2022-2023初数北师大版八年级上册1.2 一定是直角三角形吗 同步练习
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022八下·福州期末）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．2，3，4 C．3，4，5 D．1，，3
2．（2022八下·厦门期中）下列各组数据中，不能作为直角三角形边长的是（ ）
A．3，5，7 B．6，8，10
C．5， 12， 13 D．1，，2
3．（2022八下·临清期中）下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ）
A．1，3，4 B． C．5，12，13 D．
4．（2021八上·平谷期末）如图，五根小木棒，其长度分别为5，9，12，13，15，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021九上·湖州月考）有4条线段，分别为 ， ， ， ，从中任取3条，能构成直角三角形的概率是（ ）.
A． B． C． D．
6．（2021七上·泰安期中）将一个直角三角形的三边长同时扩大10倍，得到的三角形是（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
7．（2022八下·河东期中）如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积是（ ）
A．4 B． C． D．
8．（2021九上·海淀期末）如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为300 m，则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（ ）
A．A，B，C都不在 B．只有B
C．只有A，C D．A，B，C
9．（2021七上·龙口期中）在海面上有两个疑似漂浮目标． 接到消息后，A舰艇以12海里/时的速度离开港口O，向北偏西50°方向航行． 同时，B舰艇在同地以16海里/时的速度向北偏东方向行驶，如图所示，离开港口1.5小时后两船相距30海里，则B舰艇的航行方向是（ ）
A．北偏东60° B．北偏东50° C．北偏东40° D．北偏东30°
10．（2021八上·秦都月考）如图，已知 中 ， ， ，在 上取一点E， 上取一点F，使得 ，过点C作 ，交 于点G，过点B作 .则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2021八上·毕节月考）在△ABC中，若AC2＋BC2＝AB2，∠A∶∠B＝1∶2，则∠B的度数是 .
12．李老师要做一个直角三角形教具，做好后量得三边长分别是30 cm，40 cm和50 cm，则这个教具 (填“ 合格”或“不合格”)．
13．（2021七上·莱西期中）如图，D为△ABC的边BC上一点，已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，则BC的长为 .
14．如图所示，小明和组员想知道在水平地面上立的旗杆是否垂直于地面，已知旗杆高20米．从旗杆顶部拉下来一根绳子，测得绳子一端离旗杆底部BC长15.5 米，绳子长25米．那么旗杆是否与地面垂直？答案为： (填“是”或“不是”)
15．（2021八下·兴城期末）如图，在单位为1的正方形网格中，有三条线段a，b，c（线段端点都在格点上），以这三条线段为边能否组成一个直角三角形？答： ．（填“能”或“不能”．）
16．（2021八下·无为期中）如图，在△ABC中，AC＝24，AB＝25，BC＝7．在AB上取一点E，AC上取一点F，连接EF，若∠EFC＝125°，过点B作BD∥EF，且点D在AB的右侧，则∠CBD的度数为 ．
三、解答题（共8题，共52分）
17．（2021八下·兖州期中）如图，正方形网格中，小格的顶点叫做格点，按下列要求作图：①在正方形网格的三条不同的实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一条实线上；②连接三个格点，使之构成直角三角形．小华在下边的正方形网格中作出了．
（1）你认为小华作出的是直角三角形吗 请给予说明；
（2）请你按照同样的要求，在上边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等．
18．（2022八下·灌阳期中）一根12米的电线杆AB，用铁丝AC、AD固定，现已知用去铁丝AC＝15米，AD＝13米，又测得地面上B、C两点之间距离是9米，B、D两点之间距离是5米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？
19．（2022八下·东台开学考）如图所示的一块空地进行草坪绿化，已知 AD＝4m ，CD＝3m，AD⊥DC，AB＝13m ，BC＝12m ，绿化草坪价格 150 元/米2。求这块地草坪绿化的价钱．
20．（2021八上·佛山期中）如图，四边形 中， ， ， ， ， ，求证： ．
21．（2021八下·上杭期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，A，B，C为格点（每个小正方形的顶点叫格点）.
（1）填空：线段 ， ， ；
（2）判断 的形状，并说明理由.
22．（2021八上·南阳月考）在
中，
，
，
的对边分别是a，b，c，根据下列各边的长度，判断各三角形是否为直角三角形.并指出哪一个角是直角.
