11.5几何证明举例--三角形全等的判定及应用课件

课件29张PPT。三角形全等的判定及应用 11.5几何证明举例全等三角形的对应边相等全等三角形的对应角相等 在三角形全等的前提下我们知道了全等三角形的性质，而在现实中经常存在的问题是，需要我们判断两个三角形是否全等，这时又需要什么条件呢？判断两个三角形是否全等的方法有 。知识复习三角形全等的条件（判定）：
1、两角和它们的 对应相等的两个三角形全等。简称“ ”或“ ”
2、两边及其 对应相等的两个三角形全等。简称“ ”或“ ”
3、三边 的两个三角形全等。简称“ ”或“ ”
4、两角和其中一角的 对应相等的两个三角形全等。简称“ ”或“ ”
在?ABC 和?A′B′C′中，AB=A′B′∠ A= ∠A′∴ABC≌ A′B′C′(ASA)∠ B= ∠B′角边角公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形
全等（“角边角”或 “ASA”）
边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形
全等（“边角边”或 “SAS”）
在?ABC 和?A′B′C′中，AB=A′B′AC= A′C′∠ BAC= ∠B′A′C′∴ABC≌ A′B′C′(SAS)在?ABC 和?A′B′C′中，AB=A′B′AC= A′C′BC= B′C′∴ABC≌ A′B′C′(SSS)边边边公理：有三边对应相等的两个三角形全等（“边角边”或 “SAS”）
CABDO
例：如图，AC和BD相交与O，AO=DO，BO=CO，
求证：△AOB≌△DOCAO=DO(已知)
______=_______( )
BO=CO(已知)
∴ △AOB≌△DOC（ ）∠ AOB∠ DOC对顶角相等SAS证明：在△AOB和△DOC中(2).如图，在△AEC和△ADB中，AE＝AD，AB＝AC
求证： △AEC≌△ADB____=____(已知)
∠A= ∠A( 公共角)
____=____(已知)
∴ △AEC≌△ADB（ ）AEADACABSAS证明：在△ADB和△AEC中(2).如图，在△AEC和△ADB中，∠B＝∠C，AB＝AC
求证： EC＝DB____=____(已知)
____=____(已知)
∠A= ∠A( 公共角)
∴ △AEC≌△ADB（ ）∠B∠CACABASA证明：在△ADB和△AEC中已知: 如图,AC=AD ,∠CAB=∠DAB. 求证: △ACB ≌ △ADB.
ABCD证明:
△ACB ≌ △ADB
这两个条件够吗?
还要什么条件呢?还要一条边已知: 如图,AC=AD ,∠CAB=∠DAB. 求证: △ACB ≌ △ADB.
ABCD它既是△ACB的一条边,看看线段AB又是△ADB的一条边△ACB 和△ADB的公共边已知: 如图,AC=AD ,∠CAB=∠DAB. 求证: △ACB ≌ △ADB.
ABCD证明:在△ACB 和 △ADB中 AC = A D
∠CAB=∠DAB
A B = A B (公共边）∴△ACB≌△ADB（SAS）证明三角形全等的步骤：?1.写出在哪两个三角形中证明全等。（注意把表示对应顶点的字母写在对应的位置上）.
?2.按公理（定理）的顺序列出三个条件，用大括号合在一起.
?3.写出结论.每步要有推理的依据.在应用时，怎样寻找已知条件：已知条件包含两部分，一是已知中给出的，二是图形中隐含的（如公共边，公共角、对顶角、邻补角、外角、平角等）所以找条件归结成两句话：已知中找，图形中看.
平面几何中常要说明角相等和线段相等，其说明常用方法：
角相等――对顶角相等；同角（或等角）的余角（或补角）相等；两直线平行，同位角相等，内错角相等；角平分线定义；等式性质；全等三角形的对应角相等.
线段相等的方法――中点定义；全等三角形的对应边相等；等式性质. 1.若AB=AC，则添加什么条件可得△ABD≌ △ACD?△ABD≌ △ACDAD=ADAB=AC∠BAD= ∠CADSAS练习一图中隐含已知条件2.已知如图，点D 在AB上，点E在AC上，BE与CD交于点O，△ABE≌ △ACDSASAB=AC∠A= ∠ AAD=AE要证△ABE≌ △ACD需添加什么条件?隐含条件已知角，缺少两边，而且是与角相邻的两条边！2.已知如图，点D 在AB上，点E在AC上，BE与CD交于点O，SASOB=OC∠BOD= ∠ COEOD=OE要证△BOD≌ △COE需添加什么条件?△BOD≌ △COE隐含条件（对顶角）3.如图，要证△ACB≌ △ADB ，至少选用哪些条件可ABCD△ACB≌ △ADBSAS证得△ACB≌ △ADBAB=AB∠CAB= ∠ DABAC=AD能使用现有条件就应使用现有条件！挖掘隐含条件。3.如图，要证△ACB≌ △ADB ，至少选用哪些条件可ABCD△ACB≌ △ADBSAS证得△ACB≌ △ADBAB=AB∠CBA= ∠ DBABC=BD 1、已知：在△ABE和△ACD中，AB=AC ，AD=AE .
