第15讲 含参不等式
基本原理：1.等式的基本性质
2.非数轴法取不等式组的解集： “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了”.
知识点1 根据不等式（组）的解集，确定参数的取值范围
基本题型：1.已知某含参一元一次不等式（组）的解集，求参数的值.
2.已知某含参一元一次不等式（组）的解集，求另一含参不等式的解集.
【典例】
1.（1）关于x的一元一次不等式≤﹣2的解集为x≥4，求m的值.
（2）如果关于x的不等（2m﹣n）x+m﹣5n＞0的解集为x＜，试求关于x的不等式mx＞n的解集．
2.若不等式组的解集为，则的取值范围是_________．
【随堂练习】
1．（2018 潍坊二模）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（ ）
A．m＞3 B．m≥3 C．m≤3 D．m＜3
2．（2018春 开福区校级期中）不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是（ ）
A．m＜1 B．m≥1 C．m≤1 D．m＞1
3．（2018 丹棱县模拟）不等式组无解，则m的取值范围是（ ）
A．m≥5 B．m≥6 C．m＞6 D．m≤6
知识点2 根据不等式组的解集情况，确定参数的取值范围
基本题型：1.已知不等式组有解，求参数的值或范围；
2. 已知不等式组无解，求参数的值或范围；
【典例】
【题干】若关于x的不等式组有解，且关于x的方程有非负整数解，则符合条件的所有整数k的和是多少？
【随堂练习】
1．（2017春 九台市校级期中）已知不等式组的解集是﹣1＜x＜1，求（a+1）（b+1）的值．
知识点3 根据不等式组的整数解，确定参数的取值范围
基本题型：1.已知不等式组的整数解的个数，求参数的取值范围.
2.已知不等式组的整数解的和，求参数的取值范围.
【典例】
1.若关于x的不等式组有四个整数解，求a的取值范围．
【随堂练习】
1．（2018春 北流市期末）若m是不等式组的最大整数解，求：1+m+m2+…+m2018的值．
2．（2018春 金牛区校级月考）关于x的不等式组有四个整数解，求实数a的取值范围．
知识点4 根据方程（组）的解的情况，确定参数的取值范围
基本题型：已知含参方程组的解满足某个不等式，求参数的取值范围.
【典例】
1.（1）已知关于的二元一次方程组的解满足条件，求的取值范围．
（2）已知关于的方程组的解满足，求的取值范围.
【随堂练习】
1．（2018春 金牛区校级期中）（1）关于x的不等式（a+b）x+（2a﹣3b）＜0的解集为x，求关于x的不等式（a﹣3b）x＞2a+b的解集．
（2）求证：（7﹣x）（3﹣x）（4﹣x2）≤100
2．（2017 肇源县一模）若关于x的不等式mx+3＞0的解集为x＜3，求关于a的不等式a+2m＜1的非负整数解．
3．（2017春 南召县期末）已知关于x的方程x+m=3（x﹣2）的解是正数，则m的取值范围．
4．（2017春 宁城县期末）已知关于x、y的方程组的解适合不等式2x﹣y＞3，求a的取值范围．
【综合练习】
1.不等式组的解集是，则的取值范围是________．
2.已知关于的不等式 的解集是，试求的解集．
3.已知关于x的不等式≤的解集是x≥，求m的值．
4.已知关于x的不等式组恰有两个整数解，求a的取值范围．
5.已知关于x、y的方程组 的解满足x＜1且y＞1，求m的取值．
6.关于x的不等式组的所有整数解的和是﹣7，求m的取值范围.
5第15讲 含参不等式
基本原理：1.等式的基本性质
2.非数轴法取不等式组的解集： “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了”.
知识点1 根据不等式（组）的解集，确定参数的取值范围
基本题型：1.已知某含参一元一次不等式（组）的解集，求参数的值.
2.已知某含参一元一次不等式（组）的解集，求另一含参不等式的解集.
【典例】
1.（1）关于x的一元一次不等式≤﹣2的解集为x≥4，求m的值.
