2022年高考数学真题分类汇编专题05：不等式

2022年高考数学真题分类汇编专题05：不等式
一、单选题
1．（2022·浙江）若实数x，y满足约束条件 则 的最大值是（　　）
A．20 B．18 C．13 D．6
2．（2022·全国乙卷）若x，y满足约束条件 则的最大值是（　　）
A． B．4 C．8 D．12
3．（2022·全国甲卷）设全集 ，集合 ，则 （　　）
A． B． C． D．
4．（2022·全国甲卷）已知 ，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2022·新高考Ⅰ卷）设 则（　　）
A． B． C． D．
6．（2022·新高考Ⅰ卷）若集合 则 =（　　）
A． B．
C． D．
7．（2022·浙江学考）不等式 的解集是（）
A． B．
C． D．
8．（2022·浙江学考）不等式组 表示的平面区域是（）
A． B．
C． D．
9．（2022·浙江学考）若 对任意 恒成立，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
10．（2022·上海）已知 ，下列选项中正确的是（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
11．（2022·新高考Ⅱ卷）对任意x，y， ，则（　　）
A． B． C． D．
三、填空题
12．（2022·全国甲卷）已知 中，点D在边BC上， ．当 取得最小值时， 　 　．
13．（2022·新高考Ⅰ卷）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是　 　.
14．（2022·上海）不等式 的解集为　 　
四、解答题
15．（2022·全国乙卷）已知a，b，c都是正数，且 ，证明：
（1） ；
（2） ．
16．（2022·新高考Ⅰ卷）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（1）若 求B；
（2）求 的最小值.
17．（2022·上海）如图，矩形ABCD区域内，D处有一棵古树，为保护古树，以D为圆心，DA为半径划定圆D作为保护区域，已知 m， m，点E为AB上的动点，点F为CD上的动点，满足EF与圆D相切.
（1）若∠ADE ，求EF的长；
（2）当点E在AB的什么位置时，梯形FEBC的面积有最大值，最大面积为多少？
（长度精确到0.1m，面积精确到0.01m ）
18．（2022·上海）已知函数 ，甲变化： ；乙变化： ， .
（1）若 ， ， 经甲变化得到 ，求方程 的解；
（2）若 ， 经乙变化得到 ，求不等式 的解集；
（3）若 在 上单调递增，将 先进行甲变化得到 ，再将 进行乙变化得到 ；将 先进行乙变化得到 ，再将 进行甲变化得到 ，若对任意 ，总存在 成立，求证： 在R上单调递增.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】根据约束条件 画出可行域，
可知过点时取到最大值18.
故答案为：B
【分析】先作出不等式组表示的平面区域，然后结合图象求解即可．
2．【答案】C
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】由题意作出可行域（阴影部分所示），目标函数 转化为 ，
上下平移直线 ，可知当直线过点 时，直线截距最小，z最大，
所以 .
故选：C
【分析】作出可行域，数形结合即可得解.
3．【答案】D
【知识点】并集及其运算；补集及其运算；一元二次方程的解集
【解析】【解答】解：由题意得， ，所以A∪B={-1，1，2，3} ，
所以 .
故选：D
【分析】先求解方程求出集合B，再由集合的并集、补集运算即可得解.
4．【答案】A
【知识点】指数函数单调性的应用；指数式与对数式的互化；换底公式的应用；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：由9m=10可得，
而，
所以 ，
即m>lg11，
所以a=10m-11>10lg11-11=0．
又，
所以 ，
即log89>m ，
所以 ．
综上，a>0>b ．
故选：A
【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m=log910>1 ，再利用基本不等式，换底公式可得 m>lg11，log89>m ，然后由指数函数的单调性即可解出．
5．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：令a=xex，，c=-ln(1-x)，
则lna-lnb=x+lnx-[lnx-ln(1-x)]=x+ln(1-x)，
令y=x+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，
则，
所以y≤0，
所以lna≤lnb，
所以b>a，
a-c=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，
令y=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，
，
令k(x)=，
所以k'(x)=(1-2x-x2)ex>0，
所以k(x)>k(0)>0，
所以y'>0，
所以a-c>0，
所以a>c，
综上可得，c故选：C
【分析】分别构造函数y=x+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，y=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，根据导数判断函数的单调性，再运用作差法比较大小即可得解.
