高中物理 人教版（2019）必修 第二册 5.4抛体运动的规律 学案（有解析）

5.4抛体运动的规律
一、平抛运动
1．定义
将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下所做的运动。
2．性质
加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
3．条件：v0≠0，沿水平方向；只受重力作用。
二、平抛运动的基本规律
1．研究方法
平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
2．基本规律
(1)位移关系
(2)速度关系
三、斜抛运动
1．定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。
2．性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
3．研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：匀速直线运动；
(2)竖直方向：匀变速直线运动。
4．基本规律(以斜上抛运动为例，如图所示)
(1)水平方向：v0x＝v0cos θ，F合x＝0；
(2)竖直方向：v0y＝v0sin θ，F合y＝mg。
1．平抛运动时间和水平射程
(1)运动时间：由t＝ 知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。
(2)水平射程：x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定。
2．速度和位移的变化规律
(1)速度的变化规律
①任一时刻的速度水平分量均等于初速度v0。
②任一相等时间间隔Δt内的速度变化量方向竖直向下，大小Δv＝Δvy＝gΔt(如图所示) 。
1．对平抛运动的约束条件常见的有“斜面”约束和“曲面”约束，解此类问题的关键：
(1)灵活运用平抛运动的位移和速度分解方法。
(2)充分运用斜面倾角，找出斜面倾角与位移偏向角、速度偏向角的关系。
(3)“曲面”约束类要灵活应用平抛运动的推论。
2．常见类型示例
运动情景 物理量分析
vy＝gt，tan θ＝＝→t＝
x＝v0t，y＝gt2→tan θ＝→t＝
tan θ＝＝→t＝
落到斜面上时合速度与水平方向的夹角为φ，tan φ＝＝＝＝2tan θ ，α＝φ－θ
tan θ＝＝→t＝
在半圆内的平抛运动，h＝gt2，R＋＝v0t
一、单选题
1．如图所示，小球甲从A点水平抛出，小球乙从B点自由释放，两小球先后经过C点时的速度大小相等，方向夹角为45°，已知A、C高度差为h，不计空气阻力，由以上条件可知B、A两点高度差为（ ）
A． B． C．h D．2h
2．如图，斜面上a、b、c三点等距，小球从a点正上方O点抛出，做初速为v0的平抛运动，恰落在b点．若小球初速变为v，其落点位于c，则 （ ）
A．v0< v <2v0 B．v=2v0
C．2v0< v <3v0 D．v>3v0
3．某生态公园的人造瀑布景观如图所示，水流从高处水平流出槽道，恰好落入步道边的水池中。现制作一个为实际尺寸的模型展示效果，模型中槽道里的水流速度应为实际的（　　）
A． B． C． D．
4．某一滑雪运动员从滑道滑出并在空中翻转时经多次曝光得到的照片如图所示，每次曝光的时间间隔相等。若运动员的重心轨迹与同速度不计阻力的斜抛小球轨迹重合，A、B、C和D表示重心位置，且A和D处于同一水平高度。下列说法正确的是（　　）
A．相邻位置运动员重心的速度变化相同 B．运动员在A、D位置时重心的速度相同
C．运动员从A到B和从C到D的时间相同 D．运动员重心位置的最高点位于B和C中间
5．如图，抛球游戏中，某人将小球水平抛向地面的小桶，结果球落在小桶的前方．不计空气阻力，为了把小球抛进小桶中，则原地再次水平抛球时，他可以（　　）
A．增大抛出点高度，同时增大初速度
B．减小抛出点高度，同时减小初速度
C．保持抛出点高度不变，增大初速度
D．保持初速度不变，增大抛出点高度
