第2讲 实数
知识点1 平方根
平方根:如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根．
也就是说，若，则就叫做的平方根．
一个非负数的平方根可用符号表示为“”．
一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.
【典例】
1.一个正数的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2，则a的值为____
【方法总结】
本题主要考察：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，另外还需注意：0的平方根是0；负数没有平方根.
2.下列说法正确的是（ ）
A.正数的平方根是它本身
B.100的平方根是10
C.﹣10是100的一个平方根
D.﹣1的平方根是﹣1
【方法总结】
本题主要考察平方根的相关性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.
【随堂练习】
1．（2019春 武胜县期中）已知的平方根是，的平方根是，求．
2．（2019春 防城港期中）一个正数的平方根是与，求和这个正数．
知识点2 算术平方根
算术平方根：一个正数有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做的算术平方根，可用符号表示为“”；
有一个平方根，就是，的算术平方根也是，负数没有平方根，当然也没有算术平方根．
【典例】
的算术平方根为____
【方法总结】
此题主要考查了算术平方根，关键是掌握算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
【随堂练习】
1．（2019春 浦东新区期中）先计算下列各式：，， ， ， ．
（1）通过观察并归纳，请写出： ．
（2）计算： ．
2．（2019春 长白县期中）已知实数，，满足：，的平方根等于它本身．求的值．
3．（2018春 奈曼旗期末）张华想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向剪出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为．他不知能否裁得出来，正在发愁．李明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意李明的说法吗？张华能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
4．（2017春 青山区期中）小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁处一块面积为的长方形纸片．
（1）请帮小丽设计一种可行的裁剪方案；
（2）若使长方形的长宽之比为，小丽能用这块纸片裁处符合要求的纸片吗？若能，请帮小丽设计一种裁剪方案；若不能，请简要说明理由．
知识点3 立方根
立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根，也就是说，若则就叫做的立方根.
一个数的立方根可用符号表示“”，其中“”叫做根指数，不能省略．
前面学习的“”其实省略了根指数“”，即：也可以表示为．
任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，
正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，的立方根为．
【典例】
1.计算的结果是（ ）
【方法总结】
此题主要考查了立方根，正确把握立方根的定义是解题关键．若则就叫做的立方根.
2如果m2=36，n3=﹣64，=5，则m+n﹣x的值有____个．
【方法总结】
此题主要考查平方根的定义、算术平方根的定义及立方根的定义，比较简单．做题时，关键是掌握它们的定义.
【随堂练习】
1．（2019春 黄石期中）已知实数的两个平方根分别为和，实数的立方根为，求的值．
2．（2019春 莘县期中）已知是的算术平方根，是的立方根，
求：的值的平方根．
3．（2019春 海安县校级月考）若与互为相反数，求的值．
知识点4 实数
1 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数．
注意：（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，但不是所有带根号的数都是无理数．
（2）圆周率及一些含的数是无理数．
（3）不循环的无限小数是无理数．
（4）有理数可化为分数，而无理数则不能化为分数．
2 无理数的性质：设a为有理数，b为无理数，则a+b，a-b是无理数；
3 实数的概念：有理数和无理数统称为实数．
实数的分类：
4 实数与数轴上的点一一对应：
即数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示，反过来，每个实数都可以在数轴上找到表示它的点．
【典例】
1.下列各数中：，，，﹣π，，﹣0.1010010001，无理数有_____个
【方法总结】
本题主要考察无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数．
常见的无理数形式有四种：
（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，但不是所有带根号的数都是无理数．
（2）圆周率及一些含的数是无理数．
（3）不循环的无限小数是无理数．
（4）有理数和无理数的结合，例如：设a为有理数，b为无理数，则a+b，a-b是无理数；
2.把下列各数填入相应的集合：
﹣1、、π、﹣3.14、、﹣、、0、0.131331333、﹣
（1）有理数集合{ }；
（2）无理数集合{ }
（3）整数集合{ }
（4）负实数集合{ }
【方法总结】
本题主要考察了实数的分类：
3.与最接近的整数是______
【方法总结】
本题考查了估算无理数的大小，在紧邻前后两个完全平方数的算数平方根之间.