6．【答案】D
【知识点】交集及其运算；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由题意得， ，则 = ，
故选：D
【分析】先由不等式的解法求得集合M，N，再根据交集的运算求得答案.
7．【答案】A
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】 ，解得 ，所以解集为 。
故答案为：A
【分析】利用 一元二次不等式求解集的方法，进而得出不等式 的解集。
8．【答案】B
【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域
【解析】【解答】画出直线 ，经过一、二、三象限，对应图中的实线，代入 可得 成立，所以 表示的区域为直线 及直线右下方；画出直线 ，经过二、三、四象限，对应图中的虚线，代入 可得 不成立，所以 表示的区域为直线 及直线左下方，所以对应的平面区域为B.
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合二元一次不等式组画出可行域，从而找出不等式组表示的平面区域。
9．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由 ，可得 ，所以 ，因为函数 在 上单调递增，所以 在 上恒成立，令 ，则 在 上恒成立，令 ，则 ，当且仅当 ，即 时，取等号，所以 。
故答案为：A
【分析】由 ，可得 ，再利用函数 在 上单调递增，所以 在 上恒成立，令 ，则 在 上恒成立，令 ，再利用均值不等式求最值的方法得出的最大值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数的取值范围。
10．【答案】B
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：对于A，令a=2，b=1，c=0，d=-3，则a+d=-1，b+c=1，此时a+d对于B，因为 ，即a>b，c>d，则根据不等式的性质得 ，故B正确；
对于C， 令a=2，b=1，c=0，d=-3，则ad=-3，bc=0，此时ad对于D，令a=-1，b=-2，c=-3，d=-4，则ac=3，bd=8，此时ac故答案为：B
【分析】运用特殊值法，结合不等式的性质逐项判断即可求解.
11．【答案】B,C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】根据 （ R）， 可变形为， ，解得 ，当且仅当 时， ，当且仅当 时， ，所以A不符合题意，B符合题意；
可变形为 ，解得 ，当且仅当 时取等号，所以C符合题意；
因为 变形可得 ，设 ，所以 ，因此
，所以当 时满足等式，但是 不成立，所以D不符合题意．
故答案为：BC
【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项．
12．【答案】 或
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：设CD=2BD=2m>0，
则在△ABD中，AB2=BD2+AD2-2BD·ADcos∠ADB=m2+4+2m ，
在△ACD中，AC2=CD2+AD2-2CD·ADcos∠ADC=4m2+4-4m ，
所以 ，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，，即BD= .
故答案为： .
【分析】设CD=2BD=2m>0，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解.
13．【答案】a＞0或a＜-4
【知识点】导数的几何意义；一元二次方程的解集
【解析】【解答】解：易得曲线不过原点，设切点为(x0，(x0+a)ex0)，则切线斜率为f(x0)=(x0+a+1)ex0 ，
可得切线方程为y-(x0+a)ex0=(x0+a+1)ex0(x-x0)，又切线过原点，
可得-(x0+a)ex0=-x0(x0+a+1)ex0，化简得 (※)，
又切线有两条， 即方程※有两不等实根，由判别式△=a2+4a>0，得a<-4或a>0.
故答案为：a<-4或a>0.
【分析】由导数的几何意义，求得切线方程，再结合切线过原点，易得方程有两不等实根，由△>0求解即可.
14．【答案】
【知识点】一元二次不等式及其解法；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由题意得 等价于x(x-1)<0，解得0故答案为： .
【分析】根据分式不等式的解法直接求解即可.
15．【答案】（1）证明：因为 ， ， ，则 ， ， ，
所以 ，
即 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号．
（2）证明：因为 ， ， ，
所以 ， ， ，
所以 ， ，
当且仅当 时取等号．
【知识点】基本不等式；不等式的证明
【解析】【分析】（1）利用三元均值不等式即可证明；
（2）利用基本不等式及不等式的性质证明即可．
16．【答案】（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，
，所以 ，故 .
（2）因为
所以
所以
由余弦定理
所以
当且仅当 ，即 时取得等号，
综上， 的最小值为 .
