福建省泉州市石狮市2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷(word解析版)

2021-2022学年福建省泉州市石狮市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）使二次根式有意义的x的取值范围是（　　）
A．x≠1 B．x≥﹣1 C．x≥1 D．x≠﹣1
2．（4分）若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
3．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，CD＝3，BE＝6，则AE的长（　　）
A．4 B． C．2 D．5
4．（4分）下列运算正确的是（　　）
A． B．2 C． D．2
5．（4分）某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．（4分）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF，若EF＝2，则BD的长为（　　）
A．10 B．8 C．6 D．4
7．（4分）若把方程x2﹣4x﹣1＝0化为（x+m）2＝n的形式，则n的值是（　　）
A．5 B．2 C．﹣2 D．﹣5
8．（4分）如图，△ABC的两条中线AD、CE交于点G，联结BG并延长，交边AC于点F，那么下列结论不正确的是（　　）
A．AF＝FC B．GF＝BG C．AG＝2GD D．EGCE
9．（4分）如图，在边长为1的正方形网格中，连接格点D、N和E、C，DN和EC相交于点P，tan∠CPN为（　　）
A．1 B．2 C． D．
10．（4分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，cosB，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，连结CE，则的值为（　　）
A． B． C． D．3
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）计算：3　 　．
12．（4分）表中记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况：
移植的棵数n 200 500 800 2000 5000 12000
成活的棵数m 187 446 730 1790 4510 10836
成活的频率 0.935 0.892 0.913 0.895 0.902 0.903
由此估计这种苹果树苗移植成活的概率约为 　 　．（精确到0.1）
13．（4分）实数3的整数部分 　 　．
14．（4分）如图，某河堤迎水坡AB的坡比i＝1：，堤高BC＝5，则坡面AB的长是 　 　．
15．（4分）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好分别是方程x2﹣14x+48＝0的两根，则此三角形的斜边长为 　 　．
16．（4分）如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连结BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连结AF，有以下五个结论：
①∠ABF＝∠DBE；
②△ABF∽△DBE；
③AF⊥BD；
④2BG2＝BH BD；
⑤若CE：DE＝1：3，则BH：DH＝17：16．
你认为其中正确是 　 　．（填写序号）
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17．（8分）计算：tan30°．
18．（8分）解方程：x2﹣4x﹣12＝0．
19．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝36°，AB＝BC．
（1）尺规作图：在BC上取一个点D，使得BD＝AD；（尺规作图，保留作图痕迹）
（2）在（1）的基础上，连接AD，求证：AC2＝CD BC．
20．（8分）某商场积压了一批商品，现欲尽快清仓，决定降价促销．据调查发现，若每件商品盈利50元，可售出500件，商品单价每下降1元，则可多售出20件，设每件商品降价x元．
（1）每件商品降价x元后，用含x的代数式表示可售出商品的件数；
（2）若要使销售该商品的总利润达到28000元，求x的值．
21．（9分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k+1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果x1，x2是方程的两个解，令w＝x1x22+x12x2+k，求w的最大值．
22．（9分）如图所示，小明家住在30米高的A楼里，小丽家住在B楼里，B楼坐落在A楼的正北面，已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30°．
