第6讲 分式
知识点1 分式的基本概念
定义 示例剖析
分式的定义：一般地，如果、表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，其中叫分子，叫分母且． 例如
分式有意义（或分式存在）的条件：分式的分母不等于零即． 使有意义的条件是
分式的值为零的条件：分式的值为零是指分式在有意义的前提下分式的分子为零． 即当且时，． 使值为0的x值为1
1．（2018 邵阳模拟）下列各式中，是分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2017秋 肇源县期末）下列有理式中①，②，③，④中分式有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2018 桓台县一模）若代数式在实数范围内有意义，则实数a的取值范围为（ ）
A．a≠4 B．a＞﹣2 C．﹣2＜a＜2 D．a≠±2
4．（2017秋 江津区期末）能使分式的值为零的所有x的值是（ ）
A．x=1 B．x=﹣1 C．x=1或x=﹣1 D．x=2或x=1
5．（2017秋 岳池县期末）若代数式的值为零，则x=______．
6．（2015秋 夏津县校级月考）x取何值时，下列分式有意义：
（1）
（2）
（3）．
6．（2016秋 麻城市校级期末）已知分式，试问：
（1）当m为何值时，分式有意义？
（2）当m为何值时，分式值为0？
知识点2分式的基本性质
定义 示例剖析
分式的基本性质：分式的分子与分母同乘以（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 即
约分：利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，但不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.分子分母中没有公因式的分式叫做最简分式.
通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同时乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个分式变成分母相同的分式.为了通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母.
1．（2018 合肥模拟）若x，y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2017秋 临洮县期末）将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．扩大6倍 B．扩大9倍 C．不变 D．扩大3倍
3．（2017秋 青山区期末）下列各式从左到右的变形，一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2018春 铜山区期中）下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A．=1 B．=
C．=x+y D．=
5．（2017 裕华区校级模拟）下列各式中，正确的是（ ）
A．= B．=
C．= D．=﹣
6．不改变分式的值，把分子、分母中各项系数化成整数，那么结果是（ ）
A． B． C． D．
7．（2016秋 凉州区期末）当x___时，的值为负数；当x、y满足_____ 时，的值为．
知识点3分式的基本运算
分式的乘法
分式的除法
分式的乘方
同分母分式相加减
异分母分式相加减
0指数幂
负整数指数幂 （，为正整数）
分式的乘除
注意分式的乘除法应用关键是理解其法则.
⑴先把除法变为乘法；
⑵接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解，当然有乘方运算要先算乘方，然后同其它分式进行约分；
⑶再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘；
⑷最后还应检查相乘后的分式是否为最简分式．
分式的加减
⑴同分母分式加减法则：分母不变，分子相加减。
⑵异分母分式加减法则：
运算步骤：①先确定最简公分母；②对每项通分,化为相同分母； ③按同分母分式运算法则进行；④注意结果可否化简，化为最简分式．
分式的混合运算
注意分式的混合运算的顺序：先进行乘方运算，其次进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇有括号，先算括号内的.如果分式的分子或分母中含有多项式，并且能分解因式，可先分解因式，能约分的先约分，再进行运算.
1．（2018 永州）甲从商贩A处购买了若干斤西瓜，又从商贩B处购买了若干斤西瓜．A、B两处所购买的西瓜重量之比为3：2，然后将买回的西瓜以从A、B两处购买单价的平均数为单价全部卖给了乙，结果发现他赔钱了，这是因为（ ）
A．商贩A的单价大于商贩B的单价
B．商贩A的单价等于商贩B的单价
C．商版A的单价小于商贩B的单价
D．赔钱与商贩A、商贩B的单价无关
2．（2018 淄博）化简的结果为（ ）
A． B．a﹣1 C．a D．1
3．（2018 威海）化简（a﹣1）÷（﹣1） a的结果是（ ）
A．﹣a2 B．1 C．a2 D．﹣1
4．（2018 内江）已知：﹣=，则的值是（ ）
A． B．﹣ C．3 D．﹣3
5．（2018 金牛区校级模拟）下列各式正确的是（ ）
A． B．（﹣0.01）﹣2=0.0001
C． D．（﹣m）3 m2=﹣m6
6．（2018 津南区二模）计算﹣a﹣1的结果为（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．
7．（2018 岐山县一模）计算a﹣b+（ ）
A． B．a+b C． D．a﹣b
8．（2018 历城区二模）化简（1﹣）÷的结果是（ ）
A．（x+1）2 B．（x﹣1）2 C． D．
9．（2018 石家庄模拟）化简÷+的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
