第5讲 因式分解
知识点1 提公因式法
一、因式分解
把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.
（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.
（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.
二、公因式
多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.
要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.
（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.
（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.
三、提公因式法
把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．
要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，
即 .
（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.
（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.
（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.
1．（2017秋 十堰期末）若m﹣n=﹣2，mn=1，则m3n+mn3=（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．（2018春 柯桥区期中）多项式（x+2）（2x﹣1）﹣（x+2）可以因式分解成2（x+m）（ x+n），则m﹣n的值是（ ）
A．0 B．4 C．3 D．1
3．（2018春 太仓市期中）（﹣8）2018+（﹣8）2017能被下列哪个数整除？（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
4．（2017秋 泸县校级期中）2x3﹣24x2+54x．
知识点2公式法
一、公式法——平方差公式
两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：
要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.
（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.
（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.
二、公式法——完全平方公式
两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．
即，.
形如，的式子叫做完全平方式.
要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；
（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.
（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.
（4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.
1．（2018 威海）分解因式：﹣a2+2a﹣2= _______．
2．（2018 成都）已知x+y=0.2，x+3y=1，则代数式x2+4xy+4y2的值为_____ ．
3．（2017秋 沂水县期末）已知m=2n+1，则m2﹣4mn+4n2﹣5的值为______．
4．（2017春 庆元县期末）先阅读材料，再回答问题：
分解因式：（a﹣b）2﹣2（a﹣b）+1
解：设a﹣b=M，则原式=M2﹣2M+1=（M﹣1）2
再将a﹣b=M还原，得到：原式=（a﹣b﹣1）2
上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想，请你用整体思想解决下列问题：
（1）分解因式：（x+y）（x+y﹣4）+4
（2）若a为正整数，则（a﹣1）（a﹣2）（a﹣3）（a﹣4）+1为整数的平方，试说明理由．
5．（2017秋 杜尔伯特县校级期中）分解因式：x2﹣120x+3456
分析：由于常数项数值较大，则采用x2﹣120x变为差的平方形式进行分解：
x2﹣120x+3456=x2﹣2×60x+3600﹣3600+3456
=（x﹣60）2﹣144
=（x﹣60+12）（x﹣60﹣12）
=（x﹣48）（x﹣72）
请按照上面的方法分解因式：x2+86x﹣651．
知识点3分组分解法
对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.
要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：
方法 分类 分组方法 特点
分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组
③符合公式的两项分组
三项、一项 先完全平方公式后平方差公式
五项 三项、二项 各组之间有公因式
六项 三项、三项
二项、二项、二项 各组之间有公因式
三项、二项、一项 可化为二次三项式
1．（2017秋 西城区校级期中）分解因式：
（1）x2﹣y2+4y﹣4=_______；
（2）x2﹣4xy+4y2﹣2x+4y﹣3=______．
2．（2018春 金牛区校级月考）因式分解
（1）x2（a﹣1）+y2（1﹣a）
（2）x2﹣y2+4x﹣2y+3
3．（2016秋 昌江区校级期末）分解因式：a2+4b2+c4﹣4ab﹣2ac2+4bc2﹣1．
4．（2017秋 灵台县校级月考）把下列各式分解因式：
（1）（a2+a+1）（a2﹣6a+1）+12a2；
（2）（2a+5）（a2﹣9）（2a﹣7）﹣91；
（3）；
（4）（x4﹣4x2+1）（x4+3x2+1）+10x4；
（5）2x3﹣x2z﹣4x2y+2xyz+2xy2﹣y2z．
知识点4十字相乘法
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
对于二次三项式，若存在 ，则
要点诠释：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号
（2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.
