2022-2023初数北师大版八年级上册1.1探索勾股定理 同步练习
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2021八上·龙泉期末）若直角三角形的两边长分别是5和12，则它的斜边长是（ ）
A．13 B．13或 C． D．12或13
2．（2021八上·嵩县期末）如图，已知钓鱼竿 的长为 ，露在水面上的鱼线 长为 ，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿 转动到 的位置，此时露在水面上的鱼线 为 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021八上·嘉兴期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，连接CD，若AC=4，BC=3，则CD的长度是（ )
A．1.5 B．2 C．2.5 D．5
4．（2021八上·阳山期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 ，BC＝2．以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（ ）
A．5 B．6 C．12 D．13
5．（2021八上·宽城期末）如图，在长方形ABCD中，分别按图中方式放入同样大小的直角三角形纸片．如果按图①方式摆放，刚好放下4个；如果按图②方式摆放，刚好放下3个．若BC＝4a，则按图③方式摆放时，剩余部分CF的长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021八上·临漳期中）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB、BC、AC为边向外作正方形，若三个正方形的面积分别为225、400、S，则S的值为（ ）
A．25 B．175 C．600 D．625
7．（2021八上·宁波期中）如图，RtΔABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将ΔABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（ ）
A． B． C．4 D．5
8．（2021八上·太原月考）我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图如图所示，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝2，BC＝3，将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到一个如图所示“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A． B．8 C． D．
9．（2021八上·运城月考）设a、b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则 的值是（ ）
A．3 B．2.5 C．2 D．6
10．（2021八上·沈河月考）如图1，分别以直角三角形三边为边向外作方形，面积分别为S1，S2，S3；如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为S4，S5，S6，其中S1＝1，S2＝3，S5＝2，S6＝4，则S3+S4＝（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2021八上·鄞州期中）设x>0，若以x+1，x+2，x+3为边长的三角形是直角三角形，则x的值为 ．
12．（2021八上·南京期末）如图，在 ABC中，AB＝20，AC＝15，BC＝7，则点A到BC的距离是 .
13．（2021八上·徐汇期末）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在Rt△ABC中，∠C=90° ，AC=2，若Rt△ABC是“好玩三角形”，则AB= ．
14．（2021八上·镇江月考）如图，某斜拉桥的主梁AD垂直于桥面MN于点D，主梁上两根拉索AB、AC长分别为13米、20米，主梁AD的高度为12米，则固定点B、C之间的距离为 米.
15．（2021八上·即墨期中）如图是一机器人比赛行走的路径，机器人从A处先往东走8m，又往北走3m，遇到障碍后又往西走4m，再转向北走9m往东拐，仅走1m就到达了B．问A、B两点之间的距离为 m．
16．（2021八上·佛山期中）一长方体容器（如图1），长，宽均为4，高为16，里面盛有水，水面高为10，若沿底面一棱进行旋转倾斜，倾斜后的长方体容器的主视图如图2所示，若倾斜容器使水恰好倒出容器，则 的长为 ．
三、解答题（共8题，共52分）
17．（2021八上·延庆期末）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和高BE的交点，AC＝，BD＝2．求线段DF的长度．
18．（2021八上·绿园期末）如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度向北偏东40°航行，乙船向南偏东50°航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛．若C、B两岛相距60海里，问乙船的航速是多少．
19．（2021八上·连南期中）已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，若AB＝5，CD＝3，求BC的长．
20．（2021八上·门头沟期末）已知，如图，在△ABC中，∠C＝ 90°，AD平分∠BAC交BC于D，过D作DE∥AC交AB于E．
（1）求证：AE＝DE；
（2）如果AC＝3，，求AE的长．
21．（2021八上·高港月考）如图：已知ABCD，BC⊥CD，且CD＝2AB＝12，BC＝8，E是AD的中点.
（1）请你用直尺（无刻度）作出一条线段与BE相等，并证明之；
（2）求BE的长.
22．（2021八上·武汉月考）如图直角三角形纸片中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，AC＝6，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD.
（1）求△ADE的周长；
（2）求DE的长.
