第3讲 二次根式
知识点1 二次根式的概念
二次根式的概念：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
注意：①“”称为二次根号；
②a（a≥0）是一个非负数．
【典例】
【题干】下列各式中：①；②；③；④；⑤，一定是二次根式的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C.
【解析】解：∵y+2有可能小于0，
所以不一定是二次根式；
∵=16＞0
∴一定是二次根式；
同理，可以判断, ,一定是二次根式；不一定是二次根式；
综上可知；；一定是二次根式．
∴下列各式中：①；②；③；④；⑤中，一定是二次根式的个数是3．
故选： C
【方法总结】
本题考查了二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．根据二次根式的定义进行判断即可．
【随堂练习】
1．（2015春 滨江区期末）当a=﹣3，则=____．
【解答】解：∵a=﹣3，
∴原式==3．
故答案为：3．
2．（2018春 东西湖区期中）已知是整数，则满足条件的最小正整数n是 ____．
【解答】解：∵8=22×2，
∴n的最小值是2．
故答案为：2．
知识点2 二次根式有意义的条件
二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
【典例】
1.若代数式有意义，则x满足的条件是______________．
【答案】x≥2．
【解析】解：∵代数式有意义，
x﹣2≥0，
解得x≥2．
故答案是：x≥2．
【方法总结】
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式的被开方数大于或等于0可以求出x的范围．注意：当二次根式在分母上时还要考虑分母不能等于零．
【随堂练习】
1．（2018春 汶上县期末）若已知a、b为实数，且+2=b+4，则a+b= ___．
【解答】解：由题意得，a﹣5≥0，5﹣a≥0，
解得，a=5，
则b=﹣4，
则a+b=1，
故答案为：1．
2．（2018春 瑶海区期中）若在实数范围内有意义，则x_____．
【解答】解：根据题意知，2﹣x＞0，
则x＜2，
故答案为：＜2
3．（2018春 黄陂区期中）若x，y为实数，y=，则4y﹣3x的平方根是____．
【解答】解：∵与同时成立，
∴故只有x2﹣4=0，即x=±2，
又∵x﹣2≠0，
∴x=﹣2，y==﹣，
4y﹣3x=﹣1﹣（﹣6）=5，
故4y﹣3x的平方根是±．
故答案：±．
知识点3 二次根式的性质与化简
二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①≥0； a≥0（双重非负性）．
②=a（a≥0）．
③=|a|=
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．= (a≥0，b≥0)，= (a≥0，b＞0)
（3）化简二次根式的步骤：
①把被开方数分解因式；
②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【典例】
1.实践与探索
（1）填空：= _______； = ______ ；
（2）观察第（1）的结果填空：当a≥0时= ___ ；当a＜0时，= ____ ；
（3）利用你总结的规律计算：+，其中2＜x＜3．
【解析】解：（1）=3； =5；
故答案为：3，5；
（2）当a≥0时=a；当a＜0时，=﹣a；
故答案为：a，﹣a；
（3）∵2＜x＜3，
∴x﹣2＞0、x﹣3＜0，
原式=| x﹣2|+| x﹣3|
=（x﹣2 ）﹣（x﹣3）
=1．
【方法总结】
本题主要考查了二次根式的性质与化简，关键是掌握=|a|=，进而化简求出即可．
【随堂练习】
1．（2018春 金乡县期中）阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2=x且mn=，则把x±2变成m2+n2±2mn=（m±n）2开方，从而使得化简．
例如：化简
解：∵3+2=1+2+2=12+（）2+2×1×=（1+）2
∴==1+；
请你仿照上面的方法，化简下列各式：（1）；（2）．
【解答】解：（1）∵5+2=3+2+2
=（）2+（）2+2××
=（+）2，
∴==+；
（2）∵7﹣4=4+3﹣4=22+（）2﹣2×2×
=（2﹣）2，
∴==2﹣．
2．（2018春 新罗区校级月考）实数a在数轴上的位置如图，化简|a﹣2|+．
【解答】解：由数轴知2＜a＜4，
则a﹣2＞0、a﹣4＜0，
所以原式=a﹣2+|a﹣4|
=a﹣2+4﹣a
=2．
3．（2017秋 延庆县期末）阅读下面的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数 m和n，使m2+n2=a 且 mn=，则a+2 可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得 化简．
例如：∵5+2=3+2+2=（）2+（）2+2=（+）2
∴==+
请你仿照上例将下列各式化简
（1）（2）．
【解答】解：（1）∵4+2=1+3+2=12++2=（1+）2，
∴==1+；
（2）===﹣．
知识点4 二次根式的乘除法
1．最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（3）分母中不含有根号．我们把满足上述三个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a 、（x+y） 、x +2xy+y 等．