（1）如果A、B两楼相距16米，那么A楼落在B楼上的影子有多长？
（2）如果A楼的影子刚好不落在B楼上，那么两楼的距离应是多少米？（结果保留根号）
23．（10分）为了监控一条生产线上某种零件的生产过程，检验员每隔20分钟从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：毫米）．下表是检验员在一天内抽取的24个零件尺寸的数据统计：
107.7 107.8 107.8 108.1 108.1 108.4 108.4 108.4
108.5 108.5 108.9 109.0 109.0 109.2 109.3 109.3
109.4 109.6 109.6 109.7 109.8 110.1 110.3 110.4
记零件尺寸的数据为x，根据尺寸的不同范围设置不同的零件等级如表（m为正数）：
尺寸范围 零件等级
x＜108.1 超标零件
108.1≤x＜108.5 三级零件
108.5≤x＜109.0﹣m 二级零件
109.0﹣m≤x＜109.0+m 一级零件
109.0+m≤x＜109.5 二级零件
109.5≤x＜109.9 三级零件
x≥109.9 超标零件
（1）求这24个数据的中位数；
（2）从这条生产线上随机抽取1个零件，求这个零件恰好是超标零件的概率；
（3）记“这24个零件中一级零件不到20%”为事件A．求事件A必然成立的m的取值范围．
24．（13分）如图所示，在平面直角坐标系中，直线AB：yx+3b（b＞0）与x轴，y轴分别交于B点、A点，点P从点B开始沿BA边向终点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点A开始沿AO边向终点O以1厘米/秒的速度移动．若点P，Q同时出发，运动时间为t秒．
（1）当t＝5s时，
①P点的坐标为 　 　；（用b来表示）
②当△APQ为直角三角形时，求b的值；
（2）当△APQ的面积为8平方厘米时，求b与t的数量关系，并求出b的最小值．
25．（13分）【推理】
如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G．
（1）求证：△BCE≌△CDG．
【运用】
（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H．若，CE＝9，求线段DE的长．
【拓展】
（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，H两点，若k，，求的值（用含k的代数式表示）．
2021-2022学年福建省泉州市石狮市九年级（上）期末数学试卷
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）使二次根式有意义的x的取值范围是（　　）
A．x≠1 B．x≥﹣1 C．x≥1 D．x≠﹣1
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x+1≥0，
解得x≥﹣1．
故选：B．
2．（4分）若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据比例的性质解答即可．
【解答】解：设k，可得：a＝2k，b＝3k，
把a＝2k，b＝3k代入中，可得：，
故选：C．
3．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，CD＝3，BE＝6，则AE的长（　　）
A．4 B． C．2 D．5
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，
∵AD＝2，CD＝3，BE＝6，
∴，
解得：AE＝4，
故选：A．
4．（4分）下列运算正确的是（　　）
A． B．2 C． D．2
【分析】利用二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的性质对B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．
【解答】解：A、与不能合并，所以A选项错误；
B、原式＝3，所以B选项错误；
C、原式，所以C选项错误；
D、原式2，所以D选项正确．
故选：D．
5．（4分）某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
【解答】解：∵每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，
∴当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率P，
故选：D．
6．（4分）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF，若EF＝2，则BD的长为（　　）
A．10 B．8 C．6 D．4
【分析】根据已知条件可以得到EF是△OAB的中位线，则OB＝2EF＝4，再利用平行四边形的性质得出BD即可．
