第5讲 因式分解
知识点1 提公因式法
一、因式分解
把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.
（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.
（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.
二、公因式
多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.
要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.
（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.
（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.
三、提公因式法
把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．
要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，
即 .
（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.
（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.
（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.
1．（2017秋 兰陵县期末）将3x（a﹣b）﹣9y（b﹣a）因式分解，应提的公因式是（ ）
A．3x﹣9y B．3x+9y C．a﹣b D．3（a﹣b）
2．（2018 庐江县模拟）若实数a、b满足a+b=5，a2b+ab2=﹣10，则ab的值是_____．
3．（2018春 沭阳县期中）已知x+y=6，xy=4，求下列各式的值：
（1）x2y+xy2
（2）x2+y2
4．（2017春 郯城县月考）因式分解
（1）10a（x﹣y）2+5ax（y﹣x）
（2）（x+y）2﹣10（x+y）+25．
知识点2公式法
一、公式法——平方差公式
两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：
要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.
（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.
（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.
二、公式法——完全平方公式
两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．
即，.
形如，的式子叫做完全平方式.
要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；
（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.
（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.
（4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.
1．（2018 高阳县一模）计算：1252﹣50×125+252=（ ）
A．100 B．150 C．10000 D．22500
2.（2018春 无锡期中）把多项式﹣x2﹣2x﹣1分解因式所得的结果是（ ）
A．（﹣x﹣1）2 B．﹣（x﹣1）2 C．（x﹣1）2 D．﹣（x+1）2
3．（2018 南海区校级二模）已知a与b互为相反数，则代数式a2+2ab+b2﹣2018的值为______．
4．（2017春 沧州期末）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x=y，
原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步）
=y2+8y+16 （第二步）
=（y+4）2（第三步）
=（x2﹣4x+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的____．
A．提取公因式
B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式
D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？_____．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果________．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
5．（2017春 温江区期末）已知x+2y=3，x﹣2y=5，求x2﹣4y2﹣8的值．
知识点3分组分解法
对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.
要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：
方法 分类 分组方法 特点
分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组
③符合公式的两项分组
三项、一项 先完全平方公式后平方差公式
五项 三项、二项 各组之间有公因式
六项 三项、三项
二项、二项、二项 各组之间有公因式
三项、二项、一项 可化为二次三项式
1．（2016秋 巫溪县期末）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等．
如“2+2”分法：
ax+ay+bx+by
=（ax+ay）+（bx+by）
=a（x+y）+b（x+y）
=（x+y）（a+b）
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
（1）分解因式：x2﹣y2﹣x﹣y；
（2）分解因式：9m2﹣4x2+4xy﹣y2；
（3）分解因式：4a2+4a﹣4a2b2﹣b2﹣4ab2+1．
2．（2017秋 唐河县期中）观察下面分解因式的过程，并完成后面的习题
分解因式：am+an+bm+bn
解法一：原式=（am+an）+（bm+bn）
=a（m+n）+b（m+n）
=（m+n）（a+b）
解法二：原式=（am+bm）+（an+bn）
=m（a+b）+n（a+b）
=（a+b）（m+n）
根据你发现的方法，分解因式：
（1）mx﹣my+nx﹣ny
（2）2a+4b﹣3ma﹣6mb．
3．（2018春 合浦县期中）因式分解：a2﹣2ab+b2﹣1．
4．（2017秋 雁江区校级期中）因式分解
（1）﹣a2﹣a
（2）（x+y）（5m+3n）2﹣（x+y）（m﹣n）2
（3）（a2+6a）2+18（a2+6a）+81
（4）x2﹣4x﹣y2+4．
知识点4十字相乘法
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
对于二次三项式，若存在 ，则
要点诠释：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号
（2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.
