第1讲 三角形的证明
知识点1 等腰三角形的相关概念
1.等腰三角形的两个腰相等，两个底角也相等.
2.等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合 (三线合一) .
例：已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，
①AD⊥BC ②BD=CD ③AD平分∠BAC,
上述三个条件，任意满足一个，可得到另外两个.
即①②，③；②①，③；③①，②.
【典例】
1.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AC 边上的一点，且∠CBE=∠CAD．
求证：BE⊥AC．
【解析】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠CAD+∠C=90°，
又∵∠CBE=∠CAD，
∴∠CBE+∠C=90°，
∴∠BEC=90°，
即BE⊥AC．
【方法总结】
本题主要是利用等腰三角形的三线合一，根据三线合一的性质可知，等腰三角形底边上的中线也是底边的高线.
注：等腰三角形常作的辅助线是，过顶角的顶点向底边作垂线，再利用三线合一得到一些相等的关系式，当题目中给出等腰三角形底边上的中点时，常常将等腰三角形的顶角顶点和它直接相连.
2.如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件是点C共有_______ 个．
【答案】9
【解析】解：①以AB作为等腰三角形的底边，则符合条件的C一定在线段AB的垂直平分线上，且处于格点上，图中红线上的点，共5个；
②以AB作为等腰三角形的一个腰，
当点A是等腰三角形的顶角顶点时，符合条件的点在紫色线上，共有2个，
当点B是等腰三角形的顶角顶点时，符合条件的点在蓝色线上，共有2个，
综合①②可知，符合条件的点C共有9个.
故答案是：9.
【方法总结】
本题考查的等腰三角形的判定，利用的是数形结合思想，当已知两个格点找寻第三个格点时，需要分类讨论，将这条边作为底和作为腰时可以构建的等腰三角形的个数之和，即为所求的点的个数.
【随堂练习】
1．（2018秋 中山市期中）如图，在△ABC中，已知AB=AC，BD平分∠ABC，AE为BC边的中线，AE、BD相交于点D，其中∠ADB=125°，求∠BAC的度数．
【解答】解：∵AB=AC，AE为BC边的中线，
∴AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
又∵∠ADB=125°，
∴∠DBE=∠ADB﹣∠AEB=35°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠DBE=70°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=70°，
∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠C=40°．
2．（2018秋 龙凤区校级月考）如图，△ABC中，点O是∠BCA与∠ABC的平分线的交点，过O作与BC平行的直线分别交AB、AC于D、E．已知△ABC的周长为15，BC的长为6，求△ADE的周长．
【解答】解：∵点O是∠BCA与∠ABC的平分线的交点，
∴∠1=∠3，
∵DE∥BC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
∴DB=DO，
同理可得EO=CE，
∴△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+DO+AE+OE=AD+BD+AE+CE=AB+AC，
∵△ABC的周长为15，
∴AB+AC+BC=15，
而BC的长为6，
∴AB+AC=9，
∴△ADE的周长为9．
知识点2 直角三角形的性质
1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
2.在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.
【典例】
【题干】如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且AE=CD，BE与AD相交于点P，BQ⊥AD于点Q．
（1）求证：△ABE△CAD；
（2）请问PQ与BP有何关系？并说明理由．
【解析】证明：（1）∵△ABC为等边三角形．
∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，
在△BAE和△ACD中，
∴△BAE△ACD
（2）答：BP=2PQ．
证明：∵△BAE△ACD，
∴∠ABE=∠CAD．
∵∠BPQ为△ABP外角，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD．
∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ．
【方法总结】
本题考查了全等三角形的判定以及直角三角形的性质：直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半．
【随堂练习】
1．（2017秋 洪泽区期末）已知，如图，∠ABC=∠ADC=90°，点E、F分别是AC、BD的中点，AC=10，BD=6．
（1）求证：EF⊥BD；
（2）求EF的长．
【解答】证明：（1）连接BE，DE
∵∠ABC=∠ADC=90°，点E是AC的中点，
∴BE=AC，DE=AC
∴BE=DE
∵点F是BD的中点，BE=DE
∴EF⊥BD
（2）∵BE=AC
∴BE=5
∵点F是BD的中点
∴BF=DF=3
在Rt△BEF中，EF===4
2．（2017春 武侯区校级月考）如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，DG⊥CE，点G为垂足．
（1）若∠ACB=60°，AC=3，求AD的长；
（2）求证：DC=BE．
【解答】（1）解：在Rt△ADC中，∠ACB=60°，
∴∠DAC=30°，
∴CD=AC=，
由勾股定理得，AD==；
（2）证明：∵点G是CE的中点，DG⊥CE，
∴DG是线段EC的垂直平分线，
∴DC=DE，
∵∠ADB=90°，DE是中线，
∴DE=BE，
∴DC=BE．
知识点3 线段的垂直平分线
1.定义：垂直且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.
