第3讲 平移
知识点1 平移的性质
1.平移：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种移动，叫做平移．
平移不改变图形的形状和大小，也不会改变图形的方向，但改变图形的位置；
图形平移的三要素：原位置、平移方向、平移距离．
2.平移的性质：
（1）对应点的连线平行（或共线）且相等；
（2）对应线段平行（或共线）且相等；
（3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致．
【典例】
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，将△ABC沿AB方向向右平移得到△DEF，若AE=8cm，DB=2cm．
（1）求△ABC向右平移的距离AD的长；
（2）求四边形AEFC的周长．
【答案】解：（1）∵△ABC沿AB方向向右平移得到△DEF，
∴AD=BE=CF，BC=EF=3cm，
∵AE=8cm，DB=2cm，
∴AD=BE=CF==3cm；
（2）四边形AEFC的周长=AE+EF+CF+AC=8+3+3+4=18cm．
2.如图，△ABC中，∠B=90°，把△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，若AB=4，BE=3，PE=2，求图中阴影部分的面积．
【答案】解：∵△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置
∴S△ABC=S△DEF，
∴S阴影部分+S△PEC=S梯形ABEP+S△PEC，
∴S阴影部分=S梯形ABEP=×（AB+PE）×BE=×（4+2）×3=9．
【方法总结】
两个图形平移后对应线段共线且有重叠部分，则重叠线段以外的线段长度相等；
一个图形平移后如果与原图有重叠部分，则重叠部分以外的两部分面积相等．
【随堂练习】
1．（2018春 确山县期中）如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，将沿直线向右平移2.5个单位得到，连接．有下列结论：①AC∥DF；②AD∥BE，AD=BE；③∠ABE=∠DEF；④ED⊥AC．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解：∵将△ABC沿直线向右平移2.5个单位得到△DEF，
∴AC∥DF，AB∥DE，AD∥CF，AD=CF=2.5，∠EDF=∠BAC=90°，
∴∠ABE=∠DEF，DE⊥DF，
∴DE⊥AC，
∴①②③④都正确．
故选：A．
2．（2018春 阆中市期末）如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF．若△ABC的周长为15cm，则四边形ABFD的周长等于（ ）
A．17 cm B．18 cm C．19 cm D．20 cm
【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，
∴DF=AC，AD=CF=2cm，
∴四边形ABFD的周长=AB+BF+DF+AD
=AB+BC+CF+AC+AD
=△ABC的周长+AD+CF
=15+2+2
=19cm．
故选：C．
3．（2018春 防城港期末）如图，直线AB∥CD，EF分别交AB、CD于G、F两点，射线FM平分∠EFD，将射线FM平移，使得端点F与点G重合且得到射线GN．若∠EFC=110°，则∠AGN的度数是（ ）
A．120° B．125° C．135° D．145°
【解答】解：由平移的性质可得：GN∥FM，
∵∠EFC=110°，
∴∠EFD=180°﹣110°=70°，
∵射线FM平分∠EFD，
∴∠GFM==35°，
∵GN∥FM，
∴∠EGN=∠EFM=35°，
∵AB∥CD，
∴∠EFC=∠EGA=110°，
∴∠AGN=∠EGA+∠EGN=110°+35°=145°，
故选：D．
知识点2 平移作图
1.平移作图的方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法
2.平移作图的步骤：
（1）找关键点；
（2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点；
（3）连接对应点，将各个对应点按照原图的顺序相连，即得到平移后的图形．
【典例】
1.如图，在每个小正方形边长为1的网格纸中，将格点△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．
（1）补全△A′B′C′；
（2）线段AA′与BB′的数量关系是_______，位置关系是_______．
（3）△A′B′C′的面积为_______．
【答案】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求；
（2）线段AA′与BB′的数量关系是相等，位置关系是平行，
故答案为：相等，平行；
（3）△A′B′C′的面积为×4×4=8，
故答案为：8．
