人教A版高中数学必修 第一册4.4.3 不同函数增长的差异 课件（共20张PPT）

(共20张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
4.4.3 不同函数增长的差异
课程目标
1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质,并体会其增长的快慢.
2.理解直线上升、对数增长、指数爆炸的含义以及三种函数模型的性质的比较,培养数学建模和数学运算等核心素养.
数学学科素养
1.数学抽象：常见增长函数的定义、图象、性质；
2.逻辑推理：三种函数的增长速度比较；
3.数学运算：由函数图像求函数解析式；
4.数据分析：由图象判断指数函数、对数函数和幂函数；
5.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的数形结合思想总结函数性质.
自主预习，回答问题
阅读课本136-138页，思考并完成以下问题
1. 三种函数模型的性质？
2. 三种函数的增长速度比较？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
知识清单
1.三种函数模型的性质
2.三种函数的增长速度比较
(1)在区间(0,+∞)上,函数y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函数,但增长速度不同.
(2)在区间(0,+∞)上随着x的增大,函数y=ax(a>1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn(n>0)的增长速度,而函数y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢.
(3)存在一个x0,使得当x>x0时,有logax1.判断正误:
(1)函数y=x2比y=2x增长的速度更快些.(　　)
(2)当a>1,n>0时,在区间(0,+∞)上,对任意的x,总有logax(3)能用指数型函数f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a>0,b>1)表达的函数模型,称为指数型函数模型,也常称为“爆炸型”函数模型.(　　)
答案:(1)×　(2)×　(3)√
2.已知三个变量y1,y2,y3随着变量x的变化情况如下表:
则关于x分别呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次为(　　)
A.y1,y2,y3 B.y2,y1,y3 C.y3,y2,y1 D.y1,y3,y2
解析:通过指数型函数、对数型函数、幂函数型函数的增长规律比较可知,对数型函数的增长速度越来越慢,变量y3随x的变化符合此规律;指数型函数的增长是爆炸式增长,y2随x的变化符合此规律;幂函数型函数的增长速度越来越快,y1随x的变化符合此规律,故选C.
答案:C
题型分析 举一反三
题型一 比较函数增长的差异
例1 函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1(1)指出图中曲线C1,C2分别对应的函数;
(2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2 019),g(2 019)的大小.
解:(1)C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=2x.
(2)因为f(1)>g(1),f(2)g(10),所以1所以x1<6x2,从图象上可以看出,当x1当x>x2时,f(x)>g(x),所以f(2 019)>g(2 019).
因为g(2 019)>g(6),
所以f(2 019)>g(2 019)>g(6)>f(6).
变式1.在本例(1)中,若将“函数f(x)=2x”改为“f(x)=3x”,又如何求解第(1)题呢
解:由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知:C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=3x.
变式2.本例条件不变,(2)题改为:试结合图象,判断f(8),g(8),f(2 019),g(2 019)的大小.
解:因为f(1)>g(1),f(2)g(10),所以1x2,从图象上可以看出,当x1x2时,f(x)>g(x),所以f(2 019)>g(2 019).因为g(2 019)>g(8),所以f(2 019)>g(2 019)>g(8)>f(8).
解题方法（由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法）
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观
察函数图象上升得快慢,即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数是
指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数.
1.当a>1时,有下列结论:
①指数函数y=ax,当a越大时,其函数值的增长越快;
②指数函数y=ax,当a越小时,其函数值的增长越快;
③对数函数y=logax,当a越大时,其函数值的增长越快;
④对数函数y=logax,当a越小时,其函数值的增长越快.
其中正确的结论是(　　)
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
答案:B
2.已知函数y1=2x,y2=x2,y3=log2x,当2A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3
C.y1>y3>y2 D.y2>y3>y1
解析:在同一平面直角坐标系中画出这三个函数的图象(图略),在区间(2,4)内,从上到下图象依次对应的函数为y2=x2,y1=2x,y3=log2x,故y2>y1>y3.
答案:B
题型二 体会指数函数的增长速度
例2 甲、乙、丙三个公司分别到慈善总会捐款给某灾区,捐款方式如下:
甲公司:在10天内,每天捐款5万元给灾区;乙公司:在10天内,第1天捐款1万元,以后每天比前一天多捐款1万元;丙公司:在10天内,第1天捐款0.1万元,以后每天捐款都比前一天翻一番.
你觉得哪个公司捐款最多
分析:分别计算三个公司在10天内的捐款总数.
解:三个公司在10天内捐款情况如下表所示.
由上表可以看出,丙公司捐款最多,为102.3万元.
解题方法（指数函数的增长速度的实际应用）
　　
解答此类问题的关键是明确“指数爆炸”“对数增长”等函数增长差异,需注意幂函数的增长是介于两者之间的.
1.某民营企业生产A,B两种产品,根据市场调查和预测,A产品的利润与投资的函数模型为y=k1x,B产品的利润与投资的函数模型为y=k2xα(利润和投资的单位为百万元),其关系分别如图①,图②所示.
(1)分别求出A,B两种产品的利润与投资的函数关系式;
(2)该企业已筹集到资金1千万元,并准备全部投入到A,B两种产品的生产中,问怎样分配这1千万元,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少 (精确到万元)
故投资A产品844万元,投资B产品156万元时,总利润最大,最大值约为578万元.