2．二次根式的乘除法
（1）积的算术平方根性质：= （a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则： =（a≥0，b≥0）
（3）商的算术平方根的性质：=（a≥0，b＞0）
（4）二次根式的除法法则：=（a≥0，b＞0）
规律方法总结：
在使用性质 =（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．
3．分母有理化
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化，分子、分母常常是同时乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
例如：①==；②==．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．例如：2﹣的有理化因式可以是2+，也可以是a（2+），这里的a可以是任意有理数．
【典例】
1.下列二次根式中，为最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】解：A、，不是最简二次根式，错误；
B、是最简二次根式，正确；
C、，不是最简二次根式，错误；
D、，不是最简二次根式，错误；
故选：B
【方法总结】
本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式；（3）分母中不含有根号．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 另外需要注意，如果被开方数是小数（小数可以化为分数，被开方数就含有分母了），那么这样二次根式不是最简二次根式．
2.计算(1) （a≥0）= ； （2）÷= ．
【答案】（1）4a； （2）．
【解析】解：（1） （a≥0）=
=4a
（2）÷=
=．
【方法总结】
本题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．（1）主要考查了二次根式的乘法运算．二次根式的运算法则：乘法法则=；（2）主要考查了二次根式的除法运算法则：=（a≥0，b＞0）．
3.已知：a=，b=，则a与b的关系是（ ）
A. ab=1 B. a+b=0 C. a﹣b=0 D.a2=b2
【答案】A.
【解析】解：a===2+，
b===2﹣，
A、ab=（2+）×（2﹣）=4﹣3=1，故本选项正确；
B、a+b=（2+）+（2﹣）=4，故本选项错误；
C、a﹣b=（2+）﹣（2﹣）=2，故本选项错误；
D、∵a2=（2+）2=4+4+3=7+4，b2=（2﹣）2=4﹣4+3=7﹣4，
∴a2≠b2，故本选项错误；
故选：A
【方法总结】
本题考查了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解此题的关键．先分母有理化求出a、b，再分别代入求出ab、a+b、a﹣b、a2、b2，求出每个式子的值，即可得出选项．
【随堂练习】
1．（2018春 遵义期中）观察思考：（）2=，（）2=，（）2=，（）2=…由此得到：
（1）（）2=_______．
（2）计算（）2（说明：式子中的n是正整数，写出解题过程）．
【解答】解：（1）根据题意知（）2=，
故答案为：；
（2）原式=（3×）2
=32×（）2
=9×
=．
2．（2017春 分宜县校级期中）（1）探索：先观察并计算下列各式，在空白处填上“＞”、“＜”或“=”，并完成后面的问题．
×___， ×____，
×____， ×____…
用，，表示上述规律为：_______；
（2）利用（1）中的结论，求×的值
（3）设x=，y=试用含x，y的式子表示．
【解答】解：（1）∵×=2×4=8，==8，
∴×=，
×=，
×=
×=，
故答案为：=，=，=，=， =（a≥0，b≥0）；
（2）×
=
=
=2；
（3）∵x=，y=，
∴=
=
=x x y
=x2y．
知识点5 二次根式的加减法
1．同类二次根式
同类二次根式的定义：
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
【知识拓展】同类二次根式
（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．
（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．
（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
2．二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
3．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
【典例】
1.下列各式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】解：A、=3与被开方数不同，不是同类二次根式；
B、=3与被开方数相同，是同类二次根式；
C、=3与被开方数不同，不是同类二次根式；
D、=2与被开方数不同， 不是同类二次根式．
故选：B
【方法总结】
本题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的意义，将选项中的根式化简，找到被开方数为3的即可．
2.计算﹣6+的结果是（ ）
A.3﹣2 B.5﹣ C.5﹣ D.2
【答案】A.