2.性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
3.判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
【典例】
1.关于线段的垂直平分线有以下说法：
①一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点；
②线段的垂直平分线是一条直线；
③一条线段的垂直平分线是这条线段的唯一对称轴；
④线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；
⑤到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.
其中，正确的说法有_____个
【解析】解：①一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点，正确；
②线段的垂直平分线是一条直线，正确；
③一条线段的垂直平分线是这条线段的唯一对称轴．错误，线段有2条对称轴：还有它本身所在的直线．
④⑤是线段垂直平分线的性质和判定，正确.
正确的个数是4个.
【方法总结】
1.本题考查了垂直平分线的定义，该直线需要满足两个条件：
条件1，直线和线段垂直；
条件2，直线经过线段的中点.
2.本题还需要熟练掌握线段垂直平分线的性质和判定.
【随堂练习】
1．（2018秋 东海县校级月考）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，∠CAD=20°，∠ACB的补角是110°．求证：BE=AC．
【解答】证明：连接AE，
∵∠ACB的外角是110°，
∴∠ACB=180°﹣110°=70°，
∵∠DAC=20°，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∴AD⊥EC，
∵DE=DC，
∴AE=AC，
∵EF垂直平分AB，
∴EA=EB，
∴BE=AC．
2．（2018秋 泰兴市校级月考）如图，直线MN和直线DE分别是线段AB，BC的垂直平分线，它们交于P点，请问PA和PC相等吗？请说明理由．
【解答】解：PA=PC．
理由：∵直线MN和直线DE分别是线段AB，BC的垂直平分线，
∴PA=PB，PC=PB，
∴PA=PC．
知识点4 角平分线
角平分线的两个性质：
⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等；
⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
角平分线是对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：
1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线，
2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形，
3．，这种对称的图形应用得也较为普遍，
【典例】
1.在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点， 且∠AED+∠AFD=180°，求证：DE=DF．
【解析】证明：如图，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DM=DN，
∵∠AED+∠AFD=180°，
∠DFN+∠AFD=180°（平角定义），
∴∠AED=∠DFN，
在△DEM和△DFN中，，
∴△DEM≌△DFN（AAS），
∴DE=DF．
【方法总结】
本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
对于这道题，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DM=DN，再求出∠AED=∠DFN，然后利用“角角边”证明△DEM和△DFN全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=DF．
【随堂练习】
1．如图，已知∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．求证：
（1）AM平分∠DAB；
（2）DM⊥AM．
【解答】（1）AM平分∠DAB．
证明：过点M作ME⊥AD，垂足为E，
∵DM平分∠ADC，
∴∠1=∠2，
∵MC⊥CD，ME⊥AD，
∴ME=MC（角平分线上的点到角两边的距离相等），
又∵MC=MB，
∴ME=MB，
∵MB⊥AB，ME⊥AD，
∴AM平分∠DAB（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．
（2）DM⊥AM．
证明：∵∠B=∠C=90°，
∴DC⊥CB，AB⊥CB，
∴CD∥AB（垂直于同一条直线的两条直线平行），
∴∠CDA+∠DAB=180°（两直线平行，同旁内角互补）
又∵∠1=∠CDA，∠3=∠DAB（角平分线定义）
