苏教版必修一 §1.2子集、全集、补集 学案（Word版含答案）

学习目标　1.理解子集、真子集的概念，能用符号和Venn图、数轴表达集合间的关系.2.了解全集的含义及其符号表示，理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．
导语
我们知道，两个实数之间有相等关系、大小关系，如5＝5，5<7，5>3等等，两个集合之间是否也有类似的关系呢？比如，一个班级中，所有同学组成的集合记为S，而所有女同学组成的集合记为F，你觉得集合S和F之间有怎样的关系？
一、子集与真子集
问题1　观察下面的几个例子，请同学们说出两个集合元素有何特点？
(1)C为某校高一(二)班全体女生组成的集合，D为这个班全体学生组成的集合；
(2)A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5}；
(3)A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{偶数}．
提示　(1)集合C的任意元素都是集合D的元素，但该校高一(二)班每一个男生都是集合D的元素，不是集合C的元素；(2)集合A的任意元素都是集合B的元素，但4和5是集合B的元素，不是集合A的元素；(3)集合A的任意元素都是集合B的元素，同时集合B的任意元素都是集合A的元素．
知识梳理
子集 真子集
定义 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集 如果A B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集
记法 A B或B A A?B或B?A
读法 集合A包含于集合B或集合B包含集合A A真包含于B或B真包含A
图示
性质 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A A； (2)对于集合A，B，C，若A B且B C，则A C； (3)若A B且B A，则A＝B； (4)规定 A (1)对于集合A，B，C，若A?B且B?C，则A?C； (2)对于集合A，B，若A B且A≠B，则A?B； (3)若A≠ ，则 ?A
注意点：
(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A，能推出x∈B.
(2)在真子集的定义中，A?B首先要满足A B，其次至少有一个x∈B，但x A.
(3) 与{0}的区别： 是不含任何元素的集合，{0}是含有一个元素的集合， ?{0}．
例1　指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；
(2)A＝{x|－1(3)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．
解　(1)集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
(2)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A?B.
(3)由列举法知M＝{1，3，5，7，…}，N＝{3，5，7，9，…}，
故N?M.
延伸探究　对于例题(1)中的集合A＝{－1，1}，试写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集．
解　由0个元素构成的子集为 ；
由1个元素构成的子集为{－1}，{1}；
由2个元素构成的子集为{－1，1}．
因此集合A的子集为 ，{－1}，{1}，{－1，1}．
真子集为 ，{－1}，{1}．
反思感悟　(1)判断集合关系的方法
①观察法：一一列举观察．
②元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．
③数形结合法：利用数轴或Venn图．
(2)求元素个数有限的集合的子集的两个关注点
①要注意两个特殊的子集： 和自身．
②按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏．
跟踪训练1　(1)已知集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{0，1，2}，则集合M与N的关系是(　　)
A．M＝N B．N?M
C．M?N D．N M
答案　C
解析　解方程x2－3x＋2＝0得x＝2或x＝1，则M＝{1，2}，因为1∈M且1∈N，2∈M且2∈N，所以M N.又因为0∈N但0 M，所以M?N.
(2)满足{1，2}?M {1，2，3，4，5}的集合M有________个．
答案　7
解析　由题意可得{1，2}?M {1，2，3，4，5}，可以确定集合M必含有元素1，2，且含有元素3，4，5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：
含有三个元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}；含有四个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}；
含有五个元素：{1，2，3，4，5}．
故满足题意的集合M共有7个．
二、补集
问题2　如果我们把某次活动中的客人看成集合的元素，所有的客人组成集合U，先到的客人组成集合A，未到的客人组成集合B，这三个集合间有什么样的关系？
提示　集合U是我们研究对象的全体，A U，B U，A∩B＝ ，A∪B＝U.其中集合A与集合B有一种“互补”的关系．
知识梳理
1．全集
如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记作U.
在实数范围内讨论集合时，R便可看作一个全集U.
2．补集
定义 文字语言 设A S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集
符号语言 SA＝{x|x∈S，且x A}
图形语言
性质 (1)A S， SA S；(2) S( SA)＝A；(3) SS＝ ， S ＝S
注意点：
(1)“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题加以选择的．
(2) UA包含三层含义：①A U；② UA是一个集合，且 UA U；③ UA是U中所有不属于A的元素构成的集合．
例2　设集合U＝R，M＝{x|x>2，或x<－2}，则 UM等于(　　)
A．{x|－2≤x≤2}
B．{x|－2C．{x|x<－2，或x>2}
D．{x|x≤－2，或x≥2}
答案　A
解析　如图，在数轴上表示出集合M，
可知 UM＝{x|－2≤x≤2}．
反思感悟　(1)求补集的方法
①列举法表示：从全集U中去掉属于集合A的所有元素后，由所有余下的元素组成的集合．
②由不等式构成的无限集表示：借助数轴，取全集U中集合A以外的所有元素组成集合．
(2)利用补集求参数应注意两点
①与集合的补集运算有关的参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形．
②不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集．
跟踪训练2　已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3答案　{x|x＝－3，或x>4}
解析　借助数轴得 UA＝{x|x＝－3，或x>4}．
三、由集合间的关系求参数范围
例3　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，求实数m的取值范围.
