第1讲 复杂的“旋转型”与弦图
知识点1 复杂的“旋转型”
在一些特殊图形中，由两边相等可以利用“旋转”的方式将三角形“转移”，从而达到转移边或角的目的.在没有明确给出“旋转”后的图形时，有的需要作辅助线进行构造.
常见的一些模型如下：
【典例】
1.如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边作正方形BCDE，对角线的交点为O，连接AO，如果AB=3，AO=，求AC的长.
【解析】解：如图，在AC上截取CF=AB，
∵四边形BCDE是正方形，
∴OB=OC，∠BOC=90°，
∴∠2+∠OCF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠1+∠OBA=90°，
∵∠1=∠2（对顶角相等），
∴∠OBA=∠OCF．
∵在△ABO和△FCO中，
，
∴△ABO≌△FCO（ASA），
∴OF=AO=2，∠AOB=∠FOC，
∴∠AOF=∠AOB+∠BOF=∠FOC+∠BOF=∠BOC=90°，
∴△AOF是等腰直角三角形，
∴AF=AO=×2=4，
∴AC=AF+CF=4+3=7．
【方法总结】
在AC上截取CF=AB，利用“边角边”证明△ABO和△FCO全等，根据全等三角形的性质可得OF=AO，∠AOB=∠FOC，然后判定出△AOF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍求出AF，再根据AC=AF+CF，代入数据进行计算即可得解．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形与等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．
2.如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连接PQ交AC边于D，求DE的长.
【解析】解：过P作PF∥BC交AC于F．
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，
∴AP=PF=AF.
∵PE⊥AC，
∴AE=EF.
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ．
∵在△PFD和△QCD中，
，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD，
∵AE=EF，
∴EF+FD=AE+CD，
∴AE+CD=DE=AC.
∵AC=1，
∴DE=．
【方法总结】
过P作PF∥BC交AC于F，得出三角形APF是等边三角形，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，由AAS证出△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE=AC即可．
本题综合考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键.此题培养了学生综合分析问题和解决问题的能力，难度适中．
【随堂练习】
1.如图，已知∠ABC=120°，BD平分∠ABC，∠DAC=60°，若AB=2，BC=3，则BD的长是_____
【答案】5
【解析】解：在CB的延长线上取点E，使BE=AB，连接AE，
∵∠ABC=120°，
∴∠ABE=180﹣∠ABC=60°，
∵BE=AB，
∴△ABE为等边三角形，
∴AE=AB，∠BAE=∠E=60°，
∵∠DAC=60°，
∴∠DAC=BAE，
∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠EAC=∠BAC+∠BAE，
∴∠BAD=∠EAC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠ABC=60°，
∴∠ABD=∠E，
在△ABD和△AEC中，
，
∴△ABD≌△AEC（ASA），
∴BD=CE.
∵CE=BE+BC=AB+BC=3+2=5，
∴BD=5，
2.如图，五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED=90°，AB=CD=AE=BC+DE=1，则这个五边形ABCDE的面积=______
【答案】1
【解析】解：连接AC、AD，延长CB到D′，连接AD′，使BD′=DE.
∵∠ABC+∠ABD′=180°，∠ABC=90°，
∴∠ABD′=90°.
∴∠ABD′=∠ABC，
又∵AB=AE,
∴△ABD′≌△AED(SAS).
∴∠ABD′=∠E=90°, 五边形ABCDE的面积等于四边形ADCD′的面积.
∵∠ABC+∠ABD′=180°，
∴C、B、D′三点共线，
∴BC+ BD′= BC+DE=CD′=1,
∴S△ACD′=×1×1=.
∵,
∴△ACD′≌△ACD（SSS），
∴S△ACD=，
∴四边形ADC D′的面积+=1,
∴这个五边形ABCDE的面积等于1．
3.已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列五个结论：①AD=BE；②∠BMC=∠ANC；③∠APM=60°；④AN=BM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有（ ）
【答案】5个
【解析】解：∵△ABC和△DEC都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ECD =∠ACB =60°，
∴∠ECD+∠ACE =∠ACB+∠ACE，即∠ACD =∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，故选项①正确；
∵∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACE=60°.