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）先由二倍角公式与两角和的余弦公式，化简得 ，再由诱导公式，结合三角形的内角和性质，得 ，可得B；
（2）由诱导公式求得 ， ，再结合余弦定理与三角恒等变换，化简得 ，并利用基本不等式求最值即可.
17．【答案】（1）如图，作DH⊥EF，
则EF=EH+HF=15tan20°+15tan50°≈23.3m；
（2）设∠ADE=θ，AE=15tanθ，FH=15tan(90°-2θ)，
则
当且仅当，即时，等号成立，
即当时，最大面积为
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；任意角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据正切函数的定义，运用数形结合思想求解即可；
（2）根据面积公式，结合基本不等式求最值求解即可.
18．【答案】（1）由题意得g(x)=f(x)-f(x-1)=2x-2x-1=2x-1，
则由g(x)=2得2x-1=2，解得x=2；
（2）由题意得h(x)=|2tx+t2|，如图所示
①当时，h(x)≤f(x)恒成立；
②当时，h(x)=2tx+t2，则由h(x)≤f(x)得2tx+t2≤x2，
解得或，
综上可得或，
故解集为：
（3）由题意得h1(x)=|[f(x+t)-f(x)]-[f(x)-f(x-t)]|，h2(x)=|[f(x+t)-f(x)]|-|[f(x)-f(x-t)]|，
∵x∈R时，h1(x)=h2(x)恒成立
∴|[f(x+t)-f(x)]-[f(x)-f(x-t)]|=|[f(x+t)-f(x)]|-|[f(x)-f(x-t)]|……①
∵t>0且 在 上单调递增
∴x-t则根据|a-b|≥|a|-|b|(当且仅当ab≥0且|a|≥|b|时等号成立)
得f(x-t)∴f(x)-f(x-t)>0
则由①得
∴f(x+t)-f(x)>0
即f(x+t)-f(x)>f(x)-f(x-t)>0
∴对t>0都成立，
则f(x)在R上单调递增.
【知识点】函数单调性的判断与证明；有理数指数幂的化简求值；一元二次不等式及其解法；绝对值不等式
【解析】【分析】(1)根据函数的新定义，结合对数方程的解法求解即可；
(2)根据函数的新定义，运用数形结合思想，结合不等式的解法求解即可；
(3)根据函数的新定义，结合函数的单调性，以及绝对值不等式的性质求解即可.
1 / 12022年高考数学真题分类汇编专题05：不等式
一、单选题
1．（2022·浙江）若实数x，y满足约束条件 则 的最大值是（　　）
A．20 B．18 C．13 D．6
【答案】B
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】根据约束条件 画出可行域，
可知过点时取到最大值18.
故答案为：B
【分析】先作出不等式组表示的平面区域，然后结合图象求解即可．
2．（2022·全国乙卷）若x，y满足约束条件 则的最大值是（　　）
A． B．4 C．8 D．12
【答案】C
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】由题意作出可行域（阴影部分所示），目标函数 转化为 ，
上下平移直线 ，可知当直线过点 时，直线截距最小，z最大，
所以 .
故选：C
【分析】作出可行域，数形结合即可得解.
3．（2022·全国甲卷）设全集 ，集合 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】并集及其运算；补集及其运算；一元二次方程的解集
【解析】【解答】解：由题意得， ，所以A∪B={-1，1，2，3} ，
所以 .
故选：D
【分析】先求解方程求出集合B，再由集合的并集、补集运算即可得解.
4．（2022·全国甲卷）已知 ，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数单调性的应用；指数式与对数式的互化；换底公式的应用；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：由9m=10可得，
而，
所以 ，
即m>lg11，
所以a=10m-11>10lg11-11=0．
又，
所以 ，
即log89>m ，
所以 ．
综上，a>0>b ．
故选：A
【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m=log910>1 ，再利用基本不等式，换底公式可得 m>lg11，log89>m ，然后由指数函数的单调性即可解出．
5．（2022·新高考Ⅰ卷）设 则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：令a=xex，，c=-ln(1-x)，
则lna-lnb=x+lnx-[lnx-ln(1-x)]=x+ln(1-x)，
令y=x+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，
则，
所以y≤0，
所以lna≤lnb，
所以b>a，
a-c=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，
令y=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，
，
令k(x)=，
所以k'(x)=(1-2x-x2)ex>0，
所以k(x)>k(0)>0，
所以y'>0，
所以a-c>0，
所以a>c，
综上可得，c故选：C
【分析】分别构造函数y=x+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，y=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，根据导数判断函数的单调性，再运用作差法比较大小即可得解.