1．（2017秋 醴陵市期末）计算（ax+b）（cx+d）=acx2+adx+bcx+bd=acx2+（ad+bc）x+bd，倒过来写可得：acx2+（ad+bc）x+bd=（ax+b）（cx+d）．我们就得到一个关于的二次三项式的因式分解的一个新的公式．我们观察公式左边二次项系数为两个有理数的乘积，常数项也为两个有理数的乘积，而一次项系数恰好为这两对有理数交叉相乘再相加的结果．这种因式分解的方法叫十字交叉相乘法．如图1所示．
示例：例如因式分解：12x2﹣5x﹣2
解：由图2可知：
12x2﹣5x﹣2=（3x﹣2）（4x+1）
请根据示例，对下列多项式因式分解：
①2x2+7x+6 ②6x2﹣7x﹣3
2．（2017秋 黔南州期末）先阅读下列材料：
我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．
如：ax+by+bx+ay，x2+2xy+y2﹣1分组分解法：
解：原式=（ax+bx）+（ax+by）
解：原式=（x+y）2﹣1=x（a+b）+y（a+b）=（x+y+1）（x+y﹣1）=（a+b）（x+y）
（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．
如：x2+2x﹣3解：原式=x2+2x+1﹣4=（x+1）2﹣2=（x+1+2）（x+l﹣2）=（x+3）（x﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
（l）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；
（2）分解因式：x2﹣6x﹣7．
3．（2017秋 临颍县期末）仔细阅读下面例题，解答问题；
例题，已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n
∴
解得：n=﹣7，m=﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式3x2+5x﹣m有一个因式是（3x﹣1），求另一个因式以及m的值．
4．（2017秋 阳泉期末）阅读与思考
x2+（p+q）x+pq型式子的因式分解
x2+（p+q）x+pq型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子分解因式呢？
我们通过学习，利用多项式的乘法法则可知：（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq，因式分解是整式乘法相反方向的变形，利用这种关系可得x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）．
利用这个结果可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如，将x2﹣x﹣6分解因式．这个式子的二次项系数是1，常数项﹣6=2×（﹣3），一次项系数﹣1=2+（﹣3），因此这是一个x2+（p+q）x+pq型的式子．所以x2﹣x﹣6=（x+2）（x﹣3）．
上述过程可用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如图所示．
这样我们也可以得到x2﹣x﹣6=（x+2）（x﹣3）．这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”．
请同学们认真观察，分析理解后，解答下列问题：
（1）分解因式：y2﹣2y﹣24．
（2）若x2+mx﹣12（m为常数）可分解为两个一次因式的积，请直接写出整数m的所有可能值．
5．（2018春 慈利县期中）阅读材料题：在因式分解中，有一类形如x2+（m+n）x+mn的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成x2+（m+n）x+mn=（x+m）（x+n）．
例如：x2+5x+6=x2+（2+3）x+2×3=（x+2）（x+3）．
运用上述方法分解因式：
（1）x2+6x+8；
（2）x2﹣x﹣6；
（3）x2﹣5xy+6y2；
（4）请你结合上述的方法，对多项式x3﹣2x2﹣3x进行分解因式．
6．（2018春 邗江区期中）阅读与思考：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．
由（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq得，x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）；
利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，
例如：将式子x2+3x+2分解因式．
分析：这个式子的常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，所以x2+3x+2=x2+（1+2）x+1×2．
解：x2+3x+2=（x+1）（x+2）
请仿照上面的方法，解答下列问题：
（1）分解因式：x2+7x+12=_____；
（2）分解因式：（x2﹣3）2+（x2﹣3）﹣2；
（3）填空：若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能的值______．
知识点5因式分解的应用
1．（2018春 苏州期中）已知a=+2012，b=+2013，c=+2014，则代数式2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）的值是 6 ．
2．（2018 南岸区模拟）材料1：若一个正整数的各个数位上的数字之和能被3整除，则这个数就能被3整除；反之也成立．
材料2：两位数m和三位数n，它们各个数位上的数字都不为0，将数m任意一个数位上的数字作为一个新的两位数的十位数字，将数n任意一个数位上的数字作为该新的两位数的个位数字，按照这种方式产生的所有新的两位数的和记为F（m，n），例如：F（12，345）=13+14=15+23+24+25=114；F（11，369）=13+16+19+13+16+19=96．
