第7讲 正比例函数
知识点1 正比例函数的概念
正比例函数：一般地，形如（为常数， ）的函数叫做正比例函数，其中是自变量，是因变量，是的函数.
【典例】
1.下列各选项中的y与x的关系为正比例函数的是（ ）
A. 正方形周长y（厘米）和它的边长x（厘米）的关系
B. 圆的面积y（平方厘米）与半径x（厘米）的关系
C. 如果直角三角形中一个锐角的度数为x，那么另一个锐角的度数y与x间的关系
D. 一棵树的高度为60厘米，每个月长高3厘米，x月后这棵的树高度为y厘米
2.已知，如果y是x的正比例函数，求m的值.
【方法总结】
1.判断某两个变量之间的关系是否是正比例函数，只需要根据已知条件列出等量关系，用一个变量表示另一个变量，看它们是否符合正比例函数的一般式.
2.已知一个正比例函数求字母的值，只需要令未知数的次数等于1，且它前面的系数不等于0，即可求得字母的值.
【随堂练习】
1．（2019春 迁安市期末）若关于的函数是正比例函数，则，应满足的条件是
A．且 B．且 C． D．
2．（2019 曲靖模拟）若是正比例函数，则的值是
A．0 B． C．2 D．
3．（2019春 开福区校级月考）若函数为常数）是正比例函数，则的值为
A． B． C． D．
4．（2019春 呼兰区校级期末）若函数为常数）是正比例函数，则的值是 ．
知识点2 正比例函数的图象与性质
正比例函数（为常数， ），必过（0，0）点，且它的图象是一条直线.
当时，图象过一、三象限，随的增大而增大；
当时，图象过二、四象限，随的增大而减小.
注：由于正比例函数的图象是一条直线，根据两点确定一条直线可知，画正比例函数图象时，只需要找两个点即可.
【典例】
1.画出下列函数图象，并写出函数性质：
（1）；（2）．
2.已知函数，，， ．
（1）在同一坐标系内画出函数的图象．
（2）探索发现：
观察这些函数的图象可以发现，随|k|的增大直线与轴的位置关系有何变化？
（3）灵活运用
已知正比例函数，在同一坐标系中的图象如图所示，则与的大小关系为____________．
【方法总结】
1.掌握正比例函数的性质，能根据k的值确定图象经过的象限，也能够根据图象经过的象限来判断k的值；
2.掌握正比例函数的增减性和k值之间的关系，即当时，图象过一、三象限，随的增大而增大；当时，图象过二、四象限，随的增大而减小.
3.比较同一直角坐标系中不同直线对应的值的大小时，只需比较每条直线与轴所夹锐角的大小，锐角越大，越大，分别确定一、三象限中的大小和二、四象限中的大小，再按照“一、三象限的值>二、四象限的值”将值的大小进行最终排序.
【随堂练习】
1．（2018秋 临安区期末）在同一坐标系中，函数与的图象大致是
A． B．
C． D．
2．（2019春 永年区期末）定义运算为：如：，则函数的图象大致是
A． B．
C． D．
3．（2019 城步县模拟）正比例函数的图象大致是
A． B．
C． D．
4．（2019春 河东区期末）下列函数中，随的增大而减小的函数是
A． B． C． D．
5．（2018秋 秦淮区校级期末）设，表示，两个数中的最大值，例如，，，，则关于的函数，可以是
A． B．
C． D．
6．（2019 鄠邑区校级三模）如果正比例函数的图象经过第二、四象限，那么一次函数的图象经过
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限
7．（2019春 洛南县期末）关于正比例函数，下列结论正确的是
A．图象不经过原点 B．随的增大而增大
C．图象经过第二、四象限 D．当时，
8．（2019 莲湖区模拟）正比例函数的自变量取值增加2，函数值就相应减少2，则的值为
A．2 B． C． D．4
二．填空题（共3小题）
9．（2019春 武安市期末）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，，依次进行下去，则点的坐标为 ，点的坐标为 ．
10．（2019 本溪）函数的图象经过的象限是 ．
11．（2019 静安区二模）已知正比例函数，那么的值随的值增大而 ．（填“增大”或“减小”
三．解答题（共1小题）
12．（2019 沙坪坝区校级三模）小岚根据学习函数的经验，对一个未知函数的图象与性质进行了探究．
已知：，其中，与成一次函数关系，当时，；当时，．
（1）根据给定的条件，求与的函数关系式；
（2）写出函数与合适的几组对应值，并根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点并画出函数图象：
2
（3）结合画出的函数图象，解决问题：直接写出关于的方程的实数解为 （结果保留一位小数）．
知识点3 正比例函数的解析式
由于正比例函数（为常数，≠0 ）中只有一个待定系数，故只要有一对，的值或一个非原点的点，就可以求得值.