1．（2017秋 万州区期末）因式分解x2+ax+b，甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），那么x2+ax+b分解因式正确的结果为（ ）
A．（x+3）（x﹣4） B．（x+4）（x﹣3） C．（x+6）（x﹣2） D．（x+2）（x﹣6）
2．（2018 诸城市一模）因式分解：x3y﹣2x2y﹣3xy=_______．
3．（2018 高密市二模）因式分解：﹣2x2y+8xy﹣6y=________．
4.（2017秋 香洲区期末）阅读下列材料：
材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q=mn且p=m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m） （x+n）
（1）x2+4x+3=（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12=（x﹣6）（x+2）
材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1
解：将“x+y”看成一个整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=（A+1）2
再将“A”还原，得：原式=（x+y+1）2
上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式．
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；
②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3．
5．（2017秋 诸暨市期末）李伟课余时间非常喜欢研究数学，在一次课外阅读中遇到一个解一元二次不等式的问题：x2﹣2x﹣3＞0．
经过思考，他给出了下列解法：
解：左边因式分解可得：（x+1）（x﹣3）＞0，
或，
解得x＞3或x＜﹣1．
聪明的你，请根据上述思想求一元二次不等式的解集：（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）＞0．
知识点5因式分解的应用
1．（2018 重庆模拟）任意一个正整数n，都可以表示为：n=a×b×c（a≤b≤c，a，b，c均为正整数），在n的所有表示结果中，如果|2b﹣（a+c）|最小，我们就称a×b×c是n的“阶梯三分法”，并规定：F（n）=，例如：6=1×1×6=1×2×3，因为|2×1﹣（1+6）|=5，|2×2﹣（1+3）|=0，5＞0，所以1×2×3是6的阶梯三分法，即F（6）==2．
（1）如果一个正整数p是另一个正整数q的立方，那么称正整数p是立方数，求证：对于任意一个立方数m，总有F（m）=2．
（2）t是一个两位正整数，t=10x+y（1≤x≤9，0≤y≤9，且x≥y，x+y≤10，x和y均为整数），t的23倍加上各个数位上的数字之和，结果能被13整除，我们就称这个数t为“满意数”，求所有“满意数”中F（t）的最小值．
2．（2018 南岸区模拟）对于一个各个数位上的数字均不为零的三位正整数n，如果它的百位数字、十位数字、个位数字是由依次增加相同的非零数字组成，则称这个三位数为“递增数”，记为D（n），把这个“递增数”的百位数字与个位数字交换位置后，得到321，即E（123）=321，规定F（n）=，如F（123）==1．
（1）计算：F（159），F（246）；
（2）若D（s）是百位数字为1的数，D（t）是个位数字为9的数，且满足F（s）+F（t）=5，记k=，求k的最大值．
3．（2018春 开福区校级期末）如图，在一个大圆盘中有4个相同的小圆盘，已知大、小圆盘的半径都是整数，阴影部分的面积为5π cm2．求大、小圆盘的半径．
4（2017秋 南关区校级期末）如图，四边形ABCD与四边形DEFG都是正方形，设AB=a，DE=b（a＞b）．
（1）写出AG的长度（用含字母a，b的代数式表示）；
（2）观察图形，当用不同的方法表示图形中阴影部分的面积时，你能获得一个因式分解公式，请将这个公式写出来；
（3）如果正方形ABCD的边长比正方形DEFG的边长多16cm，它们的面积相差960cm2，试利用（2）中的公式，求a，b的值．
5．（2017秋 咸安区期末）阅读下列材料：
常用分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下：
x2﹣2xy+y2﹣16=（x﹣y）2﹣16=（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1）分解因式：x2﹣4y2﹣2x+4y；
（2）△ABC三边a，b，c满足a2+c2+2b2﹣2ab﹣2bc=0，判断△ABC的形状，并说明理由．
9第5讲 因式分解
知识点1 提公因式法
一、因式分解
把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.
（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.
（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.
二、公因式
多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.
要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.
（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.
（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.
三、提公因式法
把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．
要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，
即 .
（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.
（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.
（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.