（1） ，
，
；
（2） ，
，
；
23．如图所示，在△ABC中，AB=8，AC=6，DE是BC的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E，AF⊥BC于点F。
（1）若∠BAC=90°，求BE的长。
（2）若DF= ，试说明：△ABC为直角三角形。
24．如图，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边的长度分别为a、b、c．
（1）若a=6，b=8，c=12，请直接写出∠A与∠B的和与∠C的大小关系；
（2）求证：ABC的内角和等于180°；
（3）若 ，求证：△ABC是直角三角形．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、32+42=52，能构成直角三角形，故符合题意；
D、12+（）2≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意.
故答案为：C.
【分析】若一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，那么这个三角形就是直角三角形，据此判断.
2．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：32＋52≠72，故选项A符合题意；
62＋82＝102，故选项B不符合题意；
52＋122＝132，故选项C不符合题意；
12＋（）2＝22，故选项D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可.
3．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】A、 ，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、 ，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、，能构成直角三角形，故符合题意；
D、 ，不能构成直角三角形，故不符合题意，
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理的逆定理逐项判断即可。
4．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】A、对于△ABD，由于，则此三角形不是直角三角形，同理△ADC也不是直角三角形，故不合题意；
B、对于△ABC，由于，则此三角形不是直角三角形，同理△ADC也不是直角三角形，故不合题意；
C、对于△ABC，由于，则此三角形是直角三角形，同理△BDC也是直角三角形，故符合题意；
D、对于△ABC，由于，则此三角形不是直角三角形，同理△BDC也不是直角三角形，故不合题意．
故答案为：C
【分析】利用直角三角形的判定方法判断即可。
5．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；概率公式
【解析】【解答】解：4条线段的全部组合有 ，共四组.能构成直角三角形的组合只有 一组，
（能构成直角三角形） .
故答案为：C.
【分析】列举出所有可能出现的情况数，找出能构成直角三角形的情况数，接下来根据概率公式进行计算.
6．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：设原直角三角形的三边分别为： 其中 为斜边，则
将这个直角三角形的三边长同时扩大10倍，三边分别为：
且最长边为：
而
所以将一个直角三角形的三边长同时扩大10倍，得到的三角形是直角三角形.
故答案为：C
【分析】根据勾股定理得出推出 得出根据勾股定理的逆定理得出即可。
7．【答案】C
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：如图，连接AC，
在中，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴∠ACD=90°，
∴四边形的面积= ．
故答案为：C
【分析】连接AC，先利用勾股定理求出AC，再利用勾股定理的逆定理证明∠ACD=90°，最后利用割补法可得四边形ABCD的面积。
8．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理；圆的认识
【解析】【解答】解：如图所示：连接BD，
∵，，，
∴，
∴为直角三角形，
∵D为AC中点，
∴，
∵覆盖半径为300 ，
∴A、B、C三个点都被覆盖，
故答案为：D．
【分析】连接BD，先证出为直角三角形，根据D为AC中点，得出，即可得出答案。
9．【答案】C
【知识点】钟面角、方位角；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：由题意，得：AB=30海里，
OA=12×1.5=18（海里），
OB=16×1.5=24（海里），
∵OA2+OB2=182+242=900，
AB2=302=900，
∴OA2+OB2= AB2，
∴∠AOB=90°，
∵A舰艇向北偏西50°方向航行，
∴B舰艇的航行方向为北偏东40°．
故答案为：C．
【分析】由OA，OB，AB的长度根据勾股定理逆定理可判断∠AOB=90°，根据A的位置即可得出B的方位。
10．【答案】B
【知识点】平行线的性质；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：在△ABC中AC=24，AB=25，BC=7 ，
，
，
△ABC为直角三角形，
∠ACB=90°，
， ，
∠GCF=180°-∠EFC=44°，
∠BCG=∠ACB - ∠GCF=46°，
又 ，
，
∠CBD= ∠BCG= 46°，
故答案为：B.
【分析】利用勾股定理逆定理求出△ABC为直角三角形，然后根据平行线的性质求出∠GCF的度数，再根据角的和差关系求出∠BCG，然后再根据平行线的性质求出∠CBD即可.
11．【答案】60°
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：在△ABC中，因为AC2＋BC2＝AB2，
所以△ABC是以AB为斜边的直角三角形，则∠C=90°，
所以∠A+∠B=90°，
因为∠A：∠B＝1：2，
所以∠B=90°×60°.
