2022年高考数学真题分类汇编专题06：数列

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2022年高考数学真题分类汇编专题06：数列
一、单选题
1．（2022·浙江）已知数列 满足 ，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】数列递推式
【解析】【解答】由题意易知为递减数列，∴为递减数列，
因为，所以
∴，
又，则＞0，
∴，
∴，
∴，则，
∴
由得得
利用累加可得
∴，
∴；
综上，．
故选：B
【分析】分析可知数列{an}是单调递减数列，根据题意先确定上限，得到，由此可推得100an＜3，再将原式变形确定下限，可得，由此可推得，综合即可得到答案．
2．（2022·新高考Ⅱ卷）中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现．如图是某古建筑物的剖面图， 是举， 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 ，若 是公差为0.1的等差数列，且直线 的斜率为0.725，则 （　　）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
【答案】D
【知识点】等差数列
【解析】【解答】设 ，则 ，
根据题意，有 ，且 ，
所以 ，故 .
故答案为：D
【分析】设 ，可得关于 的方程求解即可.
3．（2022·全国乙卷）已知等比数列 的前3项和为168， ，则 （　　）
A．14 B．12 C．6 D．3
【答案】D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等比数列 的公比为 ，首项为 ，
若 ，则 ，与已知条件矛盾，
所以 ，由题意可得 ，解得 ，
所以 .
故选：D.
【分析】设等比数列 的公比为 ，首项为 ，易得 ，根据等比数列的通项以及前n项和公式列方程组，求出首项与公比，最后根据通项即可求解.
4．（2022·全国乙卷）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 ： ， ， ，…，依此类推，其中 ．则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】数列的应用
【解析】【解答】解：因为 ，
所以 ， ，故 ，
同理可得 ， ，
又因为 ，
故 ， ；
以此类推，可得 ，故A错误；
，得 ，故C错误；而 ，故B错误；
，得 ，故D正确.
故选：D
【分析】根据 ，再利用数列 与 的关系判断 中各项的大小，即可求解.
5．（2022·浙江学考）通过以下操作得到一系列数列：第1次，在2，3之间插入2与3的积6，得到数列2，6，3；第2次，在2，6，3每两个相邻数之间插入它们的积，得到数列2，12，6，18，3；类似地，第3次操作后，得到数列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述这样操作11次后，得到的数列记为 ，则 的值是（）
A．6 B．12 C．18 D．108
【答案】A
【知识点】等比数列；等比数列的通项公式；数列递推式
【解析】【解答】设数列经过第 次拓展后的项数为 ，因为数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，则经过第 次拓展后增加的项数为 ，
所以 ，
即 ，即 ，
所以数列 是以 为首项，2为公比的等比数列，
是以 ，所以 ，
则经过11次拓展后在 与6之间增加的数为 ，
所以经过11次拓展后6所在的位置为第 ，
所以 。
故答案为：A.
【分析】设数列经过第 次拓展后的项数为 ，再利用数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，则经过第 次拓展后增加的项数为 ，再利用已知条件得出，再利用递推公式变形结合等比数列的定义，从而判断出数列 是以 为首项，2为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式，进而得出数列的通项公式，进而得出经过11次拓展后在 与6之间增加的数 ，从而得出经过11次拓展后6所在的位置，进而得出 的值 。
6．（2022·上海）已知 为等比数列， 的前n项和为 ，前n项积为 ，则下列选项中正确的是（　　）
A．若 ，则数列 单调递增
B．若 ，则数列 单调递增
C．若数列 单调递增，则
D．若数列 单调递增，则
【答案】D
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：对于A，设，显然有 ，但数列 单调递减，故A错误；
对于B，设an=-2n， 显然有 ，但数列 单调递减，故B错误；
对于C，设，显然有数列 单调递增，但 ，故C错误；
对于D，若数列{Tn}单调递增，则Tn>Tn-1>0，则an>1,q≥1，则，故D正确.
故答案为：D
【分析】根据等比数列的性质，结合特殊值法求解即可.
二、填空题
7．（2022·全国乙卷）记 为等差数列 的前n项和．若 ，则公差 　 　．
【答案】2
【知识点】等差数列；等差数列的通项公式
【解析】【解答】由 可得 ，化简得 ，即 ，解得 .