6．（2022·新高考Ⅰ卷）若集合 则 =（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由题意得， ，则 = ，
故选：D
【分析】先由不等式的解法求得集合M，N，再根据交集的运算求得答案.
7．（2022·浙江学考）不等式 的解集是（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】 ，解得 ，所以解集为 。
故答案为：A
【分析】利用 一元二次不等式求解集的方法，进而得出不等式 的解集。
8．（2022·浙江学考）不等式组 表示的平面区域是（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域
【解析】【解答】画出直线 ，经过一、二、三象限，对应图中的实线，代入 可得 成立，所以 表示的区域为直线 及直线右下方；画出直线 ，经过二、三、四象限，对应图中的虚线，代入 可得 不成立，所以 表示的区域为直线 及直线左下方，所以对应的平面区域为B.
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合二元一次不等式组画出可行域，从而找出不等式组表示的平面区域。
9．（2022·浙江学考）若 对任意 恒成立，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由 ，可得 ，所以 ，因为函数 在 上单调递增，所以 在 上恒成立，令 ，则 在 上恒成立，令 ，则 ，当且仅当 ，即 时，取等号，所以 。
故答案为：A
【分析】由 ，可得 ，再利用函数 在 上单调递增，所以 在 上恒成立，令 ，则 在 上恒成立，令 ，再利用均值不等式求最值的方法得出的最大值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数的取值范围。
10．（2022·上海）已知 ，下列选项中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：对于A，令a=2，b=1，c=0，d=-3，则a+d=-1，b+c=1，此时a+d对于B，因为 ，即a>b，c>d，则根据不等式的性质得 ，故B正确；
对于C， 令a=2，b=1，c=0，d=-3，则ad=-3，bc=0，此时ad对于D，令a=-1，b=-2，c=-3，d=-4，则ac=3，bd=8，此时ac故答案为：B
【分析】运用特殊值法，结合不等式的性质逐项判断即可求解.
二、多选题
11．（2022·新高考Ⅱ卷）对任意x，y， ，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】根据 （ R）， 可变形为， ，解得 ，当且仅当 时， ，当且仅当 时， ，所以A不符合题意，B符合题意；
可变形为 ，解得 ，当且仅当 时取等号，所以C符合题意；
因为 变形可得 ，设 ，所以 ，因此
，所以当 时满足等式，但是 不成立，所以D不符合题意．
故答案为：BC
【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项．
三、填空题
12．（2022·全国甲卷）已知 中，点D在边BC上， ．当 取得最小值时， 　 　．
【答案】 或
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：设CD=2BD=2m>0，
则在△ABD中，AB2=BD2+AD2-2BD·ADcos∠ADB=m2+4+2m ，
在△ACD中，AC2=CD2+AD2-2CD·ADcos∠ADC=4m2+4-4m ，
所以 ，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，，即BD= .
故答案为： .
【分析】设CD=2BD=2m>0，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解.
13．（2022·新高考Ⅰ卷）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是　 　.
【答案】a＞0或a＜-4
【知识点】导数的几何意义；一元二次方程的解集
【解析】【解答】解：易得曲线不过原点，设切点为(x0，(x0+a)ex0)，则切线斜率为f(x0)=(x0+a+1)ex0 ，
可得切线方程为y-(x0+a)ex0=(x0+a+1)ex0(x-x0)，又切线过原点，
可得-(x0+a)ex0=-x0(x0+a+1)ex0，化简得 (※)，
又切线有两条， 即方程※有两不等实根，由判别式△=a2+4a>0，得a<-4或a>0.
故答案为：a<-4或a>0.
【分析】由导数的几何意义，求得切线方程，再结合切线过原点，易得方程有两不等实根，由△>0求解即可.
