第9讲 一次函数的应用
知识点1 一次函数的解析式
用待定系数法求一次函数解析式的步骤如下:
①设一次函数解析y=kx+b(k≠0);
②代入两个已知点的坐标,得到关于k、b的方程组;
③解方程组得到k、b的值;
④写出一次函数的解析式.
若一次函数为正比例函数,则b=0,只需代入一个点的坐标,求出系数k即可.
【典例】
1.已知一次函数y=kx+b经过点(1,1),(2,﹣4),则一次函数的解析式为__________.
2.下列表格列出了一项实验的统计数据,它表示皮球从一定高度落下时,下落高度y与弹跳高度x的关系,求y与x之间的函数解析式.
3.八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中,经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分,求该直线l的解析式.
【方法总结】
典例1直接将两点坐标代入解析式,联立组成方程组,解方程组即可;典例2需要先设出解析式,再代入两点坐标;典例3中的l过原点,为正比例函数,先由图形的面积关系求出直线l上一点的坐标,再代入即可求出解析式.
待定系数法是求一次函数解析式的主要方法,解题关键是找到或求出直线上的两点(正比例函数为一个点)的坐标.
【随堂练习】
1.(2019春 隆回县期末)已知一次函数的图象经过两点,,则这个函数的表达式为 .
2.(2019春 伊通县期末)如图,在直角坐标系的第一象限内有一矩形,顶点、分别在轴、轴的正半轴上,,.直线的解析式为 .
3.(2019 宝应县一模)如图,在平面直角坐标系中,菱形的一个的坐标是,则直线的解析式是 .
4.(2019 洞口县模拟)如图,直线与轴、轴分别交于、两点,点是第二象限内一点,连接,若,则直线的解析式为 .
5.(2018秋 杭州期末)已知函数,当时,,则 .
6.(2018秋 即墨区期末)一次函数的图象与两坐标围成的三角形面积为9,那么这个一次函数的表达式为 .
7.(2018秋 瑞安市期末)如图,在直角坐标系中,过点分别向轴,轴作垂线,垂足分别为点,,取的中点,连结,作点关于直线的对称点,直线与交于点,则线段的长为 ,直线的函数表达式为 .
8.(2019春 沙县期末)已知一次函数,当时,对应的函数的取值范围是,的值为 .
9.(2019春 广饶县期末)在平面直角坐标系中,已知含角的直角三角板如图放置,其中,,求直线的解析式.
10.(2019春 松北区期末)如图所示,已知一次函数的图象直线经过点和点.
(1)求这个函数的解析式;
(2)直线与轴交于点,与轴交于点,求的面积.
知识点2 一次函数的图形变换
图形变换的三种方式:平移、对称、旋转.
一次函数平移的方法:左加右减,上加下减.
一次函数图象的常见对称变换:
对于直线y=kx+b(k≠0,且k,b为常数),
①关于x轴对称,就是x不变,y变成﹣y:﹣y=kx+b,即y=﹣kx﹣b(关于x轴对称,横坐标不变,纵坐标是原来的相反数);
②关于y轴对称,就是y不变,x变成﹣x:y=k(﹣x)+b,即y=﹣kx+b(关于y轴对称,纵坐标不变,横坐标是原来的相反数);
③关于原点对称,就是x和y都变成相反数:﹣y=k(﹣x)+b,即y=kx﹣b(关于原点对称,横、纵坐标都变为原来的相反数).
【典例】
1.将一次函数y=﹣2x﹣2的图象先向左平移3个单位,再向下平移2个单位,得到的函数图象的表达式为________________.
2.在平面直角坐标系中,将直线y=5x+6先关于x轴作轴对称变换,再将所得直线关于y轴作轴对称变换,则经两次变换后所得直线的表达式是_______________.
3.把一次函数y=x+1的图象绕点(1,0)旋转180°,求所得直线的函数解析式.
【方法总结】
求平移和特殊对称后一次函数的解析式比较简单,按照法则将解析式做变换即可.求关于某点旋转后的一次函数的解析式,一般需要找到原来函数图像上的两点,求出这两点关于某点旋转后的坐标,再用待定系数法确定旋转后的一次函数的解析式.
【随堂练习】
1.(2019春 朝阳区期中)若将直线向上平移1个单位长度,则平移后的直线所对应的函数关系式是
A. B. C. D.
2.(2019 雁塔区校级模拟)直线沿轴向左平移3个单位长度后与轴的交点坐标是
A. B. C. D.
3.(2019 雁塔区校级模拟)直线与直线关于点成中心对称,下列说法正确的是
A.将向下平移2个单位得到
B.将向右平移2个单位得到
C.将向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到
D.将向左平移4个单位,再向上平移1个单位得到
4.(2019春 庐江县期末)在平面直角坐标系中,把直线向左平移2个单位长度,平移后的直线解析式是
A. B. C. D.
5.(2019 碑林区校级三模)一次函数与一次函数关于直线对称,则、分别为
A., B., C., D.,
6.(2019 陕西)在平面直角坐标系中,将函数的图象向上平移6个单位长度,则平移后的图象与轴的交点坐标为
A. B. C. D.
7.(2019 邵阳)一次函数的图象如图所示,将直线向下平移若干个单位后得直线,的函数表达式为.下列说法中错误的是
A. B.
C. D.当时,
8.(2019春 东湖区校级期末)将直线平移后经过点,则平移后的直线解析式为 .
9.(2019春 南召县期末)若将直线沿轴的方向平移3个单位后,恰好能经过点,则的值可能是 .
知识点3 简单的实际问题
常见的关于一次函数的实际问题的模型有:
①单个一次函数,包括简单的行程问题、销售问题、弹簧伸长问题等;
②分段函数,包括阶梯电价、阶梯水费等;
③两个一次函数,包括追及问题、相遇问题等.
【典例】
1.甲、乙两名大学生骑一辆电动车从学校出发到某乡镇进行社会调查,出发行驶20分钟时发现忘带相机,甲下车继续步行前往乡镇,乙骑电动车按出发时速度的2倍按原路返回,乙到学校用了5分钟取到相机,然后按出发时的速度在距乡镇22.5千米处追上甲后同车前往乡镇.如图是甲、乙距学校的距离为y(千米)与出发的时间为x(分)的函数关系式.