1．（2017秋 兰陵县期末）将3x（a﹣b）﹣9y（b﹣a）因式分解，应提的公因式是（ ）
A．3x﹣9y B．3x+9y C．a﹣b D．3（a﹣b）
【解答】解：将3x（a﹣b）﹣9y（b﹣a）=3x（a﹣b）+9y（a﹣b）因式分解，应提的公因式是3（a﹣b）．
故选：D．
2．（2018 庐江县模拟）若实数a、b满足a+b=5，a2b+ab2=﹣10，则ab的值是_____．
【解答】解：∵a2b+ab2=﹣10，
∴ab（a+b）=﹣10，
∵a+b=5，
∴ab=﹣2．
故答案为：﹣2．
3．（2018春 沭阳县期中）已知x+y=6，xy=4，求下列各式的值：
（1）x2y+xy2
（2）x2+y2
【解答】解：（1）当x+y=6、xy=4时，
原式=xy（x+y）=4×6=24；
（2）当x+y=6、xy=4时，
原式=（x+y）2﹣2xy
=62﹣2×4
=36﹣8
=28．
4．（2017春 郯城县月考）因式分解
（1）10a（x﹣y）2+5ax（y﹣x）
（2）（x+y）2﹣10（x+y）+25．
【解答】解：（1）10a（x﹣y）2+5ax（y﹣x）
=10a（x﹣y）2﹣5ax（x﹣y）
=5a（x﹣y）[2（x﹣y）﹣x]
=5a（x﹣y）（x﹣2y）；
（2）（x+y）2﹣10（x+y）+25=（x+y﹣5）2．
知识点2公式法
一、公式法——平方差公式
两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：
要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.
（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.
（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.
二、公式法——完全平方公式
两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．
即，.
形如，的式子叫做完全平方式.
要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；
（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.
（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.
（4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.
1．（2018 高阳县一模）计算：1252﹣50×125+252=（ ）
A．100 B．150 C．10000 D．22500
【解答】解：1252﹣50×125+252
=（125﹣25）2
=10000．
故选：C．
2.（2018春 无锡期中）把多项式﹣x2﹣2x﹣1分解因式所得的结果是（ ）
A．（﹣x﹣1）2 B．﹣（x﹣1）2 C．（x﹣1）2 D．﹣（x+1）2
【解答】解：﹣x2﹣2x﹣1
=﹣（x2+2x+1）
=﹣（x+1）2．
故选：D．
3．（2018 南海区校级二模）已知a与b互为相反数，则代数式a2+2ab+b2﹣2018的值为______．
【解答】解：∵a与b互为相反数，
∴a+b=0，
则原式=a2+2ab+b2﹣2018
=（a+b）2﹣2018
=0﹣2018
=﹣2018．
故答案为：﹣2018．
4．（2017春 沧州期末）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x=y，
原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步）
=y2+8y+16 （第二步）
=（y+4）2（第三步）
=（x2﹣4x+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的____．
A．提取公因式
B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式
D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？_____．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果________．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
【解答】解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；
故选：C；
（2）该同学因式分解的结果不彻底，
原式=（x2﹣4x+4）2=（x﹣2）4；
故答案为：不彻底，（x﹣2）4；
（3）（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1
=（x2﹣2x）2+2（x2﹣2x）+1
=（x2﹣2x+1）2
=（x﹣1）4．
5．（2017春 温江区期末）已知x+2y=3，x﹣2y=5，求x2﹣4y2﹣8的值．
【解答】解：当x+2y=3，x﹣2y=5时，
原式=（x+2y）（x﹣2y）﹣8
=3×5﹣8
=15﹣8
=7．
知识点3分组分解法
对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.