2.如图，在边长为1个单位的正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留画图痕迹）：
（1）画出△A′B′C′；
（2）画出△ABC的高BD；
（3）连接AA′、CC′，那么AA′与CC′的关系是________，线段AC扫过的图形的面积为________．
【答案】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求；
（2）如图所示，BD即为所求；
（3）如图所示，AA′与CC′的关系是平行且相等，
线段AC扫过的图形的面积为10×2﹣2××4×1﹣2××6×1=10，
故答案为：平行且相等，10．
【方法总结】
作图将某个图形平移时，可以先根据要求或者已知点的运动轨迹来找出图形的移动法则，再按照移动法则将图形的各个顶点移动找出对应点相连；
第2题计算线段平移后扫过的面积可以利用割补法计算，先求出已知边长的矩形面积，再减去4个三角形的面积．
【随堂练习】
1．（2018春 天心区校级期末）四边形ABCD在平面直角坐标系的位置如图所示，将四边形ABCD先向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到四边形A1B1C1D1，解答下列各题：
（1）请在图中画出四边形A1B1C1D1；
（2）请求出四边形A1B1C1D1的面积．
【解答】解：（1）如图所示，四边形A1B1C1D1即为所求；
（3）四边形A1B1C1D1的面积=×3×2+×3×3=7.5．
知识点3 平移的运用
【典例】
1.某学校准备在升旗台的台阶上铺设一种红色的地毯（含台阶的最上层），已知这种地毯的批发价为每平方米40元，升旗台的台阶宽为3米，其侧面如图所示请你帮助测算一下，买地毯至少需要多少元？
【答案】解：如图：
利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为6.4米，3.8米，
∴地毯的长度为6.4+3.8+3.8=14米，
地毯的面积为14×3=42平方米，
∴买地毯至少需要42×40=1680元．
答：买地毯需要1680元．
2.如图，某居民小区有一长方形地，居民想在长方形地内修筑同样宽的两条小路，余下部分绿化，道路的宽为2米，则绿化的面积为多少平方米？
【答案】解：平移后得绿化部分宽为（20﹣2）米，长为（32﹣2）米，
面积为（20﹣2）×（32﹣2）=18×30=540（平方米）．
答：则绿化的面积为540平方米．
【方法总结】
当矩形被切割成台阶形状或被若干与边平行或垂直的线或小矩形分割后，通常通过平移将剩余部分转化成新的矩形，并用原矩形的长和宽来表示新矩形的长和宽，进而求出周长、面积．
【随堂练习】
1．（2018春 滁州期末）如图，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条小路（图中阴影部分），余下部分绿化，小路的宽为2m，则两条小路的总面积是（ ）m2
A．108 B．104 C．100 D．98
【解答】解：利用平移可得，两条小路的总面积是：30×22﹣（30﹣2）（22﹣2）=100（m2）．
故选：C．
2．（2018春 蔡甸区期末）如图所示，一块正方形地板，边长60cm，上面横竖各有两道宽为5cm的花纹（图中阴影部分），空白部分的面积是___
【解答】解：（60﹣2×5）2，
=50×50，
=2500（平方厘米）；
∴空白部分的面积是2500平方厘米．
故答案为：2500平方厘米
综合运用
1．（2018春 荔湾区期末）如图，△ABC沿直线BD向右平移，得到△ECD，若BD=10cm，则A、E两点的距离为（ ）
A．10cm B．5cm C．cm D．不能确定
【解答】解：由平移可得：BC=CD，AE=BC，
∵BD=10cm，
∴BC=AE=5cm，
故选：B．
2．（2017秋 临泉县期末）如图，将△ABC先向左平移3个单位得到△A1B1C1，再将△A1B1C1向下平移4个单位得到△A2B2C2．
①请你在图上画出△A1B1C1和△A2B2C2．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1和△A2B2C2即为所求；
3．（2018春 岐山县期末）如图，有一块长32米，宽24米的草坪，其中有两条宽2米的直道把草坪分为四块，则草坪的面积是_____平方米．
【解答】解：S=32×24﹣2×24﹣2×32+2×2=660（m2）．
故答案为：660．第3讲 平移
知识点1 平移的性质
1.平移：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种移动，叫做平移．
平移不改变图形的形状和大小，也不会改变图形的方向，但改变图形的位置；
图形平移的三要素：原位置、平移方向、平移距离．
2.平移的性质：
（1）对应点的连线平行（或共线）且相等；
（2）对应线段平行（或共线）且相等；
（3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致．
【典例】
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，将△ABC沿AB方向向右平移得到△DEF，若AE=8cm，DB=2cm．