(1)求线段CD对应函数关系式;
(2)求甲步行的速度.
2.某城市电业局为鼓励居民节约用电,采取按月用电量分段收费办法,居民应交电费y(元)与用电量x(度)的函数关系如图所示.
(1)分别求出当0≤x<50和x≥50时,y与x的函数解析式;
(2)若某居民该月用电65度,则应交电费多少元?
【方法总结】
解题时运用一次函数的性质,把实际问题与函数图象结合进行分析,从函数图象中获取实际问题中的数据,把实际问题中的数据转化为函数图象中的点的坐标,并且运用一次函数图象描述实际问题.解题的关键在于读懂题意,并用待定系数法求函数的解析式.
【随堂练习】
1.(2018 日照)“低碳生活,绿色出行”的理念已深入人心,现在越来越多的人选择骑自行车上下班或外出旅游.周末,小红相约到郊外游玩,她从家出发0.5小时后到达甲地,玩一段时间后按原速前往乙地,刚到达乙地,接到妈妈电话,快速返回家中.小红从家出发到返回家中,行进路程y(km)随时间x(h)变化的函数图象大致如图所示.
(1)小红从甲地到乙地骑车的速度为____km/h;
(2)当1.5≤x≤2.5时,求出路程y(km)关于时间x(h)的函数解析式;并求乙地离小红家多少千米?
2.(2018 黑龙江)某工厂甲、乙两车间接到加工一批零件的任务,从开始加工到完成这项任务共用了9天,乙车间在加工2天后停止加工,引入新设备后继续加工,直到与甲车间同时完成这项任务为止,设甲、乙车间各自加工零件总数为y(件),与甲车间加工时间x(天),y与x之间的关系如图(1)所示.由工厂统计数据可知,甲车间与乙车间加工零件总数之差z(件)与甲车间加工时间x(天)的关系如图(2)所示.
(1)甲车间每天加工零件为 件,图中d值为 .
(2)求出乙车间在引入新设备后加工零件的数量y与x之间的函数关系式.
(3)甲车间加工多长时间时,两车间加工零件总数为1000件?
3.(2018 曲靖)某公司计划购买A,B两种型号的电脑,已知购买一台A型电脑需0.6万元,购买一台B型电脑需0.4万元,该公司准备投入资金y万元,全部用于购进35台这两种型号的电脑,设购进A型电脑x台.
(1)求y关于x的函数解析式;
(2)若购进B型电脑的数量不超过A型电脑数量的2倍,则该公司至少需要投入资金多少万元?
知识点4 方案、决策问题
【典例】
1.某通讯公司推出了A,B两种上宽带网的收费方式(详情见下表).
设月上网时间为x h(x为非负整数),请根据表中提供的信息回答下列问题:
(1)设方案A的收费金额为y1元,方案B的收费金额为y2元,分别写出y1,y2关于x的函数解析式;
(2)当35<x<50时,选取哪种方式能节省上网费?请说明理由.
【方法总结】
第(1)问根据两种方式的收费标准,进行分类讨论即可求解;第(2)问当35<x<50时,计算出y1﹣y2的值,根据一次函数的性质即可得出答案.
此题考查了一次函数的应用,注意根据图表得出解题需要的信息,正确理解收费标准求出函数解析式是解题的关键.
【随堂练习】
1.(2019 蜀山区一模)小明大学毕业后积极响应政府号召回乡创业,准备经营水果生意,他在批发市场了解到某种水果的批发单价与批发量有如下关系
批发量 批发单价(元
6
5
(1)写出批发该种水果的资金金额(元与批发量之间的函数关系式;并在如图的坐标系网格中画出该函数图象;指出资金金额在什么范围内,以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果.
(2)经市场调查,销售该种水果的日最高销量与零售价(元之间满足函数关系,小明同学拟每日售出以上该种水果(不考虑损耗),且当日零售价不变,请问他批发多少千克该种水果,零售价定为多少元时,能使当日获得的利润最大,最大利润是多少?
二.解答题(共6小题)
2.(2019 鼓楼区校级模拟)某高科技公司根据市场需求,计划生产,两种型号的医疗器械.其部分信息如下:
信息一:每台型器械的售价为24万元,每台型器械的售价为30万元,每台型器械的生产成本比型器械的生产成本多5万元.
信息二:若销售3台型器械和5台型器械,共获利37万元;
根据上述信息,解答下列问题:
(1)求每台型器械、每台型器械的生产成本各是多少万元?
(2)若,两种型号的医疗器械共生产80台,且该公司所筹生产医疗器械资金不少于1800万元,但不超过1810万元,且把所筹资金全部用于生产此两种医疗器械,根据市场调查,每台型医疗器械的售价将会提高万元,每台型医疗器械的售价不会改变,该公司应该如何生产可以获得最大利润?
3.(2019春 东莞市期末)某水果批发市场规定,批发苹果不少于100千克时,批发价为每千克3.5元,小王携带现金7000元到这市场购苹果,并以批发价买进.如果购买的苹果为千克,小王付款后的剩余现金为元
(1)写出关于的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(2)若小王购买800千克苹果,则小王付款后剩余的现金为多少元?
4.(2019春 泉州期末)某商店欲购进一批跳绳,若购进种跳绳8根和种跳绳7根,则共需351元;若购进种跳绳4根和种跳绳3根,则共需163元.
(1)求、两种跳绳的单价各是多少?
(2)若该商店准备购进这两种跳绳共140根,且种跳绳的数量不少于跳绳总数量的.若毎根种、种跳绳的售价分别为27元、33元,问:该商店应如何进货才可获取最大利润,并求出最大利润.