6．如图所示，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α。一小球在圆轨道左侧的A点以速度v0平抛，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道。已知重力加速度为g，则AB之间的水平距离为（　　）
A． B． C． D．
7．如图所示，一小球（视为质点）以速度v0从倾角为的斜面底端斜向上抛出，落到斜面上的M点且速度水平向右。现将该小球以2v0的速度从斜面底端朝同样方向抛出，落在斜面上的N点。下列说法正确的是（　　）
A．落到M和N两点时间之比大于1：2
B．落到M和N两点速度之比大于1：2
C．落到N点时速度方向水平向右
D．M和N两点距离斜面底端的高度之比为1：2
8．一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为g。若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是(　　)
A．
B．
C．
D．
9．如图，两小球、从同一高度分别以和的初速度水平抛出，都落在了倾角的斜面上的点，其中小球垂直打到斜面上，已知，．则、大小之比为（　　）
A． B． C． D．
10．如图所示为四分之一圆柱体OAB的竖直截面，半径为R，在B点上方的C点水平抛出一个小球，小球轨迹恰好在D点与圆柱体相切，OD与OB的夹角为，则C点到B点的距离为（　　）
A． B． C． D．R
11．某同学在练习投篮时将篮球从同一位置斜向上抛出，其中有两次篮球垂直撞在竖直放置的篮板上，运动轨迹如图所示，不计空气阻力，关于这两次篮球从抛出到撞击篮板的过程
A．两次在空中运动的时间相等
B．两次抛出时的速度相等
C．第1次抛出时速度的水平分量小
D．第2次抛出时速度的竖直分量大
12．某科技比赛中，参赛者设计了一个轨道模型，如图所示。模型放到0.8m高的水平桌子上，最高点距离水平地面2m，右端出口水平。现让小球由最高点静止释放，忽略阻力作用，为使小球飞得最远，右端出口距离桌面的高度应设计为（　　）
A．0 B．0.1m C．0.2m D．0.3m
13．如图所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6 m，墙的厚度d＝0.4 m，某人在离墙壁距离L＝1.4 m、距窗子上沿h＝0.2 m处的P点，将可视为质点的小物件以v的初速度水平抛出，要求小物件能直接穿过窗口并落在水平地面上，不计空气阻力．则可以实现上述要求的速度大小是(　　)
A．2 m/s B．4 m/s C．8 m/s D．10 m/s
14．如图所示，科考队员站在半径为10m的半圆形陨石坑（直径水平）边，沿水平方向向坑中抛出一石子（视为质点），石子在坑中的落点P与圆心O的连线与水平方向的夹角为37°，已知石子的抛出点在半圆形陨石坑左端的正上方，且到半圆形陨石坑左端的高度为1.2m。取sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，重力加速度大小g=10 m/s2，不计空气阻力。则石子抛出时的速度大小为（　　）
A．9 m/s B．12 m/s C．15 m/s D．18 m/s
15．如图所示，从倾角为θ的足够长的斜面顶端P以速度v0拋出一个小球，落在斜面上某处Q点，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角为α，若把初速度变为2v0，小球仍落在斜面上，则以下说法正确的是（　　）
A．夹角α将变大
B．夹角α与初速度大小无关
C．小球在空间的运动时间不变
D．PQ间距是原来间距的3倍
16．如图所示，两个高度相同的斜面，倾角分别为30°和60°小球A、B分别由斜面顶端以相同大小的水平速度v0抛出，若两球均落在斜面上，不计空气阻力，则A、B两球平抛运动过程（　　）
A．飞行的时间之比为1：3 B．水平位移大小之比为1：9
C．竖直下落高度之比为1：3 D．落至斜面时速度大小之比为1：3