（1）求△ABC向右平移的距离AD的长；
（2）求四边形AEFC的周长．
2.如图，△ABC中，∠B=90°，把△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，若AB=4，BE=3，PE=2，求图中阴影部分的面积．
【方法总结】
两个图形平移后对应线段共线且有重叠部分，则重叠线段以外的线段长度相等；
一个图形平移后如果与原图有重叠部分，则重叠部分以外的两部分面积相等．
【随堂练习】
1．（2018春 确山县期中）如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，将沿直线向右平移2.5个单位得到，连接．有下列结论：①AC∥DF；②AD∥BE，AD=BE；③∠ABE=∠DEF；④ED⊥AC．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（2018春 阆中市期末）如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF．若△ABC的周长为15cm，则四边形ABFD的周长等于（ ）
A．17 cm B．18 cm C．19 cm D．20 cm
3．（2018春 防城港期末）如图，直线AB∥CD，EF分别交AB、CD于G、F两点，射线FM平分∠EFD，将射线FM平移，使得端点F与点G重合且得到射线GN．若∠EFC=110°，则∠AGN的度数是（ ）
A．120° B．125° C．135° D．145°
知识点2 平移作图
1.平移作图的方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法
2.平移作图的步骤：
（1）找关键点；
（2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点；
（3）连接对应点，将各个对应点按照原图的顺序相连，即得到平移后的图形．
【典例】
1.如图，在每个小正方形边长为1的网格纸中，将格点△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．
（1）补全△A′B′C′；
（2）线段AA′与BB′的数量关系是_______，位置关系是_______．
（3）△A′B′C′的面积为_______．
2.如图，在边长为1个单位的正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留画图痕迹）：
（1）画出△A′B′C′；
（2）画出△ABC的高BD；
（3）连接AA′、CC′，那么AA′与CC′的关系是________，线段AC扫过的图形的面积为________．
【方法总结】
作图将某个图形平移时，可以先根据要求或者已知点的运动轨迹来找出图形的移动法则，再按照移动法则将图形的各个顶点移动找出对应点相连；
第2题计算线段平移后扫过的面积可以利用割补法计算，先求出已知边长的矩形面积，再减去4个三角形的面积．
【随堂练习】
1．（2018春 天心区校级期末）四边形ABCD在平面直角坐标系的位置如图所示，将四边形ABCD先向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到四边形A1B1C1D1，解答下列各题：
（1）请在图中画出四边形A1B1C1D1；
（2）请求出四边形A1B1C1D1的面积．
知识点3 平移的运用
【典例】
1.某学校准备在升旗台的台阶上铺设一种红色的地毯（含台阶的最上层），已知这种地毯的批发价为每平方米40元，升旗台的台阶宽为3米，其侧面如图所示请你帮助测算一下，买地毯至少需要多少元？
2.如图，某居民小区有一长方形地，居民想在长方形地内修筑同样宽的两条小路，余下部分绿化，道路的宽为2米，则绿化的面积为多少平方米？
【方法总结】
当矩形被切割成台阶形状或被若干与边平行或垂直的线或小矩形分割后，通常通过平移将剩余部分转化成新的矩形，并用原矩形的长和宽来表示新矩形的长和宽，进而求出周长、面积．
【随堂练习】
1．（2018春 滁州期末）如图，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条小路（图中阴影部分），余下部分绿化，小路的宽为2m，则两条小路的总面积是（ ）m2
A．108 B．104 C．100 D．98
2．（2018春 蔡甸区期末）如图所示，一块正方形地板，边长60cm，上面横竖各有两道宽为5cm的花纹（图中阴影部分），空白部分的面积是___
综合运用
1．（2018春 荔湾区期末）如图，△ABC沿直线BD向右平移，得到△ECD，若BD=10cm，则A、E两点的距离为（ ）
A．10cm B．5cm C．cm D．不能确定
2．（2017秋 临泉县期末）如图，将△ABC先向左平移3个单位得到△A1B1C1，再将△A1B1C1向下平移4个单位得到△A2B2C2．
①请你在图上画出△A1B1C1和△A2B2C2．
3．（2018春 岐山县期末）如图，有一块长32米，宽24米的草坪，其中有两条宽2米的直道把草坪分为四块，则草坪的面积是_____平方米．