解　(1)当B≠ 时，如图所示．
∴或
解这两个不等式组，得2≤m≤3.
(2)当B＝ 时，由m＋1>2m－1，得m<2.
综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}．
延伸探究
1．若本例条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2解　(1)当B＝ 时，
由m＋1>2m－1，得m<2.
(2)当B≠ 时，如图所示．
∴解得即2≤m<3，
综上可得，m的取值范围是{m|m<3}．
2．若本例条件“B?A”改为“A B”，其他条件不变，求m的取值范围．
解　当A B时，如图所示，此时B≠ .
∴即无解．
∴不存在实数m使A B.
反思感悟　利用集合关系求参数的关注点
(1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．
(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误．一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．
(3)此类问题还要注意“空集”的情况，因为空集是任何集合的子集．
跟踪训练3　(1)已知集合A＝{x|x<－1，或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B A，求实数a的取值范围．
解　①当B＝ 时，2a>a＋3，
即a>3.显然满足题意．
②当B≠ 时，根据题意作出如图所示的数轴，
可得或
解得a<－4或2综上可得，实数a的取值范围为{a|a<－4，或a>2}．
(2)已知集合A＝{x|x<－2，或x>5}，B＝{x|m≤x①求 RA；
②若B RA，求实数m的取值范围．
解　(1)因为A＝{x|x<－2，或x>5}，
所以 RA＝{x|－2≤x≤5}．
(2)因为m＋1>m，所以B≠ ，
因为B RA，
所以
解得－2≤m≤4.
即实数m的取值范围为{m|－2≤m≤4}．
1．知识清单：
(1)子集、真子集的概念及集合间关系的判断．
(2)全集和补集的概念及运算．
(3)由集合间的关系求参数范围．
2．方法归纳：数形结合、分类讨论、正难则反的补集思想．
3．常见误区：易忽略空集的情况；求参数的取值范围时，忽略取值范围的边界等号是否成立；求补集时易忽视端点的取舍．
1．集合A＝{x|－1A．B∈A B．A B
C．B A D．A＝B
答案　C
解析　∵A＝{x|－12．已知全集U＝{0，1，2}，且 UA＝{2}，则A等于(　　)
A．{0} B．{1}
C． D．{0，1}
答案　D
解析　∵U＝{0，1，2}， UA＝{2}，∴A＝{0，1}．
3．能正确表示集合M＝{x|0≤x≤2}和集合N＝{x|x2－x＝0}关系的Venn图是(　　)
答案　B
解析　由x2－x＝0得x＝1或x＝0，
故N＝{0，1}，
易得N?M，其对应的Venn图如选项B所示．
4．若全集U＝{1，2，3，4，5}且 UA＝{2，3}，则集合A的真子集共有________个．
答案　7
解析　因为U＝{1，2，3，4，5}且 UA＝{2，3}，
所以A＝{1，4，5}，共有3个元素，
所以A的真子集有7个．
1．已知集合A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{3，4，5，x}，若B A，则x可以取的值为(　　)
A．1，2，3，4，5，6 B．1，2，3，4，6
C．1，2，3，6 D．1，2，6
答案　D
解析　由B A和集合元素的互异性可知，x可以取的值为1，2，6.
2．(多选)已知集合A＝{0，1}，则下列式子正确的是(　　)
A．0∈A B．{1}∈A
C． A D．{0，1} A
答案　ACD
解析　∵{1} A，∴B项错误，其余均正确．
3．已知全集U＝R，M＝{x|－3≤x<5}，则 UM等于(　　)
A．{x|x<－3，或x≥5}
B．{x|x≤－3，或x＞5}
C．{x|x<－3，且x≥5}
D．{x|x≤－3，且x>5}
答案　A
解析　∵全集U＝R，M＝{x|－3≤x＜5}，
∴ UM＝{x|x＜－3，或x≥5}．
4．若全集U＝{1，2，3，4，5}，且 UA＝{x|1≤x≤3，x∈N}，则集合A的真子集共有(　　)
A．3个 B．4个
C．7个 D．8个
答案　A
解析　 UA＝{1，2，3}，所以A＝{4，5}，其真子集有3个．
5．若集合A＝{－1，1}，B＝{x|ax＝1}，且B A，则实数a取值的集合为(　　)
A．{－1} B．{1}
C．{－1，1} D．{1，－1，0}
答案　D
解析　因为A＝{－1，1}，
B＝{x|ax＝1}，B A，
若B＝ ，则方程ax＝1无解，
所以a＝0满足题意；
若B≠ ，则B＝{x|ax＝1}＝，
因为B A，所以＝±1，则a＝±1，
故实数a取值的集合为{1，－1，0}．
6．(多选)设全集U＝{1，3，5，7，9}，A＝{1，|a－5|，9}， UA＝{5，7}，则a的值是(　　)
A．2 B．8
C．－2 D．－8
答案　AB
解析　由题意得{1，3，5，7，9}＝{1，|a－5|，5，7，9}，
∴|a－5|＝3，解得a＝2或a＝8.