故答案为：2
【分析】转化条件为 ，即可得解.
8．（2022·北京）已知数列 的各项均为正数，其前 项和 ，满足 给出下列四个结论：
① 的第2项小于3； ② 为等比数列；
③ 为递减数列； ④ 中存在小于 的项。
其中所有正确结论的序号是　 　．
【答案】①③④
【知识点】数列的应用；数列递推式
【解析】【解答】 ，可得 ，又各项均为正，可得 ，令 可得 ，可解得 ，故①正确；
当 时，由 得 ，于是可得 ，即 ，若 为等比数列，则 时 ，即从第二项起为常数，可检验 则不成立，故②错误；
，可得 ，于是 ，所以 ，于是③正确；
对于④，若所有项均大于等于 ，取 ，则 ， ，于是 与已知矛盾，所以④错误.
【分析】先令 、 计算数列的首项和第二项即可判断①；根据 的关系，求得 假设 为等比数列，经检验n=3不成立，判断②错误；由 ，可得 ，于是 ，所以 ，于是③正确；利用反证法推出矛盾即可判断④.
9．（2022·浙江学考）若数列 通项公式为 ，记前n项和为 ，则 　 　； 　 　.
【答案】4；20
【知识点】等差数列；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
又因为 ， ，所以数列 是以2为首项2为公差的等差数列，
则 。
故答案为：4；20。
【分析】利用已知的数列的通项公式结合代入法得出数列的第二项的值；再利用等差数列的定义判断出数列 是以2为首项2为公差的等差数列，再利用等差数列前n项和公式，进而得出等差数列前4项的值。
三、解答题
10．（2022·浙江）已知等差数列 的首项 ，公差 ．记 的前n项和为 ．
（Ⅰ）若 ，求 ；
（Ⅱ）若对于每个 ，存在实数 ，使 成等比数列，求d的取值范围．
【答案】解：（Ⅰ） 设 ，依题意得， .
解得 ，则 ，
于是 .
（Ⅱ）设 ，依题意得，
，
故
对任意正整数n成立.
时，显然成立；
时， ，则 ；
时， .
综上所述， .
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【分析】（Ⅰ）由等差数列 的首项 及可得关于公差d的方程，再由公差d的范围可得d的值，最后根据等差数列的前n项和公式可得；
（Ⅱ） 设 ， 由成等比数列，可得关于的二次方程，由判别式大于等于0可得d的表达式，对n分情况讨论可得d的取值范围．
11．（2022·新高考Ⅱ卷）已知 为等差数列， 是公比为2的等比数列，且 ．
（1）证明： ；
（2）求集合 中元素个数．
【答案】（1）证明：设数列 的公差为 ，所以， ，即可解得， ，所以原命题得证．
（2）解：由（1）知 ，
由 知：
即 ，即 ，
因为 ，故 ，解得
故集合 中元素的个数为9个.
【知识点】集合中元素个数的最值；等差数列；等比数列
【解析】【分析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出；
（2）根据题意化简可得，即可解出．
12．（2022·全国甲卷）记 为数列 的前n项和．已知 ．
（1）证明： 是等差数列；
（2）若 成等比数列，求 的最小值．
【答案】（1）已知 ，即 ①，
当 时， ②，
①-②得， ，
即 ，
即 ，所以 ， 且 ，
所以 是以1为公差的等差数列．
（2）由（1）中 可得， ， ， ，
又 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
所以，当 或 时 ．
【知识点】等差数列；等差数列的前n项和；等比数列的性质；数列递推式
【解析】【分析】（1）依题意可得 ，根据 ，作差即可得到 ，从而得证；
（2）由（1）及等比中项的性质求出a1，即可得到{an}的通项公式与前n项和，再根据二次函数的性质计算可得．
13．（2022·北京）已知 为有穷整数数列．给定正整数 ，若对任意的 ，在 中存在 ，使得 ，则称 为 连续可表数列．
（Ⅰ）判断 是否为5-连续可表数列？是否为 连续可表数列？说明理由；
（Ⅱ）若 为 连续可表数列，求证： 的最小值为4；
（Ⅲ）若 为 连续可表数列， ，求证： ．
【答案】（Ⅰ） 若，则对于任意，，所以Q是5-连续可表数列；由不存在任意连续若干项之和相加为6，所以Q不是6-连续可表数列；
（Ⅱ）若 ，设为a，b，c，则至多 6种矛盾 满足