5.(2019春 平谷区期末)平某游泳馆暑期推出两种游泳付费方式,方式一:先购买会员证,每张会员证100元,只限本人当年使用,凭证游泳每次再付费20元;方式二:不购买会员证,每次游泳付费25元.设小明计划今年暑期游泳次数为为正整数).根据题意列表:
游泳次数 5 8 10
方式一的总费用元) 200 260
方式二的总费用元) 125 200 250
表格中的值为 300 ;
(2)根据题意分别求出两种付费方式中、与自变量之间的函数关系式并画出图象;
(3)请你根据图象,帮助小明设计一种比较省钱的付费方案.
6.(2019春 十堰期末)“五一”期间,小丽一家乘坐高铁前往某市旅游,计划第二天租用新能源汽车自驾出游.现有甲、乙两家租车公司,租车费用如下:甲公司按日收取固定租金80元,另外再按租车时间计费;乙公司无固定租金,直接按租车时间计费,每小时租费是30元.
(1)设租用时间为小时,租用甲公司的车所需费用为元,租用乙公司的车所需费用为元,其图象如图所示,分别求出,关于的函数解析式;
(2)请你帮助小丽计算,租用哪家新能源汽车自驾出游更合算?
7.(2019春 竹溪县期末)电力公司为鼓励市民节约用电,采取按月用电量分段收费办法,若某户居民每月应交电费(元与用电量(度的函数图象是一条折线(如图所示),根据图象解下列问题:
(1)分别写出当和时,与的函数关系式;
(2)利用函数关系式,说明电力公司采取的收费标准;
(3)若该用户某月用电60度,则应缴费多少元?若该用户某月缴费125元时,则该用户该月用了多少度电?
综合运用
1.下表是弹簧挂重后的总长度L(cm)与所挂物体重量x(kg)之间的几个对应值,则可以推测L与x之间的关系式是________________.
2.在平面直角坐标系中,将直线l1:y=﹣2x+4平移后得到直线l2,l2与x轴交于点(4,0),则平移方式可以是_______________.
3.如图,在直角坐标系中,直线y=kx+4与x轴正半轴交于一点A,与y轴交于点B,已知△OAB的面积为10,求这条直线的解析式.
4.求下列一次函数的解析式:
(1)直线y=2x+1向右平移2个单位后的解析式;
(2)直线y=2x+1绕原点旋转180°后的直线解析式是_____________;
5.已知四条直线y=kx﹣3(k<0),y=﹣1,y=3和x=1所围成的四边形的面积是12,求k的值.
6.长春和吉林两地之间的铁路交通设有特快列车和普通快车两种车次,某天一辆普通快车从长春出发匀速驶向吉林,同时另一辆特快列车从吉林出发匀速驶向长春,两车与长春的距离s(千米)与行驶时间t(时)之间的函数关系如图所示.
(1)长春到吉林的距离为_________千米,普通快车到达吉林所用时间为_________小时;
(2)求特快列车与长春的距离s与t之间的函数解析式;
(3)在长春、吉林两地之间有一座铁路桥,特快列车到铁路桥后又行驶0.5小时与普通快车相遇,求长春与铁路桥之间的距离.
7.如图,购买一种苹果,付款金额y(元)与购买量x(千克)之间的函数图象由线段OA和射线AB组成,则一次购买5千克这种苹果比分五次每次购买1千克这种苹果可节省多少元?
8.为了美化环境,建设宜居成都,我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉,经市场调查,甲种花卉的种植费用y(元)与种植面积x(m2)之间的函数关系如图所示,乙种花卉的种植费用为每平方米100元.
(1)直接写出当0≤x≤300和x>300时,y与x的函数关系式;
(2)广场上甲、乙两种花卉的种植面积共1200m2,若甲种花卉的种植面积不少于200m2,且不超过乙种花卉种植面积的2倍,那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植总费用最少?最少总费用为多少元?
9.如图,四边形OABC是长方形,点D在OC边上,以AD为折痕,将△OAD向上翻折,点O恰好落在BC边上的点E处,若OC=,A点坐标为(,0),求线段AD所在直线的解析式.
15第9讲 一次函数的应用
知识点1 一次函数的解析式
用待定系数法求一次函数解析式的步骤如下:
①设一次函数解析y=kx+b(k≠0);
②代入两个已知点的坐标,得到关于k、b的方程组;
③解方程组得到k、b的值;
④写出一次函数的解析式.
若一次函数为正比例函数,则b=0,只需代入一个点的坐标,求出系数k即可.
【典例】
1.已知一次函数y=kx+b经过点(1,1),(2,﹣4),则一次函数的解析式为__________.
【答案】y=﹣5x+6
【解析】解:把(1,1),(2,﹣4)代入y=kx+b,
得,
解得k=﹣5,b=6
∴函数的解析式为y=﹣5x+6,
故答案为y=﹣5x+6.
2.下列表格列出了一项实验的统计数据,它表示皮球从一定高度落下时,下落高度y与弹跳高度x的关系,求y与x之间的函数解析式.
【答案】
【解析】解:观察表格可知y与x是一次函数关系,设函数关系式为y=kx+b(k、b是常数,k≠0),
则,
解得,
所以y与x的函数关系式为y=2x﹣10.
3.八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中,经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分,求该直线l的解析式.
【答案】
【解析】解:设直线l和八个正方形的最上面交点为A,过A作AB⊥OB于B,过A作AC⊥OC于C,
∵正方形的边长为1,
∴OB=3.
∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分,
∴S△AOB=4+1=5,
∴OB AB=5,
∴AB=,
∴OC=,
由此可知直线l经过(﹣,3),
设直线方程为y=kx(k≠0),
则3=﹣k,
k=﹣,
∴直线l解析式为y=﹣x,
【方法总结】
典例1直接将两点坐标代入解析式,联立组成方程组,解方程组即可;典例2需要先设出解析式,再代入两点坐标;典例3中的l过原点,为正比例函数,先由图形的面积关系求出直线l上一点的坐标,再代入即可求出解析式.
待定系数法是求一次函数解析式的主要方法,解题关键是找到或求出直线上的两点(正比例函数为一个点)的坐标.
【随堂练习】
1.(2019春 隆回县期末)已知一次函数的图象经过两点,,则这个函数的表达式为 .
【解答】解:设直线的解析式为,
把,两点坐标代入得到:,
解得,
这个函数的解析式为,
故答案为:.