17．如图，在摩托车越野赛途中的水平路段前方有一个坑，该坑沿摩托车前进方向的水平宽度为3h，其左边缘a点比右边缘b点高0.5h。若摩托车经过a点时的动能为E1，它会落到坑内c点。c与a的水平距离和高度差均为h；若经过a点时的动能为E2，该摩托车恰能越过坑到达b点。等于（　　）
A．20 B．18 C．9.0 D．3.0
二、多选题
18．如图所示为一半球形的坑，其中坑边缘两点M、N与圆心等高且在同一竖直平面内。现甲、乙两位同学分别站在M、N两点，同时将两个小球以v1、v2的速度沿图示方向水平抛出，发现两球刚好落在坑中同一点Q，已知∠MOQ=60°，忽略空气阻力。则下列说法中正确的是（　　）
A．两球抛出的速率之比为1∶3
B．若仅增大v1，则两球将在落入坑中之前相撞
C．两球的初速度无论怎样变化，只要落在坑中的同一点，两球抛出的速率之和不变
D．若仅从M点水平抛出小球，改变小球抛出的速度，小球可能垂直坑壁落入坑中
19．如图所示，倾角为30°的斜面体固定在水平地面上，斜面底端正上方某高度处有一小球以水平速度v0抛出，恰好垂直打在斜面上，已知重力加速度为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）
A．小球从抛出到落在斜面上的运动时间为
B．小球从抛出到落在斜面上的运动时间为
C．小球抛出时距斜面底端的高度为
D．小球抛出时距斜面底端的高度为
20．如图所示，x轴在水平地面上，y轴沿竖直方向。图中画出了从y轴上不同位置沿x轴正向水平抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹。小球a从（0，2L）抛出，落在（2L，0）处；小球b、c从（0，L）抛出，分别落在（2L，0）和（L，0）处。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）
A．b和c运动时间相同
B．a的运动时间是b的两倍
C．a和b加速度相同
D．b的初速度是c的两倍
三、解答题
21．海鸥捕到外壳坚硬的鸟蛤（贝类动物）后，有时会飞到空中将它丢下，利用地面的冲击打碎硬壳。一只海鸥叼着质量的鸟蛤，在的高度、以的水平速度飞行时，松开嘴巴让鸟蛤落到水平地面上。取重力加速度，忽略空气阻力。
（1）若鸟蛤与地面的碰撞时间，弹起速度可忽略，求碰撞过程中鸟蛤受到的平均作用力大小F；（碰撞过程中不计重力）
（2）在海鸥飞行方向正下方的地面上，有一与地面平齐、长度的岩石，以岩石左端为坐标原点，建立如图所示坐标系。若海鸥水平飞行的高度仍为，速度大小在之间，为保证鸟蛤一定能落到岩石上，求释放鸟蛤位置的x坐标范围。
22．单板滑雪U型池比赛是冬奥会比赛项目，其场地可以简化为如图甲所示的模型： U形滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道和一个中央的平面直轨道连接而成，轨道倾角为17.2°。某次练习过程中，运动员以vM=10 m/s的速度从轨道边缘上的M点沿轨道的竖直切面ABCD滑出轨道，速度方向与轨道边缘线AD的夹角α=72.8°，腾空后沿轨道边缘的N点进入轨道。图乙为腾空过程左视图。该运动员可视为质点，不计空气阻力，取重力加速度的大小g=10 m/s2， sin72.8°=0.96，cos72.8°=0.30。求：
(1)运动员腾空过程中离开AD的距离的最大值d；
(2)M、N之间的距离L。
5.4
参考答案：
1．C
【解析】
【详解】
小球甲做平抛运动，竖直方向上做自由落体运动，由可得：甲运动的时间为：
t甲=
竖直分速度：
vy=gt甲=
据运动的合成与分解可知，甲在C点的速度：
v甲＝v乙
乙球做自由落体运动，下落高度：
故A、B两点高度差为
2h-h=h
故C正确ABD错误。
故选C。
2．A
【解析】
【详解】
小球从a点正上方O点抛出，做初速为v0的平抛运动，恰落在b点，改变初速度，落在c点，知水平位移变为原来的2倍，若时间不变，则初速度变为原来的2倍，由于运动时间变长，则初速度小于2v0，故A正确，BCD错误．
3．B
【解析】
【详解】
由题意可知，水流出后做平抛运动的水平位移和下落高度均变为原来的，则有
得
所以时间变为实际的四分之一，则水流出的速度