3.计算：
﹣12+（﹣2）3×﹣×（）
【方法总结】
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
【随堂练习】
1．（2019春 邳州市期中）规定：一个数的平方等于，记作，于是可知，，按照这样的规律，等于
A．1 B． C． D．
2．（2018秋 北仑区期末）数轴上从左到右依次有、、三点表示的数分别为、、，其中为整数，且满足，则 ．
3．（2019春 聊城期中）如图，以数轴的单位长度为一边长，另一边长为2个单位长度作矩形，以数轴上的原点为圆心，矩形的对角线为半径作弧与数轴交于点，则点表示的数为 ．
4．（2018秋 大冶市期末）若点、、在数轴上对应的数分别为、、满足．
（1）在数轴上是否存在点，使得？若存在，求出点对应的数；若不存在，请说明理由；
（2）若点，，同时开始在数轴上分别以每秒1个单位长度，每秒3个单位长度，每秒5个单位长度沿着数轴负方向运动．经过秒后，试问的值是否会随着时间的变化而变化？请说明理由．
5．（2018秋 龙湖区期末）如图，在数轴上点表示的数、点表示数，、满足．点是数轴原点．
（1）点表示的数为 ，点表示的数为 ，线段的长为 ．
（2）若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点在数轴上表示的数为 ．
（3）现有动点、都从点出发，点以每秒1个单位长度的速度向终点移动；当点移动到点时，点才从点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，且当点到达点时，点就停止移动，设点移动的时间为秒，问：当为多少时，、两点相距4个单位长度？
6．（2018秋 定兴县期末）如图1，已知在数轴上有、两点，点表示的数是，点表示的数是9．点在数轴上从点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴正方向运动，同时，点在数轴上从点出发，以每秒3个单位的速度在沿数轴负方向运动，当点到达点时，两点同时停止运动．设运动时间为秒．
（1） ；时，点表示的数是 ；当 时，、两点相遇；
（2）如图2，若点为线段的中点，点为线段中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长；
（3）如图3，若点为线段的中点，点为线段中点，则点表示的数为 ；点表示的数为 ； ．（用含的代数式填空）
综合运用
1.的平方根是 ．
2.（﹣4）2的算术平方根是 ．
3.计算：= ．
4.已知一个正数的两个平方根分别为2m﹣6和3+m，则（﹣m）2018的值为 ．
5.已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根为±4，则a+2b的平方根是 ．
6.在，2π，﹣2，0，0.454454445…，﹣，中，无理数的有 个．
7.设n为正整数，且n＜＜n+1，则n的值为 ．
8.比大且比小的整数是 ．
9.将下列各数填入相应的集合内．﹣3.14，，﹣，﹣，0，，π，1010010001…
有理数集合{ …}
无理数集合{ …}
负实数集合{ …}．
10.计算：﹣2+|﹣2|．
11.计算：
﹣﹣（﹣2）2．
12.一个数值转换器，如图所示：
（1）当输入的x为16时．输出的y值是 ；
（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由；
（3）若输出的y是，请写出两个满足要求的x值： ．
9第2讲 实数
知识点1 平方根
平方根:如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根．
也就是说，若，则就叫做的平方根．
一个非负数的平方根可用符号表示为“”．
一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.
【典例】
1.一个正数的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2，则a的值为____
【答案】-1
【解析】解：因为一个正数有两个平方根，它们互为相反数
所以：2a﹣1﹣a+2=0，
解得：a=﹣1，
【方法总结】
本题主要考察：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，另外还需注意：0的平方根是0；负数没有平方根.
2.下列说法正确的是（ ）
A.正数的平方根是它本身
B.100的平方根是10
C.﹣10是100的一个平方根
D.﹣1的平方根是﹣1
【答案】C.
【解析】解：A、正数的平方根是它本身，错误；
B、100的平方根是10，错误，应为±10；
C、﹣10是100的一个平方根，正确；
D、﹣1没有平方根，故此选项错误；
故选：C
【方法总结】
本题主要考察平方根的相关性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.