由△BCE≌△ACD得∠CBE=∠CAD，
∴∠BMC=∠ANC，故选项②正确；
∵∠ACB是△ACD的外角，
∴∠ACB=∠CAD+∠ADC=∠CBE+∠ADC=60°，
又∠APM是△PBD的外角，
∴∠APM=∠CBE+∠ADC=60°，故选项③正确；
在△ACN和△BCM中，
，
∴△ACN≌△BCM(ASA)，
∴AN=BM，故选项④正确；
∴CM=CN，即△CMN为等腰三角形.
又∵∠MCN=60°，
∴△CMN是等边三角形，故选项⑤正确.
知识点2 弦图及其拓展
“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成一个大的正方形，如下图.
图中的等量关系有：
a2+b2=c2；
4个小三角形的面积和=2ab；
大正方形的边长为c，面积= a2+b2=c2；
小正方形的边长为b-a=，面积= （b-a）2=c2﹣2ab；
（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab；
（a-b）2=a2+b2-2ab=c2-2ab.
【典例】
1.在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，求a4+b4的值.
【答案】
【解析】解：依题意有：
大正方形的面积=a2+b2=13，
∵四个直角三角形的面积和=4×ab=2ab，
四个直角三角形的面积和= 13﹣1=12，
∴2ab=12，即 ab=6，
则a4+b4
=（a2+b2）2﹣2a2b2
=（a2+b2）2﹣2（ab）2，
把a2+b2=13，ab=6代入上式，
得原式=132﹣2×62
=169﹣72
=97．
【方法总结】
根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积13，2ab即四个直角三角形的面积和.将a4+b4变形成包含a2+b2和ab的式子，从而求得a4+b4的值．
本题考查了勾股定理、弦图、完全平方式等知识，解题的关键是掌握弦图中的有关等量关系，灵活运用所学知识解决问题．
2.四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM=2EF，则正方形ABCD的面积为______
【答案】13S
【解析】解：设AM=2a，BM=b，则正方形ABCD的面积=4a2+b2，
由题意可知EF=（2a﹣b）﹣2（a﹣b）=2a﹣b﹣2a+2b=b，
∵AM=2EF，
∴2a=2b，
∴a=b，
∵正方形EFGH的面积为S，
∴b2=S，
∴正方形ABCD的面积=4a2+b2=13b2=13S，
【方法总结】
设AM=2a，BM=b，则正方形ABCD的面积=4a2+b2.由题意可知EF=（2a-b）-2（a-b）=2a-b-2a+2b=b，由AM=2EF可得a与b的关系．分别用b表示正方形ABCD和正方形EFGH的面积，即可得出结果.
本题考查勾股定理、线段的垂直平分线的定义等知识，解题的关键是用直角三角形的两直角边长表示已知面积的正方形的边长．
【随堂练习】
1.如图，已知该图是由四个全等的直角三角形拼接而成的图形，其中AE=5，BE=12，则EF的长是______
【答案】
【解析】解：∵△AEB≌△BHC，
∴BH=AE=5，
∴EH=BE﹣BH=7，
同理，HF=7，
∴EF==7，
2.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1）所示）．图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=144，则S2的值是_____
【答案】48
【解析】解：∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，
∴CG=KG=NF，CF=DG=KF，
∴S1=（CG+DG）2
=CG2+DG2+2CG DG
=CG2+CF2+2CG DG
=GF2+2CG DG，
S2=GF2，
S3=（KF﹣NF）2=KF2+NF2﹣2KF NF，
∴S1+S2+S3
=GF2+2CG DG+GF2+KF2+NF2﹣2KF NF
=GF2+2CG DG+GF2+KF2+NF2﹣2CG DG
=3GF2.