23．（2021八上·东平月考）如图，△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE．
（1）将△ADE旋转，使得D、E、B三点在一条直线上时，求证：BD＝CE；
（2）在（1）的条件下，当BC＝10，BE＝6时，求DE的长．
24．（2021八上·章丘期中）
（1）如图①，Rt△ABC的斜边AC比直角边AB长2cm，另一直角边BC长为6cm，求AC的长．
（2）拓展：如图②，在图①的△ABC的边AB上取一点D，连接CD，将△ABC沿CD翻折，使点B的对称点E落在边AC上．
①AE的长．
②求DE的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：①当12为斜边时，它的斜边长是12；
②当12是直角边时，它的斜边长==13.
故答案为：D.
【分析】分12为斜边和直角边两种情况讨论，再利用勾股定理求解即可.
2．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵AC=10m，BC=6m，∠ABC=90°，
∴AB= m，
∵AC′=10m，B′C′=8m，∠AB′C′=90°，
∴AB′= m，
∴BB′=AB-AB′=2m；
故答案为：B．
【分析】利用勾股定理求出AB的长，再利用勾股定理求出AB′的长；然后根据BB′=AB-AB′，代入计算可求解.
3．【答案】C
【知识点】勾股定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC 中， ∠ACB=90° ， AC=4，BC=3，
由勾股定理得：AB=，
∵点D是AB的中点 ，
∴CD=AB=×5=2.5，
故答案为：C.
【分析】在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AB，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半即可求出CD长度.
4．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵∠C=90 ，
∴AB2=AC2+BC2=32+22=13，
∴正方形面积S=AB2=13，
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理即可得出答案。
5．【答案】A
【知识点】勾股定理；线段的计算
【解析】【解答】解：∵BC=4a，
∴图①中，BE=a，图②中，BE=a，
∴小直角三角形的斜边长为，
∴图③中纸盒底部剩余部分CF的长为4a-2×a=a；
故答案为：A．
【分析】由BC=4a，可得图①中，BE=a，图②中，BE=a，利用勾股定理求出图③中BE=a，由于图③中纸盒底部剩余部分CF=BC-图③中BE，据此计算即可.
6．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：在 中， ，
由勾股定理得： ，
，
．
故答案为：D．
【分析】根据勾股定理可得，再根据正方形的面积计算方法可得，可得答案。
7．【答案】C
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；线段的中点
【解析】【解答】解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9－x，
∵D是BC的中点，
∴BD=3，
在Rt△BDN中，x2+32=（9－x）2，
解得x=4.
故线段BN的长为4.
故答案为：C.
【分析】设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9-x，由中点的概念可得BD=3，然后在Rt△BDN中，运用勾股定理求解即可.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图，将CB延长至点D，使 ，
∵ ， ，
∴ ，
，
一共有4个这样的长度，
∴这个风车的外围周长是： ．
故答案为：D．
【分析】由题意角ACB为直角，利用勾股定理求的外围中一条边，由AC延伸一倍，从而求的风车的一个轮子，进而求的4个这样的长度，即可得出周长。
9．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵三角形的周长为6，斜边长为2.5，
∴a+b+2.5=6，
∴a+b=3.5，
∵a、b是直角三角形的两条直角边，
∴a2+b2=2.52，
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=2.52，
∴3.52-2ab=2.52，
ab=3，
故答案为：A．
【分析】根据三角形的周长公式可以得到a+b=3.5，再利用三角形勾股定理可以得到a2+b2=2.52，再利用完全平方公式可以得到a2+b2=(a+b)2-2ab=2.52，将数据代入计算即可。
10．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图，
∵ ， ，
∴ ，
同理可得， ，
∵S1＝1，S2＝3，S5＝2，S6＝4，
∴S3+S4＝（1+3）+（2+4）=10，
故答案为：A ．
【分析】从条件出发通过数形结合，结合勾股定理、正方形和圆的面积公式可以得到，，最后求出S3+S4即可。
11．【答案】2
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由题意得斜边为x+3，
∴ (x+1)2+(x+2)2=(x+3)2，
∴x2=4，
解得x=2或-2（舍去）.
故答案为：2.
【分析】首先判断出斜边为x+3，然后根据勾股定理建立方程求解，即可解答.