（1）填空：F（16，123）=_____，并求证：当n能被3整除时，F（m，n）一定能被6整除；
（2）若一个两位数s=21x+y，一个三位数t=121x+y+199（其中1≤x≤4，1≤y≤5，且x、y均为整数），交换三位数t的百位数字和个位数字得到新数t′，当t′与s的个位数字的3倍的和能被11整除时，称这样的两个数s和t为“珊瑚数对”，求所有“珊瑚数对”中F（s，t）的最大值．
3．（2018 九龙坡区校级模拟）定义：如果M个不同的正整数，对其中的任意两个数，这两个数的积能被这两个数的和整除，则称这组数为M个数的祖冲之数组．如（3，6）为两个数的祖冲之数组，因为3×6能被（3+6整除）；又如（15，30，60）为三个数的祖冲之数组，因为（15×30）能被（15+30）整除，（15×60）能被（15+60）整除，（30×60）能被（30+60）整除…
（1）我们发现，3和6，4和12，5和20，6和30…，都是两个数的祖冲之数组；由此猜测n和n（n﹣1）（n≥2，n为整数）组成的数组是两个数的祖冲之数组，请证明这一猜想．
（2）若（4a，5a，6a）是三个数的祖冲之数组，求满足条件的所有三位正整数a．
4．（2018 重庆模拟）有一个n位自然数能被x0整除，依次轮换个位数字得到的新数能被x0+1整除，再依次轮换个位数字得到的新数能被x0+2整除，按此规律轮换后，能被x0+3整除，…，能被x0+n﹣1整除，则称这个n位数是x0的一个“轮换数”．
例如：60能被5整除，06能被6整除，则称两位数60是5的一个“轮换数”；
再如：324能被2整除，243能被3整除，432能被4整除，则称三位数324是2的一个“轮换数”．
（1）若一个两位自然数的个位数字是十位数字的2倍，求证这个两位自然数一定是“轮换数”．
（2）若三位自然数是3的一个“轮换数”，其中a=2，求这个三位自然数．
5．（2018 江津区一模）在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分．而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x3+2x2﹣x﹣2因式分解的结果为（x﹣1）（x+1）（x+2），当x=18时，x﹣1=17，x+1=19，x+2=20，此时可以得到数字密码171920．
（1）根据上述方法，当x=21，y=7时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？（写出三个）
（2）若一个直角三角形的周长是24，斜边长为10，其中两条直角边分别为x、y，求出一个由多项式x3y+xy3分解因式后得到的密码（只需一个即可）；
（3）若多项式x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21因式分解后，利用本题的方法，当x=27时可以得到其中一个密码为242834，求m、n的值．
2018暑期领跑班·初二数学 11第5讲 因式分解
知识点1 提公因式法
一、因式分解
把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.
（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.
（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.
二、公因式
多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.
要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.
（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.
（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.
三、提公因式法
把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．
要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，
即 .
（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.
（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.
（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.
1．（2017秋 十堰期末）若m﹣n=﹣2，mn=1，则m3n+mn3=（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【解答】解：∵m﹣n=﹣2，mn=1，
∴（m﹣n）2=4，
∴m2+n2﹣2mn=4，
则m2+n2=6，
∴m3n+mn3=mn（m2+n2）
=1×6
=6．
故选：A．
2．（2018春 柯桥区期中）多项式（x+2）（2x﹣1）﹣（x+2）可以因式分解成2（x+m）（ x+n），则m﹣n的值是（ ）
A．0 B．4 C．3 D．1
【解答】解：∵（x+2）（2x﹣1）﹣（x+2）可以因式分解成2（x+m）（ x+n），
∴（x+2）（2x﹣1）﹣（x+2）=（x+2）（2x﹣2）=2（x+2）（x﹣1）=2（x+m）（x+n），
故m=2，n=﹣1，
则m﹣n=3．
故选：C．
3．（2018春 太仓市期中）（﹣8）2018+（﹣8）2017能被下列哪个数整除？（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【解答】解：（﹣8）2018+（﹣8）2017=（﹣8）2017×（﹣8+1）=7×82017；
能被7乘除，
故选：C．
17．（2017秋 泸县校级期中）2x3﹣24x2+54x．
【解答】解：原式=2x（x2﹣12x+27）=2x（x﹣3）（x﹣9）．
知识点2公式法
一、公式法——平方差公式
两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：
要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.
