2022年高考数学真题分类汇编专题03：基本初等函数

2022年高考数学真题分类汇编专题03：基本初等函数
一、单选题
1．（2022·浙江）已知 ，则 （　　）
A．25 B．5 C． D．
2．（2022·全国甲卷）已知 ，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2022·全国乙卷）已知函数 的定义域均为R，且 ．若 的图像关于直线 对称， ，则 （　　）
A．-21 B．-22 C．-23 D．-24
4．（2022·北京）已知函数 ，则对任意实数 ，有（　　）
A． B．
C． D．
5．（2022·北京）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献，如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与 和 的关系，其中 表示温度，单位是 ； 表示压强，单位是bar，下列结论中正确的是（　　）
A．当 ， 时，二氧化碳处于液态
B．当 ， 时，二氧化碳处于气态
C．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
D．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
6．（2022·浙江学考）函数 的图象大致是（）
A． B．
C． D．
7．（2022·上海）下列幂函数中，定义域为R的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2022·新高考Ⅱ卷）若函数 的定义域为R，且 ，则 （　　）
A．-3 B．-2 C．0 D．1
9．（2022·全国乙卷）如图是下列四个函数中的某个函数在区间 的大致图像，则该函数是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2022·全国甲卷）函数 在区间 的图像大致为（　　）
A． B．
C． D．
11．（2022·全国甲卷）将函数 的图像向左平移 个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则 的最小值是（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
12．（2022·新高考Ⅰ卷）已知函数 及其导函数 的定义域均为R，记 若 均为偶函数，则（　　）
A． B． C． D．
三、填空题
13．（2022·浙江）已知函数 则 　 　；若当 时， ，则 的最大值是　 　．
14．（2022·北京）设函数 ，若 存在最小值，则 的一个取值为　 　； 的最大值为　 　．
15．（2022·上海）已知函数 的反函数为 ，则 　 　
16．（2022·全国乙卷）若 是奇函数，则 　 　， 　 　．
17．（2022·北京）函数 的定义域是　 　．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】将转化为指数，得到.再结合指数的运算性质，，因此，所以.
故答案为：C
【分析】直接利用指数、对数的运算性质求解即可．
2．【答案】A
【知识点】指数函数单调性的应用；指数式与对数式的互化；换底公式的应用；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：由9m=10可得，
而，
所以 ，
即m>lg11，
所以a=10m-11>10lg11-11=0．
又，
所以 ，
即log89>m ，
所以 ．
综上，a>0>b ．
故选：A
【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m=log910>1 ，再利用基本不等式，换底公式可得 m>lg11，log89>m ，然后由指数函数的单调性即可解出．
3．【答案】D
【知识点】抽象函数及其应用；函数的应用
【解析】【解答】因为 的图像关于直线 对称，所以 ，
由 ，得 ，即 ，
因为 ，所以 ，
代入得 ，即 ，
所以 ，
.
因为 ，所以 ，即 ，所以 .
因为 ，所以 ，又因为 ，
联立得， ，所以 的图像关于点 中心对称，
因为函数 的定义域为R，所以
因为 ，所以 .
所以 .
故选：D
【分析】根据对称性和已知条件得到 代入 得到 ，从而得到 ， ，然后根据条件得到 的值，再由题意得到 从而得到 的值即可求解.
4．【答案】C
【知识点】函数的应用
【解析】【解答】由 ，可得 ，所以 .
故答案为：C
【分析】根据函数 的解析式求得 的解析式，从而可得选项.
5．【答案】D
【知识点】函数的图象；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】A选项： ， ，由图易知处于固态；
B选项： ， ，由图易知处于液态；
C选项： ， ，由图易知处于固态；
D选项： ， ，由图易知处于超临界状态.
故答案为：D
【分析】根据选项所给P的值分别计算 ，结合T的值以及图象逐个判断即可.
6．【答案】D
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】由 ，得函数 是以 为底数的指数函数，
且函数为减函数，D选项符合题意。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合指数函数的图象，进而找出函数 的大致图像。
7．【答案】C
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：对于A， 的定义域为{x|x≠0}，故A错误；
对于B， 的定义域为{x|x>0}，故B错误；
对于C， 的定义域为R，故C正确；
对于D， 的定义域为{x|x>0}，故D错误.