2.(2019春 伊通县期末)如图,在直角坐标系的第一象限内有一矩形,顶点、分别在轴、轴的正半轴上,,.直线的解析式为 .
【解答】解:四边形是矩形,
,
,,
,
,,
设直线的解析式为,
,
,
直线的解析式为,
故答案为:.
3.(2019 宝应县一模)如图,在平面直角坐标系中,菱形的一个的坐标是,则直线的解析式是 .
【解答】解:如图,
由菱形的一个顶点在原点处,点的坐标是,得
.
又,
.
,
.
,
,
,.
设的解析式为,
将,点坐标代入函数解析式,得
,
解得,
直线的表达式是,
故答案为:.
4.(2019 洞口县模拟)如图,直线与轴、轴分别交于、两点,点是第二象限内一点,连接,若,则直线的解析式为 .
【解答】解:当时,,当时,,,
,,
,,
过作轴,交于,过作于,
,
,
,
,
,
设,则,,,
,
,
,
,
设直线的解析式为:,
则,解得:,
则直线的解析式为:;
故答案为:.
5.(2018秋 杭州期末)已知函数,当时,,则 .
【解答】解:把,代入,
可得:,
解得:,
故答案为:
6.(2018秋 即墨区期末)一次函数的图象与两坐标围成的三角形面积为9,那么这个一次函数的表达式为 .
【解答】解:一次函数与轴的交点为,,与轴的交点为.
和两坐标轴围成的三角形的面积是9,
,
,.
所以解析式为:.
故答案为:.
7.(2018秋 瑞安市期末)如图,在直角坐标系中,过点分别向轴,轴作垂线,垂足分别为点,,取的中点,连结,作点关于直线的对称点,直线与交于点,则线段的长为 5 ,直线的函数表达式为 .
【解答】解:连接,
点,
轴,轴,
,
点是的中点,
,
点关于直线的对称点,
,,,
在与中,,
,
,
设,
,,
,
,
,
,,
,
设直线的函数表达式为,
把,代入得,,
解得:,
直线的函数表达式为,
故答案为:5,.
8.(2019春 沙县期末)已知一次函数,当时,对应的函数的取值范围是,的值为 4 .
【解答】解:当时,随的增大而减小,即一次函数为减函数,
当时,,当时,,
代入一次函数解析式得:,
解得,
故答案为:4
二.解答题(共2小题)
9.(2019春 广饶县期末)在平面直角坐标系中,已知含角的直角三角板如图放置,其中,,求直线的解析式.
【解答】解:如图,过作轴于点,
,
,
,
在和中
,
,
,,
,,
,
设直线解析式为,
点、点在直线上,
,
解得:,,
直线解析式为.
10.(2019春 松北区期末)如图所示,已知一次函数的图象直线经过点和点.
(1)求这个函数的解析式;
(2)直线与轴交于点,与轴交于点,求的面积.
【解答】解:(1)设这个函数的解析式是,
一次函数的图象直线经过点和点,
代入得:,
解得:,,
这个函数的解析式是;
(2),
当时,,
当时,,
解得:,
即,,
所以,,
所以的面积是.
知识点2 一次函数的图形变换
图形变换的三种方式:平移、对称、旋转.
一次函数平移的方法:左加右减,上加下减.
一次函数图象的常见对称变换:
对于直线y=kx+b(k≠0,且k,b为常数),
①关于x轴对称,就是x不变,y变成﹣y:﹣y=kx+b,即y=﹣kx﹣b(关于x轴对称,横坐标不变,纵坐标是原来的相反数);
②关于y轴对称,就是y不变,x变成﹣x:y=k(﹣x)+b,即y=﹣kx+b(关于y轴对称,纵坐标不变,横坐标是原来的相反数);
③关于原点对称,就是x和y都变成相反数:﹣y=k(﹣x)+b,即y=kx﹣b(关于原点对称,横、纵坐标都变为原来的相反数).
【典例】
1.将一次函数y=﹣2x﹣2的图象先向左平移3个单位,再向下平移2个单位,得到的函数图象的表达式为________________.
【答案】y=﹣2x﹣10
【解析】解:把函数y=﹣2x﹣2的图象向左平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,可得到的图象的函数解析式是:y=﹣2(x+3)﹣2﹣2=﹣2x﹣10.
故选答案为y=﹣2x﹣10.
2.在平面直角坐标系中,将直线y=5x+6先关于x轴作轴对称变换,再将所得直线关于y轴作轴对称变换,则经两次变换后所得直线的表达式是_______________.
【答案】y=5x﹣4
【解析】解:∵关于x轴对称的点的坐标横坐标不变,纵坐标互为相反数,
∴将直线y=5x+6关于x轴作轴对称变换所得直线的解析式为:﹣y=5x+6;
∵关于y轴对称的点的坐标纵坐标不变,横坐标互为相反数,
∴将直线﹣y=5x+6关于y轴作轴对称变换所得直线的解析式为:﹣y=-5x+4,即y=5x﹣4.
故答案为y=5x﹣4.
3.把一次函数y=x+1的图象绕点(1,0)旋转180°,求所得直线的函数解析式.
【答案】
【解析】解:令x=0,则y=1,即直线y=x+1与y轴交点为(0,1);
令y=0,则x=﹣1,即直线y=x+1与x轴交点为(﹣1,0).
点(0,1)绕点(1,0)旋转180°变为(2,﹣1);点(﹣1,0)绕点(1,0)旋转180°变为(3,0).
设旋转后所得直线的表达式为y=kx+b(k、b是常数,k≠0),
则有,
解得:.
故旋转后所得直线的表达式为y=x﹣3.
【方法总结】
求平移和特殊对称后一次函数的解析式比较简单,按照法则将解析式做变换即可.求关于某点旋转后的一次函数的解析式,一般需要找到原来函数图像上的两点,求出这两点关于某点旋转后的坐标,再用待定系数法确定旋转后的一次函数的解析式.
