课件28张PPT。本章优化总结第四章 函数应用由于函数的零点、方程的根、函数的图像与x轴的交点之间有着内在的本质的联系．所以，函数问题可转化为方程的问题，方程的问题可转化为函数问题解决，根据函数的性质和方程根的存在条件我们常借助不等式来求解相关的问题，其间，要善于结合函数图像，从中体会数形结合的作用．
【思维总结】 确定函数的零点所在的大致区间时，可以从形与数两个方面共同考虑．先根据函数的图像，得到函数零点所在的大致区间，再验证区间端点处的函数值是否反号，这需要函数的图像要较准确．
函数零点即使f(x0)＝0的点x0，通常当x>x0或x0或f(x)<0(不变号零点无此性质)，根据此性质和函数解析式可以列出不等式，求有关参数的取值范围．
已知二次函数f(x)＝x2－(m－1)x＋2，在[0,1]上有且只有一个零点，求实数m的取值范围．
【分析】 函数f(x)在[0,1]上只有一个零点,就等价于[0,1]上f(x)＝0只有一个实根，根据二次函数性质讨论为：①有且只有一个根，且根在[0,1]内；②有二个根，其中一根在[0,1]内．
【思维总结】 解决此类问题，通常是结合图像，从判别式、根与系数的关系、对称
轴、函数值、图像的开口方向等方面去考虑使结论成立的条件．
题中的数量和数量关系，一般是以文字和符号的形式给出,也有的是以图像的形式给出,这时就需要分析数量变化的特点和规律，选择较为接近的函数模型进行拟合，从而解决一些实际问题或预测一些结果．
某医院研究开发一种
新药，据检测，如果成人按
规定的剂量服用，服药后每
毫升血液中的含药量y(微克)
与服药后的时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线，其中OA是线段，曲线ABC是函数y＝kat(t≥1，a>0且k与a是常数)的图像．
(1)写出服药后y关于t的函数关系式．
(2)据测定，每毫升血液中含药量不少于2微克时治疗疾病有效，假若某病人第一次服药为早上6∶00，为了保持疗效，第二次服药最迟应在当天几点？
(3)若按(2)中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后再过3小时，该病人每毫升血液中含药量是多少微克(精确到0.1微克)?
【分析】 由图像知线段OA是一次函数图像，曲线ABC是y＝kat的图像，由于线段OA和曲线ABC均过定点，可将点的坐标代入求出曲线方程．
【思维总结】 本题是由函数图像，待定系数法求其解析式，再进一步研究函数所反应的实际意义．
1．函数f(x)＝mx2－2x＋1有且仅有一个正实数零点，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，1]
B．(－∞，0]∪{1}
C．(－∞，0)∪{1}
D．(－∞，1)
3．方程3x－x2＝0的负实数根的个数为____.
解析：方程3x－x2＝0的负
实数根的个数问题，等价
于函数y＝3x与y＝x2的图
像在(－∞，0)上交点的个数，只需画出两函数图像．如图，由图像知，在(－∞，0)上只有一个交点，故方程只有一个负根．
答案：1
4．如图(1)是某条公交线路收支差额y(单位)与乘客量x(单位)的图像．
(1)试说明图(1)上点A，B以及射线AB上的点的实际意义；
(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议,如图(2)(3)所示，你能根据图像说明这两种建议是什么吗？
解：(1)点A的实际意义为：当乘客量为0(单位)时，公司亏损1(单位)；
点B的实际意义为：当乘客量为1.5(单位)时,公司收支持平；
射线AB上的点的实际意义为：当乘客量小于1.5(单位)时公司将亏损，当乘客量大于1.5(单位)时公司将盈利．
(2)图(2)的建议是：降低成本而保持票价不
变;图(3)的建议是:提高票价而保持成本不变.
本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件6张PPT。第四章 函数应用课标领航本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件33张PPT。第四章 函数应用第四章 函数应用§1 函数与方程
1．1 利用函数性质判定方程解的存在
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学习目标
重点难点
重点：函数零点与方程根的关系及零点存在的判定．
难点：函数零点存在性的判定．
1．函数的零点
(1)函数y＝f(x)的__________与____________
_____________称为这个函数的零点．
(2)函数y＝f(x)的零点，就是方程__________的解．
图像横轴的交点的横坐标f(x)＝0想一想
1.函数y＝f(x)的零点是“f(x)＝0的点”吗？
提示：“零点”并不是“点”，而是一个“实数”，是f(x)图像与x轴交点的横坐标．
做一做
1.函数y＝x的零点是( )
A．(0,0) B．0 C．1 D．不存在
解析：选B.y＝x与x轴交于原点，y＝0，
∴x＝0.
