第6讲 分式
知识点1 分式的基本概念
定义 示例剖析
分式的定义：一般地，如果、表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，其中叫分子，叫分母且． 例如
分式有意义（或分式存在）的条件：分式的分母不等于零即． 使有意义的条件是
分式的值为零的条件：分式的值为零是指分式在有意义的前提下分式的分子为零． 即当且时，． 使值为0的x值为1
1．（2017秋 杜尔伯特县期末）下列各式：（1﹣x），，，，其中分式共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：（1﹣x）是整式，不是分式；
，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
分母中含有字母，因此是分式．
故选：A．
2．（2017秋 娄星区期末）下列各式：（1﹣x），，，，，其中分式共有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【解答】解：，是分式，
故选：D．
3．（2017秋 惠民县期末）无论a取何值时，下列分式一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：当a=0时，a2=0，故A、B中分式无意义；
当a=﹣1时，a+1=0，故C中分式无意义；
无论a取何值时，a2+1≠0，
故选：D．
4．（2017秋 襄州区期末）如果分式的值为零，那么x等于（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．±1
【解答】解：∵分式的值为零，
∴，
解得x=﹣1．
故选：B．
5．（2017秋 宁江区期末）写出一个分式使它满足：①含有字母x、y；②无论x、y为何值时，分式的值一定是有意义，符合这两个条件的分式是_______．
【解答】解：符合条件一个分式可以为：．
故答案为：．
6.当x取什么值时，分式．（1）没有意义？（2）有意义？（3）值为零？
【解答】解：（1）∵分式没意义，
∴x﹣1=0，解得x=1；
（2）∵分式有意义，
∴x﹣1≠0，即x≠1；
（3）∵分式的值为0，
∴，解得x=﹣2．
知识点2分式的基本性质
定义 示例剖析
分式的基本性质：分式的分子与分母同乘以（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 即
约分：利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，但不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.分子分母中没有公因式的分式叫做最简分式.
通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同时乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个分式变成分母相同的分式.为了通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母.
1．（2017秋 沙洋县期末）下列各式中，正确的是（ ）
A．= B．=
C．=﹣ D．=
【解答】解：A、根据分式的基本性质应该分子和分母都除以b，故本选项错误；
B、根据分式的基本性质，分子和分母都加上2不相等，故本选项错误；
C、=﹣，故本选项错误；
D、∵a﹣2≠0，
∴=，故本选项正确；
故选：D．
2．（2017秋 娄星区期末）如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么原分式的值是（ ）
A．不变 B．缩小3倍 C．扩大3倍 D．缩小6倍
【解答】解：=3×，
则把分式中的x和y都扩大3倍，那么原分式的值扩大3倍，
故选：C．
3．（2017春 林甸县期末）将分式中分子与分母的各项系数都化成整数，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：分式中分子与分母的各项系数都化成整数，正确的是，
故选：A．
4．（2017秋 江都区期末）若，则的值为______．
【解答】解：∵=
∴=+1=+1=2.5．
故答案为2.5．
5．（2017春 雁塔区校级期末）已知：=6，那么的值为____．
【解答】解：由=6，得a+b=6ab，
∴==．
故答案为．
6．（2017春 成都期中）已知，则=____．
【解答】解：由于，即=5，x+y=5xy；
故===1．
故答案为1．
7．（2017春 微山县校级月考）已知y=3xy+x，求代数式的值．
【解答】解：因为y=3xy+x，所以x﹣y=﹣3xy，当x﹣y=﹣3xy时，．
知识点3分式的基本运算
分式的乘法
分式的除法
分式的乘方
同分母分式相加减
异分母分式相加减
0指数幂
负整数指数幂 （，为正整数）
分式的乘除
注意分式的乘除法应用关键是理解其法则.
⑴先把除法变为乘法；
⑵接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解，当然有乘方运算要先算乘方，然后同其它分式进行约分；
⑶再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘；
⑷最后还应检查相乘后的分式是否为最简分式．
分式的加减
⑴同分母分式加减法则：分母不变，分子相加减。
⑵异分母分式加减法则：
运算步骤：①先确定最简公分母；②对每项通分,化为相同分母； ③按同分母分式运算法则进行；④注意结果可否化简，化为最简分式．
分式的混合运算
注意分式的混合运算的顺序：先进行乘方运算，其次进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇有括号，先算括号内的.如果分式的分子或分母中含有多项式，并且能分解因式，可先分解因式，能约分的先约分，再进行运算.