故答案为：C
【分析】根据函数的定义域，结合幂函数的定义求解即可.
8．【答案】A
【知识点】抽象函数及其应用；函数的周期性
【解析】【解答】因为 ，令 可得， ，所以 ，令 可得， ，即 ，所以函数 为偶函数，令 得， ，即有 ，从而可知 ， ，故 ，即 ，所以函数 一个周期为6．
因为 ， ， ， ， ，所以
一个周期内的 ．由于22除以6余4，
所以 ．
故答案为：A
【分析】根据题意赋值即可知函数 的一个周期为6，求出函数一个周期中的 的值，即可求解．
9．【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】设 ，则 ，故排除B；
设 ，当 时， ，
所以 ，故排除C；
设 ，则 ，故排除D.
故选：A
【分析】由函数图象的特征结合函数的性质逐项排除即可.
10．【答案】A
【知识点】指数函数的图象与性质；余弦函数的图象
【解析】【解答】解：由题意得，f(-x)=(3-x-3x)cos(-x)=-(3x-3-x)cosx=-f(x)，又
所以f(x)为奇函数，排除BD；
又当时，3x-3-x>0，cosx>0，所以f(x)>0，排除C.
故选：A.
【分析】由函数的奇偶性排除BD，结合指数函数、三角函数的性质逐项排除C，即可得解.
11．【答案】C
【知识点】函数的图象与图象变化；正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：由题意知：曲线C为 ，
又曲线C关于y轴对称，则 ，
解得 ，
又ω>0，
故当k=0时，ω的最小值为 .
故选：C.
【分析】先由平移求出曲线C的解析式，再结合对称性得，即可求出ω的最小值.
12．【答案】B,C
【知识点】奇函数与偶函数的性质；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】解：由为偶函数可知函数f(x)关于直线对称，
由g(2+x)为偶函数可知：g(x)关于直线x=2对称，
结合g(x)=f'(x)，根据g(x)关于直线x=2对称可知f(x)关于点(2，t)对称，
根据f(x)关于直线对称可知：g(x)关 于点(，0)对称，
综上，函数f(x)与g(x)均是周期为2的周期函数，
所以有f(0)= f(2)=t，所以A不正确；
f(-1)= f(1)， f(4)=f(2)， f(1)= f(2)，故f(-1)= f(4)，所以C正确，
，g(-1)=g(1)，故B正确；
又g(1)+g(2)=0，所以g(-1)+g(2)=0，故D错误.
故选：BC
【分析】根据函数的奇偶性与对称性，可判定f(x)与g(x)均是周期为2的周期函数，再由函数的值，逐项判断即可.
13．【答案】；
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】∵函数∴
∴
作出函数f（x）的图象如图：
当，解得，由 ，可知，则 的最大值是
故答案为：；
【分析】直接由分段函数解析式求；画出函数f（x）的图象，数形结合得答案．
14．【答案】0（答案不唯一）；1
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】由题意知，函数的最值与函数的单调性相关，故考虑0，2为分界点研究函数的性质，当 时， ，该段的值域为 ，故整个函数没有最小值；当 时， 该段的值域为 ，而 的值域为 ，故此时函数 的值域为 ，即存在最小值0，故第一个空可填写0；当 时， ，该段的值域为 ，而 的值域为 ，若存在最小值，则需满足 ，于是可得 ；当 时， ，该段的值域为 ，而 的值域为 ，若存在最小值，则需满足 ，此时不等式无解.综上， 的最大值为1.
【分析】根据题意考虑0，2为分界点研究函数的单调性和最值，分 、 、 、 四种情况讨论函数 的值域结合函数存在最小值列关于 的不等关系从而求解 的取值范围.
15．【答案】3
【知识点】互为反函数的两个函数之间的关系
【解析】【解答】解：∵函数 的反函数为 ，
∴令x3=27，得x=3
即 3
故答案为：3
【分析】根据反函数的定义直接求解即可.
16．【答案】；
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】因为函数 为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由 可得， ，所以 ，解得： ，即函数的定义域为 ，再由 可得， ．即 ，在定义域内满足 ，符合题意．
故答案为： ；
【分析】根据奇函数的定义即可求解．
17．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】依题意 ，解得 .