要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：
方法 分类 分组方法 特点
分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组
③符合公式的两项分组
三项、一项 先完全平方公式后平方差公式
五项 三项、二项 各组之间有公因式
六项 三项、三项
二项、二项、二项 各组之间有公因式
三项、二项、一项 可化为二次三项式
1．（2016秋 巫溪县期末）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等．
如“2+2”分法：
ax+ay+bx+by
=（ax+ay）+（bx+by）
=a（x+y）+b（x+y）
=（x+y）（a+b）
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
（1）分解因式：x2﹣y2﹣x﹣y；
（2）分解因式：9m2﹣4x2+4xy﹣y2；
（3）分解因式：4a2+4a﹣4a2b2﹣b2﹣4ab2+1．
【解答】解：（1）x2﹣y2﹣x﹣y
=（x2﹣y2）﹣（x+y）
=（x+y）（x﹣y）﹣（x+y）
=（x+y）（x﹣y﹣1）；
（2）9m2﹣4x2+4xy﹣y2
=9m2﹣（4x2﹣4xy+y2）
=（3m）2﹣（2x﹣y）2
=（3m+2x﹣y）（3m﹣2x+y）；
（3）4a2+4a﹣4a2b2﹣b2﹣4ab2+1
=（2a+1）2﹣b2（2a+1）2
=（2a+1）2（1+b）（1﹣b）．
2．（2017秋 唐河县期中）观察下面分解因式的过程，并完成后面的习题
分解因式：am+an+bm+bn
解法一：原式=（am+an）+（bm+bn）
=a（m+n）+b（m+n）
=（m+n）（a+b）
解法二：原式=（am+bm）+（an+bn）
=m（a+b）+n（a+b）
=（a+b）（m+n）
根据你发现的方法，分解因式：
（1）mx﹣my+nx﹣ny
（2）2a+4b﹣3ma﹣6mb．
【解答】（1）解法一：原式=（mx﹣my）+（nx﹣ny）
=m（x﹣y）+n（x﹣y）
=（m+n）（x﹣y）；
解法二：原式=（mx+nx）﹣（my+ny）
=x（m+n）﹣y（m+n）
=（m+n）（x﹣y）；
（2）解法一：原式=（2a+4b）﹣（3ma+6mb）
=2（a+2b）﹣3m（a+2b）
=（2﹣3m）（a+2b）；
解法二：原式=（2a﹣3ma）+（4b﹣6mb）
=a（2﹣3m）+2b（2﹣3m）
=（2﹣3m）（a+2b）．
3．（2018春 合浦县期中）因式分解：a2﹣2ab+b2﹣1．
【解答】解：a2﹣2ab+b2﹣1，
=（a﹣b）2﹣1，
=（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．
4．（2017秋 雁江区校级期中）因式分解
（1）﹣a2﹣a
（2）（x+y）（5m+3n）2﹣（x+y）（m﹣n）2
（3）（a2+6a）2+18（a2+6a）+81
（4）x2﹣4x﹣y2+4．
【解答】解：（1）﹣a2﹣a=﹣a（a+1）
（2）（x+y）（5m+3n）2﹣（x+y）（m﹣n）2
=（x+y）（5m+3n+m﹣n）（5m+3n﹣m+n）
=（x+y）（6m+2n）（4m+4n）
=8（x+y）（3m+n）（m+n）
（3）（a2+6a）2+18（a2+6a）+81=（a2+6a+9）2=（a+3）4
（4）x2﹣4x﹣y2+4=（x﹣2）2﹣y2=（x﹣2+y）（x﹣2﹣y）
知识点4十字相乘法
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
对于二次三项式，若存在 ，则
要点诠释：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号
（2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.