2．函数f(x)＝x2－2x的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选C.x2－2x＝0，∴x＝0，x＝2.
2．函数零点的判定
如果函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是________的一条曲线，并且在区间端点的函数值符号________，即______________，则(a，b)内，函数y＝f(x)至少_________零点，即相应的方程f(x)＝0在(a，b)内至少有一个实数解．
连续相反f(a)f(b)<0有一个想一想
2.若函数y＝f(x)在[a，b]上有零点，一定有f(a)·f(b)<0吗？
提示：不一定．如y＝x2在[－1,1]有零点0，但f(－1)·f(1)>0.
做一做
3.已知函数f(x)＝x3－x－1仅有一个正零点，则此零点所在的区间是( )
A．(3,4) B．(2,3)
C．(1,2) D．(0,1)
解析：选C.f(0)＝－1，f(1)＝－1，f(2)＝5，f(3)＝23，正零点在(1,2)上．
题型一 求函数的零点
下列函数是否存在零点？若存在，求出其零点；若不存在，说明理由．
(1)y＝ax＋2(a≠0)；
(2)y＝4x2＋4x＋1(x＞0)；
(3)y＝ln x－1.
故函数y＝4x2＋4x＋1(x＞0)不存在零点．
(3)函数y＝ln x－1 存在零点．
令lnx－1＝0?lnx＝1?x＝e.
即e是使ln x－1＝0成立的x值，
故x＝e是此函数的零点．
【名师点评】 判断函数的零点，即在定义域内是否有满足f(x0)＝0的x0值存在．要注意零点并不是点而是点的横坐标．
变式训练
1．判断下列函数是否存在零点，如果存在,请求出．
(1)f(x)＝－8x2＋7x＋1；
(2)f(x)＝1＋log3x；
(3)f(x)＝4x－16.
题型二 零点个数的判断
【答案】 C
【方法小结】 判断函数零点个数的方法主要有：
(1)解方程：当能直接求解零点时，就直接求出进行判断．
(2)用定理：零点存在性定理．
(3)利用图像的交点：有些题目可先画出某两个函数y＝f(x)，y＝g(x)的图像，其交点的横坐标是f(x)－g(x)的零点．
变式训练题型三 判断零点所在区间
本题满分5分)(2011·高考课标全国卷)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为( )
【思路点拨】 根据零点所在区间的判定定理f(a)f(b)<0.
【解析】 y1＝ex为增函数，y2＝4x－3为增函数，∴f(x)＝y1＋y2＝ex＋4x－3为增函数,
名师微博
这是常用方法，一定要掌握噢！
【答案】 C 5分
【思维总结】 逐个计算区间端点的函数值的正与负，直到区间端点函数值异号，可判定在此区间内有零点．
变式训练
2．已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0,若方程有两根,其中一根在区间(－1,0)内,另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围．
解：由题意知，抛物线
f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1
与x轴的交点分别在区间
(－1,0)和(1,2)内,可以画出
示意图(如图所示)，观察图像可得
方法技巧
1．求函数的零点时，先考虑解方程f(x)＝0,方程f(x)＝0无实数根则函数无零点，方程f(x)＝0有实根则函数有零点．
2．判断函数f(x)是否在(x1，x2)上存在零点,除验算f(x1)·f(x2)<0是否成立外，还需考察函数在(x1，x2)上是否连续．若要判断根的个数，还需结合函数的单调性．
失误防范
当函数y＝f(x)的图像在闭区间[a，b]上不是连续曲线，或不满足f(a)·f(b)<0时，函数y＝f(x)在区间[a，b]内可能存在零点，也可能不存在零点．
例如：①二次函数f(x)＝x2－2x－3在区间[3,4]上有f(3)＝0，f(4)>0，所以有f(3)·f(4)＝
0，但3是函数f(x)的一个零点．
课件30张PPT。1．2 利用二分法求方程的近似解
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学习目标
重点难点
重点：二分法的意义和实际操作过程．
难点：二分法的操作过程及区间的近似选取.