（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.
（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.
二、公式法——完全平方公式
两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．
即，.
形如，的式子叫做完全平方式.
要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；
（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.
（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.
（4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.
1．（2018 威海）分解因式：﹣a2+2a﹣2= _______．
【解答】解：原式=﹣（a2﹣4a+4）=﹣（a﹣2）2，
故答案为：﹣（a﹣2）2
2．（2018 成都）已知x+y=0.2，x+3y=1，则代数式x2+4xy+4y2的值为_____ ．
【解答】解：∵x+y=0.2，x+3y=1，
∴2x+4y=1.2，即x+2y=0.6，
则原式=（x+2y）2=0.36．
故答案为：0.36
3．（2017秋 沂水县期末）已知m=2n+1，则m2﹣4mn+4n2﹣5的值为______．
【解答】解：∵m=2n+1，
∴m﹣2n=1，
∴m2﹣4mn+4n2﹣5=（m﹣2n）2﹣5=1﹣5=﹣4，
故答案为：﹣4．
4．（2017春 庆元县期末）先阅读材料，再回答问题：
分解因式：（a﹣b）2﹣2（a﹣b）+1
解：设a﹣b=M，则原式=M2﹣2M+1=（M﹣1）2
再将a﹣b=M还原，得到：原式=（a﹣b﹣1）2
上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想，请你用整体思想解决下列问题：
（1）分解因式：（x+y）（x+y﹣4）+4
（2）若a为正整数，则（a﹣1）（a﹣2）（a﹣3）（a﹣4）+1为整数的平方，试说明理由．
【解答】解：（1）设M=x+y，
则原式=M（M﹣4）+4=M2﹣4M+4=（M﹣2）2，
将M=x+y代入还原可得原式=（x+y﹣2）2；
（2）原式=（a﹣1）（a﹣4）（a﹣2）（a﹣3）+1
=（a2﹣5a+4）（a2﹣5a+6）+1
令N=a2﹣5a+4，
∵a为正整数，
∴N=（a﹣1）（a﹣4）=a2﹣5a+4也是整数，
则原式=N（N+2）+1
=N2+2N+1
=（N+1）2，
∵N为整数，
∴原式=（N+1）2即为整数的平方．
5．（2017秋 杜尔伯特县校级期中）分解因式：x2﹣120x+3456
分析：由于常数项数值较大，则采用x2﹣120x变为差的平方形式进行分解：
x2﹣120x+3456=x2﹣2×60x+3600﹣3600+3456
=（x﹣60）2﹣144
=（x﹣60+12）（x﹣60﹣12）
=（x﹣48）（x﹣72）
请按照上面的方法分解因式：x2+86x﹣651．
【解答】解：x2+86x﹣651
=（x+43）2﹣2500
=（x+43+50）（x+43﹣50）
=（x+93）（x﹣7）．
知识点3分组分解法
对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.
