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专题03 解一元二次方程（公式法、因式分解法、换元法）
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 根据判别式判断一元二次方程根的情况
1．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【详解】
解：原方程可化为：，
，，，
，
方程由两个不相等的实数根．
故选A．
2．定义运算：．例如．则方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【详解】
解：根据定义得：
＞
原方程有两个不相等的实数根，
故选
3．下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】
A.变形为，此时△=4-4=0，此方程有两个相等的实数根，故选项A正确；
B.中△=0-4=-4＜0，此时方程无实数根，故选项B错误；
C.整理为，此时△=4+12=16＞0，此方程有两个不相等的实数根，故此选项错误；
D.中，△=4＞0，此方程有两个不相等的实数根，故选项D错误.
故选：A.
4．下列方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2﹣2x=0 B．x2﹣2x﹣1=0 C．x2﹣2x+1 =0 D．x2﹣2x+2=0
【详解】
A、△=（﹣2）2﹣4×1×0=4＞0，方程有两个不相等的实数根，此选项不符合题意；
B、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不相等的实数根，此选项不符合题意；
C、△=（﹣2）2﹣4×1×1=0，方程有两个相等的实数根，此选项不符合题意；
D、△=（﹣2）2﹣4×1×2=﹣4＜0，方程没有实数根，此选项符合题意．
故选D．
考查题型二 根据一元二次方程根的情况求参数
5．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【详解】
∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，即异号，
当时，一次函数的图象过一三四象限，
当时，一次函数的图象过一二四象限，
故选：B．
6．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞ B．k≥ C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠1
【详解】
根据题意得：k-1≠0且△=2 -4（k-1）×（-2）＞0，
解得：k＞且k≠1．
故选：C
7．关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（ ）
A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5
【详解】
解：由已知得：
，
解得：a≥1且a≠5，
故选：C．
8．定义新运算：a*b＝a（m﹣b）．若方程x2﹣mx+4＝0有两个相等正实数根，且b*b＝a*a（其中a≠b），则a+b的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
【详解】
解：∵方程x2﹣mx+4＝0有两个相等实数根，
∴△＝（﹣m）2﹣4×4＝0，
解得m1＝4，m2＝﹣4，
当m＝﹣4时方程有两个相等的负实数解，
∴m＝4，
∴a*b＝a（4﹣b），
∵b*b＝a*a，
∴b（4﹣b）＝a（4﹣a）
整理得a2﹣b2﹣4a+4b＝0，
（a﹣b）（a+b﹣4）＝0，
而a≠b，
∴a+b﹣4＝0，
即a+b＝4．
故选：B．
考查题型三 公式法解一元二次方程
9． 是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：对于一元二次方程，方程的根为：．
因为，所以，，，
所以对应的一元二次方程是：．
故选：D．
10．用公式法解方程（x+2）2=6（x+2）-4时，b2-4ac的值为（ ）
A．52 B．32 C．20 D．-12
【详解】
解：∵（x+2）2=6（x+2）﹣4，∴x2﹣2x﹣4=0，∴a=1，b=﹣2，c=﹣4，∴b2﹣4ac=4+16=20．故选C．
11．用公式解方程﹣3x2+5x﹣1＝0，正确的是（ ）
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝
【详解】
解：-3x2+5x-1=0，
b2-4ac=52-4×（-3）×（-1）=13，
x=
故选C．
12．用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正确的是（ ）
A．x1、2= B．x1、2=
C．x1、2= D．x1、2=
【详解】
∵3x2+4=12x，
∴3x2-12x+4=0，
∴a=3，b=-12，c=4，
∴，
故选D.
13．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的一个根，则这个三角形的周长为（ ）
A．11 B．12 C．11或 13 D．13
【详解】
∵x2﹣6x+8=0，即（x﹣2）（x﹣4）=0，
∴x﹣2=0或x﹣4=0，
解得：x=2或x=4，
若x=2，则三角形的三边2+3＜6，构不成三角形，舍去；
当x=4时，这个三角形的周长为3+4+6=13，
故选D．
考查题型四 因式分解法解一元二次方程
14．一元二次方程的解是（ ）
A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝﹣2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝0
【详解】
解：原方程移项得：
，
∴，
∴，
故选：D．
15．若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．-5 B．5 C．-5和5 D．无法确定
【详解】
解：∵分式的值为0，
∴=0且≠0，
解方程得，；
解不等式得，；
故，
故选：A．
16．已知，则等于（ ）
A．或 B．6或1 C．或1 D．2或3
【详解】
∵
∴
∴
∴=或.