【随堂练习】
1.(2019春 朝阳区期中)若将直线向上平移1个单位长度,则平移后的直线所对应的函数关系式是
A. B. C. D.
【解答】解:由“上加下减”的原则可知,将函数的图象向上平移1个单位所得函数的解析式为.
故选:.
2.(2019 雁塔区校级模拟)直线沿轴向左平移3个单位长度后与轴的交点坐标是
A. B. C. D.
【解答】解:直线沿轴向左平移3个单位长度,
平移后的解析式为:,即,
当,则,
平移后直线与轴的交点坐标为:.
故选:.
3.(2019 雁塔区校级模拟)直线与直线关于点成中心对称,下列说法正确的是
A.将向下平移2个单位得到
B.将向右平移2个单位得到
C.将向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到
D.将向左平移4个单位,再向上平移1个单位得到
【解答】解:设直线的点,则在直线上,
,
直线的解析式为:,
将向右平移2个单位得到,
故选:.
4.(2019春 庐江县期末)在平面直角坐标系中,把直线向左平移2个单位长度,平移后的直线解析式是
A. B. C. D.
【解答】解:由“左加右减”的原则可知,把直线向左平移2个单位长度所得的直线的解析式是.即,
故选:.
5.(2019 碑林区校级三模)一次函数与一次函数关于直线对称,则、分别为
A., B., C., D.,
【解答】解:一次函数与轴交点为,
点关于直线的对称点为,
,
一次函数与轴交点为,,
,关于直线的对称点为,,
,解得.
故选:.
6.(2019 陕西)在平面直角坐标系中,将函数的图象向上平移6个单位长度,则平移后的图象与轴的交点坐标为
A. B. C. D.
【解答】解:由“上加下减”的原则可知,将函数的图象向上平移6个单位长度所得函数的解析式为,
此时与轴相交,则,
,即,
点坐标为,
故选:.
7.(2019 邵阳)一次函数的图象如图所示,将直线向下平移若干个单位后得直线,的函数表达式为.下列说法中错误的是
A. B.
C. D.当时,
【解答】解:将直线向下平移若干个单位后得直线,
直线直线,
,
直线向下平移若干个单位后得直线,
,
当时,,
故选:.
二.填空题(共2小题)
8.(2019春 东湖区校级期末)将直线平移后经过点,则平移后的直线解析式为 .
【解答】解:设平移后的解析式为:,
将直线平移后经过点,
,
解得:,
故平移后的直线解析式为:.
故答案为:.
9.(2019春 南召县期末)若将直线沿轴的方向平移3个单位后,恰好能经过点,则的值可能是 0或6 .
【解答】解:分两种情况讨论:
①当直线沿轴的方向向上平移3个单位后,
则平移后的函数式是,代入
得,解得;
②当直线沿轴的方向向下平移3个单位后,
则平移后的函数式是,代入
得,解得.
故答案为0或6.
知识点3 简单的实际问题
常见的关于一次函数的实际问题的模型有:
①单个一次函数,包括简单的行程问题、销售问题、弹簧伸长问题等;
②分段函数,包括阶梯电价、阶梯水费等;
③两个一次函数,包括追及问题、相遇问题等.
【典例】
1.甲、乙两名大学生骑一辆电动车从学校出发到某乡镇进行社会调查,出发行驶20分钟时发现忘带相机,甲下车继续步行前往乡镇,乙骑电动车按出发时速度的2倍按原路返回,乙到学校用了5分钟取到相机,然后按出发时的速度在距乡镇22.5千米处追上甲后同车前往乡镇.如图是甲、乙距学校的距离为y(千米)与出发的时间为x(分)的函数关系式.
(1)求线段CD对应函数关系式;
(2)求甲步行的速度.
【答案】
【解析】解:(1)设线段OA所在直线的函数关系式为y=kx(k≠0),
∵点A(20,18)在直线OA上,
∴18=20k,
∴k=.
∵乙骑电动车按出发时速度2倍的按原路返回,乙到学校用了5分钟取到相机,
∴点B的坐标为(30,0),点C的坐标为(35,0).
设线段CD所在直线对应函数关系式为y=x+b,
∵点C(35,0)在线段CD上,
∴0=×35+b,
∴b=﹣,
∴线段CD所在直线对应的函数关系式为y=x﹣.
当y=45时,有x﹣=45,
解得:x=85,
∴线段CD对应函数关系式为y=x﹣(35≤x≤85).
(2)45﹣22.5=22.5(千米),
当y=22.5时,有x﹣=22.5,
解得:x=60.
甲步行的速度为(22.5﹣18)÷(60﹣20)=0.1125(千米/分).
答:甲步行的速度为0.1125千米/钟.
2.某城市电业局为鼓励居民节约用电,采取按月用电量分段收费办法,居民应交电费y(元)与用电量x(度)的函数关系如图所示.
(1)分别求出当0≤x<50和x≥50时,y与x的函数解析式;
(2)若某居民该月用电65度,则应交电费多少元?
【答案】
【解析】解:(1)当0≤x≤50时.图象经过(0,0),(50,26).
可设函数解析式为y=kx(k≠0).
代入(50,26),得50k=26,
解得k=,
∴y=x(0≤x≤50).
当x≥50时.图象经过(50,26),(80,48),
可设函数解析式为y=kx+b(k、b是常数,k≠0).
则有,解得,
∴y=x﹣.
(2)当x=65时,65>50,y=×65﹣=37.
答:该用户应交电费37元.
【方法总结】
解题时运用一次函数的性质,把实际问题与函数图象结合进行分析,从函数图象中获取实际问题中的数据,把实际问题中的数据转化为函数图象中的点的坐标,并且运用一次函数图象描述实际问题.解题的关键在于读懂题意,并用待定系数法求函数的解析式.
【随堂练习】
1.(2018 日照)“低碳生活,绿色出行”的理念已深入人心,现在越来越多的人选择骑自行车上下班或外出旅游.周末,小红相约到郊外游玩,她从家出发0.5小时后到达甲地,玩一段时间后按原速前往乙地,刚到达乙地,接到妈妈电话,快速返回家中.小红从家出发到返回家中,行进路程y(km)随时间x(h)变化的函数图象大致如图所示.