要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：
方法 分类 分组方法 特点
分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组
③符合公式的两项分组
三项、一项 先完全平方公式后平方差公式
五项 三项、二项 各组之间有公因式
六项 三项、三项
二项、二项、二项 各组之间有公因式
三项、二项、一项 可化为二次三项式
1．（2017秋 西城区校级期中）分解因式：
（1）x2﹣y2+4y﹣4=_______；
（2）x2﹣4xy+4y2﹣2x+4y﹣3=______．
【解答】解：（1）x2﹣y2+4y﹣4=x2﹣（y﹣2）2
=（x+y﹣2）（x﹣y+2）；
故答案为：（x+y﹣2）（x﹣y+2）；
（2）x2﹣4xy+4y2﹣2x+4y﹣3
=（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）﹣3
=（x﹣2y﹣3）（x﹣2y+1）．
故答案为：（x﹣2y﹣3）（x﹣2y+1）．
2．（2018春 金牛区校级月考）因式分解
（1）x2（a﹣1）+y2（1﹣a）
（2）x2﹣y2+4x﹣2y+3
【解答】解：（1）原式=x2（a﹣1）﹣y2（a﹣1），
=（a﹣1）（x2﹣y2），
=（a﹣1）（x+y）（x﹣y）；
（2）原式=（x2+4x+4）﹣（y2+2y+1），
=（x+2）2﹣（y+1）2，
=（x+2+y+1）（x+2﹣y﹣1），
=（x+y+3）（x﹣y+1）．
3．（2016秋 昌江区校级期末）分解因式：a2+4b2+c4﹣4ab﹣2ac2+4bc2﹣1．
【解答】解：a2+4b2+c4﹣4ab﹣2ac2+4bc2﹣1
=（a2+4b2﹣4ab）+（﹣2ac2+4bc2）+（c4﹣1）
=（2b﹣a）2+2c2（2b﹣a）+（c2+1）（c2﹣1）
=（2b﹣a+c2+1）（2b﹣a+c2﹣1）．
4．（2017秋 灵台县校级月考）把下列各式分解因式：
（1）（a2+a+1）（a2﹣6a+1）+12a2；
（2）（2a+5）（a2﹣9）（2a﹣7）﹣91；
（3）；
（4）（x4﹣4x2+1）（x4+3x2+1）+10x4；
（5）2x3﹣x2z﹣4x2y+2xyz+2xy2﹣y2z．
【解答】解：（1）令a2+1=b，
则原式=（b+a）（b﹣6a）+12a2
=b2﹣5ab﹣6a2+12a2
=b2﹣5ab+6a2
=（b﹣2a）（b﹣3a）
=（a2+1﹣2a）（a2+1﹣3a）
=（a﹣1）2（a2﹣3a+1）；
（2）原式=[（2a+5）（a﹣3）][（a+3）（2a﹣7）]﹣91
=（2a2﹣a﹣15）（2a2﹣a﹣21）﹣91
=（2a2﹣a）2﹣36（2a2﹣a）+224
=（2a2﹣a﹣28）（2a2﹣a﹣8）
=（a﹣4）（2a+7）（2a2﹣a﹣8）；
（3）设x+y=a，xy=b，
则原式=b（b+1）+（b+3）﹣2（a+）﹣（a﹣1）2
=（b2+2b+1）﹣a2
=（b+1+a）（b+1﹣a）
=（xy+1+x+y）（xy+1﹣x﹣y）；
（4）令x4+1=a，
则原式=（a﹣4x2）（a+3x2）+10x4
=a2﹣x2a﹣2x4=（a﹣2x2）（a+x2）
=（x4+1﹣2x2）（x4+1+x2）
=（x+1）2（x﹣1）2（x2+x+1）（x2﹣x+1）；
（5）原式=（2x3﹣x2z）+（﹣4x2y+2xyz）+（2xy2﹣y2z）
=x2（2x﹣z）﹣2xy（2x﹣z）+y2（2x﹣z）
=（2x﹣z）（x2﹣2xy+y2）
=（2x﹣z）（x﹣y）2．
知识点4十字相乘法
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
对于二次三项式，若存在 ，则
要点诠释：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号
（2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.