【随堂练习】
1．（2019春 武胜县期中）已知的平方根是，的平方根是，求．
【解答】解：的平方根是，的平方根是，
，，解得：，．
．
2．（2019春 防城港期中）一个正数的平方根是与，求和这个正数．
【解答】解：由题意得：，
解得：，
，，
则这个正数为9．
知识点2 算术平方根
算术平方根：一个正数有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做的算术平方根，可用符号表示为“”；
有一个平方根，就是，的算术平方根也是，负数没有平方根，当然也没有算术平方根．
【典例】
的算术平方根为____
【答案】3
【解析】解：∵=9，32=9
∴的算术平方根为3．
【方法总结】
此题主要考查了算术平方根，关键是掌握算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
【随堂练习】
1．（2019春 浦东新区期中）先计算下列各式：，， 3 ， ， ．
（1）通过观察并归纳，请写出： ．
（2）计算： ．
【解答】解：（1）；
，
，
，
观察上述算式可知：．
（2），
，
，
．
故答案为：3；4；5；（1）；（2）．
2．（2019春 长白县期中）已知实数，，满足：，的平方根等于它本身．求的值．
【解答】解：，
把代入得：
的平方根等于它本身，
．
3．（2018春 奈曼旗期末）张华想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向剪出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为．他不知能否裁得出来，正在发愁．李明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意李明的说法吗？张华能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
【解答】答：不同意李明的说法
解：设长方形纸片的长为 ，则宽为 ，依题意得
，
，，
，
，
长方形纸片的长为 ，
，
，
，
即长方形纸片的长大于，由正方形纸片的面积为400 ，可知其边长为，
长方形纸片的长大于正方形纸片的边长．
答：李明不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片．
4．（2017春 青山区期中）小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁处一块面积为的长方形纸片．
（1）请帮小丽设计一种可行的裁剪方案；
（2）若使长方形的长宽之比为，小丽能用这块纸片裁处符合要求的纸片吗？若能，请帮小丽设计一种裁剪方案；若不能，请简要说明理由．
【解答】解：（1）设面积为的正方形纸片的边长为 ，
，
又，
，
又要裁出的长方形面积为
若以原正方形纸片的边长为长方形的长，
则长方形的宽为：
可以以正方形一边为长方形的长，在其邻边上截取长为的线段作为宽即可裁出符合要求的长方形；
（2）长方形纸片的长宽之比为，
设长方形纸片的长为，则宽为，
，
，
又，
，
长方形纸片的长为，
又
即：
小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片．
知识点3 立方根
立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根，也就是说，若则就叫做的立方根.
一个数的立方根可用符号表示“”，其中“”叫做根指数，不能省略．
前面学习的“”其实省略了根指数“”，即：也可以表示为．
任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，
正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，的立方根为．
【典例】
1.计算的结果是（ ）
【答案】3
【解析】解：==3，
【方法总结】
此题主要考查了立方根，正确把握立方根的定义是解题关键．若则就叫做的立方根.
2如果m2=36，n3=﹣64，=5，则m+n﹣x的值有____个．
【答案】4
【解析】解：∵m2=36，n3=﹣64，=5，
∴m=6或﹣6、n=﹣4、x=5或﹣5，
当m=6、n=﹣4、x=5时，m+n﹣x=6﹣4﹣5=﹣3；
当m=6、n=﹣4、x=﹣5时，m+n﹣x=6﹣4+5=7；
当m=﹣6、n=﹣4、x=5时，m+n﹣x=﹣6﹣4﹣5=﹣15；
当m=﹣6、n=﹣4、x=﹣5时，m+n﹣x=﹣6﹣4+5=﹣5；
【方法总结】
此题主要考查平方根的定义、算术平方根的定义及立方根的定义，比较简单．做题时，关键是掌握它们的定义.