14．（2022·上海）不等式 的解集为　 　
【答案】
【知识点】一元二次不等式及其解法；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由题意得 等价于x(x-1)<0，解得0故答案为： .
【分析】根据分式不等式的解法直接求解即可.
四、解答题
15．（2022·全国乙卷）已知a，b，c都是正数，且 ，证明：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）证明：因为 ， ， ，则 ， ， ，
所以 ，
即 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号．
（2）证明：因为 ， ， ，
所以 ， ， ，
所以 ， ，
当且仅当 时取等号．
【知识点】基本不等式；不等式的证明
【解析】【分析】（1）利用三元均值不等式即可证明；
（2）利用基本不等式及不等式的性质证明即可．
16．（2022·新高考Ⅰ卷）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（1）若 求B；
（2）求 的最小值.
【答案】（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，
，所以 ，故 .
（2）因为
所以
所以
由余弦定理
所以
当且仅当 ，即 时取得等号，
综上， 的最小值为 .
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）先由二倍角公式与两角和的余弦公式，化简得 ，再由诱导公式，结合三角形的内角和性质，得 ，可得B；
（2）由诱导公式求得 ， ，再结合余弦定理与三角恒等变换，化简得 ，并利用基本不等式求最值即可.
17．（2022·上海）如图，矩形ABCD区域内，D处有一棵古树，为保护古树，以D为圆心，DA为半径划定圆D作为保护区域，已知 m， m，点E为AB上的动点，点F为CD上的动点，满足EF与圆D相切.
（1）若∠ADE ，求EF的长；
（2）当点E在AB的什么位置时，梯形FEBC的面积有最大值，最大面积为多少？
（长度精确到0.1m，面积精确到0.01m ）
【答案】（1）如图，作DH⊥EF，
则EF=EH+HF=15tan20°+15tan50°≈23.3m；
（2）设∠ADE=θ，AE=15tanθ，FH=15tan(90°-2θ)，
则
当且仅当，即时，等号成立，
即当时，最大面积为
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；任意角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据正切函数的定义，运用数形结合思想求解即可；
（2）根据面积公式，结合基本不等式求最值求解即可.
18．（2022·上海）已知函数 ，甲变化： ；乙变化： ， .
（1）若 ， ， 经甲变化得到 ，求方程 的解；
（2）若 ， 经乙变化得到 ，求不等式 的解集；
（3）若 在 上单调递增，将 先进行甲变化得到 ，再将 进行乙变化得到 ；将 先进行乙变化得到 ，再将 进行甲变化得到 ，若对任意 ，总存在 成立，求证： 在R上单调递增.
【答案】（1）由题意得g(x)=f(x)-f(x-1)=2x-2x-1=2x-1，
则由g(x)=2得2x-1=2，解得x=2；
（2）由题意得h(x)=|2tx+t2|，如图所示
①当时，h(x)≤f(x)恒成立；
②当时，h(x)=2tx+t2，则由h(x)≤f(x)得2tx+t2≤x2，
解得或，
综上可得或，
故解集为：
（3）由题意得h1(x)=|[f(x+t)-f(x)]-[f(x)-f(x-t)]|，h2(x)=|[f(x+t)-f(x)]|-|[f(x)-f(x-t)]|，
∵x∈R时，h1(x)=h2(x)恒成立
∴|[f(x+t)-f(x)]-[f(x)-f(x-t)]|=|[f(x+t)-f(x)]|-|[f(x)-f(x-t)]|……①
∵t>0且 在 上单调递增
∴x-t则根据|a-b|≥|a|-|b|(当且仅当ab≥0且|a|≥|b|时等号成立)
得f(x-t)∴f(x)-f(x-t)>0
则由①得
∴f(x+t)-f(x)>0
即f(x+t)-f(x)>f(x)-f(x-t)>0
∴对t>0都成立，
则f(x)在R上单调递增.
【知识点】函数单调性的判断与证明；有理数指数幂的化简求值；一元二次不等式及其解法；绝对值不等式
【解析】【分析】(1)根据函数的新定义，结合对数方程的解法求解即可；
(2)根据函数的新定义，运用数形结合思想，结合不等式的解法求解即可；
(3)根据函数的新定义，结合函数的单调性，以及绝对值不等式的性质求解即可.
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