【典例】
1．（2017秋 常熟市校级期中）若y=y1+y2且y1与x成正比例，y2与（x﹣3）成正比例，当x=1时y=3，当x=﹣1时y=9，当x=3时y的值．
2．（2018春 廉江市期末）已知：如图，正比例函数y=kx的图象经过点A，
（1）请你求出该正比例函数的解析式；
（2）若这个函数的图象还经过点B（m，m+3），请你求出m的值；
（3）请你判断点P（﹣，1）是否在这个函数的图象上，为什么？
【方法总结】对于求正比例函数的解析式，如果没有给出表达式，首先要设解析式的为y=kx这种形式，然后需要代入一个点的坐标即可求出k的值，如果指出y与x成正比例函数关系，也只的是y=kx。
【随堂练习】
1．（2019春 端州区期末）已知正比例函数图象经过点，则该函数的解析式为 ．
2．（2019春 禄劝县期末）若点是正比例函数图象上的点，则此正比例函数的解析式为 ．
3．（2019春 黄冈期末）正比例函数图象经过，则这个正比例函数的解析式是 ．
4．（2018秋 奉化区期末）已知一个正比例函数的图象经过点，则这个正比例函数的表达式是 ．
5．（2018 甘孜州）如图，在平面直角坐标系中，有一个由六个边长为1的正方形组成的图案，其中点，的坐标分别为，．若过原点的直线将这个图案分成面积相等的两部分，则直线的函数解析式为 ．
综合运用
1．（2016秋 宜兴市校级月考）已知y=y1+y2，其中y1与x成正比例，y2与x﹣2成正比例．当x=﹣1时，y=2；当x=3时，y=﹣2．求y与x的函数关系式，并画出该函数的图象．
2．（2018 昭平县一模）y=x，下列结论正确的是（ ）
A．函数图象必经过点（1，2）
B．函数图象必经过第二、四象限
C．不论x取何值，总有y＞0
D．y随x的增大而增大
3．（2017 曲江区模拟）已知正比例函数y=（m﹣1）x，若y的值随x的增大而增大，则点（m，1﹣m）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2018春 廉江市期末）若正比例函数y=（m﹣1）x，y随x的增大而减小，则m的值是______．
5．（2017春 南岸区期末）设min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．例如min{0，1}=0．min{4，3，2}=2，则关于x的函数y=min{2x，x+3}可以表示为（ ）
A．y=2x
B．y=x+3
C．当x＞3时，y=2x；当x＜3时，y=x+3
D．当x＜3时，y=2x；当x＞3时，y=x+3
9第7讲 正比例函数
知识点1 正比例函数的概念
正比例函数：一般地，形如（为常数， ）的函数叫做正比例函数，其中是自变量，是因变量，是的函数.
【典例】
1.下列各选项中的y与x的关系为正比例函数的是（ ）
A. 正方形周长y（厘米）和它的边长x（厘米）的关系
B. 圆的面积y（平方厘米）与半径x（厘米）的关系
C. 如果直角三角形中一个锐角的度数为x，那么另一个锐角的度数y与x间的关系
D. 一棵树的高度为60厘米，每个月长高3厘米，x月后这棵的树高度为y厘米
【答案】A.
【解析】解：A选项，根据“正方形的周长=边长×4”可得，y=4x，符合正比例函数的解析式，所以正方形周长y（厘米）和它的边长x（厘米）的关系成正比例函数，故本选项正确；
B选项，根据“圆的面积=πr2”可得， y=πx2，不符合正比例函数的一般式，则y与x不是正比例函数关系，故本选项错误；
C选项，根据“直角三角形的两个锐角互余”可知，x+y=90，即y=90﹣x，不符合正比例函数的一般式，则y与x不是正比例函数关系，故本选项错误；
D选项，根据“树高=60+月份数×3”可得， y=3x+60，不符合正比例函数的一般式，则y与x不是正比例函数关系，故本选项错误.