【解答】解：∵点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF，EF＝2，
∴EF是△OAB的中位线，则OB＝2EF＝4，
∵在 ABCD中，
∴BD＝2OB＝8，
故选：B．
7．（4分）若把方程x2﹣4x﹣1＝0化为（x+m）2＝n的形式，则n的值是（　　）
A．5 B．2 C．﹣2 D．﹣5
【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案．
【解答】解：∵x2﹣4x﹣1＝0，
∴x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝5，
∴（x﹣2）2＝5，
∴n＝5，
故选：A．
8．（4分）如图，△ABC的两条中线AD、CE交于点G，联结BG并延长，交边AC于点F，那么下列结论不正确的是（　　）
A．AF＝FC B．GF＝BG C．AG＝2GD D．EGCE
【分析】由题意点G是△ABC的重心，利用三角形的中位线定理即可判断；
【解答】解：如图连接DE．
∵△ABC的两条中线AD、CE交于点G，
∴点G是△ABC的重心，
∴DF也是△ABC的中线，
∴AF＝FC，故A不符合题意，
∵BE＝AE，BD＝CD，
∴DE∥AC，DEAC，
∴，
∴AG＝2DG，EGCE，故C，D不符合题意，
故选：B．
9．（4分）如图，在边长为1的正方形网格中，连接格点D、N和E、C，DN和EC相交于点P，tan∠CPN为（　　）
A．1 B．2 C． D．
【分析】连接格点MN、DM，可得MN∥EC，由平行线的性质得出∠DNM＝∠CPN，证出∠DMN＝90°，由三角函数定义即可得出答案．
【解答】解：连接格点MN、DM，如图所示：
则四边形MNCE是平行四边形，△DAM和△MBN都是等腰直角三角形，
∴EC∥MN，∠DMA＝∠NMB＝45°，DMAD＝2，MNBM，
∴∠CPN＝∠DNM，
∴tan∠CPN＝tan∠DNM，
∵∠DMN＝180°﹣∠DMA﹣∠NMB＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴tan∠CPN＝tan∠DNM2，
故选：B．
10．（4分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，cosB，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，连结CE，则的值为（　　）
A． B． C． D．3
【分析】设DE与AC交于点F，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，可得DA＝DB，从而证明∠ADE＝∠DAB，得到AB∥DE，，进而得到DE是AC的垂直平分线，然后可得ED＝EC，最后证明△DCE∽△BAD，利用相似三角形的性质即可解答．
【解答】解：设DE与AC交于点F，
∵∠BAC＝90°，点D是边BC的中点，
∴AD＝BD＝DCBC，
∵DA＝DB，
∴∠B＝∠DAB，
∵∠ADE＝∠B，
∴∠ADE＝∠DAB，
∴AB∥DE，
∴∠BAC＝∠DFC＝90°，
∵DA＝DC，
∴DE是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∵EA＝ED，
∴ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠EDC，
∴∠DAB＝∠ECD，
∴△DCE∽△BAD，
∴，
∵∠BAC＝90°，cosB，
∴3，
∴3，
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）计算：3　2　．
【分析】直接合并同类二次根式即可求解．
【解答】解：原式＝2．
故答案为：2．
12．（4分）表中记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况：
移植的棵数n 200 500 800 2000 5000 12000
成活的棵数m 187 446 730 1790 4510 10836
成活的频率 0.935 0.892 0.913 0.895 0.902 0.903
由此估计这种苹果树苗移植成活的概率约为 　0.9　．（精确到0.1）
【分析】用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【解答】解：根据表格数据可知：
苹果树苗移植成活的频率近似值为0.9，
所以估计这种苹果树苗移植成活的概率约为0.9．
故答案为：0.9．
13．（4分）实数3的整数部分 　5　．
【分析】用夹逼法估算无理数即可得出无理数的整数部分．
【解答】解：∵4＜5＜9，
∴23，
∴5＜36，
∴整数部分是5，
故答案为：5．
14．（4分）如图，某河堤迎水坡AB的坡比i＝1：，堤高BC＝5，则坡面AB的长是 　10　．
【分析】先根据坡比i＝tan∠CAB＝1：得出∠BAC＝30°，再由直角三角形的性质可得AB＝2BC＝10m即可．
