7．7动能与动能定理
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7．7 动能与动能定理
【学习目标】
1．进一步理解动能的概念，掌握动能的计算式；
2．会运用演绎推导方式推导动能定理的表达式；
3．理解的确切含义，应用动能定理解决实际问题。
【知识准备】
1．物体由于运动而具有的能称为动能，表达式为__________，动能是______量，单位与功的单位相同，在国际单位制中都是________。
2．若两个质量为m的物体，速度相同，则两个物体的动能____ ____；若两个物体的动能相同，两个物体的速度________________。
3．力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中____________，这个结论叫动能定理．表达式为W＝________.式中W为合外力对物体做的功，也可理解为各力对物体做功的__________，如果外力做正功，物体的动能________；外力做负功，物体的动能减少。
4．动能定理既适用于________运动，也适用于________运动，既适用于________做功，也适用于________做功．且只需确定初、末状态而不必涉及过程细节，因而解题很方便。
【新课内容】
一、动能的表达式
1．动能的概念：初中我们曾对动能这一概念有简单、定性的了解，知道物体___ _____而具有的能叫动能，物体的动能跟物体的____ ___和____ __有关系。
2．动能的表达式
方法：我们知道，功与能密切相关。我们可以通过做功的多少来定量地确定动能。外力对物体做功使物体运动而具有动能，下面我们就通过这个途径研究一个运动物体的动能是多少。
设某物体的质量为m，在与运动方向相同的恒力F的作用下发生一段位移l，速度由v1增加到v2，如图所示。
结论： 。
上式中的是一个新的物理量。是物体末状态的一个物理量，是物体初状态的一个物理量，其差值正好等于合力对物体做的功。合力F所做的功等于这个物理量的变化，所以在物理学中就用这个物理量表示物体的动能。得到动能的表达式：
3．动能的理解
（1）动能的标矢性： 。
（2）动能的单位：与 的单位相同，在国际单位制中都是 ，简称： （J）。动能是 量，和物体的瞬时速度对应。
二、动能定理
1.式子： 也可以写成
2.分析：上面式子中等式两边的部分物理意义 ：
这个关系表明：力在一个过程中对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。这个结论叫做动能定理。
3.动能定理的表达式：
说明：①动能定理揭示了物体的动能变化与外力功的关系，当合力对物体做正功时，末动能大于初动能，动能增加；当合力对物体做负功时，末动能小于初动能，动能减少；当合外力的功等于零时，初、末状态的动能相等。
②动能定理中的功应包括一切外力的功，而且在某一过程中，各力的功可以是同时的，也可以是不同阶段的。
③动能定理既适合于恒力做功，也适合于变力做功，既适用于直线运动，也适用于曲线运动。
④在中学阶段，动能定理的研究对象是单个质点，它反映功这个过程量和动能这个状态量之间的关系，动能定理表示了过程量等于状态量的改变量的关系。给出了力对空间累积的结果。
⑤动能定理是标量式，式中的功和动能必须是相对于同一惯性参考系的。
【典例精讲】
[例1]一架喷气式飞机，质量ｍ＝5×103 kg，起飞过程中从静止开始滑跑。 当位移达到l＝5.3×102 ｍ时，速度达到起飞速度v＝60 ｍ/s。在此过程中飞机受到的平均阻力是飞机重量的0.02倍。求飞机受到的牵引力
总结得到运用动能定理的解题步骤：①确定研究对象及所研究的物理过程；②分析物体受力情况，明确各个力是否做功，做正功还是做负功，进而明确合外力的功；③确定始、末态的动能。(未知量用符号表示)；④根据动能定理列方程；⑤求解方程、分析结果。
[例2]一质量为m的小球，用长为l的轻绳悬挂于0点，小球在水平力F的作用下，从平衡位置P点缓慢地移动到Q点，如图所示，则力F所做的功为 ( )
A．mglcosθ B.Flsinθ
C．mgl(1一cosθ) D．Flθ
[例3]将质量m=2 kg的一块石头从离地面H=2 m高处由静止开始释放，落人泥潭并陷入泥中h=5 cm深处，不计空气阻力，求泥对石头的平均阻力。(g取10 m／s2)
【课后作业】
1．对动能的理解，下列说法正确的是( )
A．动能是机械能的一种表现形式，凡是运动的物体都具有动能
B．动能不可能为负值
C．一定质量的物体，动能变化时，速度一定变化；但速度变化时，动能不一定变化
D．动能不变的物体，一定处于平衡状态
2．在下列几种情况中，甲、乙两物体的动能相等的是( )
A．甲的速度是乙的2倍，甲的质量是乙的
B．甲的质量是乙的2倍，甲的速度是乙的