(1)小红从甲地到乙地骑车的速度为____km/h;
(2)当1.5≤x≤2.5时,求出路程y(km)关于时间x(h)的函数解析式;并求乙地离小红家多少千米?
【解答】解:(1)在OA段,速度==20km/h,
故答案为20.
(2)当1.5≤x≤2.5时,设y=20x+b,把(1.5,10)代入得到,10=20×1.5+b,
解得b=﹣20,
∴y=20x﹣20,
当x=2.5时,解得y=30,
∴乙地离小红家30千米
2.(2018 黑龙江)某工厂甲、乙两车间接到加工一批零件的任务,从开始加工到完成这项任务共用了9天,乙车间在加工2天后停止加工,引入新设备后继续加工,直到与甲车间同时完成这项任务为止,设甲、乙车间各自加工零件总数为y(件),与甲车间加工时间x(天),y与x之间的关系如图(1)所示.由工厂统计数据可知,甲车间与乙车间加工零件总数之差z(件)与甲车间加工时间x(天)的关系如图(2)所示.
(1)甲车间每天加工零件为 80 件,图中d值为 770 .
(2)求出乙车间在引入新设备后加工零件的数量y与x之间的函数关系式.
(3)甲车间加工多长时间时,两车间加工零件总数为1000件?
【解答】解:(1)由图象甲车间每小时加工零件个数为720÷9=80个,
d=770,
故答案为:80,770
(2)b=80×2﹣40=120,a=(200﹣40)÷80+2=4,
∴B(4,120),C(9,770)
设yBC=kx+b,过B、C,
∴,解得,
∴y=130x﹣400(4≤x≤9)
(3)由题意得:80x+130x﹣400=1000,
解得:x=
答:甲车间加工天时,两车间加工零件总数为1000件
3.(2018 曲靖)某公司计划购买A,B两种型号的电脑,已知购买一台A型电脑需0.6万元,购买一台B型电脑需0.4万元,该公司准备投入资金y万元,全部用于购进35台这两种型号的电脑,设购进A型电脑x台.
(1)求y关于x的函数解析式;
(2)若购进B型电脑的数量不超过A型电脑数量的2倍,则该公司至少需要投入资金多少万元?
【解答】解:(1)由题意得,0.6x+0.4×(35﹣x)=y,
整理得,y=0.2x+14(0<x<35);
(2)由题意得,35﹣x≤2x,
解得,x≥,
则x的最小整数为12,
∵k=0.2>0,
∴y随x的增大而增大,
∴当x=12时,y有最小值16.4,
答:该公司至少需要投入资金16.4万元.
知识点4 方案、决策问题
【典例】
1.某通讯公司推出了A,B两种上宽带网的收费方式(详情见下表).
设月上网时间为x h(x为非负整数),请根据表中提供的信息回答下列问题:
(1)设方案A的收费金额为y1元,方案B的收费金额为y2元,分别写出y1,y2关于x的函数解析式;
(2)当35<x<50时,选取哪种方式能节省上网费?请说明理由.
【答案】
【解析】解:(1)方案A的收费:
①当0≤x≤25时,y1=30;
②当x>25时,y1=30+0.05×60×(x﹣25),即y1=3x﹣45;
方案B的收费:
①当0≤x≤50时,y2=50;
②当x>50时,y2=50+0.05×60×(x﹣50),即y2=3x﹣100;
(2)当35<x<50时,选取方式B能节省上网费,理由如下:
∵当35<x<50时,y1=3x﹣45,y2=50,
∴y1﹣y2=3x﹣45﹣50=3x﹣95,即y=3x﹣95.
∵3>0,
∴y随x的增大而增大,
又∵x=35时,y=10,
∴当35<x<50时,y>10,
∴y1>y2,
∴当35<x<50时,选取方式B能节省上网费.
【方法总结】
第(1)问根据两种方式的收费标准,进行分类讨论即可求解;第(2)问当35<x<50时,计算出y1﹣y2的值,根据一次函数的性质即可得出答案.
此题考查了一次函数的应用,注意根据图表得出解题需要的信息,正确理解收费标准求出函数解析式是解题的关键.
【随堂练习】
1.(2019 蜀山区一模)小明大学毕业后积极响应政府号召回乡创业,准备经营水果生意,他在批发市场了解到某种水果的批发单价与批发量有如下关系
批发量 批发单价(元
6
5
(1)写出批发该种水果的资金金额(元与批发量之间的函数关系式;并在如图的坐标系网格中画出该函数图象;指出资金金额在什么范围内,以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果.
(2)经市场调查,销售该种水果的日最高销量与零售价(元之间满足函数关系,小明同学拟每日售出以上该种水果(不考虑损耗),且当日零售价不变,请问他批发多少千克该种水果,零售价定为多少元时,能使当日获得的利润最大,最大利润是多少?
【解答】解:(1)由图象可知,当资金金额时,以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果.
(2)销售该种水果的日最高销量与零售价(元之间满足函数关系,
小明同学拟每日售出以上该种水果,则其批发单价为5元,设利润为元,则由题意得:
当,时,时,能使当日获得的利润最大,最大利润为360元.
答:他批发120千克该种水果,零售价定为8元时,能使当日获得的利润最大,最大利润是360元
二.解答题(共6小题)
2.(2019 鼓楼区校级模拟)某高科技公司根据市场需求,计划生产,两种型号的医疗器械.其部分信息如下:
信息一:每台型器械的售价为24万元,每台型器械的售价为30万元,每台型器械的生产成本比型器械的生产成本多5万元.
信息二:若销售3台型器械和5台型器械,共获利37万元;
根据上述信息,解答下列问题:
(1)求每台型器械、每台型器械的生产成本各是多少万元?
(2)若,两种型号的医疗器械共生产80台,且该公司所筹生产医疗器械资金不少于1800万元,但不超过1810万元,且把所筹资金全部用于生产此两种医疗器械,根据市场调查,每台型医疗器械的售价将会提高万元,每台型医疗器械的售价不会改变,该公司应该如何生产可以获得最大利润?