由于水平位移变为实际的，时间变为实际的四分之一，则水流出的速度为实际的四分之一
故选B。
4．A
【解析】
【详解】
A．因每次曝光的时间间隔相等，而运动员在空中只受重力作用，加速度为g，则相邻位置运动员重心的速度变化均为g t，选项A正确；
B．运动员在A、D位置时重心的速度大小相同，但是方向不同，选项B错误；
C．由图可知，运动员从A到B为4 t，从C到D的时间5 t，时间不相同，选项C错误；
D．运动员重心位置的最高点位于C点，选项D错误。
故选A。
5．B
【解析】
【分析】
【详解】
设小球平抛运动的初速度为v0，抛出点离桶的高度为h，水平位移为x，则有
h＝gt2
平抛运动的时间为
水平位移为
x=v0t=v0
增大抛出点高度，同时增大初速度，则水平位移x增大，不会抛进小桶中，A错误；
减小抛出点高度，同时减小初速度，则水平位移x减小，会抛进小桶中，B正确；
保持抛出点高度不变，增大初速度，则水平位移x增大，不会抛进小桶中，C错误；
保持初速度不变，增大抛出点高度，则水平位移x增大，不会抛进小桶中，D错误。
故选B。
6．A
【解析】
【详解】
根据平行四边形定则知，小球通过B点时竖直方向上的分速度
vy=v0tanα
则运动的时间
则AB间的水平距离
故A正确，BCD错误。
故选A。
7．C
【解析】
【分析】
【详解】
C．由于落到斜面上M点时速度水平向右，故可把质点在空中的运动逆向看成从M点向左的平抛运动，设在M点的速度大小为u，把质点在斜面底端的速度v分解为水平u和竖直vy由
x=ut
竖直方向
位移间的关系
解得空中飞行时间
vy=2utanθ
v和水平方向夹角的正切值为定值，即落到N点时速度方向水平向右，故C正确；
B．速度为
即v与u成正比，故落到M和N两点速度之比为1：2，故B错误；
A．由
知，落到M和N两点时间之比为1：2，故A错误；
D．竖直高度为
知y和u2成正比，M和N两点距离斜面底端的高度之比为1：4，故D错误。
故选C。
8．D
【解析】
【详解】
若球与网恰好不相碰，根据
解得
水平位移的最小值
则最小速度
若球与球台边缘相碰，根据
解得
水平位移的最大值为
则最大速度
则v的最大取值范围是
故选D。
9．D
【解析】
【分析】
【详解】
两小球抛出后都做平抛运动，两球从同一高度抛出落到同一点，他们在竖直方向上的位移相等，小球在竖直方向上都做自由落体运动，由于
可知，他们的运动时间相等，对Q球
解得
球P垂直打在斜面上，则有
所以
ABC错误，D正确。
故选D。
10．A
【解析】
【详解】
由题意知得：小球通过D点时速度与圆柱体相切，则有
小球从C到D，水平方向有
竖直方向上有
解得
故C点到B点的距离为
故选A。
11．C
【解析】
【详解】
A．将篮球的运动反向处理，即为平抛运动，由图可知，第二次运动过程中的高度较小，所以运动时间较短，故A错误；
BCD．将篮球的运动反向视为平抛运动，在竖直方向上做自由落体运动，第二次运动过程中的高度较小，故第二次抛出时速度的竖直分量较小，所用时间减小；平抛运动在水平方向做匀速直线运动，水平射程相等，由可知，第二次水平分速度较大；水平速度第二次大，竖直速度第一次大，根据速度的合成可知，抛出时的速度大小关系不能确定，故C正确，BD错误．
12．C
【解析】
【分析】
【详解】
小球从最高点到右端出口，满足机械能守恒，有
从右端出口飞出后小球做平抛运动，有
联立解得
根据数学知识知，当
时，x最大，即
时，小球飞得最远，此时右端出口距离桌面高度为
故C正确，ABD错误。
故选C。
13．B
【解析】
【分析】
小物体做平抛运动，恰好擦着窗子上沿右侧穿过时最大．恰好擦着窗口下沿左侧时速度v最小，由分位移公式求解；
【详解】
小物件做平抛运动，恰好擦着窗子上沿右侧穿过时最大，此时有：
代入数据解得；
小物件恰好擦着窗口下沿左侧穿过时速度最小，则有：
代入数据解得，故的取值范围是；
A.2 m/s与分析不相符，不符合题意；
B.4 m/s与分析相符，符合题意；
C.8m/s与分析不相符，不符合题意；
D.10 m/s与分析不相符，不符合题意；
【点睛】