1．二分法的概念
如果在区间[a，b]上，函数f(x)的图像是一条连续的曲线，且f(a)·f(b)<0，依次取有解区间的______，如果取到某个区间的中点x0，恰使f(x0)＝0，则_____就是所求的一个解；如果区间中点的函数值总不等于零，那么，不断地得到一系列闭区间，
中点x0方程的一个解在这些区间中，区间长度越来越小，端点逐步逼近方程的解，可以得到一个近似解．
像这样每次取区间的中点,将区间一分为二,再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．
做一做
已知函数f(x)＝x3＋x2－2x－2，f(1)·f(2)<0，用二分法逐次计算时，若x0是[1,2]的中点，则有解区间变为________．
2．二分法求方程近似解的过程
如下图所示
“初始区间”是一个两端函数值__________的区间．
“M”的含义：取新区间，一个端点是原区间的________，另一端是原区间两端点中的一个，新区间两端点的函数值________．
“N”的含义：________________________．
反号中点反号方程解满足要求的精确度题型一 二分法应用的条件
下列函数图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数的零点的是________
(填上所有符合条件的图号)．
【解析】根据二分法求函数的近似零点的条件，虽然①③中的函数图像都是连续曲线，但是对其定义域内任意子集[a，b]，不满足f(a)·f(b)<0，所以①③不能用二分法求函数的零点．故填①③.
【答案】 ①③
【易错警示】 本题易错填④，虽然④中图像表示的函数本身是不连续的，但是在包含零点的一定区间内，函数是连续的，所以仍可以使用二分法．
变式训练
1．下列函数中不能用二分法求零点的是
( )
A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x3
C．f(x)＝|x| D．f(x)＝lnx
解析：选C.对于选项C，令|x|＝0，得x＝0，即函数f(x)＝|x|存在零点．当x>0时，f(x)>0;当x<0时，f(x)>0，∴f(x)＝|x|的函数值非负，即函数f(x)＝|x|有零点，但零点两侧函数值同号，∴不能用二分法求零点，故选C.
题型二 用二分法求方程的近似解
(本题满分10分)利用计算器，求方程lgx＝2－x的近似解(精确度0.1)．
【思路点拨】 y＝lgx，y＝2－x的图像可以作出，由图像确定根所在的大致区间，再用二分法求解．
【解】 作出y＝lgx，
y＝2－x的图像，如图所示．
可以发现,方程lgx＝2－x有唯一解，记为x0,并且解在区间(1,2)内. 3分
设f(x)＝lgx＋x－2，用计算器计算得
f(1)<0，f(2)>0?x∈(1，2)；
f(1.5)<0，f(2)>0?x∈(1.5，2)；
f(1.75)<0，f(2)>0?x∈(1.75，2)；
f(1.75)<0，f(1.875)>0?x∈(1.75，1.875)；f(1.75)<0,f(1.8125)>0?x∈(1.75,1.8125).8分
因为|1.8125－1.75|＝0.0625<0.1，
所以方程的近似解可取为1.8. 10分
名师微博
逐次把上一个零点区间一分为二，确定中
点、函数值的正负是关键．
【名师点评】用二分法求方程解的近似值，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽量小；其次要依据给定的精确度，以决定是停止计算还是继续计算．
变式训练
2．借助计算器用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解(精确度为0.1)．
解：原方程即2x＋3x－7＝0，令f(x)＝2x＋3x－7，用计算器作出函数f(x)＝2x＋3x－7的对应值表与图像：
因为f(1)·f(2)<0，
所以f(x)＝2x＋3x－7在
(1,2)内有零点x0，
取(1,2)的中点x1＝1.5，
f(1.5)≈0.33，
因为f(1)·f(1.5)<0，
所以x0∈(1,1.5)；
取(1,1.5)的中点x2＝1.25，
f(1.25)≈－0.87，因为f(1.25)·f(1.5)<0，
所以x0∈(1.25,1.5)；
同理可得，x0∈(1.375,1.5)，
x0∈(1.375,1.4375)，
由于区间|1.4375－1.375|＜0.1，所以原方程的近似解为1.4.
?1．某日，某市A地到B地的电话线路发生故障,这是一条10 km长的线路，每隔50 m有一根电线杆,如图如何迅速查出故障所在处？
解：如果沿着线路一小段一小段查找，难度很大，因此可以先从C点(AB段中点)查找，用随身带的话机向两端测试，假如发现AC段正常，则断定故障在BC段；
再到BC段中点D查找，假如发现BD段正常,则故障在CD段；
再到CD段中点E查找，如此做下去，每查一次，就可以把待查的线路长度缩短一半，只要7次就可以把故障可能发生的范围缩小到50～100 m，即一两根电线杆附近．
方法技巧
1．求方程近似解的步骤：(1)构造函数,利用图像或单调性确定方程解所在的大致区间,通常限制在区间(n，n＋1)，n∈Z；(2)利用二分法求出满足精度的方程解所在的区间
M;(3)写出方程的近似解．
2．二分法是求函数近似零点，方程近似解
的一种方法，但它只适用于变号零点求近似
值；它是把零点所在区间一分为二，使区间两个端点逐步逼近，进而得到零点近似值的方法．
失误防范
1．要看清题目要求的精确度，它决定着二分法步骤的结束．
2．初始区间的选定一般在两个整数间，不同的初始区间结果是相同的，但二分的次数却相差较大．
本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件38张PPT。§2 实际问题的函数建模
?