故选：A．
2.已知，如果y是x的正比例函数，求m的值.
【答案】略
【解析】解：由正比例函数的定义可得： 且，
且，
∴且且，
综合可得．
【方法总结】
1.判断某两个变量之间的关系是否是正比例函数，只需要根据已知条件列出等量关系，用一个变量表示另一个变量，看它们是否符合正比例函数的一般式.
2.已知一个正比例函数求字母的值，只需要令未知数的次数等于1，且它前面的系数不等于0，即可求得字母的值.
【随堂练习】
1．（2019春 迁安市期末）若关于的函数是正比例函数，则，应满足的条件是
A．且 B．且 C． D．
【解答】解：关于的函数是正比例函数，
，．
解得，．
故选：．
2．（2019 曲靖模拟）若是正比例函数，则的值是
A．0 B． C．2 D．
【解答】解：由正比例函数的定义可得：，
解得：．
故选：．
3．（2019春 开福区校级月考）若函数为常数）是正比例函数，则的值为
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意得：，
解得：．
故选：．
4．（2019春 呼兰区校级期末）若函数为常数）是正比例函数，则的值是 1 ．
【解答】解：依题意得：且．
解得．
故答案是：1．
知识点2 正比例函数的图象与性质
正比例函数（为常数， ），必过（0，0）点，且它的图象是一条直线.
当时，图象过一、三象限，随的增大而增大；
当时，图象过二、四象限，随的增大而减小.
注：由于正比例函数的图象是一条直线，根据两点确定一条直线可知，画正比例函数图象时，只需要找两个点即可.
【典例】
1.画出下列函数图象，并写出函数性质：
（1）；（2）．
【答案】略．
【解析】解：（1）
①列表：
②描点：
③连线：
由函数图象可知，函数图象经过第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而增大；
（2）
①列表：
②描点：
③连线：
由函数图象可知，函数图象经过第二四象限，在每一象限内，y随x的增大而减小．
2.已知函数，，， ．
（1）在同一坐标系内画出函数的图象．
（2）探索发现：
观察这些函数的图象可以发现，随|k|的增大直线与轴的位置关系有何变化？
（3）灵活运用
已知正比例函数，在同一坐标系中的图象如图所示，则与的大小关系为____________．
【答案】略
【解析】解：（1）如图，在同一直角坐标系里画出
（2）观察这些函数的图象可以发现，随着的增大，直线与轴所夹的锐角越大．
（3）由（2）的规律可知，越大，则它所对应的直线与轴所夹的锐角越大，
观察图象可知，直线与轴所夹的锐角大于直线与轴所夹的锐角，
∴，
又∵两条直线都经过二、四象限，
∴，
∴，
故答案为．
【方法总结】
1.掌握正比例函数的性质，能根据k的值确定图象经过的象限，也能够根据图象经过的象限来判断k的值；
2.掌握正比例函数的增减性和k值之间的关系，即当时，图象过一、三象限，随的增大而增大；当时，图象过二、四象限，随的增大而减小.
3.比较同一直角坐标系中不同直线对应的值的大小时，只需比较每条直线与轴所夹锐角的大小，锐角越大，越大，分别确定一、三象限中的大小和二、四象限中的大小，再按照“一、三象限的值>二、四象限的值”将值的大小进行最终排序.