故选A.
17．三角形两边长分别为2和4，第三边长是方程x（x﹣4）﹣2（x﹣4）=0的解，则这个三角形周长为（ ）
A．8 B．8和10 C．10 D．8 或10
【详解】
x（x﹣4）﹣2（x﹣4）＝0，解得：x＝4或2．分两种情况讨论：
①三角形的三边为2、2、4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；
②三角形的三边为2、4、4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，组成的三角形周长为2+4+4＝10．
故选C．
18．若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该菱形的边长为（ ）
A． B．4 C．25 D．5
【详解】
解：解方程，得，
即，
∵四边形是菱形，
∴，
由勾股定理得，
即菱形的边长为，
故选：．
考查题型五 换元法解一元二次方程
19．如果（x+2y）2+3（x+2y）﹣4＝0，那么x+2y的值为（ ）
A．1 B．﹣4 C．1或﹣4 D．﹣1或3
【详解】
设，则原方程变形为，解得或.
故选：.
20．(m2+n2)(m2+n2 2) 8=0，则m2+n2=（ ）
A．4 B．2 C．4或 2 D．4或2
【详解】
解：设y=m2+n2，
原方程变形为y（y-2）﹣8=0．
整理得，y2-2y﹣8=0，
（y-4）（y+2）=0，
解得y1=4，y2=-2，
∵m2+n2≥0，
∴m2+n2的值为4，
故选A．
21．若实数x、y满足，则x+y的值为（ ）
A．-1或-2； B．-1或2； C．1或-2； D．1或2；
【详解】
t=x+y，则由原方程，得
t（t-3）+2=0，
整理，得
（t-1）（t-2）=0．
解得t=1或t=2，
所以x+y的值为1或2．
故选D．
22．已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，那么x2﹣2x+1的值为（ ）
A．﹣1或3 B．﹣3或1 C．3 D．1
【详解】
解：设x2﹣2x+1＝a，
∵（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，
∴a2+2a﹣3＝0，
解得：a＝﹣3或1，
当a＝﹣3时，x2﹣2x+1＝﹣3，
即（x﹣1）2＝﹣3，此方程无实数解；
当a＝1时，x2﹣2x+1＝1，此时方程有解，
故选：D．
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专题03 解一元二次方程（公式法、因式分解法、换元法）
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 根据判别式判断一元二次方程根的情况
1．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
2．定义运算：．例如．则方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
3．下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2﹣2x=0 B．x2﹣2x﹣1=0 C．x2﹣2x+1 =0 D．x2﹣2x+2=0
考查题型二 根据一元二次方程根的情况求参数
5．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
6．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞ B．k≥ C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠1
7．关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（ ）
A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5
8．定义新运算：a*b＝a（m﹣b）．若方程x2﹣mx+4＝0有两个相等正实数根，且b*b＝a*a（其中a≠b），则a+b的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
考查题型三 公式法解一元二次方程
9． 是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A． B． C． D．
10．用公式法解方程（x+2）2=6（x+2）-4时，b2-4ac的值为（ ）
A．52 B．32 C．20 D．-12
11．用公式解方程﹣3x2+5x﹣1＝0，正确的是（ ）
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝
12．用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正确的是（ ）
A．x1、2= B．x1、2=
C．x1、2= D．x1、2=
13．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的一个根，则这个三角形的周长为（ ）
A．11 B．12 C．11或 13 D．13
考查题型四 因式分解法解一元二次方程
14．一元二次方程的解是（ ）
A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝﹣2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝0
15．若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．-5 B．5 C．-5和5 D．无法确定
16．已知，则等于（ ）
A．或 B．6或1 C．或1 D．2或3
17．三角形两边长分别为2和4，第三边长是方程x（x﹣4）﹣2（x﹣4）=0的解，则这个三角形周长为（ ）
A．8 B．8和10 C．10 D．8 或10
18．若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该菱形的边长为（ ）
A． B．4 C．25 D．5
考查题型五 换元法解一元二次方程
19．如果（x+2y）2+3（x+2y）﹣4＝0，那么x+2y的值为（ ）
A．1 B．﹣4 C．1或﹣4 D．﹣1或3
20．(m2+n2)(m2+n2 2) 8=0，则m2+n2=（ ）
A．4 B．2 C．4或 2 D．4或2
21．若实数x、y满足，则x+y的值为（ ）
A．-1或-2； B．-1或2； C．1或-2； D．1或2；
22．已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，那么x2﹣2x+1的值为（ ）
A．﹣1或3 B．﹣3或1 C．3 D．1
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