求证：（1）△ ABE≌ △ ACD.
（2）△ OBE≌ △ OCD.
证明: 在△ABE和△ACD 中，AB=ACAD=AE∠A=∠A（公共角）∴ △ ABE ≌ △ ACD（SAS）练习二2、已知：如图,点B,F,C,E在同一直线上,FB=CE,
AB∥ED,AC∥FD,
求证：AB=DE,AC=DF 证明:∵FB=CE(已知) ∴ FB+FC=CE+FC∴BC=EF ∵AB∥ED,AC∥FD(已知) ∴∠B=∠E,∠ACB=∠DFE(两直线平行,内错角相等) 在△ABC与△DEF中｛BC=EF(已证)∠B=∠E(已证)∠ACB=∠DFE(已证) ∴△ABC≌△DEF(ASA) ∴AB=DE AC=DF(全等三角形对应边相等)练 习 三已知：如右图，AB、CD相交于点O，AC∥DB,OC = OD, E、F为 AB上两点，且AE = BF.求证：CE=DF.证明：在?AOC 和?BOD中，∵ AC∥DB,∴∠A = ∠B ( 两直线平等，内错角相等 ).又∵ ∠AOC = ∠BOD（对顶角相等）∠A = ∠B ( 已证 ),OC = OD（已知） ∴ ?AOC ≌ ?BOD（AAS） ∴ AC = BD在?AEC 和?BFD中， AC = BD(已证),∠A = ∠B ( 已证 ),AE = BF（已知）. ∴ ?AEC ≌ ?BFD（ASA） ∴ CE = DF问题:如图有一池塘。要测池塘两端A、B的距离，可无法直接达到，因此这两点的距离无法直接量出。你能想出办法来吗？ABCED在平地上取一个可直接到达A和B的点C，连结AC并延长至D使CD=CA延长BC并延长至E使CE=CB连结ED，那么量出DE的长，就是A、B的距离.为什么？按图写出“已知”“求证”，并加以证明已知：AD与BE交于点C，CA=CD，CB=CE.求证：AB=DE 练 习 四1、已知：如图，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2. 求证：△ABC≌△ADE.2、已知：如图，AE是△ABC的中线，D是 BC延长线上一点，且CD＝AB，∠BCA＝∠BAC.
求证：AD＝2AE. ABCDE【点评】这里∠1和∠2不是所证三角形中的角，∠BAC和∠DAE才是三角形的内角.所以须证∠BAC＝∠DAE，才能满足①、②、③三个条件. 【分析】通过添加辅助线，构造全等三角形是一种常用的思考方法.若已知条件中有中线，常延长中线成两倍关系，构成全等三角形. F 【点评】证明一条线段(或一个角)是另一条
线段(或另一个角)的两倍，常用方法是:
(1)加倍法.作出等于短线段(或小角)两倍
的线段(或角)，然后证它与较长线段(或较大
角)相等；
(2)折半法.作出较长线段(或较大角)的一
半证明它与较短线段(或较小角)相等. 证明题：1．已知:如图，AD∥BC，AD＝CB. 　　　　　　 求证:AB＝CD. 2．已知: 如图，∠1＝∠2，BD＝CA.
求证:∠A＝∠D. 【提示】 先证ΔABC≌ ΔADC求证:(1)AE＝CF； (2)AE∥CF；
(3)∠AFE＝∠CEF. 3．已知: 如图，B、F、E、D在一条直线上，
AB＝CD，BF＝ED，∠B＝∠D. 【提示】 先证ΔABE≌ ΔDCF4．已知：如图，ABC为直线，EB⊥AC，
BD＝BC，AB＝BE.
求证：AF⊥EC. 【提示】求证△ABD≌△EBC，
得∠A＝∠E，
因为∠ADB＝∠EDF，
∠A＋∠ADB＝90°，
所以∠E＋∠EDF＝90°，
AF⊥EC. 小结1.边角边公理（SAS）；角边角公理（ASA）；边边边公理（SSS）；角角边定理（AAS）2.公理的应用中所用到的数学方法:
证明线段（或角相等） 证明线段（或角）所在的两个三角形全等.转化1. 证明两个三角形全等所需的条件应按对应边、对应角、对应边顺序书写.
2. 公理中所出现的边与角必须在所证明的两个三角形中.
3. 公理中涉及的角必须是两边的夹角.DEF思考题：有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形是否全等。