【解答】解：∵坡比i＝tan∠CAB，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC，
又∵BC＝5，
∴AB＝2BC＝10，
故答案为：10．
15．（4分）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好分别是方程x2﹣14x+48＝0的两根，则此三角形的斜边长为 　10　．
【分析】先解方程x2﹣14x+48＝0，得出两根，再利用勾股定理来求解即可．
【解答】解：∵x2﹣14x+48＝0，
∴（x﹣6）（x﹣8）＝0，
∴x＝6或8；
∴两直角边为6和8，
∴此三角形的斜边长10，
故答案是：10．
16．（4分）如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连结BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连结AF，有以下五个结论：
①∠ABF＝∠DBE；
②△ABF∽△DBE；
③AF⊥BD；
④2BG2＝BH BD；
⑤若CE：DE＝1：3，则BH：DH＝17：16．
你认为其中正确是 　①②③④　．（填写序号）
【分析】①由∠ABD＝∠FBE＝45°，可知∠ABF＝∠DBE；
②根据△ABD和△FBE都是等腰直角三角形，可得，从而得到△ABF∽△DBE；
③由②相似知：∠FAB＝∠EDB＝45°，可得AF⊥BD；
④由∠BEH＝∠EDB，∠EBH＝∠DBE可证△BEH∽△BDE，根据对应边成比例即可；
⑤若CE：DE＝1：3，设CE＝x，DE＝3x，则BC＝4x，由勾股定理知BE，借助④的证明即可解答．
【解答】解：①∵正方形ABCD和正方形BGEF，
∴△ABD和△FBE都是等腰直角三角形，
∴∠ABD＝∠FBE＝45°，
∴∠ABF＝∠DBE；
∴①正确，符合题意；
②∵△ABD和△FBE都是等腰直角三角形，
∴，
又∵∠ABF＝∠DBE，
∴△ABF∽△DBE，
∴②正确，符合题意；
③∵△ABF∽△DBE，
∴∠FAB＝∠EDB＝45°，
∴AF⊥BD；
∴③正确，符合题意；
④∵∠BEH＝∠EDB＝45°，
∠EBH＝∠DBE，
∴△BEH∽△BDE，
∴，
∴BE2＝BD×BH，
∵BEBG，
∴2BG2＝BD×BH，
∴④正确，符合题意；
⑤∵CE：DE＝1：3，
∴设CE＝x，DE＝3x，
∴BC＝4x，
在Rt△BCE中，
由勾股定理知：BE，
∵BE2＝BD×BH，
∴17x2BH，
∴x，
∴DHx，
∴BH：DH＝17：15，
∴⑤错误，不符合题意；
故答案为：①②③④．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17．（8分）计算：tan30°．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简，进而利用实数的加减运算法则得出答案．
【解答】解：原式＝2
．
18．（8分）解方程：x2﹣4x﹣12＝0．
【分析】利用因式分解法解方程．
【解答】解：（x﹣6）（x+2）＝0，
x﹣6＝0或x+2＝0，
所以x1＝6，x2＝﹣2．
19．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝36°，AB＝BC．
（1）尺规作图：在BC上取一个点D，使得BD＝AD；（尺规作图，保留作图痕迹）
（2）在（1）的基础上，连接AD，求证：AC2＝CD BC．
【分析】（1）由BD＝AD可知，点D在边AB的垂直平分线上，因此，点D是边AB的垂直平分线与边BC的交点，只要作出边AB的垂直平分线与边BC的交点D即可；
（2）先AB＝BC得∠BAC＝∠C，再由∠BAC+∠C+∠B＝180°，∠B＝36°计算出∠BAC＝72°，则∠CAD＝∠B＝36°，可证明△DAC∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例即可证得结论．
【解答】（1）解：如图1，作AB的垂直平分线MN，交BC于点D，点D就是所求的点．
理由：如图1，连结AD，
∵MN垂直平分AB，且点D在直线MN上，
∴BD＝AD，
∴点D就是所求的点．
（2）证明：如图2，连接AD，
∵AB＝BC，∠B＝36°，
∴∠BAC＝∠C（180°﹣36°）＝72°，
∵BD＝AD，
∴∠DAB＝∠B＝36°，
∴∠CAD＝72°﹣36°＝36°，
∵∠C＝∠C，∠CAD＝∠B，
∴△DAC∽△ABC，
∴，
∴AC2＝CD BC．
20．（8分）某商场积压了一批商品，现欲尽快清仓，决定降价促销．据调查发现，若每件商品盈利50元，可售出500件，商品单价每下降1元，则可多售出20件，设每件商品降价x元．
（1）每件商品降价x元后，用含x的代数式表示可售出商品的件数；
（2）若要使销售该商品的总利润达到28000元，求x的值．
【分析】（1）降价1元，可多售出20件，降价x元，可多售出20x件，盈利的钱数＝原来的盈利﹣降低的钱数；
（2）根据日盈利＝每件商品盈利的钱数×（原来每天销售的商品件数500+20×降价的钱数），列出方程求解即可．