【分析】根据分式和根式成立的条件建立不等式关系进行求解即可.
1 / 12022年高考数学真题分类汇编专题03：基本初等函数
一、单选题
1．（2022·浙江）已知 ，则 （　　）
A．25 B．5 C． D．
【答案】C
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】将转化为指数，得到.再结合指数的运算性质，，因此，所以.
故答案为：C
【分析】直接利用指数、对数的运算性质求解即可．
2．（2022·全国甲卷）已知 ，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数单调性的应用；指数式与对数式的互化；换底公式的应用；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：由9m=10可得，
而，
所以 ，
即m>lg11，
所以a=10m-11>10lg11-11=0．
又，
所以 ，
即log89>m ，
所以 ．
综上，a>0>b ．
故选：A
【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m=log910>1 ，再利用基本不等式，换底公式可得 m>lg11，log89>m ，然后由指数函数的单调性即可解出．
3．（2022·全国乙卷）已知函数 的定义域均为R，且 ．若 的图像关于直线 对称， ，则 （　　）
A．-21 B．-22 C．-23 D．-24
【答案】D
【知识点】抽象函数及其应用；函数的应用
【解析】【解答】因为 的图像关于直线 对称，所以 ，
由 ，得 ，即 ，
因为 ，所以 ，
代入得 ，即 ，
所以 ，
.
因为 ，所以 ，即 ，所以 .
因为 ，所以 ，又因为 ，
联立得， ，所以 的图像关于点 中心对称，
因为函数 的定义域为R，所以
因为 ，所以 .
所以 .
故选：D
【分析】根据对称性和已知条件得到 代入 得到 ，从而得到 ， ，然后根据条件得到 的值，再由题意得到 从而得到 的值即可求解.
4．（2022·北京）已知函数 ，则对任意实数 ，有（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的应用
【解析】【解答】由 ，可得 ，所以 .
故答案为：C
【分析】根据函数 的解析式求得 的解析式，从而可得选项.
5．（2022·北京）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献，如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与 和 的关系，其中 表示温度，单位是 ； 表示压强，单位是bar，下列结论中正确的是（　　）
A．当 ， 时，二氧化碳处于液态
B．当 ， 时，二氧化碳处于气态
C．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
D．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
【知识点】函数的图象；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】A选项： ， ，由图易知处于固态；
B选项： ， ，由图易知处于液态；
C选项： ， ，由图易知处于固态；
D选项： ， ，由图易知处于超临界状态.
故答案为：D
【分析】根据选项所给P的值分别计算 ，结合T的值以及图象逐个判断即可.
6．（2022·浙江学考）函数 的图象大致是（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】由 ，得函数 是以 为底数的指数函数，
且函数为减函数，D选项符合题意。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合指数函数的图象，进而找出函数 的大致图像。
7．（2022·上海）下列幂函数中，定义域为R的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：对于A， 的定义域为{x|x≠0}，故A错误；
对于B， 的定义域为{x|x>0}，故B错误；
对于C， 的定义域为R，故C正确；
对于D， 的定义域为{x|x>0}，故D错误.
故答案为：C
【分析】根据函数的定义域，结合幂函数的定义求解即可.
8．（2022·新高考Ⅱ卷）若函数 的定义域为R，且 ，则 （　　）
A．-3 B．-2 C．0 D．1
【答案】A
【知识点】抽象函数及其应用；函数的周期性
【解析】【解答】因为 ，令 可得， ，所以 ，令 可得， ，即 ，所以函数 为偶函数，令 得， ，即有 ，从而可知 ， ，故 ，即 ，所以函数 一个周期为6．
因为 ， ， ， ， ，所以
一个周期内的 ．由于22除以6余4，
所以 ．
故答案为：A
【分析】根据题意赋值即可知函数 的一个周期为6，求出函数一个周期中的 的值，即可求解．
9．（2022·全国乙卷）如图是下列四个函数中的某个函数在区间 的大致图像，则该函数是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】设 ，则 ，故排除B；
设 ，当 时， ，
所以 ，故排除C；
设 ，则 ，故排除D.