【解答】解:(1)设每台型器械的生产成本是万元,则每台型器械的生产成本是万元,
依题意得:,
解得:,
,
答:每台型器械的生产成本是20万元,则每台型器械的生产成本是25万元;
(2)设该公司生产种疗器械台,则生产种医疗器械台,
依题意得,
解得,
取整数得,39,40,
该公司有3种生产方案:
方案一:生产种器械38台,种器械42台.
方案二:生产种器械39台,种器械41台.
方案三:生产种器械40台,种器械40台.
依题意得,,
当,即时,生产种器械40台,种器械40台,获得最大利润,
当,即时,三种方案利润都为400万元;
当,即时,生产种器械38台,种器械42台,获得最大利润.
3.(2019春 东莞市期末)某水果批发市场规定,批发苹果不少于100千克时,批发价为每千克3.5元,小王携带现金7000元到这市场购苹果,并以批发价买进.如果购买的苹果为千克,小王付款后的剩余现金为元
(1)写出关于的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(2)若小王购买800千克苹果,则小王付款后剩余的现金为多少元?
【解答】解:(1)由已知批发价为每千克3.5元,小王携带现金7000元到这个市场购苹果得与的函数关系式:,
批发苹果不少于100千克时,批发价为每千克3.5元,
,
至多可以买,
故自变量的取值范围:,.
综上所述,与之间的函数关系式为:;
(2)当时,.
故小王付款后剩余的现金为3200元.
4.(2019春 泉州期末)某商店欲购进一批跳绳,若购进种跳绳8根和种跳绳7根,则共需351元;若购进种跳绳4根和种跳绳3根,则共需163元.
(1)求、两种跳绳的单价各是多少?
(2)若该商店准备购进这两种跳绳共140根,且种跳绳的数量不少于跳绳总数量的.若毎根种、种跳绳的售价分别为27元、33元,问:该商店应如何进货才可获取最大利润,并求出最大利润.
【解答】解:(1)设种跳绳的单价为元,种跳绳的单价为元.
根据题意,
解得.
答:种跳绳的单价为22元,种跳绳的单价为25元.
(2)设购进种跳绳根,则种跳绳根,该商店的利润为元,
则,
,
取最小值时,取最大值,
又,且为整数,
当时,,
此时(根,
故该商店购进种跳绳56根,种跳绳84根时,可获取最大利润,最大利润为952元.
5.(2019春 平谷区期末)平某游泳馆暑期推出两种游泳付费方式,方式一:先购买会员证,每张会员证100元,只限本人当年使用,凭证游泳每次再付费20元;方式二:不购买会员证,每次游泳付费25元.设小明计划今年暑期游泳次数为为正整数).根据题意列表:
游泳次数 5 8 10
方式一的总费用元) 200 260
方式二的总费用元) 125 200 250
表格中的值为 300 ;
(2)根据题意分别求出两种付费方式中、与自变量之间的函数关系式并画出图象;
(3)请你根据图象,帮助小明设计一种比较省钱的付费方案.
【解答】解:(1);
故答案为:300.
(2);;
图象如图所示:
(3)当时,即,解得,当时,选择两种付费方式一样多;
当时,即,解得,当时,选择第一种付费方式比较省钱;
当时,即,解得,当时,选择第二种付费方式比较省钱.
6.(2019春 十堰期末)“五一”期间,小丽一家乘坐高铁前往某市旅游,计划第二天租用新能源汽车自驾出游.现有甲、乙两家租车公司,租车费用如下:甲公司按日收取固定租金80元,另外再按租车时间计费;乙公司无固定租金,直接按租车时间计费,每小时租费是30元.
(1)设租用时间为小时,租用甲公司的车所需费用为元,租用乙公司的车所需费用为元,其图象如图所示,分别求出,关于的函数解析式;
(2)请你帮助小丽计算,租用哪家新能源汽车自驾出游更合算?
【解答】解:(1)由题意设.把点代入得:
解得.
.
设.把代入的.可得:;
(2)当时,,解得.
当时,,解得.
当时,,解得.
答:当租车时间为小时时,选择甲乙公式一样;
当租车时间小于小时时,选择乙公式合算;
当租车时间大于小时时,选择甲公司合算.
7.(2019春 竹溪县期末)电力公司为鼓励市民节约用电,采取按月用电量分段收费办法,若某户居民每月应交电费(元与用电量(度的函数图象是一条折线(如图所示),根据图象解下列问题:
(1)分别写出当和时,与的函数关系式;
(2)利用函数关系式,说明电力公司采取的收费标准;
(3)若该用户某月用电60度,则应缴费多少元?若该用户某月缴费125元时,则该用户该月用了多少度电?
【解答】解:(1)当时,设关系式为,把代入得:,
当时,设与的函数关系式为,把,,代入得:
,解得:,,
答:当和时,与的函数关系式分别为,.
(2)当时,每度电收费0.65元,当时,每度电收费0.8元.
(3)当时,代入元,
当时,代入得:度,
答:用电60度,则应缴费39元;月缴费125元时,则该用户该月用了175度电.
综合运用
1.下表是弹簧挂重后的总长度L(cm)与所挂物体重量x(kg)之间的几个对应值,则可以推测L与x之间的关系式是________________.
【答案】L=2x+20
【解析】解:设L与x之间的关系式是L=ax+b(a、b是常数,a≠0),
当x=0,L=20时,当x=1,L=22时,得
,解得,
L与x之间的关系式是L=2x+20,
故答案为L=2x+20,
2.在平面直角坐标系中,将直线l1:y=﹣2x+4平移后得到直线l2,l2与x轴交于点(4,0),则平移方式可以是_______________.
【答案】将l1沿y轴向上平移4个单位(或将l1沿x轴向右平移2个单位)
【解析】解:设直线l2的解析式为y=﹣2x+b,将(4,0)代入,
得0=﹣2×4+b,解得b=8,
则直线l2的解析式为y=﹣2x+8(l1沿y轴向上平移4个单位得到).
∵l1:y=﹣2x+4=﹣2(x﹣2),
l2:y=﹣2x+8=﹣2(x﹣4),
∴l1沿x轴向右平移2个单位后得到直线l2,
∴将l1沿y轴向上平移4个单位或将l1沿x轴向右平移2个单位后得到直线l2.