【解答】解：（1）每件商品降价x元后，可售出商品件（500+20x）件，其中x≥1；
（2）根据题意得：（50﹣x）（500+20x）＝28000，
解得x1＝10，x2＝15，
∵尽快清仓，
∴x1＝10舍去，
答：x的值为15．
21．（9分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k+1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果x1，x2是方程的两个解，令w＝x1x22+x12x2+k，求w的最大值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；
（2）利用根与系数的关系可得出x1+x2＝3，x1 x2＝k+1，结合w＝x1x22+x12x2+k，由增减性可求w的最大值．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+k+1＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（k+1）≥0，
解得：k，
∴k的取值范围为k；
（2）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣3x+k+1＝0的两个解，
∴x1+x2＝3，x1 x2＝k+1．
∴w＝x1x22+x12x2+k＝x1x2（x1+x2）+k＝3（k+1）+k＝4k+3，
∴k时，w的最大值为43＝5+3＝8．
22．（9分）如图所示，小明家住在30米高的A楼里，小丽家住在B楼里，B楼坐落在A楼的正北面，已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30°．
（1）如果A、B两楼相距16米，那么A楼落在B楼上的影子有多长？
（2）如果A楼的影子刚好不落在B楼上，那么两楼的距离应是多少米？（结果保留根号）
【分析】（1）利用锐角三角函数关系得出CE的长，进而得出答案；
（2）可根据A楼，地面和光线正好构成直角三角形，利用锐角三角函数关系求解．
【解答】解：（1）如图，过D作DE⊥CG于E，ED＝16，∠CDE＝30°，
∴CE＝DE tan30°＝1616（m），
故DF＝EG＝CG﹣CE＝30﹣16＝14（m），
答：A楼落在B楼上的影子有14m．
（2）延长CD交GF于点H，
当A楼的影子刚好不落在B楼上，
则GH30（m），
答：如果A楼的影子刚好不落在B楼上，那么两楼的距离应是30米．
23．（10分）为了监控一条生产线上某种零件的生产过程，检验员每隔20分钟从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：毫米）．下表是检验员在一天内抽取的24个零件尺寸的数据统计：
107.7 107.8 107.8 108.1 108.1 108.4 108.4 108.4
108.5 108.5 108.9 109.0 109.0 109.2 109.3 109.3
109.4 109.6 109.6 109.7 109.8 110.1 110.3 110.4
记零件尺寸的数据为x，根据尺寸的不同范围设置不同的零件等级如表（m为正数）：
尺寸范围 零件等级
x＜108.1 超标零件
108.1≤x＜108.5 三级零件
108.5≤x＜109.0﹣m 二级零件
109.0﹣m≤x＜109.0+m 一级零件
109.0+m≤x＜109.5 二级零件
109.5≤x＜109.9 三级零件
x≥109.9 超标零件
（1）求这24个数据的中位数；
（2）从这条生产线上随机抽取1个零件，求这个零件恰好是超标零件的概率；
（3）记“这24个零件中一级零件不到20%”为事件A．求事件A必然成立的m的取值范围．
【分析】（1）这根据中位数的定义即可得到结论；
（2）由表中数据可知，24个零件中，超标零件共有6个，根据概率公式即可得到结论；
（3）根据已知条件得到一级零件的个数最多是4个，得到这四个零件的尺寸是108.9，109.0，109.0，109.1．根据事件A必然成立，确定m＜0.3．
【解答】解：（1）这24个数据按顺序排列后，第12个和第13个分别是109.0和109.0，
∴这24个数据的中位数是109.0；
（2）由表中数据可知，24个零件中，超标零件共有6个，
∴从这条生产线上随机抽取1个零件，估计这个零件恰好是超标零件的概率是；
（3）∵这24个零件中一级零件不到20%，且24×20%＝4.8，
∴一级零件的个数最多是4个，
∴这四个零件的尺寸是108.9，109.0，109.0，109.1．
∵事件A必然成立，
又109.0﹣108.6＝0.4，109.3﹣109.0＝0.3，0.3＜0.4，
∴m＜0.3．
24．（13分）如图所示，在平面直角坐标系中，直线AB：yx+3b（b＞0）与x轴，y轴分别交于B点、A点，点P从点B开始沿BA边向终点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点A开始沿AO边向终点O以1厘米/秒的速度移动．若点P，Q同时出发，运动时间为t秒．