12．【答案】12
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：过A作AD⊥BC交BC的延长线于D，
∴∠D=90°，
∴AB2 BD2=AD2=AC2 CD2，
∵AB=20，AC=15，BC=7，
∴202 （7+CD）2=152 CD2，
∴CD=9，
∴ ，
∴点A到BC的距离是12；
故答案为：12.
【分析】过A作AD⊥BC交BC的延长线于D，根据勾股定理可得AB2 BD2=AD2=AC2 CD2，据此建立方程，求出CD，从而求出AD.
13．【答案】或
【知识点】勾股定理；定义新运算
【解析】【解答】解：当AC边上的中线BD等于AC时，如图，
∵∠C=90°，AC=2，
∴CD=1，BD=2
∴，
∴
当BC边上的中线AE等于BC时，
∵AC2=AE2 CE2，
∴BC2 （BC）2=22，
解得，BC2=，
∴，
综上所述，AB=或AB=，
故答案为或.
【分析】分两种情况：当AC边上的中线BD等于AC时，当BC边上的中线AE等于BC时，分别画出图形利用勾股定理即可解决问题。
14．【答案】21
【知识点】垂线；勾股定理
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵AB、AC长分别为13米、20米，AD的高度为12米，
∴BD＝（米），DC＝（米）
∴BC＝BD+DC＝5+16＝21（米），
故答案为：21.
【分析】由垂直的定义得∠ADB＝∠ADC＝90°，利用勾股定理求出BD、BC的长，根据BC＝BD+DC即可求解.
15．【答案】13
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：过点B作BC垂直A所在水平直线于点C，如图，
，
根据题意可得，A处与B处水平距离为8-4+1=5，竖直距离为3+9=12，
∴AC=5，BC=12，
∴AB= =13，
故答案为：13．
【分析】过点B作BC垂直A所在水平直线于点C，根据题意可得，A处与B处水平距离为8-4+1=5，竖直距离为3+9=12，得出
AC=5，BC=12再利用勾股定理得出AB的值即可。
16．【答案】
【知识点】勾股定理；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图所示，
设DE=x，则AD= 16- x，
根据题意得：
，
解得：x=12，
∴DE= 12，
∵∠E= 90°，
由勾股定理得：
．
即：CD的长为 ．
故答案为： ．
【分析】设DE=x，则AD= 16- x，由出风头容器内水的体积得出方程，解方程求出DE，再由勾股定理求出CD即可。
17．【答案】解：∵AD和BE是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝∠BEC＝90°．
∴∠C＋∠DAC＝90°；∠C＋∠DBF＝90°．
∴∠DAC ＝∠DBF．
∵∠ABC＝45°，
∴∠DAB＝45°．
∴∠ABC＝∠DAB．
∴DA＝DB．
在△ADC与△BDF中，
∴△ADC≌△BDF（ASA）．
∴AC＝BF＝．
在Rt△BDF中，∠BDF＝90°，
∴BD2＋DF2＝BF2．
∵BD＝2，BF＝，
∴DF＝1
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】先利用“ASA”证明△ADC≌△BDF，再利用全等三角形的性质可得AC＝BF＝，再利用勾股定理求出DF即可。
18．【答案】解：根据题意，得∠CAB=180°-40°-50°=90°，
∵AC=16×3=48（海里），BC=60海里，
∴在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB= =36（海里）．
则乙船的速度是36÷3=12海里/时．
【知识点】钟面角、方位角；勾股定理
【解析】【分析】利用平角的定义及方位角可求出 ∠CAB=180°-40°-50°=90°，再利用勾股定理求出AB的长，利用速度=路程÷时间即可求解.