（Ⅲ）若k≤5，则 至多可表15个数，与题意矛盾，若 至多可表21个数，而 ，所以其中有负的，从而a，b，c，d，e，f可表 及那个负数（恰21个)
这表明 中仅一个负的，没有0，且这个们的在 中绝对值最小，同时 中没有两数相同，设那个负数为
则所有数之和 ，再考虑排序
(仅一种方式)
∴-1与2相序
若-1不在两端，则" 2 ___"形式
若 ，则 (2种方式矛盾)
，问理 ，故-1在一端，不妨为" 形式
右 ，则 (2种矛盾) 同理不行
，则 (2种矛盾)从而
由 ，由表法唯一知3，4不相邻，故只能 ①
或 ②这2种情形
对① 矛后
对② 也矛盾
综上
【知识点】数列的应用；数列与不等式的综合
【解析】【分析】 （Ⅰ）根据可表数列的定义即可判断；
（II）反证法：假设，则最多能表示6个数字，与Q为8-连续可表数列矛盾，故k≥4；
（III） 若k≤5，则 至多可表15个数 ，至多可表21个数，而 ，所以至少要有6个正整数连续可表1-20个正整数，即至少6个正整数和一个负数才能满足题意，故.
14．（2022·新高考Ⅰ卷）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 ，的等差数列.
（1）求 的通项公式；
（2）证明：
【答案】（1）因为 是公差为 的等差数列，而 ，
所以 ①
时， ②
①-②有： .
所以 ，
以上式子相乘，得
经检验， 时， ，符合.
所以 .
（2）由（1）知
所以
所以 = =
因为 ，所以 ，
所以 ，
即 ．
【知识点】数列的概念及简单表示法；等差数列的通项公式；数列的求和；数列递推式；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式可得 ，由利用Sn与an的关系，得 ，再利用累积法，可得an；
（2）由（1）得 ，利用裂项相消求和求得 ，再解不等式即可.
15．（2022·新高考Ⅰ卷）已知函数 和 有相同的最小值.
（1）求a；
（2）证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
【答案】（1）因为 ，所以 ，
若 ，则 恒成立，
所以 在 上单调递增，无最小值，不满足；
若 ，令f’（x）＞0 x＞lna，令f’（x）＜0 x＜lna，
所以 ，
因为 ，定义域 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
依题有 ，即 ，
令 ，则 恒成立
所以 在 上单调递增，又因为 ，
有唯一解 ，
综上，
（2）由(1)易知 在 上单调递减，在 上单调递增， 在 上单调递减，在 上单调递增，
存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，
设三个不同交点的横坐标分别为 ，不妨设 ，
显然有 ，
则肯定有 ，
注意 的结构，易知 ，
所以有 ，所以有 ，而由 在 上单调递减，
知 ，同理 ，
所以 ，
又由 ，
故 ，
所以存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
【知识点】指数式与对数式的互化；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用；等差数列
【解析】【分析】（1）对a分 ， 两种情况，利用导数研究函数f(x)的单调性，并求得 ，同理可得 ，根据题意列式，构造函数 ，并利用导数h’(a)，可得函数h(x)的单调性，并易得h(1)=0，从而求得a；
（2）由(1)易得函数f(x)，g(x)的单调性，易得 ，同时根据 ，可得 ， ，从而得 ，再由对数运算可证 ，结论得证.
16．（2022·上海）已知数列 ， ， 的前n项和为 .
（1）若 为等比数列， ，求 ；
（2）若 为等差数列，公差为d，对任意 ，均满足 ，求d的取值范围.
【答案】（1）设等比数列的公比为q，则由题意得a1=2，
则
则
则
（2）由题意得
则(3-2n)d≤1
当n=1时,d≤1；
当n≥2时,恒成立；
∵
∴d≥0
综上
【知识点】极限及其运算；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）根据等比数列的前n项和公式，结合极限求解即可；
（2）根据等差数列的前n项和公式，结合不等式的解法求解即可.