（1）当t＝5s时，
①P点的坐标为 　（4b﹣4，3）　；（用b来表示）
②当△APQ为直角三角形时，求b的值；
（2）当△APQ的面积为8平方厘米时，求b与t的数量关系，并求出b的最小值．
【分析】（1）①当t＝5时，根据点P和点Q的与运动可分别求出AQ和BP的长，过点P作PD垂直x轴于点D，则△PBD∽△ABO，根据比例可求出BD和PD的长，进而可得到OD的长，即可得出点P的坐标；
②根据点P和点Q的运动可表示出AP、AQ，然后分∠APQ和∠AQP是直角两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可；
（2）过点P作PC⊥OA于C，利用∠OAB的正弦求出PC，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．
【解答】解：（1）①∵直线AB：yx+3b（b＞0）与x轴，y轴分别交于B点、A点，
∴A（0，3b），B（4b，0），
∴OA＝3b，OB＝4b，
∴AB＝5b，
当t＝5时，由点P和点Q的运动可知，AQ＝BP＝t＝5，
如图，过点P作PD⊥x轴于点D，则△PBD∽△ABO，
∴PB：PD：BD＝BA：AO：OB，即5：PD：BD＝5b：3b：4b，
∴PD＝3，BD＝4，
∴OD＝4b﹣4，
∴P（4b﹣4，3）；
故答案为：（4b﹣4，3）；
②由上可知，AP＝5b﹣5，AQ＝5，若△APQ是直角三角形，则有下面两种情况：
当∠APQ是直角时，△APQ∽△AOB，
若点Q未到达点O，则，
即，
解得b；
若点Q到达点O，则，
即，
解得b；
②当∠AQP是直角时，△AQP∽△AOB，
∴，
即，
解得b，
综上所述，当△APQ为直角三角形时，b的值为或或；
（2）如图，过点P作PC⊥OA于点C，
则PC＝AP sin∠OAB＝（5b﹣t）（5b﹣t），
①当点Q未到达点O时，△APQ的面积t（5b﹣t）t2+2bt＝8，
整理得：t2﹣5bt+20＝0，
②当点Q到达点O时，△APQ的面积6（5b﹣t）＝8，
整理得，15b﹣3t＝10，
综上可知，当△APQ的面积为8cm2时，b与t的关系式为t2﹣5bt+20＝0或15b﹣3t＝10．
25．（13分）【推理】
如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G．
（1）求证：△BCE≌△CDG．
【运用】
（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H．若，CE＝9，求线段DE的长．
【拓展】
（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，H两点，若k，，求的值（用含k的代数式表示）．
【分析】（1）根据AAS证明三角形全等即可．
（2）如图2中，连接EH．根据HF2+FE2＝DH2+DE2，求出DE即可解决问题．
（3）如图3中，连接HE．由题意，可以假设DH＝4m，HG＝5m，设x．分两种情形：①当点H在点D的左侧时，②当点H在点D的右侧时，如图4中，分别利用勾股定理构建方程求解即可．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵△BFE是由△BCE折叠得到，
∴BE⊥CF，
∴∠ECF+∠BEC＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠BCE＝90°，
∴∠ECF+∠CGD＝90°，
∴∠BEC＝∠CGD，
∵BC＝CD，
∴△BCE≌△CDG（AAS）．
（2）如图2中，连接EH．
∵△BCE≌△CDG，
∴CE＝DG＝9，
由折叠可知BC＝BF，CE＝FE＝9，
∴∠BCF＝∠BFC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠BCG＝∠HGF，
∵∠BFC＝∠HFG，
∴∠HFG＝∠HGF，
∴HF＝HG，
∵，DG＝9，
∴HD＝4，HF＝HG＝5，
∵∠D＝∠HFE＝90°，
∴HF2+FE2＝DH2+DE2，
∴52+92＝42+DE2，
∴DE＝3或﹣3（舍弃），
∴DE＝3．
（3）如图3中，连接HE．
由题意，可以假设DH＝4m，HG＝5m，设x．
①当点H在点D的左侧时，
∵HF＝HG，
∴DG＝9m，
由折叠可知BE⊥CF，
∴∠ECF+∠BEC＝90°，
∵∠D＝90°，
∴∠ECF+∠CGD＝90°，
∴∠BEC＝∠CGD，
∵∠BCE＝∠D＝90°，
∴△CDG∽△BCE，
∴，
∵k，
∴，
∴CEFE，
∴DE，
∵∠D＝∠HFE＝90°
∴HF2+FE2＝DH2+DE2，
∴（5m）2+（）2＝（4m）2+（）2，
∴x或（舍弃），
∴．
②当点H在点D的右侧时，如图4中，
同理HG＝HF，△BCE∽△CDG，
∴DG＝m，CEFE，
∴DE，
∵HF2+FE2＝DH2+DE2，
∴（5m）2+（）2＝（4m）2+（）2，
∴x或（舍弃），
∴．
综上所述，或．