1．（2017秋 万州区期末）因式分解x2+ax+b，甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），那么x2+ax+b分解因式正确的结果为（ ）
A．（x+3）（x﹣4） B．（x+4）（x﹣3） C．（x+6）（x﹣2） D．（x+2）（x﹣6）
【解答】解：甲看错了a的值：x2+ax+b=（x+6）（x﹣2）=x2+4x﹣12，
∴b=﹣12
乙看错了b的值：x2+ax+b=（x﹣8）（x+4）=x2﹣4x﹣32，
∴a=﹣4
∴x2+ax+b分解因式正确的结果：x2﹣4x﹣12=（x﹣6）（x+2）
故选：D．
2．（2018 诸城市一模）因式分解：x3y﹣2x2y﹣3xy=_______．
【解答】解：x3y﹣2x2y﹣3xy
=xy（x2﹣2xy﹣3）
=xy（x+1）（x﹣3）．
故答案为：xy（x+1）（x﹣3）．
3．（2018 高密市二模）因式分解：﹣2x2y+8xy﹣6y=________．
【解答】解：原式=﹣2y（x2﹣4x+3）=﹣2y（x﹣1）（x﹣3），
故答案为：﹣2y（x﹣1）（x﹣3）
4.（2017秋 香洲区期末）阅读下列材料：
材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q=mn且p=m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m） （x+n）
（1）x2+4x+3=（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12=（x﹣6）（x+2）
材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1
解：将“x+y”看成一个整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=（A+1）2
再将“A”还原，得：原式=（x+y+1）2
上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式．
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；
②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3．
【解答】解：（1）x2﹣6x+8=（x﹣2）（x﹣4）；
（2）①令A=x﹣y，
则原式=A2+4A+3=（A+1）（A+3），
所以（x﹣y）2+4（x﹣y）+3=（x﹣y+1）（x﹣y+3）；
②令B=m2+2m，
则原式=B（B﹣2）﹣3
=B2﹣2B﹣3
=（B+1）（B﹣3），
所以原式=（m2+2m+1）（m2+2m﹣3）
=（m+1）2（m﹣1）（m+3）．
5．（2017秋 诸暨市期末）李伟课余时间非常喜欢研究数学，在一次课外阅读中遇到一个解一元二次不等式的问题：x2﹣2x﹣3＞0．
经过思考，他给出了下列解法：
解：左边因式分解可得：（x+1）（x﹣3）＞0，
或，
解得x＞3或x＜﹣1．
聪明的你，请根据上述思想求一元二次不等式的解集：（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）＞0．
【解答】解：由题意知x﹣1、x﹣2、x﹣3中负数的个数为偶数个，
则①，解得：x＞3；
②，解得：1＜x＜2；
∴x＞3或1＜x＜2．
知识点5因式分解的应用
1．（2018 重庆模拟）任意一个正整数n，都可以表示为：n=a×b×c（a≤b≤c，a，b，c均为正整数），在n的所有表示结果中，如果|2b﹣（a+c）|最小，我们就称a×b×c是n的“阶梯三分法”，并规定：F（n）=，例如：6=1×1×6=1×2×3，因为|2×1﹣（1+6）|=5，|2×2﹣（1+3）|=0，5＞0，所以1×2×3是6的阶梯三分法，即F（6）==2．
（1）如果一个正整数p是另一个正整数q的立方，那么称正整数p是立方数，求证：对于任意一个立方数m，总有F（m）=2．
（2）t是一个两位正整数，t=10x+y（1≤x≤9，0≤y≤9，且x≥y，x+y≤10，x和y均为整数），t的23倍加上各个数位上的数字之和，结果能被13整除，我们就称这个数t为“满意数”，求所有“满意数”中F（t）的最小值．
【解答】解：（1）∵m为立方数
∴设m=q×q×q
∴|2q﹣（q﹣q）=0
∴|q×q×q是m的阶梯三分法
∴F（m）=
（2）由已知，[23（10x+y）+x+y]能被13整除
整理得：231x+24y能被13整除
∵231x+24y=13（10x+2y）﹣（3x+2y）
∴3x+2y能被13整除
∵1≤x≤9，0≤y≤9
∴3≤3x+2y≤45