故答案为：60°.
【分析】根据已知条件结合勾股定理逆定理可得△ABC为直角三角形，且∠C=90°，则∠A+∠B=90°，然后结合∠A∶∠B＝1∶2就可求出∠B的度数.
12．【答案】合格
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解： 302+402 =502 ，
∴三边长分别为30cm，40cm和50cm的三角形是直角三角形，
∴这个教具合格．
【分析】求出三边长分别为30cm，40cm和50cm的三角形是直角三角形，即可作答。
13．【答案】14
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵AB=13，AD=12，BD=5，
∴AB2=AD2+BD2，
∴△ADB是直角三角形，∠ADB=90°，
∴△ADC是直角三角形，
在Rt△ADC中，CD= =9．
故答案为：B.
【分析】先求出AB2=AD2+BD2，再求出△ADC是直角三角形，最后利用勾股定理计算求解即可。
14．【答案】不是
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】∵202+15.52=640.25，252=625，
∴202+15.52≠252，
∴△ABC不是直角三角形，
∴ 旗杆与地面不垂直.
【分析】利用勾股定理的逆定理进行解答即可.
15．【答案】能
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：由题意得
∴
∴能构成直角三角形
故答案为：能．
【分析】先根据勾股定理分别求出a2、b2、c2，再根据勾股定理的逆定理进行解答即可.
16．【答案】35°
【知识点】平行线的性质；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：在△ABC中AC＝24，AB＝25，BC＝7，
∵242+72＝625＝252，即AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，
∴∠ACB＝90°．
过点C作CM∥EF交AB于点M，则CM∥BD，如图所示．
∵CM∥EF，∠EFC＝125°，
∴∠MCF＝180°﹣∠EFC＝55°，
∴∠BCM＝∠ACB﹣∠MCF＝35°．
又∵CM∥BD，
∴∠CBD＝∠BCM＝35°．
故答案为：35°．
【分析】先利用勾股定理的逆定理证明∠ACB＝90°，再过点C作CM∥EF交AB于点M，则CM∥BD，求出∠MCF＝180°﹣∠EFC＝55°，利用余角的性质求出∠BCM＝∠ACB﹣∠MCF＝35°，最后利用平行线的性质可得∠CBD＝∠BCM＝35°。
17．【答案】（1）解： 是直角三角形，
∵，，
，
∴，
∴是直角三角形；
（2）解： 作图如下，答案不唯一．
【知识点】勾股定理的逆定理；作图-三角形
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出AB、BC和AC的长，再利用勾股定理的逆定理证明即可；
（2）根据要求作出三角形即可。
18．【答案】解：电线杆和地面垂直，理由如下：
连接BD
在△ABD中，∵BD2+AB2＝52+122＝169＝132＝AD2，
∴△ABD是直角三角形，且∠ABD＝90°，
∴AB⊥BD，
在△ABC中，∵BC2+AB2＝92+122＝225＝152＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC，
∴电线杆和地面垂直.
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】连接BD，根据题意结合勾股定理逆定理可得△ABD是直角三角形，且∠ABD＝90°，△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，据此判断.
19．【答案】解：如图，连接AC，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC=90°，
∴AC==5m，
∵AB＝13m ，BC＝12m ，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴S绿化草坪=S△ACB-S△ADC==24m2，
∴这块地草坪绿化的价钱=24×150=3600元.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】连接AC，根据勾股定理得出AB=5，再根据勾股定理的逆定理得出∠ACB=90°，再根据S绿化草坪=S△ACB-S△AD算出草坪的面积，再乘以150 元/米2进行计算，即可得出答案.
20．【答案】解：如图，连接 ，
， ， ，
， ，
，
是直角三角形， 是斜边
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】连接 ，由 ， ， ，利用勾股定理得出AC的值，由 ， ，得出，由此得出 是直角三角形， 是斜边，即可得出答案。
21．【答案】（1）；；5
（2）解：△ABC为直角三角形，理由如下：
∵AB2＝5，BC2＝20，AC2＝25，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC为直角三角形.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：（1） ， ，AC＝5.
故答案为： ，2 ，5；
【分析】(1)根据勾股定理分别求出△ABC的三边即可；
(2)分别求出△ABC三边长的平方，然后利用勾股逆定理即可判断.