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2022年高考数学真题分类汇编专题06：数列
一、单选题
1．（2022·浙江）已知数列 满足 ，则（　　）
A． B．
C． D．
2．（2022·新高考Ⅱ卷）中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现．如图是某古建筑物的剖面图， 是举， 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 ，若 是公差为0.1的等差数列，且直线 的斜率为0.725，则 （　　）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
3．（2022·全国乙卷）已知等比数列 的前3项和为168， ，则 （　　）
A．14 B．12 C．6 D．3
4．（2022·全国乙卷）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 ： ， ， ，…，依此类推，其中 ．则（　　）
A． B． C． D．
5．（2022·浙江学考）通过以下操作得到一系列数列：第1次，在2，3之间插入2与3的积6，得到数列2，6，3；第2次，在2，6，3每两个相邻数之间插入它们的积，得到数列2，12，6，18，3；类似地，第3次操作后，得到数列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述这样操作11次后，得到的数列记为 ，则 的值是（）
A．6 B．12 C．18 D．108
6．（2022·上海）已知 为等比数列， 的前n项和为 ，前n项积为 ，则下列选项中正确的是（　　）
A．若 ，则数列 单调递增
B．若 ，则数列 单调递增
C．若数列 单调递增，则
D．若数列 单调递增，则
二、填空题
7．（2022·全国乙卷）记 为等差数列 的前n项和．若 ，则公差 　 　．
8．（2022·北京）已知数列 的各项均为正数，其前 项和 ，满足 给出下列四个结论：
① 的第2项小于3； ② 为等比数列；
③ 为递减数列； ④ 中存在小于 的项。
其中所有正确结论的序号是　 　．
9．（2022·浙江学考）若数列 通项公式为 ，记前n项和为 ，则 　 　； 　 　.
三、解答题
10．（2022·浙江）已知等差数列 的首项 ，公差 ．记 的前n项和为 ．
（Ⅰ）若 ，求 ；
（Ⅱ）若对于每个 ，存在实数 ，使 成等比数列，求d的取值范围．
11．（2022·新高考Ⅱ卷）已知 为等差数列， 是公比为2的等比数列，且 ．
（1）证明： ；
（2）求集合 中元素个数．
12．（2022·全国甲卷）记 为数列 的前n项和．已知 ．
（1）证明： 是等差数列；
（2）若 成等比数列，求 的最小值．
13．（2022·北京）已知 为有穷整数数列．给定正整数 ，若对任意的 ，在 中存在 ，使得 ，则称 为 连续可表数列．
（Ⅰ）判断 是否为5-连续可表数列？是否为 连续可表数列？说明理由；
（Ⅱ）若 为 连续可表数列，求证： 的最小值为4；
（Ⅲ）若 为 连续可表数列， ，求证： ．
14．（2022·新高考Ⅰ卷）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 ，的等差数列.
（1）求 的通项公式；
（2）证明：
15．（2022·新高考Ⅰ卷）已知函数 和 有相同的最小值.
（1）求a；
（2）证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
16．（2022·上海）已知数列 ， ， 的前n项和为 .
（1）若 为等比数列， ，求 ；
（2）若 为等差数列，公差为d，对任意 ，均满足 ，求d的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】数列递推式
【解析】【解答】由题意易知为递减数列，∴为递减数列，
因为，所以
∴，
又，则＞0，
∴，
∴，
∴，则，
∴
由得得
利用累加可得
∴，
∴；
综上，．
故选：B
【分析】分析可知数列{an}是单调递减数列，根据题意先确定上限，得到，由此可推得100an＜3，再将原式变形确定下限，可得，由此可推得，综合即可得到答案．
2．【答案】D
【知识点】等差数列
【解析】【解答】设 ，则 ，
根据题意，有 ，且 ，
所以 ，故 .
故答案为：D
【分析】设 ，可得关于 的方程求解即可.
3．【答案】D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等比数列 的公比为 ，首项为 ，
若 ，则 ，与已知条件矛盾，
所以 ，由题意可得 ，解得 ，
所以 .
故选：D.
【分析】设等比数列 的公比为 ，首项为 ，易得 ，根据等比数列的通项以及前n项和公式列方程组，求出首项与公比，最后根据通项即可求解.
