人教A版（2019）必修第二册8.6.1直线与直线垂直 课件（共18张PPT）

(共18张PPT)
8.6.1 直线与直线垂直
人教A版高中数学必修第二册
问题1
观察平面内的两条相交直线a与b，说出两条相交直线所成的角的概念.
a
b
一、创设情境
二、探究新知
A
B
G
F
H
E
D
C
问题2
如图所示，在正方体ABCD-EFGH中，直线AB与直线FG异面, 直线AB与直线FH异面.
（1）直线FG和直线FH相对直线AB的位置相同吗？
（2）类比两条相交直线所成的角，如果要用角的大小来刻画两条异面直线的位置关系，你认为该怎样做？
如图,已知两条异面直线 a , b ,
经过空间任一点O作 直线 a′∥a , b ′∥b ，则把 a ′与 b ′所成的角叫做异面直线所成的角 (或夹角).
a
b
b ′
a′
o
二、探究新知
异面直线所成角的定义:
把空间图形问题转化为平面图形问题是我们研究立体几何的一般方法.
平移法
问题3
异面直线所成的角大小与点O的位置有关吗 即点O位置不同时, 这一角的大小是否改变
a
b
b ′
a′
a"
o
二、探究新知
如果两条异面直线所成的角为直角，就说两条直线互相垂直.
两条异面直线互相垂直：
共面垂直
两条直线互相垂直
异面垂直
[微训练]
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)AB和DD1所成的角是________；
(2)AC和D1C1所成的角是________；
(3)AC和B1D1所成的角是________；
(4)AC和A1B所成的角是________.
(5)AC和A1C1所成的角是________.
规定：当直线a与b平行时，它们所成的角为0°
问题4
两条异面直线所成的角的范围.
空间两条直线所成角的范围.
在空间中，垂直于同一条直线的两条直线平行.这一命题是否为真命题？试举例说明.
试一试
三、典型例题
例1 如图，已知正方体 中.
（1）哪些棱所在的直线与直线 垂直？
三、应用新知
（2）直线 和 所成的角是多少？
例1 如图，已知正方体 中.
（3）直线 和 所成的角是多少？
(3)连接A1C1、BC1 如图
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
A A1 // CC1 且A A1 =CC1
所以四边形A A1 CC1是平行四边形
则A C//A1C1，
则∠BA1C1为直线BA1与AC所成的角
而△A1BC1是等边三角形，
所以∠BA1C1=60°，
故直线BA1与AC所成的角等于60°.
变式：求直线 与
直线 所成的角是多少？
作图
证明
求角
例2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心．
(1)求证:BD∥B1D1
(2)求证:AO1⊥BD.
三、新知应用
题型二　异面直线所成的角
角度1　求异面直线所成的角
【例2】　如图，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心.
求：(1)BE与CG所成的角；
(2)FO与BD所成的角.
解　(1)如图，因为CG∥BF，
所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，
又在△BEF中，∠EBF＝45°，
所以BE与CG所成的角为45°.
【训练1】　如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，
求证：AC⊥B1D.
证明　如图，连接BD，交AC于O，
设BB1的中点为E，
连接OE，则OE∥DB1，
所以OE与AC所成的角即为DB1与AC所成的角.
连接AE，CE，易证AE＝CE，
又O是AC的中点，
所以AC⊥OE，
所以AC⊥B1D.
角度2　由异面直线所成角的大小求线段的长
【例3】　如图所示，四面体A－BCD中，E，F分别是AB，CD的中点.若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝2.求EF的长度.
解　取BC的中点M，连接ME，MF，如图.则ME∥AC，MF∥BD，
∴ME与MF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角，而AC，BD所成的角为60°，
∴∠EMF＝60°或∠EMF＝120°.
异面直线所成的角
异面直线
互相垂直
类比
特殊
定义
范围
步骤
相交直线所成的角
转化
将空间问题转化为平面问题的转化思想
数学直观
数学运算
逻辑推理
通过这节课的学习，大家有什么收获？（从知识、方法等方面总结）
四、归纳小结
1.如果a⊥b,那么a与b
A.相交 B.异面 C.共面 D.一定不平行
D
五、达标检测
2.如图,已知长方体ABCD-EFGH的各条棱所在直线中，
（1）与AB异面且垂直的直线有 条；
（2）与AB和EH都垂直且相交的直线有 条.
A
B
G
F
H
E
D
C
4
1
3.如图，在四棱锥P-ABCD中,PA⊥AB底
面ABCD是平行边形，则PA与CD所成
角大小为 .