19．【答案】解：在Rt△CDA中， ∵AC=AB=5，CD=3，
∴AD=
∴BD=AB-AD=5-4=1，
在Rt△CBD中，BC=
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】先利用勾股定理求出AD的长，再利用线段和差求出BD的长，最后利用勾股定理求出BC的值即可。
20．【答案】（1）证明：∵DE∥AC，
∴∠CAD＝∠ADE．
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠EAD．
∴∠EAD ＝∠ADE．
∴AE＝DE．
（2）解：过点D作DF⊥AB于F．
∵∠C ＝ 90°，AC＝3，，
∴在Rt△ACD中，由勾股定理得 ．
∴．
∵AD平分∠BAC，
∴DF＝DC＝．
又∵AD＝ AD，∠C ＝ ∠AFD ＝ 90°，
∴Rt△DAC ≌Rt△DAF．
∴AF＝AC＝3．
∴Rt△DEF中，由勾股定理得 ．
设AE＝x，则DE＝x，，
∴，
∴x＝2．
∴AE＝2．
【知识点】平行线的性质；勾股定理；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）先求出 ∠CAD＝∠ADE，再求出∠CAD＝∠EAD，最后证明即可；
（2）利用勾股定理求出，再求出 Rt△DAC ≌Rt△DAF ，最后计算求解即可。
21．【答案】（1）解：延长交于点F，如下图：
∵
∴
∵E是AD的中点
∴
在和中
∴
∴
（2）解：由（1）得，∴
∵CD＝2AB＝12，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
，
【知识点】平行线的性质；勾股定理；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）延长BE交CD于点F， 根据平行线的性质得出∠A=∠D，由中点的定义得出AE=DE，利用ASA证明△AEB≌△DEF，即可得出EF=BE；
（2）根据全等三角形的性质得出AB=DF，结合CD=2AB求出CF的长，最后在Rt△BFC中，根据勾股定理求出BF长，即可解答.
22．【答案】（1）解：由折叠的性质可知，BE=BC=8，DE=CD，
∴AE=AB-BE=2，
∴△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+DE+AE=AC+AE=8；
（2）解：设CD=DE=x，则AD=AC-CD=6-x，
由折叠的性质可知∠DEB=∠C=90°，
∴∠DEA=90°，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ .
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）由折叠的性质得BE=BC=8，DE=CD，可求AE的长，再证明△ADE的周长=AC+AE，代入计算可求出△ADE的周长；
（2）设CD=DE=x，可表示出AD的长，利用折叠的性质可证得∠DEB=∠C=90°，再利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值.
23．【答案】（1）解：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC＋∠EAB＝∠DAE＋∠EAB，
即∠DAB＝∠EAC，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴DB＝EC；
（2）解：由（1）知△DAB≌△EAB，
∴∠DBA＝∠ECA，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC＋∠ACB＝90°，
即∠ABC＋（∠BCE＋∠ACE）＝90°，
∴∠ABC＋∠DBA＋∠BCE＝90°，
即∠DBA＋∠BCE＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∵BC＝10，BE＝6，
∴EC2＝BC2 BE2＝102 62＝64，
∴EC＝8，
∴DE＝DB BE＝DB CE＝8 6＝2．
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质，利用SAS即可得出△DAB≌△EAC，即可得出结论；
（2）由（1）知△DAB≌△EAB，得出∠DBA＝∠ECA，利用勾股定理得出EC2＝BC2 BE2＝102 62＝64，推出EC的值，即可得出DE的值。
24．【答案】（1）解：设AB＝x cm，则AC＝（x＋2）cm，
∵AC2＝AB2＋BC2，
∴（x＋2）2＝x2＋62，
解得x＝8，
∴AB＝8cm，
∴AC＝8＋2＝10（cm）；
（2）①由折叠的性质可得∠DEC＝∠DBC＝90°，DE＝DB，EC＝BC＝6cm，
∴AE＝AC EC＝4cm；
②设DE＝DB＝ycm，则AD＝AB BD＝（8 y）cm，
在Rt△ADE中，AD2＝AE2＋DE2，
∴（8 y）2＝42＋y2，
解得：y＝3，
∴DE＝3cm．
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）设AB＝x cm，则AC＝（x＋2）cm，由AC2＝AB2＋BC2，得出（x＋2）2＝x2＋62，解得出x的值，即可得出答案；
（2）①由折叠的性质可得∠DEC＝∠DBC＝90°，DE＝DB，EC＝BC＝6cm，得出AE＝AC EC＝4cm；②设DE＝DB＝ycm，则AD＝AB BD＝（8 y）cm，在Rt△ADE中，AD2＝AE2＋DE2，得出（8 y）2＝42＋y2，解出y的值即可。
1 / 12022-2023初数北师大版八年级上册1.1探索勾股定理 同步练习
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2021八上·龙泉期末）若直角三角形的两边长分别是5和12，则它的斜边长是（ ）
A．13 B．13或 C． D．12或13
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：①当12为斜边时，它的斜边长是12；
②当12是直角边时，它的斜边长==13.