【解析】解：﹣6+
=2×﹣6×+2，
=﹣2+2，
=3﹣2．
故选：A
【方法总结】
本题主要考查了二次根式的运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．
3.计算
（1）
（2）
（3）
（4）．
【解析】解：（1）
=
=
=6a
（2）
=
=
（3）
=2+3﹣2﹣4
=2﹣3
（4）
=3﹣3+2﹣5
=﹣2﹣
【方法总结】
本题考查二次根式的混合运算，记住先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．（1）根据二次根式的乘法法则计算即可；（2）根据二次根式的除法法则计算即可；（3）先化简二次根式，再合并同类二次根式；（4）分别相乘展开后，合并同类二次根式．
【随堂练习】
1．（2018春 石家庄期中）计算：
（1）÷×
（2）﹣（4﹣）
（3）（7+4）（7﹣4）﹣（3﹣1）2
（4）|﹣|+|﹣2|+
【解答】解：（1）原式=
=1；
（2）原式=3﹣2+5
=6；
（3）原式=49﹣48﹣（45﹣6+1）
=1﹣46+6
=﹣45+6；
（4）原式=﹣+2﹣+2
=4﹣．
2．（2018春 东莞市校级月考）计算；5﹣+2﹣（+3）2．
【解答】解：原式=﹣+6﹣（5+6+9）
=6﹣14﹣6
=﹣14．
3．（2018春 常州期末）阅读材料：像（+）（﹣）=3、 =a（a≥0）、（+1）（﹣1）=b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如：；=．
解答下列问题：
（1）3﹣与_____互为有理化因式，将分母有理化得_____；
（2）计算：；
（3）已知有理数a、b满足，求a、b的值．
【解答】解：（1）3﹣与3+互为有理化因式，=，
故答案为：3，；
（2）
=﹣2
=2﹣；
（3）∵，
∴a（﹣1）+b=﹣1+2，
∴﹣a+（a+）=﹣1+2，
∴﹣a=﹣1，a+=2，
解得，a=1，b=2．
知识点6 二次根式化简求值
二次根式的化简求值
二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
【典例】
1.已知x=3+2，y=3﹣2，求下列各式的值：
（1）x2y+xy2； （2）．
【解析】解：∵x=3+2，y=3﹣2，
∴x+y=6，
xy=（3+2）（3﹣2）
=1，
∴x+y=6，xy=1，
（1）∵x+y=6，xy=1，
∴x2y+xy2=xy（x+y）
=1×6
=6；
（2）∵x+y=6，xy=1，
∴=
=
=
=34．
【方法总结】
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．先计算出x+y=6，xy=1，再把x2y+xy2变形为xy（x+y），变形为，然后利用整体代入的方法计算．
【随堂练习】
1．（2018春 兴义市期中）阅读下面的问题：
﹣1；
=；
；
……
（1）求与的值．
（2）已知n是正整数，求与的值；
（3）计算+．
【解答】解：（1）==，
==；
（2）==，
==；
（3）+
=
=﹣1+
=﹣1+10
=9．
2．（2018春 包河区期中）已知：a=﹣1，求÷（2﹣）的值．
【解答】解：原式=÷（﹣），
=÷，
= ，
=a（a+2），
当a=﹣1时，
原式=（﹣1）（﹣1+2）=（﹣1）（1）=2﹣1=1．
3．（2018春 琼中县期中）已知x+1=，求代数式（x+1）2﹣4（x+1）+4的值．
【解答】解：原式=（x+1﹣2）2=（x﹣1）2，
由x+1=，得到x=﹣1，
则原式=7﹣4．
综合运用
1.计算： = ___ ，×=_________；÷= _____ ．
【答案】4y；18；3．
【解析】解： =
=
=
=4y，
故 =4y，
×=×
=
×
×
=3×6
=18；
故×=18．
÷=
=
=
=
=×、
=3．
故答案为：4y；18；3．
2.化简的结果是____________．
【答案】3．
【解析】解：先把27分解为9×3，再把9开方即可．
∴=
=×
=3；
故化简的结果是3．
3.已知x=3+2，y=3﹣2，则式子x2y﹣xy2的值为____________．
【答案】4．
【解析】解：∵x=3+2，y=3﹣2，
∴x-y=3+2-（3-2）
=3+2-3+2
=4
xy=（3+2）×（3-2）
=3 -（2）
=9-8
=1
即x-y=4，xy=1，
∵x-y=4，xy=1，
∴x2y﹣xy2
=xy（x﹣y）
=1×4
=4．
故答案为：4．
4.求下列式子有意义的x的取值范围
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）．
【解析】解：（1）根据二次根式的意义和分式有意义的条件，
被开方数4﹣3x≥0，分母4﹣3x≠0，
解得x＜．
所以x的取值范围是x＜．
（2）根据二次根式的意义和分式有意义的条件，
被开方数3﹣x≥0，解得x≤3；
分母x-2≠0，解得x≠2．
所以x的取值范围是x≤3且x≠2．
（3）根据二次根式的意义和分式有意义的条件，
被开方数x﹣3≥0，解得x≥3；
分母x﹣2≠0，解得x≠2．
因为大于或等于3的数中不包含2这个数，
所以x的取值范围是x≥3．
（4）根据题意得：﹣x2≥0，即x2≤0
∵x2≥0，x2≤0，
∴x2=0，
解得x=0．
∴x的取值范围是x=0；
（5）根据题意得：2x2+1≥0，
∵x2≥0，
∴2x2+1＞0，
故x的取值范围是任意实数；
（6）根据题意得：2x﹣3≥0，解得x≥；
2x﹣3≤0，解得x≤．
综上，可知x=．
∴x的取值范围是x=．
5.计算：3．
【解析】解：原式=3+﹣2﹣2
=﹣．
6.计算：①（3﹣）（3+）+（2﹣） ②÷﹣×+
【解析】解：①原式=32﹣（）2+2﹣2
=9﹣7+2﹣2
