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专题02 解一元二次方程（直接开平方法与配方法）
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 直接开平方法
1．方程（x+1）2＝0的根是（ ）
A．x1＝x2＝1 B．x1＝x2＝﹣1 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．无实根
【详解】
(x+1)2＝0,
解: x+1=0,
所以x1＝x2＝﹣1,
故选B.
2．方程的解是（ ）
A．， B． C． D．
【详解】
∵(x＋1)2=4，
∴x+1=±2，
解得x1=1，x2=﹣3.
故选C.
3．若（a2+b2﹣3）2＝25，则a2+b2＝（ ）
A．8或﹣2 B．﹣2 C．8 D．2或﹣8
【详解】
解：∵（a2+b2﹣3）2＝25，
∴a2+b2﹣3＝±5，
∴a2+b2＝3±5，
∴ a2+b2＝8或a2+b2＝﹣2
∵a2+b2≥0
∴a2+b2＝8．
故选：C．
4．已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程 的根，则此三角形的周长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．12或14
【详解】
解：x2-6x+8=0，
解得x1=2，x2=4，
当第三边的长为2时，2+4=6，不能构成三角形，故此种情况不成立，
当第三边的长为4时，6-4＜4＜6+4，符合三角形三边关系，此时三角形的周长为：4+4+6=14．
故选C．
5．如果代数式3x2-6的值为21，则x的值为（ ）
A．3 B．±3 C．-3 D．±
【详解】
解：根据题意得：3x2﹣6=21，即x2=9，解得：x=±3，故选B．
考查题型二 配方法
6．一元二次方程配方后可变形为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
，
，
，
，
故选C．
7．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【详解】
解：，
移项得，
二次项系数化1的，
配方得，
即，
故选：A．
8．若|x2﹣4x+4|与互为相反数，则x+y的值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
【详解】
根据题意得:|x2–4x+4|+=0，所以|x2–4x+4|=0，=0，
即（x–2）2=0，2x–y–3=0，所以x=2，y=1，所以x+y=3．故选A．
9．将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ）
A．，21 B．，11 C．4，21 D．，69
【详解】
解：
移项得，
配方得，
即，
∴a=-4，b=21．
故选：A
10．已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．3 D．不确定
【详解】
把x=a代入ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0得：a a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a a+b=0，相加得：（a+b+c）a2+（b+c+a）a+（a+b+c）=0，
∴（a+b+c）（a2+a+1）=0．
∵a2+a+1=（a+）2+＞0，
∴a+b+c=0．
故选A．
11．用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可变形为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】
∵ax2+bx+c=0，
∴ax2+bx= c，
∴x2+x= ，
∴x2+x+= +，
∴(x+)2=.
故选A.
12．把方程的左边配方后可得方程（ ）
A． B． C． D．
【详解】
，
，
，
.
故选：.
13．已知方程可以配方成，则（ ）
A．1 B．－1 C．0 D．4
【详解】
解：由（x+m）2＝3，得：
x2+2mx+m2﹣3＝0，
∴2m＝4，m2﹣3＝n，
∴m＝2，n＝1，
∴（m﹣n）2015＝1，
故选：A．
考查题型三 配方法的应用
14．已知三角形三边长为a、b、c，且满足， ， ，则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．无法确定
【详解】
解：∵a2﹣4b=7，b2﹣4c=﹣6，c2﹣6a=﹣18，∴a2﹣4b+b2﹣4c+c2﹣6a=7﹣6﹣18，整理得：a2﹣6a+9+b2﹣4b+4+c2﹣4c+4=0，即（a﹣3）2+（b﹣2）2+（c﹣2）2=0，∴a=3，b=2，c=2，∴此三角形为等腰三角形．故选A．
15．已知,,（m为任意实数），则P、Q的大小关系为（ ）
A．P＞Q B．P=Q C．P＜Q D．不能确定
【详解】
解：∵
=
=
=
∴
故选：C．
16．代数式的最小值是（ ）
A．10 B．9 C．19 D．11
【详解】
解：
∵
∴代数式的最小值是10．
故选：A．
17．已知，，．则的值是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
由a2﹣4b=﹣18，b2+10c=7，c2﹣6a=﹣27得：
a2﹣4b+b2+10c+c2﹣6a+38=0，∴（a﹣3）2+（b﹣2）2+（c+5）2=0，∴a=3，b=2，c=﹣5，∴a+b+c=0．
故选C．
18．新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（ ）
A．2011 B．2013 C．2018 D．2023
【详解】
解：与为同族二次方程．
，
，
∴，
解得：．
，
当时，取最小值为2013.
故选：B.
19．不论x，y取何实数，代数式x2﹣4x+y2+13总是（ ）
A．非负数 B．正数 C．负数 D．非正数
【详解】
解：x2﹣4x+y2+13
＝x2﹣4x+4+y2+9
＝（x﹣2）2+y2+9，
∵（x﹣2）2≥0，y2≥0，
∴（x﹣2）2+y2+9＞0，即不论x，y取何实数，代数式x2﹣4x+y2+13总是正数，
故选B．
20．已知为实数，且，则之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
故选：A．
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专题02 解一元二次方程（直接开平方法与配方法）
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 直接开平方法
1．方程（x+1）2＝0的根是（ ）
A．x1＝x2＝1 B．x1＝x2＝﹣1 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．无实根
2．方程的解是（ ）
A．， B． C． D．
3．若（a2+b2﹣3）2＝25，则a2+b2＝（ ）
A．8或﹣2 B．﹣2 C．8 D．2或﹣8
4．已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程 的根，则此三角形的周长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．12或14
5．如果代数式3x2-6的值为21，则x的值为（ ）
A．3 B．±3 C．-3 D．±
考查题型二 配方法
6．一元二次方程配方后可变形为（ ）
A． B． C． D．
7．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
8．若|x2﹣4x+4|与互为相反数，则x+y的值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
9．将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ）
A．，21 B．，11 C．4，21 D．，69
10．已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．3 D．不确定
11．用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可变形为（ ）
A． B．
C． D．
12．把方程的左边配方后可得方程（ ）
A． B． C． D．
13．已知方程可以配方成，则（ ）
A．1 B．－1 C．0 D．4
考查题型三 配方法的应用
14．已知三角形三边长为a、b、c，且满足， ， ，则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．无法确定
15．已知,,（m为任意实数），则P、Q的大小关系为（ ）
A．P＞Q B．P=Q C．P＜Q D．不能确定
16．代数式的最小值是（ ）
A．10 B．9 C．19 D．11
17．已知，，．则的值是（ ）
A． B． C． D．
18．新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（ ）
A．2011 B．2013 C．2018 D．2023
19．不论x，y取何实数，代数式x2﹣4x+y2+13总是（ ）
A．非负数 B．正数 C．负数 D．非正数
20．已知为实数，且，则之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
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