1．（2017秋 醴陵市期末）计算（ax+b）（cx+d）=acx2+adx+bcx+bd=acx2+（ad+bc）x+bd，倒过来写可得：acx2+（ad+bc）x+bd=（ax+b）（cx+d）．我们就得到一个关于的二次三项式的因式分解的一个新的公式．我们观察公式左边二次项系数为两个有理数的乘积，常数项也为两个有理数的乘积，而一次项系数恰好为这两对有理数交叉相乘再相加的结果．这种因式分解的方法叫十字交叉相乘法．如图1所示．
示例：例如因式分解：12x2﹣5x﹣2
解：由图2可知：
12x2﹣5x﹣2=（3x﹣2）（4x+1）
请根据示例，对下列多项式因式分解：
①2x2+7x+6 ②6x2﹣7x﹣3
【解答】解：由题意可知：①2x2+7x+6=（x+2）（2x+3）
②6x2﹣7x﹣3=（2x﹣3）（3x+1）
2．（2017秋 黔南州期末）先阅读下列材料：
我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．
如：ax+by+bx+ay，x2+2xy+y2﹣1分组分解法：
解：原式=（ax+bx）+（ax+by）
解：原式=（x+y）2﹣1=x（a+b）+y（a+b）=（x+y+1）（x+y﹣1）=（a+b）（x+y）
（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．
如：x2+2x﹣3解：原式=x2+2x+1﹣4=（x+1）2﹣2=（x+1+2）（x+l﹣2）=（x+3）（x﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
（l）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；
（2）分解因式：x2﹣6x﹣7．
【解答】解：（1）原式=（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）
=（a﹣b）（a+b+1）；
（2）原式=（x2﹣6x+9﹣16）
=（x﹣3）2﹣16
=（x﹣3﹣4）（x﹣3+4）
=（x﹣7）（x+1）．
3．（2017秋 临颍县期末）仔细阅读下面例题，解答问题；
例题，已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n
∴
解得：n=﹣7，m=﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式3x2+5x﹣m有一个因式是（3x﹣1），求另一个因式以及m的值．
【解答】解：设另一个因式为（x+n），得3x2+5x﹣m=（3x﹣1）（x+n），
则3x2+5x﹣m=3x2+（3n﹣1）x﹣n，
∴，
解得：n=2，m=2，
∴另一个因式为（x+2），m的值为2．
4．（2017秋 阳泉期末）阅读与思考
x2+（p+q）x+pq型式子的因式分解
x2+（p+q）x+pq型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子分解因式呢？
我们通过学习，利用多项式的乘法法则可知：（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq，因式分解是整式乘法相反方向的变形，利用这种关系可得x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）．
利用这个结果可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如，将x2﹣x﹣6分解因式．这个式子的二次项系数是1，常数项﹣6=2×（﹣3），一次项系数﹣1=2+（﹣3），因此这是一个x2+（p+q）x+pq型的式子．所以x2﹣x﹣6=（x+2）（x﹣3）．
上述过程可用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如图所示．
这样我们也可以得到x2﹣x﹣6=（x+2）（x﹣3）．这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”．
请同学们认真观察，分析理解后，解答下列问题：
（1）分解因式：y2﹣2y﹣24．
（2）若x2+mx﹣12（m为常数）可分解为两个一次因式的积，请直接写出整数m的所有可能值．
【解答】解：（1）y2﹣2y﹣24=（y+4）（y﹣6）；
（2）若x2+mx﹣12（m为常数）可分解为两个一次因式的积，
m的值可能是﹣1，1，﹣4，4，11，﹣11．
5．（2018春 慈利县期中）阅读材料题：在因式分解中，有一类形如x2+（m+n）x+mn的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成x2+（m+n）x+mn=（x+m）（x+n）．
例如：x2+5x+6=x2+（2+3）x+2×3=（x+2）（x+3）．
运用上述方法分解因式：
（1）x2+6x+8；
（2）x2﹣x﹣6；
（3）x2﹣5xy+6y2；
（4）请你结合上述的方法，对多项式x3﹣2x2﹣3x进行分解因式．
【解答】解：（1）x2+6x+8=（x+2）（x+4）；