故答案为：D.
【分析】分12为斜边和直角边两种情况讨论，再利用勾股定理求解即可.
2．（2021八上·嵩县期末）如图，已知钓鱼竿 的长为 ，露在水面上的鱼线 长为 ，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿 转动到 的位置，此时露在水面上的鱼线 为 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵AC=10m，BC=6m，∠ABC=90°，
∴AB= m，
∵AC′=10m，B′C′=8m，∠AB′C′=90°，
∴AB′= m，
∴BB′=AB-AB′=2m；
故答案为：B．
【分析】利用勾股定理求出AB的长，再利用勾股定理求出AB′的长；然后根据BB′=AB-AB′，代入计算可求解.
3．（2021八上·嘉兴期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，连接CD，若AC=4，BC=3，则CD的长度是（ )
A．1.5 B．2 C．2.5 D．5
【答案】C
【知识点】勾股定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC 中， ∠ACB=90° ， AC=4，BC=3，
由勾股定理得：AB=，
∵点D是AB的中点 ，
∴CD=AB=×5=2.5，
故答案为：C.
【分析】在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AB，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半即可求出CD长度.
4．（2021八上·阳山期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 ，BC＝2．以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（ ）
A．5 B．6 C．12 D．13
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵∠C=90 ，
∴AB2=AC2+BC2=32+22=13，
∴正方形面积S=AB2=13，
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理即可得出答案。
5．（2021八上·宽城期末）如图，在长方形ABCD中，分别按图中方式放入同样大小的直角三角形纸片．如果按图①方式摆放，刚好放下4个；如果按图②方式摆放，刚好放下3个．若BC＝4a，则按图③方式摆放时，剩余部分CF的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；线段的计算
【解析】【解答】解：∵BC=4a，
∴图①中，BE=a，图②中，BE=a，
∴小直角三角形的斜边长为，
∴图③中纸盒底部剩余部分CF的长为4a-2×a=a；
故答案为：A．
【分析】由BC=4a，可得图①中，BE=a，图②中，BE=a，利用勾股定理求出图③中BE=a，由于图③中纸盒底部剩余部分CF=BC-图③中BE，据此计算即可.
6．（2021八上·临漳期中）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB、BC、AC为边向外作正方形，若三个正方形的面积分别为225、400、S，则S的值为（ ）
A．25 B．175 C．600 D．625
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：在 中， ，
由勾股定理得： ，
，
．
故答案为：D．
【分析】根据勾股定理可得，再根据正方形的面积计算方法可得，可得答案。
7．（2021八上·宁波期中）如图，RtΔABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将ΔABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】C
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；线段的中点
【解析】【解答】解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9－x，
∵D是BC的中点，
∴BD=3，
在Rt△BDN中，x2+32=（9－x）2，
解得x=4.
故线段BN的长为4.
故答案为：C.
【分析】设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9-x，由中点的概念可得BD=3，然后在Rt△BDN中，运用勾股定理求解即可.