22．【答案】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴△ABC是直角三角形，∠B=90°即∠B是直角；
（2）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴△ABC是直角三角形，∠C=90°即∠C是直角.
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理可证得a2+c2=b2，由此可推出∠B是直角；
（2）分别求出a2，c2，b2的值，可证得a2+b2=c2，可推出∠C是直角.
23．【答案】（1）解：连接CE，设AE=x，因为AB=8，所以BE=8-x．
因为DE是BC的垂直平分线，所以CE=BE=8- x．
因为∠BAC= 90° ，AC=6，所以x2+62=(8- x)2，
解得x= ，所以BE=
（2）解：设BD=y，则CD=y．
因为DF= ，所以BF=y+ ，CF=y-
因为AF⊥BC，所以AB2- BF2=AC2-CF2=AF2，
所以82-(y+ )2=62-(y- )2，解得y=5，所以BC= 10．
因为62+82= 102，所以△ABC为直角三角形．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）先求出 CE=BE=8- x ，再利用勾股定理求解即可；
（2）先求出 BF=y+ ，CF=y- ，再求出 y=5， 最后证明直角三角形即可。
24．【答案】（1）解：∵在△ABC中，a=6，b=8，c=12，
∴a2+b2∴此三角形是钝角三角形，且∠C是钝角，
∴∠A+∠B<∠C．
（2）证明：如图，过点B作MN∥AC，
∴∠MBA= CA，∠NBC=∠C(两直线平行，内错角相等)，
∵∠MBA+∠ABC+∠NBC= 180°(平角的定义)，
∴∠A+∠ABC+∠C= 180°(等量代换)，
即△ABC的内角和等于180°．
（3）证明：∵
∴ac= (a+b+c)(a-b+c)= [(a2+2ac+c2)-b2]， ．
∴2ac=a2+2ac+c2-b2，
∴a2+c2=b2，
∴△ABC是直角三角形．
【知识点】平行线的性质；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）先求出 a2+b2（2）根据平行线的性质求出 ∠MBA= CA，∠NBC=∠C ，再求出 ∠A+∠ABC+∠C= 180° ，最后证明求解即可；
（3）先求出 2ac=a2+2ac+c2-b2， 再求出 a2+c2=b2， 最后证明求解即可。
1 / 12022-2023初数北师大版八年级上册1.2 一定是直角三角形吗 同步练习
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022八下·福州期末）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．2，3，4 C．3，4，5 D．1，，3
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、32+42=52，能构成直角三角形，故符合题意；
D、12+（）2≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意.
故答案为：C.
【分析】若一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，那么这个三角形就是直角三角形，据此判断.
2．（2022八下·厦门期中）下列各组数据中，不能作为直角三角形边长的是（ ）
A．3，5，7 B．6，8，10
C．5， 12， 13 D．1，，2
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：32＋52≠72，故选项A符合题意；
62＋82＝102，故选项B不符合题意；
52＋122＝132，故选项C不符合题意；
12＋（）2＝22，故选项D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可.
3．（2022八下·临清期中）下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ）
A．1，3，4 B． C．5，12，13 D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】A、 ，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、 ，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、，能构成直角三角形，故符合题意；
D、 ，不能构成直角三角形，故不符合题意，
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理的逆定理逐项判断即可。
4．（2021八上·平谷期末）如图，五根小木棒，其长度分别为5，9，12，13，15，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】A、对于△ABD，由于，则此三角形不是直角三角形，同理△ADC也不是直角三角形，故不合题意；
B、对于△ABC，由于，则此三角形不是直角三角形，同理△ADC也不是直角三角形，故不合题意；
C、对于△ABC，由于，则此三角形是直角三角形，同理△BDC也是直角三角形，故符合题意；
D、对于△ABC，由于，则此三角形不是直角三角形，同理△BDC也不是直角三角形，故不合题意．
故答案为：C
【分析】利用直角三角形的判定方法判断即可。
5．（2021九上·湖州月考）有4条线段，分别为 ， ， ， ，从中任取3条，能构成直角三角形的概率是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；概率公式
【解析】【解答】解：4条线段的全部组合有 ，共四组.能构成直角三角形的组合只有 一组，
（能构成直角三角形） .
故答案为：C.
【分析】列举出所有可能出现的情况数，找出能构成直角三角形的情况数，接下来根据概率公式进行计算.