（2）x2﹣x﹣6=（x+2）（x﹣3）；
（3）x2﹣5xy+6y2=（x﹣2y）（x﹣3y）；
（4）x3﹣2x2﹣3x=x（x﹣3）（x+1）．
6．（2018春 邗江区期中）阅读与思考：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．
由（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq得，x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）；
利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，
例如：将式子x2+3x+2分解因式．
分析：这个式子的常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，所以x2+3x+2=x2+（1+2）x+1×2．
解：x2+3x+2=（x+1）（x+2）
请仿照上面的方法，解答下列问题：
（1）分解因式：x2+7x+12=_____；
（2）分解因式：（x2﹣3）2+（x2﹣3）﹣2；
（3）填空：若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能的值______．
【解答】解：（1）x2+7x+12=（x+3）（x+4），
故答案为：（x+3）（x+4）；
（2）原式=（x2﹣3﹣1）（x2﹣3+2）
=（x2﹣4）（x2﹣1）
=（x+2）（x﹣2）（x+1）（x﹣1）；
（3）若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是﹣8+1=﹣7；﹣1+8=7；﹣2+4=2；﹣4+2=﹣2，
故答案为：±7，±2．
知识点5因式分解的应用
1．（2018春 苏州期中）已知a=+2012，b=+2013，c=+2014，则代数式2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）的值是 6 ．
【解答】∵a=+2012，b=+2013，c=+2014，
∴a﹣b=﹣1，b﹣c=﹣1，c﹣a=2，c﹣b=1，
∴2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac），
=2[a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣a）]，
=2（﹣a﹣b+2c），
=2[（c﹣a）+（c﹣b）]，
=2×3，
=6．
故答案为：6．
2．（2018 南岸区模拟）材料1：若一个正整数的各个数位上的数字之和能被3整除，则这个数就能被3整除；反之也成立．
材料2：两位数m和三位数n，它们各个数位上的数字都不为0，将数m任意一个数位上的数字作为一个新的两位数的十位数字，将数n任意一个数位上的数字作为该新的两位数的个位数字，按照这种方式产生的所有新的两位数的和记为F（m，n），例如：F（12，345）=13+14=15+23+24+25=114；F（11，369）=13+16+19+13+16+19=96．
（1）填空：F（16，123）=_____，并求证：当n能被3整除时，F（m，n）一定能被6整除；
（2）若一个两位数s=21x+y，一个三位数t=121x+y+199（其中1≤x≤4，1≤y≤5，且x、y均为整数），交换三位数t的百位数字和个位数字得到新数t′，当t′与s的个位数字的3倍的和能被11整除时，称这样的两个数s和t为“珊瑚数对”，求所有“珊瑚数对”中F（s，t）的最大值．
【解答】解：（1）F（16，123）=11+12+13+61+62+63=222，
故答案为：222
证明：设这个三位数的个位数是x，十位数是y，百位数是z，
则这个三位数是100z+10y+x，
∵各位数字之和能被3整除，
∴（x+y+z）÷3是整数，
∵100z+10y+x=（99z+9y）+x+y+z，
∴（100z+10y+x）÷3=（99z+9y）÷3+（x+y+z）÷3=33z+3y+（x+y+z）÷3，
∴这个数就能被3整除；
（2）∵s=21x+y，t=121x+y+199（其中1≤x≤4，1≤y≤5，且x、y均为整数），
∴当x分别等于1、2、3、4，y，分别等于1、2、3、4、5时，可得
s分别等于22、23、24、25、26、43、44、45、46、47、64、65、66、67、68、85、86、87、88、89，
t分别等于321、322、323、324、325、442、443、444、445、446、563、564、565、566、567、684、685、686、687、688，
∴s的个位上的数是2、3、4、5、6、7、8、9，
t′的个位上的数就是t的百位上的数即为：3、4、5、6，
又∵当s和t为“珊瑚数对”时有t′与s的个位数字的3倍的和能被11整除的数是33、66、99、132、165…
∴t′与s的个位数字的和是：11
∵3+8=11、4+7=11、5+6=11，
∴“珊瑚数对”是s的个位上的数是3、4、5、6、7、8的数和t的百位上的数即为：3、4、5、6的所有数