∴2∠1+2∠3=180°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠AMD=90度．即DM⊥AM．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，CD=1.5，BD=2.5，求AC的长．
【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，AD平分∠CAB，CD=1.5，
∴DE=CD=1.5，
在Rt△DEB中，由勾股定理得：
BE===2，
∵AD=AD，CD=DE，∠C=∠AED，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，
∴AC=AE，
设AC=AE=x，则AB=x+2，
由勾股定理得：AB2=AC2+CB2，
即（x+2）2=x2+42，
解得x=3，
∴AC=3．
综合运用
1．（2017秋 霸州市期末）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．
（1）求∠BEC的度数．
（2）若AE=5，求BC的长．
【解答】解：（1）∵DE垂直平分AC，
∴CE=AE，
∴∠ECD=∠A=36°，
∴∠BEC=∠A+∠ECD=36°+36°=72°；
（2）∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠B=∠ACB=72°，
∴∠BEC=∠A+∠ECD=72°，
∴∠BEC=∠B，
∴BC=EC，
∵EC=AE，
∴BC=5．
2．（2018春 贵阳期末）如图，在△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，交BC于点E，DE∥AB交AC于点D．
（1）求证AD=ED；
（2）若AC=AB，DE=3，求AC的长．
【解答】证明：（1）∵AE是∠BAC的角平分线
∴∠DAE=∠BAE
∵DE∥AB
∴∠DEA=∠EAB
∴∠DAE=∠DEA
∴AD=DE
（2）∵AB=AC，AE是∠BAC的角平分线
∴AE⊥BC
∴∠C+∠CAE=90°，∠CED+∠DEA=90°
∴∠C=∠CED
∴DE=CD且DE=3
∴AD=DE=CD=3
∴AC=6
3．（2018秋 高新区期中）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB=20，则CD=_____．
【解答】解：∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD=AB=10，
故答案为：10．
4．（2018秋 姜堰区期中）一个直角三角形斜边上的中线和高线的长分别是5cm和4.8cm，这个三角形的面积为_____cm2．
【解答】解：∵直角三角形斜边上的中线的长是5cm，
∴直角三角形斜边长为10cm，
∴三角形的面积=×10×4.8=24（cm2）
故答案为：24．
5．（2017秋 蜀山区期末）如图，△ABC中，DG垂直平分AB交AB于点D，交BC于点MEF垂直平分AC交AC于点E，交BC于点N，且点M在点N的左侧，连接AM、AN，若BC=12cm，则△AMN的周长是（ ）
A．10cm B．12cm C．14cm D．16cm
【解答】解：∵直线ME为线段AB的垂直平分线，
∴MA=MB，
又直线NQ为线段AC的垂直平分线，
∴NA=NC，
∴△AMN的周长l=AM+MN+AN=BM+MN+NC=BC=12cm，
故选：B．
6．（2008秋 连江县期中）如图，在△ABC中，∠C=90，DE是AB的垂直平分线，∠CAE=∠B+30°，求∠AEB的度数．
【解答】解：已知DE垂直且平分AB AE=BE ∠EAB=∠B
又因为∠CAE=∠B+30°
故∠CAE=∠B+30°=90°﹣2∠B ∠B=20°
∴∠AEB=180°﹣20°×2=140°．
7．（2018 梧州）如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE=6，则DF的长度是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【解答】解：∵BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF=6，
故选：D．第1讲 三角形的证明
知识点1 等腰三角形的相关概念
1.等腰三角形的两个腰相等，两个底角也相等.
2.等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合 (三线合一) .
例：已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，
①AD⊥BC ②BD=CD ③AD平分∠BAC,
上述三个条件，任意满足一个，可得到另外两个.
即①②，③；②①，③；③①，②.
【典例】
1.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AC 边上的一点，且∠CBE=∠CAD．
求证：BE⊥AC．
【方法总结】
本题主要是利用等腰三角形的三线合一，根据三线合一的性质可知，等腰三角形底边上的中线也是底边的高线.
注：等腰三角形常作的辅助线是，过顶角的顶点向底边作垂线，再利用三线合一得到一些相等的关系式，当题目中给出等腰三角形底边上的中点时，常常将等腰三角形的顶角顶点和它直接相连.