6．（2021七上·泰安期中）将一个直角三角形的三边长同时扩大10倍，得到的三角形是（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：设原直角三角形的三边分别为： 其中 为斜边，则
将这个直角三角形的三边长同时扩大10倍，三边分别为：
且最长边为：
而
所以将一个直角三角形的三边长同时扩大10倍，得到的三角形是直角三角形.
故答案为：C
【分析】根据勾股定理得出推出 得出根据勾股定理的逆定理得出即可。
7．（2022八下·河东期中）如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积是（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：如图，连接AC，
在中，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴∠ACD=90°，
∴四边形的面积= ．
故答案为：C
【分析】连接AC，先利用勾股定理求出AC，再利用勾股定理的逆定理证明∠ACD=90°，最后利用割补法可得四边形ABCD的面积。
8．（2021九上·海淀期末）如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为300 m，则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（ ）
A．A，B，C都不在 B．只有B
C．只有A，C D．A，B，C
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理；圆的认识
【解析】【解答】解：如图所示：连接BD，
∵，，，
∴，
∴为直角三角形，
∵D为AC中点，
∴，
∵覆盖半径为300 ，
∴A、B、C三个点都被覆盖，
故答案为：D．
【分析】连接BD，先证出为直角三角形，根据D为AC中点，得出，即可得出答案。
9．（2021七上·龙口期中）在海面上有两个疑似漂浮目标． 接到消息后，A舰艇以12海里/时的速度离开港口O，向北偏西50°方向航行． 同时，B舰艇在同地以16海里/时的速度向北偏东方向行驶，如图所示，离开港口1.5小时后两船相距30海里，则B舰艇的航行方向是（ ）
A．北偏东60° B．北偏东50° C．北偏东40° D．北偏东30°
【答案】C
【知识点】钟面角、方位角；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：由题意，得：AB=30海里，
OA=12×1.5=18（海里），
OB=16×1.5=24（海里），
∵OA2+OB2=182+242=900，
AB2=302=900，
∴OA2+OB2= AB2，
∴∠AOB=90°，
∵A舰艇向北偏西50°方向航行，
∴B舰艇的航行方向为北偏东40°．
故答案为：C．
【分析】由OA，OB，AB的长度根据勾股定理逆定理可判断∠AOB=90°，根据A的位置即可得出B的方位。
10．（2021八上·秦都月考）如图，已知 中 ， ， ，在 上取一点E， 上取一点F，使得 ，过点C作 ，交 于点G，过点B作 .则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：在△ABC中AC=24，AB=25，BC=7 ，
，
，
△ABC为直角三角形，
∠ACB=90°，
， ，
∠GCF=180°-∠EFC=44°，
∠BCG=∠ACB - ∠GCF=46°，
又 ，
，
∠CBD= ∠BCG= 46°，
故答案为：B.
【分析】利用勾股定理逆定理求出△ABC为直角三角形，然后根据平行线的性质求出∠GCF的度数，再根据角的和差关系求出∠BCG，然后再根据平行线的性质求出∠CBD即可.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2021八上·毕节月考）在△ABC中，若AC2＋BC2＝AB2，∠A∶∠B＝1∶2，则∠B的度数是 .
【答案】60°
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：在△ABC中，因为AC2＋BC2＝AB2，
所以△ABC是以AB为斜边的直角三角形，则∠C=90°，
所以∠A+∠B=90°，
因为∠A：∠B＝1：2，
所以∠B=90°×60°.
故答案为：60°.
【分析】根据已知条件结合勾股定理逆定理可得△ABC为直角三角形，且∠C=90°，则∠A+∠B=90°，然后结合∠A∶∠B＝1∶2就可求出∠B的度数.
12．李老师要做一个直角三角形教具，做好后量得三边长分别是30 cm，40 cm和50 cm，则这个教具 (填“ 合格”或“不合格”)．
【答案】合格
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解： 302+402 =502 ，
∴三边长分别为30cm，40cm和50cm的三角形是直角三角形，
∴这个教具合格．
【分析】求出三边长分别为30cm，40cm和50cm的三角形是直角三角形，即可作答。
13．（2021七上·莱西期中）如图，D为△ABC的边BC上一点，已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，则BC的长为 .