故答案为:将l1沿y轴向上平移4个单位(或将l1沿x轴向右平移2个单位)
3.如图,在直角坐标系中,直线y=kx+4与x轴正半轴交于一点A,与y轴交于点B,已知△OAB的面积为10,求这条直线的解析式.
【答案】
【解析】解:当y=0时,kx+4=0,解得x=﹣,则A(﹣,0),
当x=0时,y=kx+4=4,则B(0,4),
因为△OAB的面积为10,
所以·(﹣)·4=10,解得k=﹣,
所以直线解析式为y=﹣x+4.
4.求下列一次函数的解析式:
(1)直线y=2x+1向右平移2个单位后的解析式;
(2)直线y=2x+1绕原点旋转180°后的直线解析式是_____________;
【答案】
【解析】解:(1)∵直线向右平移2个单位,
∴平移后的解析式为:y=2(x﹣2)+1=2x﹣3.
故答案为:y=2x﹣3;
(2)∵直线y=2x+1与y轴、x轴的交点为A、B,
∴A(0,1),B(﹣,0).
∵点A, B绕原点旋转180°后的坐标为A′(0,﹣1),B′(,0),
∴设旋转后的直线解析式为y=kx+b(k≠0),
∴,解得,
∴直线解析式为y=2x﹣1.
故答案为:y=2x﹣1.
5.已知四条直线y=kx﹣3(k<0),y=﹣1,y=3和x=1所围成的四边形的面积是12,求k的值.
【答案】
【解析】解:在y=kx﹣3中,令y=﹣1,
解得x=;
令y=3,x=;
当k<0时,四边形的面积是:[(1﹣)+(1﹣)]×4=12,
解得k=﹣2;
即k的值为﹣2.
6.长春和吉林两地之间的铁路交通设有特快列车和普通快车两种车次,某天一辆普通快车从长春出发匀速驶向吉林,同时另一辆特快列车从吉林出发匀速驶向长春,两车与长春的距离s(千米)与行驶时间t(时)之间的函数关系如图所示.
(1)长春到吉林的距离为_________千米,普通快车到达吉林所用时间为_________小时;
(2)求特快列车与长春的距离s与t之间的函数解析式;
(3)在长春、吉林两地之间有一座铁路桥,特快列车到铁路桥后又行驶0.5小时与普通快车相遇,求长春与铁路桥之间的距离.
【答案】
【解析】解:(1)由图象可得,
长春到吉林的距离为450千米,
普通快车到达吉林所用时间为:450÷(150÷2.5)=7.5(时),
故答案为:450,7.5;
(2)设特快列车与长春的距离s与t之间的函数关系式是s=kt+b(k、b是常数,k≠0),
根据图像可得,
解得,
即特快列车与长春的距离s与t之间的函数解析式是s=﹣120t+450;
(3)设长春与铁路桥之间的距离是x千米,
x=﹣120×(2.5﹣0.5)+450=﹣240+450=210,
答:长春与铁路桥之间的距离是210千米.
7.如图,购买一种苹果,付款金额y(元)与购买量x(千克)之间的函数图象由线段OA和射线AB组成,则一次购买5千克这种苹果比分五次每次购买1千克这种苹果可节省多少元?
【答案】
【解析】解:由图象可知A(2,20),B(4,36),
设直线OA解析式为y=kx,则2k=20,解得k=10,
∴直线OA解析式为y=10x(0≤x≤2),
∴买1千克时,付款金额为y=10×1,
∴分五次购买1千克所需要费用为50元,
设直线AB解析式为y=tx+b,
∴,解得,
∴直线AB解析式为y=8x+4(x>2),
∴当x=5时,y=44,即一次购买5千克所需费用为44元,
∵50﹣44=6,
∴一次购买5千克这种苹果比分五次每次购买1千克这种苹果可节省6元,
8.为了美化环境,建设宜居成都,我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉,经市场调查,甲种花卉的种植费用y(元)与种植面积x(m2)之间的函数关系如图所示,乙种花卉的种植费用为每平方米100元.
(1)直接写出当0≤x≤300和x>300时,y与x的函数关系式;
(2)广场上甲、乙两种花卉的种植面积共1200m2,若甲种花卉的种植面积不少于200m2,且不超过乙种花卉种植面积的2倍,那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植总费用最少?最少总费用为多少元?
【答案】
【解析】解:(1)y=.
(2)设甲种花卉种植为 a m2,则乙种花卉种植(12000﹣a)m2.
∴,
∴200≤a≤800
当200≤a<300时,W1=130a+100(1200﹣a)=30a+120000.
当a=200 时.Wmin=126000元;
当300≤a≤800时,W2=80a+15000+100(1200﹣a)=135000﹣20a.
当a=800时,Wmin=119000元.
∵119000<126000
∴当a=800时,总费用最少,最少总费用为119000元.
此时乙种花卉种植面积为1200﹣800=400(m2).
答:应该分配甲、乙两种花卉的种植面积分别是800m2 和400m2,才能使种植总费用最少,最少总费用为119000元.
9.如图,四边形OABC是长方形,点D在OC边上,以AD为折痕,将△OAD向上翻折,点O恰好落在BC边上的点E处,若OC=,A点坐标为(,0),求线段AD所在直线的解析式.
【答案】
【解析】解:∵四边形OABC是长方形,
∴AB=OC=,
∵A(,0),
∴OA=BC=,
设OD=t,由折叠的性质可得DE=OD=t,OA=AE=,
∴CD=﹣t,
在Rt△ABE中,由勾股定理可得BE2=AE2-AB2,
即BE2=,
∴BE=2.
∴CE=BC﹣BE=﹣2=,
在Rt△CDE中,由勾股定理可得DE2=CD2+CE2,
∴t2=(﹣t)2+()2,解得t=,
∴D(0,),
设直线AD的解析式为y=kx+b(k、b是常数,k≠0),
∴,解得,
∴直线AD的解析式为y=﹣x+.
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