（2）如果关于x的不等（2m﹣n）x+m﹣5n＞0的解集为x＜，试求关于x的不等式mx＞n的解集．
【答案】略
【解析】解：（1）≤﹣2，
去分母，得m﹣2x≤﹣6，
移项，得﹣2x≤﹣m﹣6，
系数化为1，得x≥m+3，
∵关于x的一元一次不等式≤﹣2的解集为x≥4，
∴m+3=4，
解得m=2．
（2）（2m﹣n）x+m﹣5n＞0
移项，得（2m﹣n）x＞5n﹣m，
∵关于x的不等式（2m﹣n）x+m﹣5n＞0的解集为x＜，
∴不等号的方向发生了变化，
∴2m﹣n＜0，且x＜，
∴=，
交叉相乘，得7（5n-m）=10（2m-n）
整理，得n=m，
把n=m代入2m﹣n＜0得，
2m﹣m＜0，解得m＜0，
∵mx＞n，
∴mx＞m，
∴x＜．
∴关于x的不等式mx＞n的解集是x＜．
【方法总结】
已知一个含参不等式的解集，求参数的值它的一般解题步骤如下：
第一，先解这个不等式，在系数化为1时，需要根据给出的解集判断不等号的方向是否发生改变，以此来确定参数的正负.
第二，根据已知的解集和求出的解集相同，得到关于参数的方程，解方程求出参数的值.
若题目给出的参数超过一个，而要求新的含参不等式的解集时，步骤一相同，步骤二根据已知的解集和求出的解集相同，得到关于参数的方程，解方程得到参数之间的关系，进而求解新的不等式.
2.若不等式组的解集为，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】解：由，得，
不等式组可转化为.
∵不等式组的解集为，
∴根据“同大取大”可知，．
考虑边界情况，当时，不等式组为，符合题意.
∴.
故答案为m≤4．
【方法总结】
已知一元一次不等式组的解集，求参数的取值范围，可借助“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了”的原则，得出字母参数的范围，对于边界处取值是否可取，只需把边界值代入，看是否符合题意即可.
【随堂练习】
1．（2018 潍坊二模）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（ ）
A．m＞3 B．m≥3 C．m≤3 D．m＜3
【解答】解：①x+8＜4x﹣1
﹣3x＜﹣9
x＞3
②x＞m
∵不等式组的解集为x＞3
∴m≤3
故选：C．
2．（2018春 开福区校级期中）不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是（ ）
A．m＜1 B．m≥1 C．m≤1 D．m＞1
【解答】解：
由①得：x＞2，
由②得：x＞m+1．
因为不等式组的解集是x＞2，
所以2≥m+1，
所以m≤1，
故选：C．
3．（2018 丹棱县模拟）不等式组无解，则m的取值范围是（ ）
A．m≥5 B．m≥6 C．m＞6 D．m≤6
【解答】解：，
∵解不等式①得：x＜5，
解不等式②得：x＞m﹣1，
又∵不等式组无解，
∴m﹣1≥5，
即m≥6，
故选：B．
知识点2 根据不等式组的解集情况，确定参数的取值范围
基本题型：1.已知不等式组有解，求参数的值或范围；
2. 已知不等式组无解，求参数的值或范围；
【典例】
【题干】若关于x的不等式组有解，且关于x的方程有非负整数解，则符合条件的所有整数k的和是多少？
【答案】略
【解析】解：，
解不等式①得：，
解②得：，
∵不等式组有解，
∴不等式组的解集为：，
且，
解得.
解关于x的方程得，
，
∵关于x的方程有非负整数解，
∴时符合题意
∴
∴符合条件的整数k的和为：﹣4+（﹣3）+（﹣2）=﹣9；
【方法小结】
当给出的一元一次不等式组“有解、无解或有整数解…”时，可利用不等式组解集的取值技巧或者借助数轴，判断出字母参数的取值范围，需要考虑边界情况，再根据求得的字母参数的取值范围，求解其它相关问题.
【随堂练习】
1．（2017春 九台市校级期中）已知不等式组的解集是﹣1＜x＜1，求（a+1）（b+1）的值．
【解答】解：解不等式2x﹣a＜1得x＜，
解不等式x﹣2b＞3得：x＞2b+3，
∵﹣1＜x＜1，
∴2b+3=﹣1、=1，
解得：a=1、b=﹣2，
则原式=2×（﹣1）=﹣2．
知识点3 根据不等式组的整数解，确定参数的取值范围
基本题型：1.已知不等式组的整数解的个数，求参数的取值范围.