【答案】14
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵AB=13，AD=12，BD=5，
∴AB2=AD2+BD2，
∴△ADB是直角三角形，∠ADB=90°，
∴△ADC是直角三角形，
在Rt△ADC中，CD= =9．
故答案为：B.
【分析】先求出AB2=AD2+BD2，再求出△ADC是直角三角形，最后利用勾股定理计算求解即可。
14．如图所示，小明和组员想知道在水平地面上立的旗杆是否垂直于地面，已知旗杆高20米．从旗杆顶部拉下来一根绳子，测得绳子一端离旗杆底部BC长15.5 米，绳子长25米．那么旗杆是否与地面垂直？答案为： (填“是”或“不是”)
【答案】不是
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】∵202+15.52=640.25，252=625，
∴202+15.52≠252，
∴△ABC不是直角三角形，
∴ 旗杆与地面不垂直.
【分析】利用勾股定理的逆定理进行解答即可.
15．（2021八下·兴城期末）如图，在单位为1的正方形网格中，有三条线段a，b，c（线段端点都在格点上），以这三条线段为边能否组成一个直角三角形？答： ．（填“能”或“不能”．）
【答案】能
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：由题意得
∴
∴能构成直角三角形
故答案为：能．
【分析】先根据勾股定理分别求出a2、b2、c2，再根据勾股定理的逆定理进行解答即可.
16．（2021八下·无为期中）如图，在△ABC中，AC＝24，AB＝25，BC＝7．在AB上取一点E，AC上取一点F，连接EF，若∠EFC＝125°，过点B作BD∥EF，且点D在AB的右侧，则∠CBD的度数为 ．
【答案】35°
【知识点】平行线的性质；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：在△ABC中AC＝24，AB＝25，BC＝7，
∵242+72＝625＝252，即AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，
∴∠ACB＝90°．
过点C作CM∥EF交AB于点M，则CM∥BD，如图所示．
∵CM∥EF，∠EFC＝125°，
∴∠MCF＝180°﹣∠EFC＝55°，
∴∠BCM＝∠ACB﹣∠MCF＝35°．
又∵CM∥BD，
∴∠CBD＝∠BCM＝35°．
故答案为：35°．
【分析】先利用勾股定理的逆定理证明∠ACB＝90°，再过点C作CM∥EF交AB于点M，则CM∥BD，求出∠MCF＝180°﹣∠EFC＝55°，利用余角的性质求出∠BCM＝∠ACB﹣∠MCF＝35°，最后利用平行线的性质可得∠CBD＝∠BCM＝35°。
三、解答题（共8题，共52分）
17．（2021八下·兖州期中）如图，正方形网格中，小格的顶点叫做格点，按下列要求作图：①在正方形网格的三条不同的实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一条实线上；②连接三个格点，使之构成直角三角形．小华在下边的正方形网格中作出了．
（1）你认为小华作出的是直角三角形吗 请给予说明；
（2）请你按照同样的要求，在上边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等．
【答案】（1）解： 是直角三角形，
∵，，
，
∴，
∴是直角三角形；
（2）解： 作图如下，答案不唯一．
【知识点】勾股定理的逆定理；作图-三角形
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出AB、BC和AC的长，再利用勾股定理的逆定理证明即可；
（2）根据要求作出三角形即可。
18．（2022八下·灌阳期中）一根12米的电线杆AB，用铁丝AC、AD固定，现已知用去铁丝AC＝15米，AD＝13米，又测得地面上B、C两点之间距离是9米，B、D两点之间距离是5米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？
【答案】解：电线杆和地面垂直，理由如下：
连接BD
在△ABD中，∵BD2+AB2＝52+122＝169＝132＝AD2，
∴△ABD是直角三角形，且∠ABD＝90°，
∴AB⊥BD，
在△ABC中，∵BC2+AB2＝92+122＝225＝152＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC，
∴电线杆和地面垂直.
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】连接BD，根据题意结合勾股定理逆定理可得△ABD是直角三角形，且∠ABD＝90°，△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，据此判断.