7．已知集合M＝{3，2a}，N＝{a＋1，3}，若M N，则a＝________.
答案　1
解析　∵M N，
∴2a＝a＋1，即a＝1.
8．已知集合A＝{x|－4≤x≤－2}，集合B＝{x|x－a≥0}，若全集U＝R，且A UB，则a的取值范围为________．
答案　{a|a>－2}
解析　 UB＝{x|x因为A UB，所以a>－2.
9．设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋2}．
(1)求 RA；
(2)若A B，求实数a的取值范围．
解　(1)A＝{x|1≤x≤2}，
故 RA＝{x|x<1，或x>2}．
(2)因为A B，故故0≤a≤1.
10．设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．
(1)若a＝，试判定集合A与B的关系；
(2)若B A，求实数a组成的集合C.
解　(1)A＝{x|x2－8x＋15＝0}＝{5，3}，
当a＝时，B＝{5}，元素5是集合A＝{5，3}中的元素，
集合A＝{5，3}中除元素5外，还有元素3，3不在集合B中，所以B?A.
(2)当a＝0时，由题意得B＝ ，又A＝{3，5}，故B A；
当a≠0时，B＝，又A＝{3，5}，B A，此时＝3或＝5，则有a＝或a＝.
所以C＝.
11．满足条件 ?M?{a，b，c}的集合M共有(　　)
A．3个 B．6个 C．7个 D．8个
答案　B
解析　由题意知，M是{a，b，c}的非空真子集，
即{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，共6个．
12．集合M＝{x|x＝5k－2，k∈Z}，P＝{x|x＝5n＋3，n∈Z}，S＝{x|x＝10m＋3，m∈Z}之间的关系是(　　)
A．S?P?M B．S＝P?M
C．S?P＝M D．P＝M?S
答案　C
解析　∵M＝{x|x＝5k－2，k∈Z}，
P＝{x|x＝5n＋3，n∈Z}，
S＝{x|x＝10m＋3，m∈Z}，
∴M＝{…，－7，－2，3，8，13，18，…}，
P＝{…，－7，－2，3，8，13，18，…}，
S＝{…，－7，3，13，23，…}，
故S?P＝M.
13．已知全集U，M，N是U的非空子集，且 UM N，则必有(　　)
A．M UN B． UN M
C． UM＝ UN D．M N
答案　A
解析　依据题意画出Venn图，
观察可知，M UN.
14．设全集U＝{2，3，2a－3}，A＝{2，b}， UA＝{5}，则a＝________，b＝________.
答案　4　3
解析　由题意，全集U＝{2，3，2a－3}，集合A＝{2，b}，因为 UA＝{5}，
可得解得a＝4，b＝3.
15．设集合A＝{－1，1}，集合B＝{x|x2－2ax＋1＝0}，若B≠ ，B A，则a等于(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．±1
答案　D
解析　当B＝{－1}时，x2－2ax＋1＝0有两个相等的实根－1，即a＝－1；
当B＝{1}时，x2－2ax＋1＝0有两个相等的实根1，即a＝1；
当B＝{－1，1}时，不成立．
故a＝±1.
16．已知集合M＝{x|x2＋2x－a＝0}．
(1)若 ?M，求实数a的取值范围；
(2)若N＝{x|x2＋x＝0}且M N，求实数a的取值范围．
解　(1)由题意得，方程x2＋2x－a＝0有实数解，
∴Δ＝22－4×(－a)≥0，解得a≥－1，故实数a的取值范围为{a|a≥－1}．
(2)∵N＝{x|x2＋x＝0}＝{0，－1}，且M N，
∴当M＝ 时，
Δ＝22－4×(－a)<0，得a<－1；
当M≠ 时，当Δ＝0时，a＝－1，
此时M＝{－1}，满足M N，符合题意．
当Δ>0时，a>－1，M中有两个元素，
若M N，则M＝N，
从而无解．
综上，实数a的取值范围为{a|a≤－1}．