故选：A
【分析】由函数图象的特征结合函数的性质逐项排除即可.
10．（2022·全国甲卷）函数 在区间 的图像大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数的图象与性质；余弦函数的图象
【解析】【解答】解：由题意得，f(-x)=(3-x-3x)cos(-x)=-(3x-3-x)cosx=-f(x)，又
所以f(x)为奇函数，排除BD；
又当时，3x-3-x>0，cosx>0，所以f(x)>0，排除C.
故选：A.
【分析】由函数的奇偶性排除BD，结合指数函数、三角函数的性质逐项排除C，即可得解.
11．（2022·全国甲卷）将函数 的图像向左平移 个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则 的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的图象与图象变化；正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：由题意知：曲线C为 ，
又曲线C关于y轴对称，则 ，
解得 ，
又ω>0，
故当k=0时，ω的最小值为 .
故选：C.
【分析】先由平移求出曲线C的解析式，再结合对称性得，即可求出ω的最小值.
二、多选题
12．（2022·新高考Ⅰ卷）已知函数 及其导函数 的定义域均为R，记 若 均为偶函数，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【知识点】奇函数与偶函数的性质；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】解：由为偶函数可知函数f(x)关于直线对称，
由g(2+x)为偶函数可知：g(x)关于直线x=2对称，
结合g(x)=f'(x)，根据g(x)关于直线x=2对称可知f(x)关于点(2，t)对称，
根据f(x)关于直线对称可知：g(x)关 于点(，0)对称，
综上，函数f(x)与g(x)均是周期为2的周期函数，
所以有f(0)= f(2)=t，所以A不正确；
f(-1)= f(1)， f(4)=f(2)， f(1)= f(2)，故f(-1)= f(4)，所以C正确，
，g(-1)=g(1)，故B正确；
又g(1)+g(2)=0，所以g(-1)+g(2)=0，故D错误.
故选：BC
【分析】根据函数的奇偶性与对称性，可判定f(x)与g(x)均是周期为2的周期函数，再由函数的值，逐项判断即可.
三、填空题
13．（2022·浙江）已知函数 则 　 　；若当 时， ，则 的最大值是　 　．
【答案】；
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】∵函数∴
∴
作出函数f（x）的图象如图：
当，解得，由 ，可知，则 的最大值是
故答案为：；
【分析】直接由分段函数解析式求；画出函数f（x）的图象，数形结合得答案．
14．（2022·北京）设函数 ，若 存在最小值，则 的一个取值为　 　； 的最大值为　 　．
【答案】0（答案不唯一）；1
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】由题意知，函数的最值与函数的单调性相关，故考虑0，2为分界点研究函数的性质，当 时， ，该段的值域为 ，故整个函数没有最小值；当 时， 该段的值域为 ，而 的值域为 ，故此时函数 的值域为 ，即存在最小值0，故第一个空可填写0；当 时， ，该段的值域为 ，而 的值域为 ，若存在最小值，则需满足 ，于是可得 ；当 时， ，该段的值域为 ，而 的值域为 ，若存在最小值，则需满足 ，此时不等式无解.综上， 的最大值为1.
【分析】根据题意考虑0，2为分界点研究函数的单调性和最值，分 、 、 、 四种情况讨论函数 的值域结合函数存在最小值列关于 的不等关系从而求解 的取值范围.
15．（2022·上海）已知函数 的反函数为 ，则 　 　
【答案】3
【知识点】互为反函数的两个函数之间的关系
【解析】【解答】解：∵函数 的反函数为 ，
∴令x3=27，得x=3
即 3
故答案为：3
【分析】根据反函数的定义直接求解即可.
16．（2022·全国乙卷）若 是奇函数，则 　 　， 　 　．
【答案】；
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】因为函数 为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由 可得， ，所以 ，解得： ，即函数的定义域为 ，再由 可得， ．即 ，在定义域内满足 ，符合题意．
故答案为： ；
【分析】根据奇函数的定义即可求解．
17．（2022·北京）函数 的定义域是　 　．
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】依题意 ，解得 .
【分析】根据分式和根式成立的条件建立不等式关系进行求解即可.
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