8．（2021八上·太原月考）我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图如图所示，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝2，BC＝3，将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到一个如图所示“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A． B．8 C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图，将CB延长至点D，使 ，
∵ ， ，
∴ ，
，
一共有4个这样的长度，
∴这个风车的外围周长是： ．
故答案为：D．
【分析】由题意角ACB为直角，利用勾股定理求的外围中一条边，由AC延伸一倍，从而求的风车的一个轮子，进而求的4个这样的长度，即可得出周长。
9．（2021八上·运城月考）设a、b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则 的值是（ ）
A．3 B．2.5 C．2 D．6
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵三角形的周长为6，斜边长为2.5，
∴a+b+2.5=6，
∴a+b=3.5，
∵a、b是直角三角形的两条直角边，
∴a2+b2=2.52，
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=2.52，
∴3.52-2ab=2.52，
ab=3，
故答案为：A．
【分析】根据三角形的周长公式可以得到a+b=3.5，再利用三角形勾股定理可以得到a2+b2=2.52，再利用完全平方公式可以得到a2+b2=(a+b)2-2ab=2.52，将数据代入计算即可。
10．（2021八上·沈河月考）如图1，分别以直角三角形三边为边向外作方形，面积分别为S1，S2，S3；如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为S4，S5，S6，其中S1＝1，S2＝3，S5＝2，S6＝4，则S3+S4＝（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图，
∵ ， ，
∴ ，
同理可得， ，
∵S1＝1，S2＝3，S5＝2，S6＝4，
∴S3+S4＝（1+3）+（2+4）=10，
故答案为：A ．
【分析】从条件出发通过数形结合，结合勾股定理、正方形和圆的面积公式可以得到，，最后求出S3+S4即可。
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2021八上·鄞州期中）设x>0，若以x+1，x+2，x+3为边长的三角形是直角三角形，则x的值为 ．
【答案】2
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由题意得斜边为x+3，
∴ (x+1)2+(x+2)2=(x+3)2，
∴x2=4，
解得x=2或-2（舍去）.
故答案为：2.
【分析】首先判断出斜边为x+3，然后根据勾股定理建立方程求解，即可解答.
12．（2021八上·南京期末）如图，在 ABC中，AB＝20，AC＝15，BC＝7，则点A到BC的距离是 .
【答案】12
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：过A作AD⊥BC交BC的延长线于D，
∴∠D=90°，
∴AB2 BD2=AD2=AC2 CD2，
∵AB=20，AC=15，BC=7，
∴202 （7+CD）2=152 CD2，
∴CD=9，
∴ ，
∴点A到BC的距离是12；
故答案为：12.
【分析】过A作AD⊥BC交BC的延长线于D，根据勾股定理可得AB2 BD2=AD2=AC2 CD2，据此建立方程，求出CD，从而求出AD.
13．（2021八上·徐汇期末）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在Rt△ABC中，∠C=90° ，AC=2，若Rt△ABC是“好玩三角形”，则AB= ．
【答案】或
【知识点】勾股定理；定义新运算
【解析】【解答】解：当AC边上的中线BD等于AC时，如图，
∵∠C=90°，AC=2，
∴CD=1，BD=2
∴，
∴
当BC边上的中线AE等于BC时，
∵AC2=AE2 CE2，
∴BC2 （BC）2=22，
解得，BC2=，
∴，
综上所述，AB=或AB=，
故答案为或.
【分析】分两种情况：当AC边上的中线BD等于AC时，当BC边上的中线AE等于BC时，分别画出图形利用勾股定理即可解决问题。
14．（2021八上·镇江月考）如图，某斜拉桥的主梁AD垂直于桥面MN于点D，主梁上两根拉索AB、AC长分别为13米、20米，主梁AD的高度为12米，则固定点B、C之间的距离为 米.
【答案】21
【知识点】垂线；勾股定理
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵AB、AC长分别为13米、20米，AD的高度为12米，
∴BD＝（米），DC＝（米）
∴BC＝BD+DC＝5+16＝21（米），
故答案为：21.
【分析】由垂直的定义得∠ADB＝∠ADC＝90°，利用勾股定理求出BD、BC的长，根据BC＝BD+DC即可求解.