4．【答案】D
【知识点】数列的应用
【解析】【解答】解：因为 ，
所以 ， ，故 ，
同理可得 ， ，
又因为 ，
故 ， ；
以此类推，可得 ，故A错误；
，得 ，故C错误；而 ，故B错误；
，得 ，故D正确.
故选：D
【分析】根据 ，再利用数列 与 的关系判断 中各项的大小，即可求解.
5．【答案】A
【知识点】等比数列；等比数列的通项公式；数列递推式
【解析】【解答】设数列经过第 次拓展后的项数为 ，因为数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，则经过第 次拓展后增加的项数为 ，
所以 ，
即 ，即 ，
所以数列 是以 为首项，2为公比的等比数列，
是以 ，所以 ，
则经过11次拓展后在 与6之间增加的数为 ，
所以经过11次拓展后6所在的位置为第 ，
所以 。
故答案为：A.
【分析】设数列经过第 次拓展后的项数为 ，再利用数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，则经过第 次拓展后增加的项数为 ，再利用已知条件得出，再利用递推公式变形结合等比数列的定义，从而判断出数列 是以 为首项，2为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式，进而得出数列的通项公式，进而得出经过11次拓展后在 与6之间增加的数 ，从而得出经过11次拓展后6所在的位置，进而得出 的值 。
6．【答案】D
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：对于A，设，显然有 ，但数列 单调递减，故A错误；
对于B，设an=-2n， 显然有 ，但数列 单调递减，故B错误；
对于C，设，显然有数列 单调递增，但 ，故C错误；
对于D，若数列{Tn}单调递增，则Tn>Tn-1>0，则an>1,q≥1，则，故D正确.
故答案为：D
【分析】根据等比数列的性质，结合特殊值法求解即可.
7．【答案】2
【知识点】等差数列；等差数列的通项公式
【解析】【解答】由 可得 ，化简得 ，即 ，解得 .
故答案为：2
【分析】转化条件为 ，即可得解.
8．【答案】①③④
【知识点】数列的应用；数列递推式
【解析】【解答】 ，可得 ，又各项均为正，可得 ，令 可得 ，可解得 ，故①正确；
当 时，由 得 ，于是可得 ，即 ，若 为等比数列，则 时 ，即从第二项起为常数，可检验 则不成立，故②错误；
，可得 ，于是 ，所以 ，于是③正确；
对于④，若所有项均大于等于 ，取 ，则 ， ，于是 与已知矛盾，所以④错误.
【分析】先令 、 计算数列的首项和第二项即可判断①；根据 的关系，求得 假设 为等比数列，经检验n=3不成立，判断②错误；由 ，可得 ，于是 ，所以 ，于是③正确；利用反证法推出矛盾即可判断④.
9．【答案】4；20
【知识点】等差数列；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
又因为 ， ，所以数列 是以2为首项2为公差的等差数列，
则 。
故答案为：4；20。
【分析】利用已知的数列的通项公式结合代入法得出数列的第二项的值；再利用等差数列的定义判断出数列 是以2为首项2为公差的等差数列，再利用等差数列前n项和公式，进而得出等差数列前4项的值。
10．【答案】解：（Ⅰ） 设 ，依题意得， .
解得 ，则 ，
于是 .
（Ⅱ）设 ，依题意得，
，
故
对任意正整数n成立.
时，显然成立；
时， ，则 ；
时， .
综上所述， .
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【分析】（Ⅰ）由等差数列 的首项 及可得关于公差d的方程，再由公差d的范围可得d的值，最后根据等差数列的前n项和公式可得；
（Ⅱ） 设 ， 由成等比数列，可得关于的二次方程，由判别式大于等于0可得d的表达式，对n分情况讨论可得d的取值范围．
11．【答案】（1）证明：设数列 的公差为 ，所以， ，即可解得， ，所以原命题得证．
（2）解：由（1）知 ，
由 知：
即 ，即 ，
因为 ，故 ，解得
故集合 中元素的个数为9个.