【随堂练习】
1．（2019春 黄石期中）已知实数的两个平方根分别为和，实数的立方根为，求的值．
【解答】解：根据题意得：，
解得：，
所以，，
则原式．
2．（2019春 莘县期中）已知是的算术平方根，是的立方根，
求：的值的平方根．
【解答】解：是的算术平方根，
，
解得，
；
是的立方根，
，即，
解得，
，
，
的值的平方根是．
3．（2019春 海安县校级月考）若与互为相反数，求的值．
【解答】解：与互为相反数，
，
，
，
．
知识点4 实数
1 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数．
注意：（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，但不是所有带根号的数都是无理数．
（2）圆周率及一些含的数是无理数．
（3）不循环的无限小数是无理数．
（4）有理数可化为分数，而无理数则不能化为分数．
2 无理数的性质：设a为有理数，b为无理数，则a+b，a-b是无理数；
3 实数的概念：有理数和无理数统称为实数．
实数的分类：
4 实数与数轴上的点一一对应：
即数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示，反过来，每个实数都可以在数轴上找到表示它的点．
【典例】
1.下列各数中：，，，﹣π，，﹣0.1010010001，无理数有_____个
【答案】3
【解析】解：，，﹣π，是无理数，
【方法总结】
本题主要考察无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数．
常见的无理数形式有四种：
（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，但不是所有带根号的数都是无理数．
（2）圆周率及一些含的数是无理数．
（3）不循环的无限小数是无理数．
（4）有理数和无理数的结合，例如：设a为有理数，b为无理数，则a+b，a-b是无理数；
2.把下列各数填入相应的集合：
﹣1、、π、﹣3.14、、﹣、、0、0.131331333、﹣
（1）有理数集合{ }；
（2）无理数集合{ }
（3）整数集合{ }
（4）负实数集合{ }
【答案】
【解析】解：（1）有理数集合{﹣1、﹣3.14、、0、0.131331333、﹣}；
（2）无理数集合{、π、﹣、}；
（3）整数集合{﹣1、、0、﹣}；
（4）负实数集合{﹣1、﹣3.14、﹣、、﹣}．
【方法总结】
本题主要考察了实数的分类：
3.与最接近的整数是______
【答案】6
【解析】解：∵36＜37＜49，
∴＜＜，即6＜＜7，
∵37与36最接近，
∴与最接近的是6．
【方法总结】
本题考查了估算无理数的大小，在紧邻前后两个完全平方数的算数平方根之间.
3.计算：
﹣12+（﹣2）3×﹣×（）
【答案】
【解析】解：﹣12+（﹣2）3×﹣×（）
=﹣1﹣8×+3×（﹣）
=﹣1﹣1﹣1
=﹣3．
【方法总结】
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
【随堂练习】
1．（2019春 邳州市期中）规定：一个数的平方等于，记作，于是可知，，按照这样的规律，等于
A．1 B． C． D．
【解答】解：，，，，
从上计算可知，的指数循环周期是4，
①当指数除以4余数为0时，其结果是1；
②当指数除以4余数为1时，其结果是；
③当指数除以4余数为2时，其结果是；
④当指数除以4余数为3时，其结果是；
．
故选：．
二．填空题（共2小题）
2．（2018秋 北仑区期末）数轴上从左到右依次有、、三点表示的数分别为、、，其中为整数，且满足，则 5或6 ．
【解答】解：因为，
所以，即．
，
，即，
由于，且是整数，所以或3．
当时，，
当时，．
故答案为：5或6
3．（2019春 聊城期中）如图，以数轴的单位长度为一边长，另一边长为2个单位长度作矩形，以数轴上的原点为圆心，矩形的对角线为半径作弧与数轴交于点，则点表示的数为 ．
【解答】解：由图可得，
点表示的数是：，
故答案为：．
三．解答题（共3小题）
4．（2018秋 大冶市期末）若点、、在数轴上对应的数分别为、、满足．
（1）在数轴上是否存在点，使得？若存在，求出点对应的数；若不存在，请说明理由；
（2）若点，，同时开始在数轴上分别以每秒1个单位长度，每秒3个单位长度，每秒5个单位长度沿着数轴负方向运动．经过秒后，试问的值是否会随着时间的变化而变化？请说明理由．
【解答】解：（1），
，，，
解得，，，
设点表示的数为，
，
①在之间，
，
，
，
；
②在的左边，
，
，
，
；
③在的中间，
，
，
，
（舍去）；
④在的右边，
，
，
（舍去）．
综上所述，或．
（2）运动时间为，
的速度为每秒1个单位长度，的速度为每秒3个单位长度，的速度为每秒5个单位长度，
点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，
①当，即时，
，
，
，
的值会随着时间的变化而变化．
②当时，
，
，
，
的值不会随着时间的变化而变化．