∴3GF2=144，
∴GF2==48，
∴S2=48．
3.勾股定理被誉为“几何明珠”，在数学的发展历程中占有举足轻重的地位．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D、E、F、G、H、I 都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为____
【答案】110
【解析】解：延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，如图所示：
则四边形OAPL是矩形．
∵∠CBF=90°，
∴∠ABC+∠OBF=90°，
又∵Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠OBF=∠ACB，
在△OBF和△ACB中，
∴△OBF≌△ACB（AAS），
∴AC=OB，
同理：△ACB≌△PGC，
∴PC=AB，
∴OA=AP，
∴矩形AOLP是正方形，边长AO=AB+AC=3+4=7，
∴KL=3+7=10，LM=4+7=11，
∴长方形KLMJ的面积为10×11=110．
综合运用
1.如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB=10，EF=2，那么AH等于_____________.
【答案】6
【解析】解：∵AB=10，EF=2，
∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，
∴四个直角三角形面积和为100﹣4=96，设AE为a，DE为b，即4×ab=96，
∴2ab=96，a2+b2=100，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=100+96=196，
∴a+b=14，
∵a﹣b=2，
解得：a=8，b=6，
∴AE=8，DE=6，
∴AH=8﹣2=6．
2.如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若两直角边BC=4，AC=6，现将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，延长后得到下图所示的“数学风车”，则该“数学风车”所围成的总面积是_____．
【答案】100
【解析】解：依题意，得△BCD的年级为×（6+6）×4=24.
中间小正方形的面积为（6-4）×（6-4）=4，
所以该“数学风车”所围成的总面积=24×4+4=100.
故答案为：100
3.在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是BC上一点，且EF=AE+CF，则∠EDF度数为_____________.
【答案】45°
【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴DA=DC，∠DAB=∠C=90°，
如图，延长EA到G,使GA=CF，连接DG，则∠DAG=90°，
∴∠DAG=∠C=90°，
∴△DAG≌△DCF(SAS)
∴DG=DF，∠CDF=∠ADG,
又∵∠CDF+∠ADF=∠ADC=90°，
∴∠ADG+∠ADF=∠GDF=90°.
∵GE=GA+AE，
EF=AE+CF，
∴GE=EF，
在△DGE和△DFE中
，
∴△DGE≌△DFE(SSS)，
∴∠GDE=∠FDE，
∴∠EDF=∠GDF=45°．
故答案为45°.
4.如图，四边形ABCD是正方形，直线a，b，c分别通过A、D、C三点，且a∥b∥c,若a与b之间的距离是5，b与c之间的距离是7，则正方形ABCD的面积是________.
【答案】74
【解析】解：如图：
过A作AM⊥直线b于M，过D作DN⊥直线c于N，
则∠AMD=∠DNC=90°，
∵直线b∥直线c，DN⊥直线c，
∴∠2+∠3=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
在△AMD和△CND中,
,
∴△AMD≌△CND(AAS)，
∴AM=CN，
∵a与b之间的距离是5，b与c之间的距离是7，
∴AM=CN=5，DN=7，
在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC2=DN2+CN2=72+52=74，
即正方形ABCD的面积为74，
故答案为74.
5.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由“赵爽弦图”变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若正方形EFGH的边长为2，求S1+S2+S3的值．
【答案】
【解析】解：将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，
∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，正方形EFGH的边长为2，
∴得出S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x，
∴S1+S2+S3=3x+12y=3（4y+x）=3S2．
∵S2=2×2=4，
∴S1+S2+S3=3×4=12．
6.已知点P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°，试说明PB+PC=AP．
【答案】
【解析】证明：延长BP至E，使PE=PC，连接CE，
∵∠BPC=120°，
∴∠CPE=60°，又PE=PC，
∴△CPE为等边三角形，
∴CP=PE=CE，∠PCE=60°，
∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC，∠BCA=60°，
∴∠ACB=∠PCE，
∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP，
即∠ACP=∠BCE，
在△ACP和△BCE中，
，
∴△ACP≌△BCE（SAS），
∴AP=BE，
∵BE=BP+PE，
∴AP=BP+PC.