【知识点】集合中元素个数的最值；等差数列；等比数列
【解析】【分析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出；
（2）根据题意化简可得，即可解出．
12．【答案】（1）已知 ，即 ①，
当 时， ②，
①-②得， ，
即 ，
即 ，所以 ， 且 ，
所以 是以1为公差的等差数列．
（2）由（1）中 可得， ， ， ，
又 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
所以，当 或 时 ．
【知识点】等差数列；等差数列的前n项和；等比数列的性质；数列递推式
【解析】【分析】（1）依题意可得 ，根据 ，作差即可得到 ，从而得证；
（2）由（1）及等比中项的性质求出a1，即可得到{an}的通项公式与前n项和，再根据二次函数的性质计算可得．
13．【答案】（Ⅰ） 若，则对于任意，，所以Q是5-连续可表数列；由不存在任意连续若干项之和相加为6，所以Q不是6-连续可表数列；
（Ⅱ）若 ，设为a，b，c，则至多 6种矛盾 满足
（Ⅲ）若k≤5，则 至多可表15个数，与题意矛盾，若 至多可表21个数，而 ，所以其中有负的，从而a，b，c，d，e，f可表 及那个负数（恰21个)
这表明 中仅一个负的，没有0，且这个们的在 中绝对值最小，同时 中没有两数相同，设那个负数为
则所有数之和 ，再考虑排序
(仅一种方式)
∴-1与2相序
若-1不在两端，则" 2 ___"形式
若 ，则 (2种方式矛盾)
，问理 ，故-1在一端，不妨为" 形式
右 ，则 (2种矛盾) 同理不行
，则 (2种矛盾)从而
由 ，由表法唯一知3，4不相邻，故只能 ①
或 ②这2种情形
对① 矛后
对② 也矛盾
综上
【知识点】数列的应用；数列与不等式的综合
【解析】【分析】 （Ⅰ）根据可表数列的定义即可判断；
（II）反证法：假设，则最多能表示6个数字，与Q为8-连续可表数列矛盾，故k≥4；
（III） 若k≤5，则 至多可表15个数 ，至多可表21个数，而 ，所以至少要有6个正整数连续可表1-20个正整数，即至少6个正整数和一个负数才能满足题意，故.
14．【答案】（1）因为 是公差为 的等差数列，而 ，
所以 ①
时， ②
①-②有： .
所以 ，
以上式子相乘，得
经检验， 时， ，符合.
所以 .
（2）由（1）知
所以
所以 = =
因为 ，所以 ，
所以 ，
即 ．
【知识点】数列的概念及简单表示法；等差数列的通项公式；数列的求和；数列递推式；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式可得 ，由利用Sn与an的关系，得 ，再利用累积法，可得an；
（2）由（1）得 ，利用裂项相消求和求得 ，再解不等式即可.
15．【答案】（1）因为 ，所以 ，
若 ，则 恒成立，
所以 在 上单调递增，无最小值，不满足；
若 ，令f’（x）＞0 x＞lna，令f’（x）＜0 x＜lna，
所以 ，
因为 ，定义域 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
依题有 ，即 ，
令 ，则 恒成立
所以 在 上单调递增，又因为 ，
有唯一解 ，
综上，
（2）由(1)易知 在 上单调递减，在 上单调递增， 在 上单调递减，在 上单调递增，
存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，
设三个不同交点的横坐标分别为 ，不妨设 ，
显然有 ，
则肯定有 ，
注意 的结构，易知 ，
所以有 ，所以有 ，而由 在 上单调递减，
知 ，同理 ，
所以 ，
又由 ，
故 ，
所以存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
【知识点】指数式与对数式的互化；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用；等差数列
【解析】【分析】（1）对a分 ， 两种情况，利用导数研究函数f(x)的单调性，并求得 ，同理可得 ，根据题意列式，构造函数 ，并利用导数h’(a)，可得函数h(x)的单调性，并易得h(1)=0，从而求得a；
（2）由(1)易得函数f(x)，g(x)的单调性，易得 ，同时根据 ，可得 ， ，从而得 ，再由对数运算可证 ，结论得证.
16．【答案】（1）设等比数列的公比为q，则由题意得a1=2，
则
则
则
（2）由题意得
则(3-2n)d≤1
当n=1时,d≤1；
当n≥2时,恒成立；
∵
∴d≥0
综上
【知识点】极限及其运算；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）根据等比数列的前n项和公式，结合极限求解即可；
（2）根据等差数列的前n项和公式，结合不等式的解法求解即可.
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