∴F（s，t）的最大值是：F（88，688）=86+88+88+86+88+88=524．
3．（2018 九龙坡区校级模拟）定义：如果M个不同的正整数，对其中的任意两个数，这两个数的积能被这两个数的和整除，则称这组数为M个数的祖冲之数组．如（3，6）为两个数的祖冲之数组，因为3×6能被（3+6整除）；又如（15，30，60）为三个数的祖冲之数组，因为（15×30）能被（15+30）整除，（15×60）能被（15+60）整除，（30×60）能被（30+60）整除…
（1）我们发现，3和6，4和12，5和20，6和30…，都是两个数的祖冲之数组；由此猜测n和n（n﹣1）（n≥2，n为整数）组成的数组是两个数的祖冲之数组，请证明这一猜想．
（2）若（4a，5a，6a）是三个数的祖冲之数组，求满足条件的所有三位正整数a．
【解答】解：（1）∵n n（n﹣1）÷[n+n（n﹣1）]=n2（n﹣1）÷n2=n﹣1，
∴n和n（n﹣1）（n≥2，n为整数）组成的数组是祖冲之数组．
（2）∵=，=，=都是整数，
∴a是5，9，11的倍数，
∴满足条件的所有三位正整数a为495或990．
4．（2018 重庆模拟）有一个n位自然数能被x0整除，依次轮换个位数字得到的新数能被x0+1整除，再依次轮换个位数字得到的新数能被x0+2整除，按此规律轮换后，能被x0+3整除，…，能被x0+n﹣1整除，则称这个n位数是x0的一个“轮换数”．
例如：60能被5整除，06能被6整除，则称两位数60是5的一个“轮换数”；
再如：324能被2整除，243能被3整除，432能被4整除，则称三位数324是2的一个“轮换数”．
（1）若一个两位自然数的个位数字是十位数字的2倍，求证这个两位自然数一定是“轮换数”．
（2）若三位自然数是3的一个“轮换数”，其中a=2，求这个三位自然数．
【解答】解：（1）设两位自然数的十位数字为x，则个位数字为2x，
∴这个两位自然数是10x+2x=12x，
∴这个两位自然数是12x能被6整除，
∵依次轮换个位数字得到的两位自然数为10×2x+x=21x
∴轮换个位数字得到的两位自然数为21x能被7整除，
∴一个两位自然数的个位数字是十位数字的2倍，这个两位自然数一定是“轮换数”；
（2）∵三位自然数是3的一个“轮换数”，且a=2，
∴100a+10b+c能被3整除，
即：10b+c+200能被3整除，
第一次轮换得到的三位自然数是100b+10c+a能被4整除，
即100b+10c+2能被4整除，
第二次轮换得到的三位自然数是100c+10a+b能被5整除，
即100c+b+20能被5整除，
∵100c+b+20能被5整除，
∴b+20的个位数字不是0，便是5，
∴b=0或b=5，
当b=0时，
∵100b+10c+2能被4整除，
∴10c+2能被4整除，
∴c只能是1，3，5，7，9；
∴这个三位自然数可能是为201，203，205，207，209，
而203，205，209不能被3整除，
∴这个三位自然数为201，207，
当b=5时，∵100b+10c+2能被4整除，
∴10c+502能被4整除，
∴c只能是1，5，7，9；
∴这个三位自然数可能是为251，255，257，259，
而251，257，259不能被3整除，
∴这个三位自然数为255，
即这个三位自然数为201，207，255．
5．（2018 江津区一模）在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分．而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x3+2x2﹣x﹣2因式分解的结果为（x﹣1）（x+1）（x+2），当x=18时，x﹣1=17，x+1=19，x+2=20，此时可以得到数字密码171920．
（1）根据上述方法，当x=21，y=7时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？（写出三个）
（2）若一个直角三角形的周长是24，斜边长为10，其中两条直角边分别为x、y，求出一个由多项式x3y+xy3分解因式后得到的密码（只需一个即可）；
（3）若多项式x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21因式分解后，利用本题的方法，当x=27时可以得到其中一个密码为242834，求m、n的值．
【解答】解：（1）x3﹣xy2=x（x﹣y）（x+y），
当x=21，y=7时，x﹣y=14，x+y=28，
可得数字密码是211428；也可以是212814；142128；
（2）由题意得：，
解得xy=48，
而x3y+xy3=xy（x2+y2），
所以可得数字密码为48100；
（2）由题意得：x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21=（x﹣3）（x+1）（x+7），
∵（x﹣3）（x+1）（x+7）=x3+5x2﹣17x﹣21，
∴x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21=x3+5x2﹣17x﹣21，
∴，解得．
故m、n的值分别是56、17．
2018暑期领跑班·初二数学 17