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学习目标
重点难点
重点：将实际问题抽象为数学问题，并利用函数模型解决．
难点：选择合适的函数模型，并正确地运用函数性质解决问题．
1．实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联
系，许多联系可以用函数刻画，用______的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．
函数做一做
1.一辆匀速行驶的火车90min行驶了180 km,则这辆火车行驶的路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式为( )
A．y＝2t
B．y＝120t
C．y＝2t(t≥0)
D．y＝120t(t≥0)
答案：D
2．用函数建模解决实际问题
用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫作数学建模，可以用图表示数学建模的过程．
做一做 2.某公司为了适应市场需求对产品结构进行了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后期增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )
A．一次函数 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
解析:选D.根据利润增长趋势,符合对数型函数.
题型一 指数函数型应用题
2011年11月28日，世界气候大会在南非德班开幕，报道了“全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%”,
如果按此速度，设2011年的冬季冰雪覆盖面积为m，从2011年起，经过x年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是( )
【答案】 A
【名师点睛】 本题用指数型函数来揭示了冰雪面积与年限的函数关系．
变式训练题型二 分段函数模型应用题
有一批单放机原价为每台80元，甲、乙两个商场均有销售，甲商场的优惠办法是:买1台每台少收4元，买2台每台少收8元，买3台每台少收12元，…，以此类推，直到减到半价为止；乙商场的优惠办法是：一律按原价的70%销售．某公司要为每位员工买1台单放机，问到哪个商场购买比较合算？
(2)当x>10时，y－z＝－16x<0，即y所以公司员工少于6人时，到乙商场购买合算；恰为6人时，到甲、乙两商场一样；超过6人时，到甲商场购买合算．
【名师点评】 充分理解题意，列出函数关系式，然后分类加以比较，最后下结论．
变式训练
2．某旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满，公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房增加2元，客房出租就会减少10间，若不考虑其他因素，公司将房间租金提高多少时，每天客房的租金总收入最高？
解：设客房租金每间提高2x元时，客房租金总收入为y元，由题意得y＝(20＋2x)(300－
10x)
＝－20x2＋400x＋6000
＝－20(x－10)2＋8000(0 ≤x<150，x∈N)，
则当x＝10时，y有最大值为8000，
即将客房租金提高到20＋2×10＝40(元/间)
时，每天客房租金总收入最高为8000元．
题型三 函数模型的拟合
(本题满分12分)为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y，现有连续10年的实测资料，如下表所示.
(1)描点画出灌溉面积y随最大积雪深度x变化的图像；
(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y＝f(x)，并画出图像；
(3)根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉土地多少公顷？
【思路点拨】 首先根据表中数据作出散点图，然后通过观察图像判断问题所适用的函数模型．
【解】 (1)描点作图如下：
4分
(2)从图①中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型y＝a＋bx.
取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入y＝a＋bx，得
可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系. 9分
(3)由y＝2.4＋1.8×25，求得y＝47.4，即当积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地47.4公顷. 12分
名师微博
以积雪深度为横坐标，以灌溉面积为纵坐标描点.
【思维总结】 对于此类实际应用问题，关
键是建立适当的函数关系式，再解决数学问
题，最后验证并结合问题的实际意义作出回
答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解
题．
变式训练
3.
画出散点图，写出一个
近似函数关系式．
1．一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图：
(1)求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际意义；
(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2012 km，试将汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s表示为时间t的函数.
2．学校请了30名木工制作200把椅子和100张课桌，已知制作一张课桌与制作一把椅子所用工时数之比为10∶7，则这30名工人应当如何分组(一组制课桌，另一组制椅子)能最快完成全部任务？
解：完成全部任务的时间，就是两组中需要时间较多的那组所用的时间，因此要想最快完成任务,两组所用的时间之差为零或最小.
设x名工人制作课桌，(30－x)名工人制作椅子．
因为一个工人制作一张课桌所用时间与制作一把椅子所用时间之比为10∶7，所以一个工人制作7张桌子和制作10把椅子所用的时间相等，
方法技巧
1．函数应用题的解题步骤是：
①仔细阅读，审清题意；
②引进数学符号，建立数学模型；
③利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果；
④再将所得结论转译成具体问题的解答．
2．函数拟合与预测的一般步骤是：
(1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图．
(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况一般不会发生．因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧,
使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了．
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．
失误防范
建立函数模型求解问题时，要考虑全面，既要考虑函数的性质，又要考虑实际问题的现实意义，即函数的定义域．
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