=2；
②原式=﹣+2
=﹣+2
=4+．
7.已知x=+，y=﹣．
求（1）x3y+xy3；
（2）3x2﹣5xy+3y2的值．
【解析】解：∵x=+，y=﹣．
∴x+y=++﹣
=
xy=(+)×（ -）
=( ) -（ ）
= 3-2
=1
（1）原式=xy（x2+y2）
=xy[（x+y）2﹣2xy]
=1×[（）2﹣2×1]
=10
（2）原式=3（x2+y2）﹣5xy
=3[（x+y）2﹣2xy]﹣5xy
=3（x+y）2﹣11xy
=3×（）2﹣11×1
=36-11
=25．
1第3讲 二次根式
知识点1 二次根式的概念
二次根式的概念：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
注意：①“”称为二次根号；
②a（a≥0）是一个非负数．
【典例】
【题干】下列各式中：①；②；③；④；⑤，一定是二次根式的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【方法总结】
本题考查了二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．根据二次根式的定义进行判断即可．
【随堂练习】
1．（2015春 滨江区期末）当a=﹣3，则=____．
2．（2018春 东西湖区期中）已知是整数，则满足条件的最小正整数n是 ____．
知识点2 二次根式有意义的条件
二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
【典例】
1.若代数式有意义，则x满足的条件是______________．
【方法总结】
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式的被开方数大于或等于0可以求出x的范围．注意：当二次根式在分母上时还要考虑分母不能等于零．
【随堂练习】
1．（2018春 汶上县期末）若已知a、b为实数，且+2=b+4，则a+b= ___．
2．（2018春 瑶海区期中）若在实数范围内有意义，则x_____．
3．（2018春 黄陂区期中）若x，y为实数，y=，则4y﹣3x的平方根是____．
知识点3 二次根式的性质与化简
二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①≥0； a≥0（双重非负性）．
②=a（a≥0）．
③=|a|=
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．= (a≥0，b≥0)，= (a≥0，b＞0)
（3）化简二次根式的步骤：
①把被开方数分解因式；
②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【典例】
1.实践与探索
（1）填空：= _______； = ______ ；
（2）观察第（1）的结果填空：当a≥0时= ___ ；当a＜0时，= ____ ；
（3）利用你总结的规律计算：+，其中2＜x＜3．
【方法总结】
本题主要考查了二次根式的性质与化简，关键是掌握=|a|=，进而化简求出即可．
【随堂练习】
1．（2018春 金乡县期中）阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2=x且mn=，则把x±2变成m2+n2±2mn=（m±n）2开方，从而使得化简．
例如：化简
解：∵3+2=1+2+2=12+（）2+2×1×=（1+）2
∴==1+；
请你仿照上面的方法，化简下列各式：（1）；（2）．
2．（2018春 新罗区校级月考）实数a在数轴上的位置如图，化简|a﹣2|+．
3．（2017秋 延庆县期末）阅读下面的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数 m和n，使m2+n2=a 且 mn=，则a+2 可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得 化简．
例如：∵5+2=3+2+2=（）2+（）2+2=（+）2
∴==+
请你仿照上例将下列各式化简
（1）（2）．
知识点4 二次根式的乘除法
1．最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（3）分母中不含有根号．我们把满足上述三个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a 、（x+y） 、x +2xy+y 等．
2．二次根式的乘除法
（1）积的算术平方根性质：= （a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则： =（a≥0，b≥0）
（3）商的算术平方根的性质：=（a≥0，b＞0）
（4）二次根式的除法法则：=（a≥0，b＞0）
规律方法总结：
在使用性质 =（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．
3．分母有理化
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化，分子、分母常常是同时乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
例如：①==；②==．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．例如：2﹣的有理化因式可以是2+，也可以是a（2+），这里的a可以是任意有理数．
【典例】
1.下列二次根式中，为最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【方法总结】