10．（2018 嘉兴）（1）计算：2（﹣1）+|﹣3|﹣（﹣1）0；
（2）化简并求值（） ，其中a=1，b=2．
11．（2018 凉山州）先化简，再选择一个你喜欢的数（要合适哦!）代入求值：（1+）．
12．（2018 湘潭）先化简，再求值：（1+）÷．其中x=3．
13.（2018 菏泽）先化简再求值（﹣y）÷﹣（x﹣2y）（x+y），其中x=﹣1，y=2．
14．（2018 常德）先化简，再求值：（+）÷，其中x=．
7第6讲 分式
知识点1 分式的基本概念
定义 示例剖析
分式的定义：一般地，如果、表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，其中叫分子，叫分母且． 例如
分式有意义（或分式存在）的条件：分式的分母不等于零即． 使有意义的条件是
分式的值为零的条件：分式的值为零是指分式在有意义的前提下分式的分子为零． 即当且时，． 使值为0的x值为1
1．（2018 邵阳模拟）下列各式中，是分式的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：、，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
分母中含有字母，因此是分式．
故选：A．
2．（2017秋 肇源县期末）下列有理式中①，②，③，④中分式有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①、③的分母中含有字母，故①、③是分式；
②、④的字母中不含字母，因此②、④是整式，而不是分式；
故选：B．
3．（2018 桓台县一模）若代数式在实数范围内有意义，则实数a的取值范围为（ ）
A．a≠4 B．a＞﹣2 C．﹣2＜a＜2 D．a≠±2
【解答】解：依题意得：a2﹣4≠0，
解得a≠±2．
故选：D．
4．（2017秋 江津区期末）能使分式的值为零的所有x的值是（ ）
A．x=1 B．x=﹣1 C．x=1或x=﹣1 D．x=2或x=1
【解答】解：∵，即，
∴x=±1，
又∵x≠1，
∴x=﹣1．
故选：B．
5．（2017秋 岳池县期末）若代数式的值为零，则x=______．
【解答】解：由题意，得
（x﹣2）（x﹣3）=0且2x﹣6≠0，解得x=2，
故答案为：2．
6．（2015秋 夏津县校级月考）x取何值时，下列分式有意义：
（1）
（2）
（3）．
【解答】解：（1）要使有意义，
得2x﹣3≠0．
解得x≠，
当x≠时，有意义；
（2）要使有意义，得
|x|﹣12≠0．
解得x≠±12，
当x≠±12时，有意义；
（3）要使有意义，得
x2+1≠0．
x为任意实数，有意义．
6．（2016秋 麻城市校级期末）已知分式，试问：
（1）当m为何值时，分式有意义？
（2）当m为何值时，分式值为0？
【解答】解：（1）由题意得，m2﹣3m+2≠0，
解得，m≠1且m≠2；
（2）由题意得，（m﹣1）（m﹣3）=0，m2﹣3m+2≠0，
解得，m=3，
则当m=3时，此分式的值为零．
知识点2分式的基本性质
定义 示例剖析
分式的基本性质：分式的分子与分母同乘以（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 即
约分：利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，但不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.分子分母中没有公因式的分式叫做最简分式.
通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同时乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个分式变成分母相同的分式.为了通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母.
1．（2018 合肥模拟）若x，y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：根据分式的基本性质，可知若x，y的值均扩大为原来的2倍，
A、==；
B、==；
C、；
D、==．
故A正确．
故选：A．
2．（2017秋 临洮县期末）将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．扩大6倍 B．扩大9倍 C．不变 D．扩大3倍
【解答】解：∵把分式中的x与y同时扩大为原来的3倍，
∴原式变为：==9×，
∴这个分式的值扩大9倍．
故选：B．
3．（2017秋 青山区期末）下列各式从左到右的变形，一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、==，此选项错误；
B、==，此选项正确；
C、=﹣，此选项错误；
D、若c=0，则变形无意义；
故选：B．
4．（2018春 铜山区期中）下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A．=1 B．=
C．=x+y D．=
【解答】解：A、原式==1，正确；
B、原式=，错误；
C、原式为最简结果，错误；
D、原式=，错误，
故选：A．
5．（2017 裕华区校级模拟）下列各式中，正确的是（ ）
A．= B．=
C．= D．=﹣
【解答】解：A、，错误；
B、，正确；
C、，错误；
D、，错误．
故选：B．
6．不改变分式的值，把分子、分母中各项系数化成整数，那么结果是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：分子分母都乘以6，得
，
故选：D．
7．（2016秋 凉州区期末）当x___时，的值为负数；当x、y满足_____ 时，的值为．
【解答】解：∵为负数，
∴1﹣x＞0，
∴x＜1；
当x、y满足x+y≠0时，的值为．
知识点3分式的基本运算
分式的乘法
分式的除法
分式的乘方
同分母分式相加减
异分母分式相加减
0指数幂
负整数指数幂 （，为正整数）
分式的乘除
注意分式的乘除法应用关键是理解其法则.