19．（2022八下·东台开学考）如图所示的一块空地进行草坪绿化，已知 AD＝4m ，CD＝3m，AD⊥DC，AB＝13m ，BC＝12m ，绿化草坪价格 150 元/米2。求这块地草坪绿化的价钱．
【答案】解：如图，连接AC，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC=90°，
∴AC==5m，
∵AB＝13m ，BC＝12m ，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴S绿化草坪=S△ACB-S△ADC==24m2，
∴这块地草坪绿化的价钱=24×150=3600元.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】连接AC，根据勾股定理得出AB=5，再根据勾股定理的逆定理得出∠ACB=90°，再根据S绿化草坪=S△ACB-S△AD算出草坪的面积，再乘以150 元/米2进行计算，即可得出答案.
20．（2021八上·佛山期中）如图，四边形 中， ， ， ， ， ，求证： ．
【答案】解：如图，连接 ，
， ， ，
， ，
，
是直角三角形， 是斜边
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】连接 ，由 ， ， ，利用勾股定理得出AC的值，由 ， ，得出，由此得出 是直角三角形， 是斜边，即可得出答案。
21．（2021八下·上杭期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，A，B，C为格点（每个小正方形的顶点叫格点）.
（1）填空：线段 ， ， ；
（2）判断 的形状，并说明理由.
【答案】（1）；；5
（2）解：△ABC为直角三角形，理由如下：
∵AB2＝5，BC2＝20，AC2＝25，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC为直角三角形.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：（1） ， ，AC＝5.
故答案为： ，2 ，5；
【分析】(1)根据勾股定理分别求出△ABC的三边即可；
(2)分别求出△ABC三边长的平方，然后利用勾股逆定理即可判断.
22．（2021八上·南阳月考）在
中，
，
，
的对边分别是a，b，c，根据下列各边的长度，判断各三角形是否为直角三角形.并指出哪一个角是直角.
（1） ，
，
；
（2） ，
，
；
【答案】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴△ABC是直角三角形，∠B=90°即∠B是直角；
（2）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴△ABC是直角三角形，∠C=90°即∠C是直角.
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理可证得a2+c2=b2，由此可推出∠B是直角；
（2）分别求出a2，c2，b2的值，可证得a2+b2=c2，可推出∠C是直角.
23．如图所示，在△ABC中，AB=8，AC=6，DE是BC的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E，AF⊥BC于点F。
（1）若∠BAC=90°，求BE的长。
（2）若DF= ，试说明：△ABC为直角三角形。
【答案】（1）解：连接CE，设AE=x，因为AB=8，所以BE=8-x．
因为DE是BC的垂直平分线，所以CE=BE=8- x．
因为∠BAC= 90° ，AC=6，所以x2+62=(8- x)2，
解得x= ，所以BE=
（2）解：设BD=y，则CD=y．
因为DF= ，所以BF=y+ ，CF=y-
因为AF⊥BC，所以AB2- BF2=AC2-CF2=AF2，
所以82-(y+ )2=62-(y- )2，解得y=5，所以BC= 10．
因为62+82= 102，所以△ABC为直角三角形．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）先求出 CE=BE=8- x ，再利用勾股定理求解即可；
（2）先求出 BF=y+ ，CF=y- ，再求出 y=5， 最后证明直角三角形即可。
24．如图，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边的长度分别为a、b、c．
（1）若a=6，b=8，c=12，请直接写出∠A与∠B的和与∠C的大小关系；
（2）求证：ABC的内角和等于180°；
（3）若 ，求证：△ABC是直角三角形．
【答案】（1）解：∵在△ABC中，a=6，b=8，c=12，
∴a2+b2∴此三角形是钝角三角形，且∠C是钝角，
∴∠A+∠B<∠C．
（2）证明：如图，过点B作MN∥AC，
∴∠MBA= CA，∠NBC=∠C(两直线平行，内错角相等)，
∵∠MBA+∠ABC+∠NBC= 180°(平角的定义)，
∴∠A+∠ABC+∠C= 180°(等量代换)，
即△ABC的内角和等于180°．
（3）证明：∵
∴ac= (a+b+c)(a-b+c)= [(a2+2ac+c2)-b2]， ．
∴2ac=a2+2ac+c2-b2，
∴a2+c2=b2，
∴△ABC是直角三角形．
【知识点】平行线的性质；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）先求出 a2+b2（2）根据平行线的性质求出 ∠MBA= CA，∠NBC=∠C ，再求出 ∠A+∠ABC+∠C= 180° ，最后证明求解即可；
（3）先求出 2ac=a2+2ac+c2-b2， 再求出 a2+c2=b2， 最后证明求解即可。
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