本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式；（3）分母中不含有根号．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 另外需要注意，如果被开方数是小数（小数可以化为分数，被开方数就含有分母了），那么这样二次根式不是最简二次根式．
2.计算(1) （a≥0）= ； （2）÷= ．
【方法总结】
本题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．（1）主要考查了二次根式的乘法运算．二次根式的运算法则：乘法法则=；（2）主要考查了二次根式的除法运算法则：=（a≥0，b＞0）．
3.已知：a=，b=，则a与b的关系是（ ）
A. ab=1 B. a+b=0 C. a﹣b=0 D.a2=b2
【方法总结】
本题考查了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解此题的关键．先分母有理化求出a、b，再分别代入求出ab、a+b、a﹣b、a2、b2，求出每个式子的值，即可得出选项．
【随堂练习】
1．（2018春 遵义期中）观察思考：（）2=，（）2=，（）2=，（）2=…由此得到：
（1）（）2=_______．
（2）计算（）2（说明：式子中的n是正整数，写出解题过程）．
2．（2017春 分宜县校级期中）（1）探索：先观察并计算下列各式，在空白处填上“＞”、“＜”或“=”，并完成后面的问题．
×___， ×____，
×____， ×____…
用，，表示上述规律为：_______；
（2）利用（1）中的结论，求×的值
（3）设x=，y=试用含x，y的式子表示．
知识点5 二次根式的加减法
1．同类二次根式
同类二次根式的定义：
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
【知识拓展】同类二次根式
（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．
（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．
（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
2．二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
3．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
【典例】
1.下列各式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【方法总结】
本题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的意义，将选项中的根式化简，找到被开方数为3的即可．
2.计算﹣6+的结果是（ ）
A.3﹣2 B.5﹣ C.5﹣ D.2
【方法总结】
本题主要考查了二次根式的运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．
3.计算
（1）
（2）
（3）
（4）．
【方法总结】
本题考查二次根式的混合运算，记住先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．（1）根据二次根式的乘法法则计算即可；（2）根据二次根式的除法法则计算即可；（3）先化简二次根式，再合并同类二次根式；（4）分别相乘展开后，合并同类二次根式．
【随堂练习】
1．（2018春 石家庄期中）计算：
（1）÷×
（2）﹣（4﹣）
（3）（7+4）（7﹣4）﹣（3﹣1）2
（4）|﹣|+|﹣2|+
2．（2018春 东莞市校级月考）计算；5﹣+2﹣（+3）2．
3．（2018春 常州期末）阅读材料：像（+）（﹣）=3、 =a（a≥0）、（+1）（﹣1）=b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如：；=．
解答下列问题：
（1）3﹣与_____互为有理化因式，将分母有理化得_____；
（2）计算：；
（3）已知有理数a、b满足，求a、b的值．
知识点6 二次根式化简求值
二次根式的化简求值
二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
【典例】
1.已知x=3+2，y=3﹣2，求下列各式的值：
（1）x2y+xy2； （2）．
【方法总结】
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．先计算出x+y=6，xy=1，再把x2y+xy2变形为xy（x+y），变形为，然后利用整体代入的方法计算．
【随堂练习】
1．（2018春 兴义市期中）阅读下面的问题：
﹣1；
=；
；
……
（1）求与的值．
（2）已知n是正整数，求与的值；
（3）计算+．
2．（2018春 包河区期中）已知：a=﹣1，求÷（2﹣）的值．
3．（2018春 琼中县期中）已知x+1=，求代数式（x+1）2﹣4（x+1）+4的值．
综合运用
1.计算： = ___ ，×=_________；÷= _____ ．
2.化简的结果是____________．
3.已知x=3+2，y=3﹣2，则式子x2y﹣xy2的值为____________．
4.求下列式子有意义的x的取值范围
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）．
5.计算：3．
6.计算：①（3﹣）（3+）+（2﹣） ②÷﹣×+
7.已知x=+，y=﹣．
求（1）x3y+xy3；
（2）3x2﹣5xy+3y2的值．
12