2.已知不等式组的整数解的和，求参数的取值范围.
【典例】
1.若关于x的不等式组有四个整数解，求a的取值范围．
【答案】略
【解析】解：
由不等式①，得2x﹣3x＜﹣9+1，
解得x＞8，
由不等式②，得3x+2＞4x+4a，
解得x＜2﹣4a，
∴不等式的解集为8＜x＜2﹣4a.
∵不等式组有四个整数解，观察数轴可知，
四个整数解分别是9，10，11，12，
∴先初步判定2-4a肯定在12和13之间，即12＜2﹣4a<13，
考虑边界值：
当2-4a=12时，不等式的解集变为8＜x＜12，只有三个整数解，不符合题意；
当2-4a=13时，不等式的解集变为8＜x＜13，恰有四个整数解；
∴12＜2﹣4a≤13
解得﹣≤a＜﹣．
【方法小结】
一元一次不等式组的整数解问题的一般解题思路：
第一，先解含参不等式组，求出它的解集（解集中含参数）；
第二，借助数轴，根据已知的整数解的个数或整数解之间的关系，初步判断出解集中含参的那一部分在哪两个相邻的整数之间，写出此时的范围；
第三，判断边界值，分别令含参部分等于两个边界值，写出此时的解集，判断是否符合给定的已知条件，进而求解出参数的取值范围.
【随堂练习】
1．（2018春 北流市期末）若m是不等式组的最大整数解，求：1+m+m2+…+m2018的值．
【解答】解：，
由不等式①，得x≥﹣2，
由不等式②，得x＜0，
所以不等式组的解集为：﹣2≤x＜0，
解集中最大的整数为：﹣1，则m=﹣1，
所以1+m+m2+…+m2018=1+（﹣1）+（﹣1）2+…+（﹣1）2018
=1﹣1+1﹣1+…+1
=1．
2．（2018春 金牛区校级月考）关于x的不等式组有四个整数解，求实数a的取值范围．
【解答】解：解不等式5x+2＞3（x﹣1），得：x＞﹣2.5，
解不等式x≤8﹣x+2a，得：x≤a+4，
∵不等式组有四个整数解，
∴四个整数解为﹣2、﹣1、0、1，
则1≤a+4＜2，
解得：﹣3≤a＜﹣2．
知识点4 根据方程（组）的解的情况，确定参数的取值范围
基本题型：已知含参方程组的解满足某个不等式，求参数的取值范围.
【典例】
1.（1）已知关于的二元一次方程组的解满足条件，求的取值范围．
（2）已知关于的方程组的解满足，求的取值范围.
【答案】略
【解析】解：（1）
①-②得， ，
①×3得，④，
②+④得，，
∵，
∴，
解得.
（2），
①+②得，
∴，
∵，
∴，
∴．
【方法总结】
已知一个含参二元一次方程组的解满足某个不等式，求参数的取值范围，只需要先解方程组，求出它的解（含参），再把求得的解代入已知不等式中，得到关于参数的不等式，求解不等式即可得到参数的取值范围.
注：对于有些特殊的待求不等式，可以不解方程组，只需把方程组的两个式子作适当的变形，比如相加、相减等，题中的（2）便是利用的此种方法.