15．（2021八上·即墨期中）如图是一机器人比赛行走的路径，机器人从A处先往东走8m，又往北走3m，遇到障碍后又往西走4m，再转向北走9m往东拐，仅走1m就到达了B．问A、B两点之间的距离为 m．
【答案】13
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：过点B作BC垂直A所在水平直线于点C，如图，
，
根据题意可得，A处与B处水平距离为8-4+1=5，竖直距离为3+9=12，
∴AC=5，BC=12，
∴AB= =13，
故答案为：13．
【分析】过点B作BC垂直A所在水平直线于点C，根据题意可得，A处与B处水平距离为8-4+1=5，竖直距离为3+9=12，得出
AC=5，BC=12再利用勾股定理得出AB的值即可。
16．（2021八上·佛山期中）一长方体容器（如图1），长，宽均为4，高为16，里面盛有水，水面高为10，若沿底面一棱进行旋转倾斜，倾斜后的长方体容器的主视图如图2所示，若倾斜容器使水恰好倒出容器，则 的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图所示，
设DE=x，则AD= 16- x，
根据题意得：
，
解得：x=12，
∴DE= 12，
∵∠E= 90°，
由勾股定理得：
．
即：CD的长为 ．
故答案为： ．
【分析】设DE=x，则AD= 16- x，由出风头容器内水的体积得出方程，解方程求出DE，再由勾股定理求出CD即可。
三、解答题（共8题，共52分）
17．（2021八上·延庆期末）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和高BE的交点，AC＝，BD＝2．求线段DF的长度．
【答案】解：∵AD和BE是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝∠BEC＝90°．
∴∠C＋∠DAC＝90°；∠C＋∠DBF＝90°．
∴∠DAC ＝∠DBF．
∵∠ABC＝45°，
∴∠DAB＝45°．
∴∠ABC＝∠DAB．
∴DA＝DB．
在△ADC与△BDF中，
∴△ADC≌△BDF（ASA）．
∴AC＝BF＝．
在Rt△BDF中，∠BDF＝90°，
∴BD2＋DF2＝BF2．
∵BD＝2，BF＝，
∴DF＝1
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】先利用“ASA”证明△ADC≌△BDF，再利用全等三角形的性质可得AC＝BF＝，再利用勾股定理求出DF即可。
18．（2021八上·绿园期末）如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度向北偏东40°航行，乙船向南偏东50°航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛．若C、B两岛相距60海里，问乙船的航速是多少．
【答案】解：根据题意，得∠CAB=180°-40°-50°=90°，
∵AC=16×3=48（海里），BC=60海里，
∴在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB= =36（海里）．
则乙船的速度是36÷3=12海里/时．
【知识点】钟面角、方位角；勾股定理
【解析】【分析】利用平角的定义及方位角可求出 ∠CAB=180°-40°-50°=90°，再利用勾股定理求出AB的长，利用速度=路程÷时间即可求解.
19．（2021八上·连南期中）已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，若AB＝5，CD＝3，求BC的长．
【答案】解：在Rt△CDA中， ∵AC=AB=5，CD=3，
∴AD=
∴BD=AB-AD=5-4=1，
在Rt△CBD中，BC=
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】先利用勾股定理求出AD的长，再利用线段和差求出BD的长，最后利用勾股定理求出BC的值即可。
20．（2021八上·门头沟期末）已知，如图，在△ABC中，∠C＝ 90°，AD平分∠BAC交BC于D，过D作DE∥AC交AB于E．
（1）求证：AE＝DE；
（2）如果AC＝3，，求AE的长．
【答案】（1）证明：∵DE∥AC，
∴∠CAD＝∠ADE．
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠EAD．
∴∠EAD ＝∠ADE．
∴AE＝DE．
（2）解：过点D作DF⊥AB于F．
∵∠C ＝ 90°，AC＝3，，
∴在Rt△ACD中，由勾股定理得 ．
∴．
∵AD平分∠BAC，
∴DF＝DC＝．
又∵AD＝ AD，∠C ＝ ∠AFD ＝ 90°，
∴Rt△DAC ≌Rt△DAF．
∴AF＝AC＝3．
∴Rt△DEF中，由勾股定理得 ．
设AE＝x，则DE＝x，，
∴，
∴x＝2．
∴AE＝2．
【知识点】平行线的性质；勾股定理；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）先求出 ∠CAD＝∠ADE，再求出∠CAD＝∠EAD，最后证明即可；
（2）利用勾股定理求出，再求出 Rt△DAC ≌Rt△DAF ，最后计算求解即可。
21．（2021八上·高港月考）如图：已知ABCD，BC⊥CD，且CD＝2AB＝12，BC＝8，E是AD的中点.
（1）请你用直尺（无刻度）作出一条线段与BE相等，并证明之；
（2）求BE的长.