【随堂练习】
1．（2018秋 临安区期末）在同一坐标系中，函数与的图象大致是
A． B．
C． D．
【解答】解：根据图象知：第二个函数一次项系数为正数，故图象必过一、三象限，而必过一三或二四象限，
、，．解集没有公共部分，所以不可能，故此选项错误；
、，．解集有公共部分，所以有可能，故此选项正确；
、正比例函数的图象不对，所以不可能，故此选项错误；
、正比例函数的图象不对，所以不可能，故此选项错误．
故选：．
2．（2019春 永年区期末）定义运算为：如：，则函数的图象大致是
A． B．
C． D．
【解答】解：※，
时，图象是的正比例函数中轴右侧的部分；时，图象是的正比例函数中左侧的部分，
故选：．
3．（2019 城步县模拟）正比例函数的图象大致是
A． B．
C． D．
【解答】解：因为正比例函数，
所以正比例函数的图象在第一、三象限，
故选：．
4．（2019春 河东区期末）下列函数中，随的增大而减小的函数是
A． B． C． D．
【解答】解：、、选项中的函数解析式值都是正数，随的增大而增大，
选项中，，随的增大而减少．
故选：．
5．（2018秋 秦淮区校级期末）设，表示，两个数中的最大值，例如，，，，则关于的函数，可以是
A． B．
C． D．
【解答】解：当时，得，
当时，得，
故关于的函数，可以是，
故选：．
6．（2019 鄠邑区校级三模）如果正比例函数的图象经过第二、四象限，那么一次函数的图象经过
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限
【解答】解：因为正比例函数的图象经过第二、四象限，
所以，
所以一次函数的图象经过三、二、四象限，
故选：．
7．（2019春 洛南县期末）关于正比例函数，下列结论正确的是
A．图象不经过原点 B．随的增大而增大
C．图象经过第二、四象限 D．当时，
【解答】解：． 图象经过原点，错误；
．随的增大而减小，错误；
、图象经过第二、四象限，正确；
． 当时，，错误；
故选：．
8．（2019 莲湖区模拟）正比例函数的自变量取值增加2，函数值就相应减少2，则的值为
A．2 B． C． D．4
【解答】解：
正比例函数的自变量取值增加2，函数值就相应减少2，
函数图象过和两个点，
，解得，
故选：．
二．填空题（共3小题）
9．（2019春 武安市期末）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，，依次进行下去，则点的坐标为 ，点的坐标为 ．
【解答】解：当时，，
点的坐标为；
当时，，
点的坐标为；
同理可得：，，，，，，，，
，，，，
，，，为自然数）．
，
点的坐标为，，即，．
故答案为，，．
10．（2019 本溪）函数的图象经过的象限是 一、三 ．
【解答】解：函数的图象经过一三象限，
故答案为：一、三
11．（2019 静安区二模）已知正比例函数，那么的值随的值增大而 减小 ．（填“增大”或“减小”
【解答】解：因为正比例函数中的，
所以的值随的值增大而 减小．
故答案是：减小．
三．解答题（共1小题）
12．（2019 沙坪坝区校级三模）小岚根据学习函数的经验，对一个未知函数的图象与性质进行了探究．
已知：，其中，与成一次函数关系，当时，；当时，．
（1）根据给定的条件，求与的函数关系式；
（2）写出函数与合适的几组对应值，并根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点并画出函数图象：
2
（3）结合画出的函数图象，解决问题：直接写出关于的方程的实数解为 （结果保留一位小数）．
【解答】解：（1）设，
则，解得：，
，
；
（2）如图表：
（3）由图象得：关于的方程的实数解为：；
故答案为：．
知识点3 正比例函数的解析式
由于正比例函数（为常数，≠0 ）中只有一个待定系数，故只要有一对，的值或一个非原点的点，就可以求得值.