⑴先把除法变为乘法；
⑵接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解，当然有乘方运算要先算乘方，然后同其它分式进行约分；
⑶再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘；
⑷最后还应检查相乘后的分式是否为最简分式．
分式的加减
⑴同分母分式加减法则：分母不变，分子相加减。
⑵异分母分式加减法则：
运算步骤：①先确定最简公分母；②对每项通分,化为相同分母； ③按同分母分式运算法则进行；④注意结果可否化简，化为最简分式．
分式的混合运算
注意分式的混合运算的顺序：先进行乘方运算，其次进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇有括号，先算括号内的.如果分式的分子或分母中含有多项式，并且能分解因式，可先分解因式，能约分的先约分，再进行运算.
1．（2018 永州）甲从商贩A处购买了若干斤西瓜，又从商贩B处购买了若干斤西瓜．A、B两处所购买的西瓜重量之比为3：2，然后将买回的西瓜以从A、B两处购买单价的平均数为单价全部卖给了乙，结果发现他赔钱了，这是因为（ ）
A．商贩A的单价大于商贩B的单价
B．商贩A的单价等于商贩B的单价
C．商版A的单价小于商贩B的单价
D．赔钱与商贩A、商贩B的单价无关
【解答】解：利润=总售价﹣总成本=×5﹣（3a+2b）=0.5b﹣0.5a，赔钱了说明利润＜0
∴0.5b﹣0.5a＜0，
∴a＞b．
故选：A．
2．（2018 淄博）化简的结果为（ ）
A． B．a﹣1 C．a D．1
【解答】解：原式=+
=
=a﹣1
故选：B．
3．（2018 威海）化简（a﹣1）÷（﹣1） a的结果是（ ）
A．﹣a2 B．1 C．a2 D．﹣1
【解答】解：原式=（a﹣1）÷ a
=（a﹣1） a
=﹣a2，
故选：A．
4．（2018 内江）已知：﹣=，则的值是（ ）
A． B．﹣ C．3 D．﹣3
【解答】解：∵﹣=，
∴=，
则=3，
故选：C．
5．（2018 金牛区校级模拟）下列各式正确的是（ ）
A． B．（﹣0.01）﹣2=0.0001
C． D．（﹣m）3 m2=﹣m6
【解答】解：（B）原式=（﹣）﹣2=（﹣100）2，故B错误；
（C）原式= =，故C错误；
（D）原式=﹣m5，故D错误；
故选：A．
6．（2018 津南区二模）计算﹣a﹣1的结果为（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．
【解答】解：原式=﹣
=
故选：C．
7．（2018 岐山县一模）计算a﹣b+（ ）
A． B．a+b C． D．a﹣b
【解答】解：a﹣b+==，故选C．
8．（2018 历城区二模）化简（1﹣）÷的结果是（ ）
A．（x+1）2 B．（x﹣1）2 C． D．
【解答】解：（1﹣）÷
=
=
=（x﹣1）2，
故选：B．
9．（2018 石家庄模拟）化简÷+的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
【解答】解：原式= （x﹣1）2+
=+
=
=1，
故选：A．
10．（2018 嘉兴）（1）计算：2（﹣1）+|﹣3|﹣（﹣1）0；
（2）化简并求值（） ，其中a=1，b=2．
【解答】解：（1）原式=4﹣2+3﹣1=4；
（2）原式= =a﹣b；
当a=1，b=2时，原式=1﹣2=﹣1．
11．（2018 凉山州）先化简，再选择一个你喜欢的数（要合适哦!）代入求值：（1+）．
【解答】解：（1+）
=
=，
当x=2时，原式==1．
12．（2018 湘潭）先化简，再求值：（1+）÷．其中x=3．
【解答】解：（1+）÷
=×
=x+2．
当x=3时，原式=3+2=5．
13.（2018 菏泽）先化简再求值（﹣y）÷﹣（x﹣2y）（x+y），其中x=﹣1，y=2．
【解答】解：原式=（﹣）÷﹣（x2+xy﹣2xy﹣2y2）
= （x+y）﹣x2+xy+2y2
=﹣xy﹣x2+xy+2y2
=﹣x2+2y2，
当x=﹣1、y=2时，
原式=﹣（﹣1）2+2×22
=﹣1+8
=7．
14．（2018 常德）先化简，再求值：（+）÷，其中x=．
【解答】解：原式=[+]×（x﹣3）2
=×（x﹣3）2
=x﹣3，
把x=代入得：原式=﹣3=﹣．
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