【答案】（1）解：延长交于点F，如下图：
∵
∴
∵E是AD的中点
∴
在和中
∴
∴
（2）解：由（1）得，∴
∵CD＝2AB＝12，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
，
【知识点】平行线的性质；勾股定理；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）延长BE交CD于点F， 根据平行线的性质得出∠A=∠D，由中点的定义得出AE=DE，利用ASA证明△AEB≌△DEF，即可得出EF=BE；
（2）根据全等三角形的性质得出AB=DF，结合CD=2AB求出CF的长，最后在Rt△BFC中，根据勾股定理求出BF长，即可解答.
22．（2021八上·武汉月考）如图直角三角形纸片中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，AC＝6，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD.
（1）求△ADE的周长；
（2）求DE的长.
【答案】（1）解：由折叠的性质可知，BE=BC=8，DE=CD，
∴AE=AB-BE=2，
∴△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+DE+AE=AC+AE=8；
（2）解：设CD=DE=x，则AD=AC-CD=6-x，
由折叠的性质可知∠DEB=∠C=90°，
∴∠DEA=90°，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ .
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）由折叠的性质得BE=BC=8，DE=CD，可求AE的长，再证明△ADE的周长=AC+AE，代入计算可求出△ADE的周长；
（2）设CD=DE=x，可表示出AD的长，利用折叠的性质可证得∠DEB=∠C=90°，再利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值.
23．（2021八上·东平月考）如图，△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE．
（1）将△ADE旋转，使得D、E、B三点在一条直线上时，求证：BD＝CE；
（2）在（1）的条件下，当BC＝10，BE＝6时，求DE的长．
【答案】（1）解：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC＋∠EAB＝∠DAE＋∠EAB，
即∠DAB＝∠EAC，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴DB＝EC；
（2）解：由（1）知△DAB≌△EAB，
∴∠DBA＝∠ECA，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC＋∠ACB＝90°，
即∠ABC＋（∠BCE＋∠ACE）＝90°，
∴∠ABC＋∠DBA＋∠BCE＝90°，
即∠DBA＋∠BCE＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∵BC＝10，BE＝6，
∴EC2＝BC2 BE2＝102 62＝64，
∴EC＝8，
∴DE＝DB BE＝DB CE＝8 6＝2．
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质，利用SAS即可得出△DAB≌△EAC，即可得出结论；
（2）由（1）知△DAB≌△EAB，得出∠DBA＝∠ECA，利用勾股定理得出EC2＝BC2 BE2＝102 62＝64，推出EC的值，即可得出DE的值。
24．（2021八上·章丘期中）
（1）如图①，Rt△ABC的斜边AC比直角边AB长2cm，另一直角边BC长为6cm，求AC的长．
（2）拓展：如图②，在图①的△ABC的边AB上取一点D，连接CD，将△ABC沿CD翻折，使点B的对称点E落在边AC上．
①AE的长．
②求DE的长．
【答案】（1）解：设AB＝x cm，则AC＝（x＋2）cm，
∵AC2＝AB2＋BC2，
∴（x＋2）2＝x2＋62，
解得x＝8，
∴AB＝8cm，
∴AC＝8＋2＝10（cm）；
（2）①由折叠的性质可得∠DEC＝∠DBC＝90°，DE＝DB，EC＝BC＝6cm，
∴AE＝AC EC＝4cm；
②设DE＝DB＝ycm，则AD＝AB BD＝（8 y）cm，
在Rt△ADE中，AD2＝AE2＋DE2，
∴（8 y）2＝42＋y2，
解得：y＝3，
∴DE＝3cm．
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）设AB＝x cm，则AC＝（x＋2）cm，由AC2＝AB2＋BC2，得出（x＋2）2＝x2＋62，解得出x的值，即可得出答案；
（2）①由折叠的性质可得∠DEC＝∠DBC＝90°，DE＝DB，EC＝BC＝6cm，得出AE＝AC EC＝4cm；②设DE＝DB＝ycm，则AD＝AB BD＝（8 y）cm，在Rt△ADE中，AD2＝AE2＋DE2，得出（8 y）2＝42＋y2，解出y的值即可。
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