解决本题的关键明确临界条件，知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，结合运动学公式灵活解答．
14．C
【解析】
【分析】
【详解】
由题意可知，小石子竖直方向的位移为
根据公式可得
代入数据，解得
小石子水平方向的位移为
又
代入数据，可得石子抛出时的速度大小为
故选C。
15．B
【解析】
【分析】
【详解】
C．根据
解得
初速度变为原来的2倍，则小球在空中的运动时间变为原来的2倍，C错误；
D．根据
知，初速度变为原来的2倍，则水平位移变为原来的4倍
PQ间距变为原来的4倍，D错误；
AB．速度与水平方向夹角的正切值
可知速度方向与水平方向夹角正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍。因为位移与水平方向夹角不变，则速度与水平方向夹角不变，所以两个角度之差，即α不变，与初速度无关，A错误B正确。
故选B。
16．A
【解析】
【分析】
【详解】
ABC．对于A球
解得
对于B球
解得
所以
由
可知水平位移大小之比为，由
可得竖直下落高度之比为，故A正确，BC错误；
D．落在斜面上的竖直分速度
则落至斜面时速度
得落至斜面时速度大小之比为，故D错误。
故选A。
17．B
【解析】
【详解】
有题意可知当在a点动能为E1时，有
根据平抛运动规律有
当在a点时动能为E2时，有
根据平抛运动规律有
联立以上各式可解得
故选B。
18．AB
【解析】
【分析】
【详解】
A．由于两球抛出的高度相等，则运动时间相等
由几何关系可知
所以两球抛出的速率之比为1∶3，A正确；
B．由
可知，若仅增大v1，时间减小，所以两球将在落入坑中之前相撞，B正确；
C．要使两小球落在坑中的同一点，必须满足v1与v2之和与时间的乘积等于半球形坑的直径，即
落点不同，竖直方向位移就不同，t也不同，所以两球抛出的速度之和不是定值，C错误；
D．由平抛运动速度的反向延长线过水平位移的中点可知，若仅从M点水平抛出小球，改变小球抛出的速度，小球不可能垂直坑壁落入坑中，D错误。
故选AB。
19．AD
【解析】
【详解】
AB．设小球打到斜面上的时间为t，恰好垂直打在斜面上，根据几何关系可得
解得，故A正确，B错误；
CD．小球垂直打到斜面上，根据平抛运动规律，则有
，
小球落在斜面上，根据几何关系得
将代入，交联立解得，故C错误，D正确。
故选AD。
20．ACD
【解析】
【详解】
AB．b、c的高度相同，小于a的高度，根据
h＝gt2
得
t＝
知b、c的运动时间相同，a的运动时间是b的运动时间的倍。B错误，A正确；
C．由于a和b都做平抛运动，竖直方向只受重力，故a和b加速度相同，C正确；
D．b、c的运动时间相同，b的水平位移是c的水平位移的两倍，则b的初速度是c的初速度的两倍。D正确。
故选ACD。
21．（1）；（2）
【解析】
【详解】
（1）设鸟蛤落地前瞬间的速度大小为，竖直分速度大小为，据自由落体运动规律可得
则碰撞前鸟蛤的合速度为
在碰撞过程中，以鸟蛤为研究对象，取速度方向为正方向，由动量定理得
联立解得碰撞过程中鸟蛤受到的平均作用力大小为
（2）若释放鸟蛤的初速度为，设击中岩石左端时，释放点的x坐标为x1，击中右端时，释放点的x坐标为，得
，
联立，代入数据得
，
若释放鸟蛤时的初速度为，设击中岩石左端时，释放点的x坐标为，击中右端时，释放点的x坐标为，得
，
联立，代入数据得
，
综上所述可得x坐标区间为。
22．(1)4.8 m；(2)12 m
【解析】
【详解】
(1)在M点，设运动员在ABCD面内垂直AD方向的分速度为v1，由运动的合成与分解规律得
①
设运动员在ABCD面内垂直AD方向的分加速度为a1，由牛顿第二定律得
mgcos17.2°=ma1 ②
由运动学公式得
③
联立①②③式，代入数据得
d=4.8 m ④
(2)在M点，设运动员在ABCD面内平行AD方向的分速度为v2，由运动的合成与分解规得
v2=vMcos72.8° ⑤
设运动员在ABCD面内平行AD方向的分加速度为a2，由牛顿第二定律得
mgsin17.2°=ma2 ⑥
设腾空时间为t，由运动学公式得
⑦
⑧
联立①②⑤⑥⑦⑧式，代入数据得
L=12 m ⑨