24.1.2 垂直于弦的直径 课件(共28张PPT)

(共28张PPT)
24.1.2 垂直于弦的直径
人教版九年级上册
教学目标
教学目标：1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形．
2.掌握垂径定理及其推论．
3.灵活运用垂径定及其推论解决有关圆的问题．
教学重点:掌握垂径定理及其推论．
教学难点：灵活运用垂径定及其推论解决有关圆的问题．
新知导入
情境引入
宝宝要过生日了！妈妈买来了蛋糕，要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？
在切蛋糕的过程中，你有什么发现？
新知讲解
合作学习
剪一张圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？
O
猜想：圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
证明：如图，CD是⊙O的任意一条直径，AA ′是弦，使AA′⊥CD，垂足为M.
连接OA，OA′,则OA=OA′.
∵AA′⊥CD，
∴CD是AA′的垂直平分线.
∴对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A′，即⊙O关于直线CD对称.
M
·
O
A
A'
C
D
圆的对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.
注意：不能说圆的直径是圆的对称轴，因为对称轴是直线，而直径是线段.
如图， 把圆沿着直径CD折叠时，除了点A与点A' 重合之外，还有哪些相等的线段和弧？
·
O
A
A'
C
D
M
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，
并且平分弦所对的两条弧.
AM=A'M
(
(
AD=A'D
(
(
AC=A'C
直径CD平分弦AA'，并且平分 .
(
(
AA' ，A'CA
垂径定理的几个基本图形：
A
B
O
C
D
E
A
B
O
E
D
A
B
O
D
C
A
B
O
C
提炼概念
如图， ⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为M. 仔细观察，图形中有哪些相等的线段和弧？为什么？
·
O
A
B
C
D
M
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
已知
结论
CD是直径
CD⊥AB
AM=BM
(
(
AD=BD
(
(
AC=BC
已知
结论
CD过圆心
AB不是直径
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
·
O
A
B
C
D
CD⊥AB
(
(
AD=BD
(
(
AC=BC
AM=BM
M
为什么平分的弦不是直径？
如果弦AB是过圆心的弦呢 平分弦AB的直径CD一定会垂直弦AB吗？
·
O
A
B
C
D
·
O
A
B
C
D
不会
一条直线满足五个条件：
①过圆心
②垂直于弦
③平分弦（非直径）
④平分弦所对优弧
⑤平分弦所对劣弧
①
⑤
③④②
①
④
③②⑤
①③
②④⑤
①
④
⑤
②
③
①②
③④⑤
知二推三
总结：
典例精讲
例2 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m. 求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位).
R2=18.52+（R-7.23）2.
由题意，可知AB=37m，CD=7.23m，
解：过点O作OC⊥AB，连接OA. 如图，设赵州桥主桥拱的半径为R m.
则AD=18.5m，OD=R-7.23
解得R≈27.3.
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m.
A
C
B
D
O
37
18.5
R
R-7.23
7.23
在Rt△OAD中，由勾股定理得
归纳概念
在圆中有关弦长a，半径r，弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
垂径定理中辅助线的添加方法
A
B
C
D
O
h
r
d
弓形中的数量关系：
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
d+h=r

O
A
B
C
·
d
r
课堂练习
1.如图，AB是圆O的弦，半径OC⊥AB于点D，若圆O的半径为5，
AB=8，则CD的长是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
A
·
O
A
B
C
D
2. AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，则下列结论不一定
正确的是(　　)
A.CM=DM B.BC=BD
C.∠ACD=∠ADC D.OM=MB
D
M
·
O
A
B
C
D
(
(
·
O
A
B
E
C
D
解：连接OA.
∵ CE⊥AB 于D，
设OC=xcm，则OD =（x-2）cm.
根据勾股定理，得
解得x=5.
即半径OC 的长为5cm.
x2=42+(x-2)2，
3.如图，⊙O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.
4.如图，有一个拱桥是圆弧形，它的跨度为60 m，拱高为18 m，求拱桥的半径.
解得x=34.
解 设圆弧的圆心为点O，过点O作OD⊥AB，交AB于点D，交圆弧于点E，
O
E
D
则AD=BD= AB=30 m，
2
1
DE=18 m.
设拱桥的半径为x m，
则(x-18)2+302=x2,
即拱桥的半径为34 m.
5.已知圆O的半径为10 cm，AB，CD是圆O的两条弦，
AB//CD，AB=16 cm，CD=12 cm，则弦AB和CD之间
的距离是多少？
解：分两种情况进行讨论：
①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，
过点O作OF⊥CD，垂足为F，交AB于点E，
连接OC，OA.
∵ AB//CD，∴OE⊥AB.
B
C
D
E
F
O
A
图1
∵OA=OC=10cm，
由勾股定理，得EO=6cm，OF=8cm，
∴EF=OF-OE=2 cm.
B
C
D
E
F
O
A
图1
∵AB=16cm，CD=12cm,
∴AE=8cm，CF=6cm，
②当弦AB和CD在圆心异侧时，过点O作OE⊥CD，交CD于点E，
延长EO交AB于点F，连接OC、OA，如图2所示
O
A
B
C
D
图2
E
F
∵ AB//CD，∴ OF⊥AB.
∵AB=16cm，CD=12cm，
∴AF=8cm，CE=6cm.
∵OA=OC=10cm，
O
A
B
C
D
图2
E
F
由勾股定理，得OE=8cm，OF=6cm，
∴EF=OF+OE=14cm.
综上所述：AB和CD之间的距离为2cm或14cm.
课堂总结
垂径定理
内容
推论
辅助线
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其他三个结论（“知二推三”）
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
两条辅助线：连半径，作弦心距
构造直角三角形，利用勾股定理计算或建立方程.
课堂总结
作业布置
教材课后配套作业题。
谢谢
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