综上所述，当时，的值会随着时间的变化而变化．当时，的值不会随着时间的变化而变化．
5．（2018秋 龙湖区期末）如图，在数轴上点表示的数、点表示数，、满足．点是数轴原点．
（1）点表示的数为 30 ，点表示的数为 ，线段的长为 ．
（2）若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点在数轴上表示的数为 ．
（3）现有动点、都从点出发，点以每秒1个单位长度的速度向终点移动；当点移动到点时，点才从点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，且当点到达点时，点就停止移动，设点移动的时间为秒，问：当为多少时，、两点相距4个单位长度？
【解答】解：（1），
，，
解得，，
．
故点表示的数为30，点表示的数为，线段的长为36．
（2）点在线段上，
，
，
点在数轴上表示的数为；
点在射线上，
，
，
点在数轴上表示的数为．
故点在数轴上表示的数为6或；
（3）经过秒后，点表示的数为，点表示的数为，
当时，点还在点处，
；
当时，点在点的右侧，
，
解得：；
当时，点在点的左侧，
，
解得：．
综上所述：当为4秒、7秒和11秒时，、两点相距4个单位长度．
故答案为：30，，36；6或．
6．（2018秋 定兴县期末）如图1，已知在数轴上有、两点，点表示的数是，点表示的数是9．点在数轴上从点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴正方向运动，同时，点在数轴上从点出发，以每秒3个单位的速度在沿数轴负方向运动，当点到达点时，两点同时停止运动．设运动时间为秒．
（1） 15 ；时，点表示的数是 ；当 时，、两点相遇；
（2）如图2，若点为线段的中点，点为线段中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长；
（3）如图3，若点为线段的中点，点为线段中点，则点表示的数为 ；点表示的数为 ； ．（用含的代数式填空）
【解答】解：（1），
时，，，
设秒后相遇，由题意，，
故答案为15，6，3
（2）答：长度不变，理由如下：
为中点，为中点
，，
．
（3）则点表示的数为；点表示的数为；；
故答案为，，；
综合运用
1.的平方根是 ．
【答案】±
【解析】解：的平方根是±，
故答案为：±．
2.（﹣4）2的算术平方根是 ．
【答案】4
【解析】解：（﹣4）2=16．
16的算术平方根是4．
故答案为：4．
3.计算：= ．
【答案】﹣0.4
【解析】解：∵（﹣0.4）3=﹣0.064，
∴=﹣0.4，
故答案为：﹣0.4．
4.已知一个正数的两个平方根分别为2m﹣6和3+m，则（﹣m）2018的值为 ．
【答案】1
【解析】解：∵一个正数的两个平方根分别为2m﹣6和3+m，
∴2m﹣6+3+m=0，解得：m=1，
∴（﹣m）2018=（﹣1）2018=1．
故答案为：1．
5.已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根为±4，则a+2b的平方根是 ．
【答案】±3
【解析】解：2a﹣1=（±3）2，3a+b﹣1=（±4）2，
∴a=5，b=2，
a+2b=5+4=9，
±，
故答案为：±3．
6.在，2π，﹣2，0，0.454454445…，﹣，中，无理数的有 个．
【答案】4
【解析】解：无理数有2π、0.454454445…、﹣、这4个，
故答案为：4．
7.设n为正整数，且n＜＜n+1，则n的值为 ．
【答案】8
【解析】解：∵＜＜，
∴8＜＜9，
∵n＜＜n+1，
∴n=8，
故答案为：8．
8.比大且比小的整数是 ．
【答案】3
【解析】解：比大且比小的整数是：=3．
故答案为：3．
9.将下列各数填入相应的集合内．﹣3.14，，﹣，﹣，0，，π，1010010001…
有理数集合{ …}
无理数集合{ …}
负实数集合{ …}．
【答案】
【解析】解：①有理数集合{﹣3.14，，﹣，0，，…}
②无理数集合{﹣，π，1010010001…}
负实数集合{﹣3.14，﹣，﹣，…}．
10.计算：﹣2+|﹣2|．
【答案】
【解析】解：原式=2﹣2+2﹣
=4﹣3．
11.计算：
﹣﹣（﹣2）2．
【答案】
【解析】解：
﹣﹣（﹣2）2
=3+3﹣4
=2．
12.一个数值转换器，如图所示：
（1）当输入的x为16时．输出的y值是 ；
（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由；
（3）若输出的y是，请写出两个满足要求的x值： ．
【答案】
【解析】解：（1）∵16的算术平方根是4，4是有理数，4不能输出，
∴4的算术平方根是2，2是有理数，2不能输出，
∴2的算术平方根是，是无理数，输出，
故答案为：
（2）∵0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，
∴当x=0和1时，始终输不出y的值；
（3）9的算术平方根是3，3的算术平方根是，
故答案为：3和9．
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