【典例】
1．（2017秋 常熟市校级期中）若y=y1+y2且y1与x成正比例，y2与（x﹣3）成正比例，当x=1时y=3，当x=﹣1时y=9，当x=3时y的值．
【解答】解：设y1=ax，y2=k（x﹣3），
∴y=ax+k（x﹣3）．
由当x=1时y=3，当x=﹣1时y=9可得，
，
解得：，
∴y与x之间的关系式为：y=﹣x﹣2（x﹣3），即y=﹣3x+6；
∴当x=3时，y=﹣3×3+6=﹣3．
2．（2018春 廉江市期末）已知：如图，正比例函数y=kx的图象经过点A，
（1）请你求出该正比例函数的解析式；
（2）若这个函数的图象还经过点B（m，m+3），请你求出m的值；
（3）请你判断点P（﹣，1）是否在这个函数的图象上，为什么？
【解答】解：（1）由图可知点A（﹣1，2），代入y=kx得：
﹣k=2，k=﹣2，
则正比例函数解析式为y=﹣2x；
（2）将点B（m，m+3）代入y=﹣2x，得：﹣2m=m+3，
解得：m=﹣1；
（3）当x=﹣时，y=﹣2×（﹣）=3≠1，
所以点P不在这个函数图象上．
【方法总结】对于求正比例函数的解析式，如果没有给出表达式，首先要设解析式的为y=kx这种形式，然后需要代入一个点的坐标即可求出k的值，如果指出y与x成正比例函数关系，也只的是y=kx。
【随堂练习】
1．（2019春 端州区期末）已知正比例函数图象经过点，则该函数的解析式为 ．
【解答】解：设正比例函数的解析式为．
正比例函数图象经过点，
，
解得，，
此函数解析式为：；
故答案是：．
2．（2019春 禄劝县期末）若点是正比例函数图象上的点，则此正比例函数的解析式为 ．
【解答】解：把点代入得
，
，
所以正比例函数解析式为．
故答案为：．
3．（2019春 黄冈期末）正比例函数图象经过，则这个正比例函数的解析式是 ．
【解答】解：设这个正比例函数的解析式为，
正比例函数的图象经过点，
，
解得，
．
故答案是：．
4．（2018秋 奉化区期末）已知一个正比例函数的图象经过点，则这个正比例函数的表达式是 ．
【解答】解：设该正比例函数的解析式为，根据题意，得
，
．
则这个正比例函数的表达式是．
故答案为．
5．（2018 甘孜州）如图，在平面直角坐标系中，有一个由六个边长为1的正方形组成的图案，其中点，的坐标分别为，．若过原点的直线将这个图案分成面积相等的两部分，则直线的函数解析式为 ．
【解答】解：点，的坐标分别为，，
的坐标为，
设直线的函数解析式为，依题意有
，
解得．
故直线的函数解析式为．
故答案为：．
综合运用
1．（2016秋 宜兴市校级月考）已知y=y1+y2，其中y1与x成正比例，y2与x﹣2成正比例．当x=﹣1时，y=2；当x=3时，y=﹣2．求y与x的函数关系式，并画出该函数的图象．
【解答】解：根据题意设y1=k1x，y2=k2（x﹣2），即y=y1+y2=k1x+k2（x﹣2），
将x=﹣1时，y=2；x=3时，y=﹣2分别代入得：，
解得：k1=﹣，k2=﹣，
则y=﹣x﹣（x﹣2）=﹣x+1．
即y与x的函数关系式为y=﹣x+1；
画出该函数的图象为
2．（2018 昭平县一模）y=x，下列结论正确的是（ ）
A．函数图象必经过点（1，2）
B．函数图象必经过第二、四象限
C．不论x取何值，总有y＞0
D．y随x的增大而增大
【解答】解：A、把（1，2）代入得：左边≠右边，故本选项错误；
B、k=＞0，图象经过一、三象限，故本选项错误；
C、当x＜0时y＜0，故本选项错误；
D、k=＞0，y随x的增大而增大，故本选项正确．
故选：D．
3．（2017 曲江区模拟）已知正比例函数y=（m﹣1）x，若y的值随x的增大而增大，则点（m，1﹣m）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵正比例函数y=（m﹣1）x，若y的值随x的增大而增大，
∴m﹣1＞0，
∴m＞1，
∴1﹣m＜0，
∴点（m，1﹣m）所在的象限是第四象限，
故选：D．
4．（2018春 廉江市期末）若正比例函数y=（m﹣1）x，y随x的增大而减小，则m的值是______．
【解答】解：由题意得：m2﹣3=1，且m﹣1＜0，
解得：m=﹣2，
故答案为：﹣2．
5．（2017春 南岸区期末）设min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．例如min{0，1}=0．min{4，3，2}=2，则关于x的函数y=min{2x，x+3}可以表示为（ ）
A．y=2x
B．y=x+3
C．当x＞3时，y=2x；当x＜3时，y=x+3
D．当x＜3时，y=2x；当x＞3时，y=x+3
【解答】解：根据已知，在没有给出x的取值范围时，不能确定2x和x+3的大小，所以不能直接表示为，A：y=2x，B：y=x+3．
当x＜3时，可得：x+x＜x+3，即2x＜x+3，可表示为y=2x．
当x≥3时，可得：x+x≥x+3，即2x≥x+3，可表示为y=x+3．
故选：D．
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