【随堂练习】
1．（2018春 金牛区校级期中）（1）关于x的不等式（a+b）x+（2a﹣3b）＜0的解集为x，求关于x的不等式（a﹣3b）x＞2a+b的解集．
（2）求证：（7﹣x）（3﹣x）（4﹣x2）≤100
【解答】解：（1）∵不等式（a+b）x+（2a﹣3b）＜0的解集是x＞﹣，
∴，
解得：a=2b，
∵a+b＜0，
∴3b＜0，即b＜0，
∴﹣b＞0，
此时不等式（a﹣3b）x＞2a+b为﹣bx＞5b，
解得：x＞﹣5；
（2）（7﹣x）（3﹣x）（4﹣x2）=﹣（x2﹣4）（x﹣7）（x﹣3）
=﹣（x+2）（x﹣2）（x﹣7）（x﹣3）
=﹣（x2﹣5x﹣14）（x2﹣5x+6）
=﹣[（x2﹣5x）2﹣8（x2﹣5x）﹣84]
=﹣[（x2﹣5x）2﹣8（x2﹣5x）+16﹣100]
=﹣（x2﹣5x﹣4）2+100
∵﹣（x2﹣5x﹣4）2≤0，
∴﹣（x2﹣5x﹣4）2+100≤100，
即（7﹣x）（3﹣x）（4﹣x2）≤100．
2．（2017 肇源县一模）若关于x的不等式mx+3＞0的解集为x＜3，求关于a的不等式a+2m＜1的非负整数解．
【解答】解：由mx+3＞0的解集为x＜3，
得m=﹣1，将m=﹣1代入a+2m＜1，得a＜3，
所以a+2m＜1的非负整数解为0，1，2．
3．（2017春 南召县期末）已知关于x的方程x+m=3（x﹣2）的解是正数，则m的取值范围．
【解答】解：x+m=3（x﹣2），
∴x+m=3x﹣6，
∴﹣2x=﹣6﹣m，
∴x=3+m，
∵方程的解是正数，
∴3+m＞0，
∴m＞﹣6．
即m的取值范围是m＞﹣6．
4．（2017春 宁城县期末）已知关于x、y的方程组的解适合不等式2x﹣y＞3，求a的取值范围．
【解答】解：法一：，
由方程组可得，
∵2x﹣y＞3，
∴﹣＞3，
∴a＞1；
∴a的取值范围是a＞1．
法二：（1）+（2）：2x﹣y=3a，
由题意：3a＞3，
解得a＞1．
故a的取值范围是a＞1．
【综合练习】
1.不等式组的解集是，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】解：∵的解集是3＜x＜a+2，
∴根据“同大取大，同小取小”，得
，
解得a≤3．
又3＜a+2，
故a>1，
综上．
2.已知关于的不等式 的解集是，试求的解集．
【答案】略
【解析】解：∵不等式的解集是，
∴ ，即，
解不等式，得.
∴.
交叉相乘，得，
整理得.
把代入中，得
.
∴的解集为．
即.
3.已知关于x的不等式≤的解集是x≥，求m的值．
【答案】略
【解析】解：原不等式可化为：4m+2x≤12mx﹣3，
即（12m﹣2）x≥4m+3，
又因原不等式的解为x≥，
则12m﹣2＞0，m＞，
不等式的解集为x≥.
即：=，
即24m+18=12m﹣2，
解得：m=﹣，不满足m＞，应舍去．
故符合题意的m值不存在．
4.已知关于x的不等式组恰有两个整数解，求a的取值范围．
【答案】略
【解析】解：，
解不等式①得：x＞﹣，
解不等式②得：x＜﹣2a．
则不等式组的解集是：﹣＜x＜﹣2a．
不等式组只有两个整数解，是0和1，
观察数轴可知，﹣2a在1和2之间，即1<﹣2a<2．
考虑边界值：
当-2a=1时，不等式的解集变为﹣＜x＜1，有一个整数解，不符合题意；
当-2a=2时，不等式的解集变为﹣＜x＜2，有两个整数解；
∴1＜﹣2a≤2．
解得：﹣1≤a＜﹣．
5.已知关于x、y的方程组 的解满足x＜1且y＞1，求m的取值．
【答案】略
【解析】解：
解方程组得：
∵方程组的解满足x＜1且y＞1，
∴
解这个不等式组得：﹣1＜m＜0.
即m的取值为：﹣1＜m＜0.
6.关于x的不等式组的所有整数解的和是﹣7，求m的取值范围.
【答案】略
【解析】解：
解不等式①得： ，
则不等式组的解集是：，
∵不等式的所有整数解的和是-7，观察数轴可得到如下两种情况.
情况一（如图1）：，
此时 在-3和-2之间，判断临界情况可知.
情况二（如图2）：，
此时在2和3之间，判断临界情况可知.
综合，的取值范围是或.
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