7.已知：在中，，，过点作于，为边上一点，且，连结、．求证：．
【答案】
【解析】解：延长至，使，连结、.
，
又，
,
在与中，
，
,，
．
21第1讲 复杂的“旋转型”与弦图
知识点1 复杂的“旋转型”
在一些特殊图形中，由两边相等可以利用“旋转”的方式将三角形“转移”，从而达到转移边或角的目的.在没有明确给出“旋转”后的图形时，有的需要作辅助线进行构造.
常见的一些模型如下：
【典例】
1.如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边作正方形BCDE，对角线的交点为O，连接AO，如果AB=3，AO=，求AC的长.
【方法总结】
在AC上截取CF=AB，利用“边角边”证明△ABO和△FCO全等，根据全等三角形的性质可得OF=AO，∠AOB=∠FOC，然后判定出△AOF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍求出AF，再根据AC=AF+CF，代入数据进行计算即可得解．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形与等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．
2.如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连接PQ交AC边于D，求DE的长.
【方法总结】
过P作PF∥BC交AC于F，得出三角形APF是等边三角形，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，由AAS证出△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE=AC即可．
本题综合考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键.此题培养了学生综合分析问题和解决问题的能力，难度适中．
【随堂练习】
1.如图，已知∠ABC=120°，BD平分∠ABC，∠DAC=60°，若AB=2，BC=3，则BD的长是_____
2.如图，五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED=90°，AB=CD=AE=BC+DE=1，则这个五边形ABCDE的面积=______
3.已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列五个结论：①AD=BE；②∠BMC=∠ANC；③∠APM=60°；④AN=BM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有（ ）
知识点2 弦图及其拓展
“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成一个大的正方形，如下图.
图中的等量关系有：
a2+b2=c2；
4个小三角形的面积和=2ab；
大正方形的边长为c，面积= a2+b2=c2；
小正方形的边长为b-a=，面积= （b-a）2=c2﹣2ab；
（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab；
（a-b）2=a2+b2-2ab=c2-2ab.
【典例】
1.在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，求a4+b4的值.
【方法总结】
根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积13，2ab即四个直角三角形的面积和.将a4+b4变形成包含a2+b2和ab的式子，从而求得a4+b4的值．
本题考查了勾股定理、弦图、完全平方式等知识，解题的关键是掌握弦图中的有关等量关系，灵活运用所学知识解决问题．
2.四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM=2EF，则正方形ABCD的面积为______
【方法总结】
设AM=2a，BM=b，则正方形ABCD的面积=4a2+b2.由题意可知EF=（2a-b）-2（a-b）=2a-b-2a+2b=b，由AM=2EF可得a与b的关系．分别用b表示正方形ABCD和正方形EFGH的面积，即可得出结果.
本题考查勾股定理、线段的垂直平分线的定义等知识，解题的关键是用直角三角形的两直角边长表示已知面积的正方形的边长．
【随堂练习】
1.如图，已知该图是由四个全等的直角三角形拼接而成的图形，其中AE=5，BE=12，则EF的长是______
2.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1）所示）．图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=144，则S2的值是_____
3.勾股定理被誉为“几何明珠”，在数学的发展历程中占有举足轻重的地位．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D、E、F、G、H、I 都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为____
综合运用
1.如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB=10，EF=2，那么AH等于_____________.
2.如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若两直角边BC=4，AC=6，现将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，延长后得到下图所示的“数学风车”，则该“数学风车”所围成的总面积是_____．
3.在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是BC上一点，且EF=AE+CF，则∠EDF度数为_____________.
4.如图，四边形ABCD是正方形，直线a，b，c分别通过A、D、C三点，且a∥b∥c,若a与b之间的距离是5，b与c之间的距离是7，则正方形ABCD的面积是________.
5.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由“赵爽弦图”变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若正方形EFGH的边长为2，求S1+S2+S3的值．
6.已知点P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°，试说明PB+PC=AP．
7.已知：在中，，，过点作于，为边上一点，且，连结、．求证：．
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