1．（2018 南充）已知=3，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵=3，
∴=3，
∴x﹣y=﹣3xy，
则原式=
=
=
=，
故选：D．
2．（2018 周村区二模）如果a﹣3b=0，那么代数式（a﹣）÷的值是（ ）
A． B． C． D．1
【解答】解：当a﹣3b=0时，
即a=3b
∴原式=
=
=
=
=
故选：A．
3．（2018 历下区二模）化简÷的结果是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：原式=
=
故选：D．
4．（2017秋 红桥区期末）小明通常上学时走上坡路，途中平均速度为m千米/时，放学回家时，沿原路返回，通常的平均速度为n千米/时，则小明上学和放学路上的平均速度为（ ）千米/时．
A． B． C． D．
【解答】解：设上学路程为1，则往返总路程为2，上坡时间为，下坡时间为，
则平均速度==（千米/时）．
故选：C．
5．（2018 眉山）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x满足x2﹣2x﹣2=0．
【解答】解：原式=[﹣]÷
=
=，
∵x2﹣2x﹣2=0，
∴x2=2x+2=2（x+1），
则原式==．
6．（2018 重庆）计算：
（1）a（a+2b）﹣（a+b）（a﹣b）
（2）（+x+2）
【解答】解：（1）原式=a2+2ab﹣a2+b2=2ab﹣b2；
（2）原式= =．
8第6讲 分式
知识点1 分式的基本概念
定义 示例剖析
分式的定义：一般地，如果、表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，其中叫分子，叫分母且． 例如
分式有意义（或分式存在）的条件：分式的分母不等于零即． 使有意义的条件是
分式的值为零的条件：分式的值为零是指分式在有意义的前提下分式的分子为零． 即当且时，． 使值为0的x值为1
1．（2017秋 杜尔伯特县期末）下列各式：（1﹣x），，，，其中分式共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2017秋 娄星区期末）下列各式：（1﹣x），，，，，其中分式共有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
3．（2017秋 惠民县期末）无论a取何值时，下列分式一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2017秋 襄州区期末）如果分式的值为零，那么x等于（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．±1
5．（2017秋 宁江区期末）写出一个分式使它满足：①含有字母x、y；②无论x、y为何值时，分式的值一定是有意义，符合这两个条件的分式是_______．
6.当x取什么值时，分式．（1）没有意义？（2）有意义？（3）值为零？
知识点2分式的基本性质
定义 示例剖析
分式的基本性质：分式的分子与分母同乘以（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 即
约分：利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，但不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.分子分母中没有公因式的分式叫做最简分式.
通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同时乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个分式变成分母相同的分式.为了通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母.
1．（2017秋 沙洋县期末）下列各式中，正确的是（ ）
A．= B．=
C．=﹣ D．=
2．（2017秋 娄星区期末）如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么原分式的值是（ ）
A．不变 B．缩小3倍 C．扩大3倍 D．缩小6倍
3．（2017春 林甸县期末）将分式中分子与分母的各项系数都化成整数，正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2017秋 江都区期末）若，则的值为______．
5．（2017春 雁塔区校级期末）已知：=6，那么的值为____．
6．（2017春 成都期中）已知，则=____．
7．（2017春 微山县校级月考）已知y=3xy+x，求代数式的值．
知识点3分式的基本运算
分式的乘法
分式的除法
分式的乘方
同分母分式相加减
异分母分式相加减
0指数幂
负整数指数幂 （，为正整数）
分式的乘除
注意分式的乘除法应用关键是理解其法则.
⑴先把除法变为乘法；
⑵接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解，当然有乘方运算要先算乘方，然后同其它分式进行约分；
⑶再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘；
⑷最后还应检查相乘后的分式是否为最简分式．
分式的加减
⑴同分母分式加减法则：分母不变，分子相加减。
⑵异分母分式加减法则：
运算步骤：①先确定最简公分母；②对每项通分,化为相同分母； ③按同分母分式运算法则进行；④注意结果可否化简，化为最简分式．
分式的混合运算
注意分式的混合运算的顺序：先进行乘方运算，其次进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇有括号，先算括号内的.如果分式的分子或分母中含有多项式，并且能分解因式，可先分解因式，能约分的先约分，再进行运算.
1．（2018 南充）已知=3，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2018 周村区二模）如果a﹣3b=0，那么代数式（a﹣）÷的值是（ ）
A． B． C． D．1
3．（2018 历下区二模）化简÷的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．（2017秋 红桥区期末）小明通常上学时走上坡路，途中平均速度为m千米/时，放学回家时，沿原路返回，通常的平均速度为n千米/时，则小明上学和放学路上的平均速度为（ ）千米/时．
A． B． C． D．
5．（2018 眉山）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x满足x2﹣2x﹣2=0．
6．（2018 重庆）计算：
（1）a（a+2b）﹣（a+b）（a﹣b）
（2）（+x+2）
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