2.如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件是点C共有_______ 个．
【方法总结】
本题考查的等腰三角形的判定，利用的是数形结合思想，当已知两个格点找寻第三个格点时，需要分类讨论，将这条边作为底和作为腰时可以构建的等腰三角形的个数之和，即为所求的点的个数.
【随堂练习】
1．（2018秋 中山市期中）如图，在△ABC中，已知AB=AC，BD平分∠ABC，AE为BC边的中线，AE、BD相交于点D，其中∠ADB=125°，求∠BAC的度数．
2．（2018秋 龙凤区校级月考）如图，△ABC中，点O是∠BCA与∠ABC的平分线的交点，过O作与BC平行的直线分别交AB、AC于D、E．已知△ABC的周长为15，BC的长为6，求△ADE的周长．
知识点2 直角三角形的性质
1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
2.在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.
【典例】
【题干】如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且AE=CD，BE与AD相交于点P，BQ⊥AD于点Q．
（1）求证：△ABE△CAD；
（2）请问PQ与BP有何关系？并说明理由．
【方法总结】
本题考查了全等三角形的判定以及直角三角形的性质：直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半．
【随堂练习】
1．（2017秋 洪泽区期末）已知，如图，∠ABC=∠ADC=90°，点E、F分别是AC、BD的中点，AC=10，BD=6．
（1）求证：EF⊥BD；
（2）求EF的长．
2．（2017春 武侯区校级月考）如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，DG⊥CE，点G为垂足．
（1）若∠ACB=60°，AC=3，求AD的长；
（2）求证：DC=BE．
知识点3 线段的垂直平分线
1.定义：垂直且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.
2.性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
3.判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
【典例】
1.关于线段的垂直平分线有以下说法：
①一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点；
②线段的垂直平分线是一条直线；
③一条线段的垂直平分线是这条线段的唯一对称轴；
④线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；
⑤到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.
其中，正确的说法有_____个
【方法总结】
1.本题考查了垂直平分线的定义，该直线需要满足两个条件：
条件1，直线和线段垂直；
条件2，直线经过线段的中点.
2.本题还需要熟练掌握线段垂直平分线的性质和判定.
【随堂练习】
1．（2018秋 东海县校级月考）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，∠CAD=20°，∠ACB的补角是110°．求证：BE=AC．
2．（2018秋 泰兴市校级月考）如图，直线MN和直线DE分别是线段AB，BC的垂直平分线，它们交于P点，请问PA和PC相等吗？请说明理由．
知识点4 角平分线
角平分线的两个性质：
⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等；
⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
角平分线是对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：
1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线，
2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形，
3．，这种对称的图形应用得也较为普遍，
【典例】
1.在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点， 且∠AED+∠AFD=180°，求证：DE=DF．
【方法总结】
本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
对于这道题，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DM=DN，再求出∠AED=∠DFN，然后利用“角角边”证明△DEM和△DFN全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=DF．
【随堂练习】
1．如图，已知∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．求证：
（1）AM平分∠DAB；
（2）DM⊥AM．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，CD=1.5，BD=2.5，求AC的长．
综合运用
1．（2017秋 霸州市期末）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．
（1）求∠BEC的度数．
（2）若AE=5，求BC的长．
2．（2018春 贵阳期末）如图，在△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，交BC于点E，DE∥AB交AC于点D．
（1）求证AD=ED；
（2）若AC=AB，DE=3，求AC的长．
3．（2018秋 高新区期中）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB=20，则CD=_____．
4．（2018秋 姜堰区期中）一个直角三角形斜边上的中线和高线的长分别是5cm和4.8cm，这个三角形的面积为_____cm2．
5．（2017秋 蜀山区期末）如图，△ABC中，DG垂直平分AB交AB于点D，交BC于点MEF垂直平分AC交AC于点E，交BC于点N，且点M在点N的左侧，连接AM、AN，若BC=12cm，则△AMN的周长是（ ）
A．10cm B．12cm C．14cm D．16cm
6．（2008秋 连江县期中）如图，在△ABC中，∠C=90，DE是AB的垂直平分线，∠CAE=∠B+30°，求∠AEB的度数．
7．（2018 梧州）如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE=6，则DF的长度是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