∵x，y均为整数
∴3x+2y的值可能为13、26或39
①当3x+2y=13时
∵x≥y，x+y≤10
∴x=3，y=2，t=32
∴32的阶梯三分法为2×4×4
∴F（32）=
②同理，当3x+2y=26时
可得x=8，y=1或x=6，y=4
∴t=81或64
∴F（81）=4，F（64）=2
②同理，当3x+2y=39时
可得x=9，y=6
∴t=96
∴F（96）=
∴综合①②③，F（t）最小值为
2．（2018 南岸区模拟）对于一个各个数位上的数字均不为零的三位正整数n，如果它的百位数字、十位数字、个位数字是由依次增加相同的非零数字组成，则称这个三位数为“递增数”，记为D（n），把这个“递增数”的百位数字与个位数字交换位置后，得到321，即E（123）=321，规定F（n）=，如F（123）==1．
（1）计算：F（159），F（246）；
（2）若D（s）是百位数字为1的数，D（t）是个位数字为9的数，且满足F（s）+F（t）=5，记k=，求k的最大值．
【解答】解：（1）∵D（159）=159
∴E（159）=100×9+10×5+1=951
∴F（159）=
∵D（246）=246
∴E（246）=100×6+10×4+2=642
∴F（159）=
（2）设s、t的每个数位上的数字递增数值分别为x、y
∵x、y为各个数位上的递增数值，递增后的数值不能使各数位上的数字超过9
∴x、y分别取1﹣4的整数
∴D（s）=100+10（1+x）+（1+2x）=12x+111
D（t）=100（9﹣2y）+10（9﹣y）+9=999﹣210y
∴E（s）=100（1+2x）+10（1+x）+1=210x+111
E（t）=900+10（9﹣y）+（9﹣2y）=999﹣12y
∴F（s）===x
同理F（t）=y
∵F（s）+F（t）=5
∴x+y=5
∴y=5﹣x
∵k=
∴k=
=
=26x+19
∵1≤x≤4，且x为整数
∴当x=4时，k最大值为123
3．（2018春 开福区校级期末）如图，在一个大圆盘中有4个相同的小圆盘，已知大、小圆盘的半径都是整数，阴影部分的面积为5π cm2．求大、小圆盘的半径．
【解答】解：设大、小圆盘的半径分别是R cm，r cm，
由题意可得，πR2﹣4πr2=5π，
所以R2﹣4r2=5，
所以（R+2r）（R﹣2r）=5，
因为R，r都是整数，
所以，
解得，
答：大、小圆盘的半径分别是3 cm，1 cm．
4（2017秋 南关区校级期末）如图，四边形ABCD与四边形DEFG都是正方形，设AB=a，DE=b（a＞b）．
（1）写出AG的长度（用含字母a，b的代数式表示）；
（2）观察图形，当用不同的方法表示图形中阴影部分的面积时，你能获得一个因式分解公式，请将这个公式写出来；
（3）如果正方形ABCD的边长比正方形DEFG的边长多16cm，它们的面积相差960cm2，试利用（2）中的公式，求a，b的值．
【解答】解：（1）AG=a﹣b；
（2）能． a2﹣b2或a （a﹣b）+b （a﹣b）；
a2﹣b2=a （a﹣b）+b （a﹣b）=（a+b）（a﹣b），
即a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）；
（3）由题意，得a﹣b=16①，
a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=960，
∴a+b=60②，
由 ①、②方程组解得a=38，b=22．
故a的长为38cm，b的长为22cm
5．（2017秋 咸安区期末）阅读下列材料：
常用分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下：
x2﹣2xy+y2﹣16=（x﹣y）2﹣16=（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1）分解因式：x2﹣4y2﹣2x+4y；
（2）△ABC三边a，b，c满足a2+c2+2b2﹣2ab﹣2bc=0，判断△ABC的形状，并说明理由．
【解答】解：（1）x2﹣4y2﹣2x+4y
=（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）
=（x﹣2y）（x+2y﹣2）；
（2）△ABC是等边三角形．
理由如下：
a2+c2+2b2﹣2ab﹣2bc
=（a2﹣2ab+b2）+（c2﹣2bc+b2）
=（a﹣b）2+（b﹣c）2
∵（a﹣b）2≥0；（b﹣c）2≥0，
而（a﹣b）2+（b﹣c）2=0
∴（a﹣b）2=（b﹣c）2=0
∴a﹣b=0且b﹣c=0
∴a=b=c
∴△ABC为等边三角形．
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