，也不符
合题意. 6分
对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10,1000]上
单调递增且当x＝1000时，y＝log71000＋
1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过
5万元的要求. 8分
再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，奖金是否
超过利润x的25%，即当x∈[10,1000]时，利
用计算器或计算机作f(x)＝log7x＋1－0.25x
的图像，由图像可知f(x)是减函数，因此f(x)
＜f(10)≈－0.3167＜0，即log7x＋1＜0.25x.
10分
所以当x∈[10,1000]时，y＜0.25x.这说明，按模型y＝log7x＋1奖励不超过利润的
25%. 11分
综上所述，模型y＝log7x＋1确实符合公司要
求. 12分
【思维总结】 借助函数图像，研究它们的变化是这类题的常用方法．
变式训练
3．18世纪70年代，德国科学家提丢斯发现金星、地球、火星、木星、土星离太阳的平均距离(天文单位)如下表所示：
他研究行星排列规律后预测在火星
与木星之间应该有一颗大的行星，
后来果然发现了一颗谷神星，但不
算大行星，它可能是一颗大行星爆
炸后的产物．请你推测谷神星的位置，在土星外面是什么星？它与太阳的距离大约是多少？
1．试比较函数y＝x100，y＝5x，y＝log5x的增长情况．
解：三个函数中，y＝log5x增长的速度要比y＝x100和y＝5x增长的速度慢得多，且y＝log5x增长得越来越慢，图像几乎渐渐与x轴平行;而y＝x100和y＝5x，当x比较小时，y＝x100要比y＝5x增长得快，但当x逐渐增大，增大到一定程度后，y＝5x要比y＝x100增长得快．
2．某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：
(1)写出该城市人口总数y(万人)与年数x(年)的函数关系式；
(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；
(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年)．
(1.01210＝1.127,1.01215＝1.196,1.01216＝1.210)
解：(1)1年后该城市人口总数为：
y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)．
2年后该城市人口总数为：
y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%
＝100×(1＋1.2%)2.
3年后该城市人口总数为：
y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2
×1.2%
＝100×(1＋1.2%)2×(1＋1.2%)
＝100×(1＋1.2%)3.
…
x年后该城市人口数为：
y＝100×(1＋1.2%)x(x∈N＋)．
(2)10年后该城市的人口数为100×(1＋1.2%)10≈112.7(万人)．
(3)设x年后该城市人口将达到120万人，
即100×(1＋1.2%)x＝120，
x＝log1.0121.20≈16(年)．
因此，大约16年以后该城市人口将达到120万人．
方法技巧
选择增长型函数描述实际问题的标准是：指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；而幂函数增长模型介于两者之间，适合于描述增长速度一般的变化规律．
失误防范
1．函数模型应用不当，是常见的解题错误.所以，应正确理解题意，选择适当的函数模型．
2．要特别关注实际问题的自变量的取值范
围，合理确定函数的定义域．
3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必
须验证这个数学解对实际问题的合理性．