C．甲的质量是乙的4倍，甲的速度是乙的
D．质量相同，速度大小也相同，但甲向东运动，乙向西运动
3．关于动能定理，下列说法中正确的是( )
A．在某过程中，外力做的总功等于各个力单独做功的绝对值之和
B．只要有力对物体做功，物体的动能就一定改变
C．动能定理只适用于直线运动，不适用于曲线运动
D．动能定理既适用于恒力做功的情况，又适用于变力做功的情况
4.有一质量为m的木块，从半径为r的圆弧曲面上的a点滑向b点，如图所示，如果由于摩擦使木块的运动速率保持不变，则以下叙述正确的是( )
A．木块所受的合外力为零
B．因木块所受的力都不对其做功，所以合外力的功为零
C．重力和摩擦力做的功代数和为零
D．重力和摩擦力的合力为零
5．一个25 kg的小孩从高度为3.0 m的滑梯顶端由静止开始滑下，滑到底端时的速度为2.0 m/s.取g＝10 m/s2，关于力对小孩做的功，以下结果正确的是( )
A．合外力做功50 J B．阻力做功500 J C．重力做功500 J D．支持力做功50 J
6．一辆汽车以v1＝6 m/s的速度沿水平路面行驶时，急刹车后能滑行x1＝3.6 m，如果以v2＝8 m/s的速度行驶，在同样路面上急刹车后滑行的距离x2应为( )
A．6.4 m B．5.6 m C．7.2 m D．10.8 m
7.物体从高出地面H处由静止自由落下，不考虑空气阻力，落至地面进入沙坑h处停止，如图所示，求物体在沙坑中受到的平均阻力是其重力的多少倍．
8.如图所示，物体在离斜面底端5 m处由静止开始下滑，然后滑上由小圆弧(长度忽略)与斜面连接的水平面上，若斜面及水平面的动摩擦因数均为0.4，斜面倾角为37°，则物体能在水平面上滑行多远？
9．如图所示，一质量为m的小球，用长为L的轻绳悬挂于O点，小球在水平拉力F作用下从平衡位置P点缓慢地移到Q点，此时悬线与竖直方向夹角为θ，则拉力F做的功为( )
A．mgLcos θ B．mgL(1－cos θ)
C．FLsin θ D．FLcos θ
【教材补充】
估算自行车受到的阻力
骑自行车时，如果停止用力蹬脚蹬，自行车前进一段距离l就会停下来。根据动能定理有：
即阻力
实验中需要测量出人停止用力后自行车前进的距离l，自行车和人的总质量m，以及初速度v0。
想一想：怎样测出自行车前进的速度 并写出其相应的表达式。一定要试着做一做噢。
【学习反思】
我学到了什么：
我的困惑：
[例1] [思路分析]
：
[例2] [思路分析] 错解：由于外力F水平，小球在这一过程中的水平位移为lsinθ，所以，力F对小球所做的功为Flsinθ，选B。剖析：小球由平衡位置P点缓慢移动到Q点过程中，所受水平力F并非恒力作用，所以不能用公式W=Flcosθ来求解，应考虑用动能定理求解。
正解：小球缓慢地移动的过程中可认为动能不变，绳子拉力又不做功，所以，由动能定理可知：力F对小球做的功和重力对小球做的功的代数和为零。WF－mgl(1－cosθ)=0，即WF=mgl(1－cosθ)，选C。
答案：C
[例3] [思路分析] 对石头在整个运动阶段应用动能定理，有：mg(H十h) －Fh=0－0 所以，泥对石头的平均阻力=820 N
点评：从本例提供的解法可以看出，应用动能定理求解，要比应用牛顿第二定律与运动学求解简单得多；而在物体运动的全过程应用动能定理，则往往要比分段应用动能定理显得更为简捷．
课后作业
1．ABC [物体由于运动而具有的能叫动能，故A对；由Ek＝mv2知，B对；由于速度是矢量，当速度大小不变、方向变化时，动能不变，但动能变化时，速度大小一定改变，故C对；做匀速圆周运动的物体，其动能不变，但物体却处于非平衡状态，故D错．]
2．CD [由动能的表达式Ek＝mv2知A、B错误，C正确．动能是标量，D正确．] 3．D
4．C [物体做曲线运动，速度方向变化，加速度不为零，合外力不为零，A错．速率不变，动能不变，由动能定理知，合外力做的功为零，支持力始终不做功，重力做正功，所以重力做的功与阻力做的功代数和为零，但重力和阻力的合力不为零，C对，B、D错．]
点评 (1)动能定理反映的是合外力做的功和物体动能变化的关系．(2)速率不变，速度有可能变化．
5．A [由动能定理可得合力对小孩做的功，W合＝mv2＝×25×22 J＝50 J，又因为W合＝WG＋Wf所以Wf＝W合－WG＝50 J－750 J＝－700 J，由于支持力的方向始终与速度方向垂直，支持力对小孩不做功．]
6．A [急刹车后，车只受摩擦阻力Ff的作用，且两种情况下摩擦力大小是相同的，汽车的末速度皆为零．
－Ffx1＝0－mv ① －Ffx2＝0－mv ② ， ②式除以①式得＝.
故汽车滑行距离x2＝x1＝()2×3.6 m＝6.4 m]
点评：对恒力作用下的运动，可以考虑用牛顿运动定律分析．但在涉及力、位移、速度时，应优先考虑用动能定理分析．一般来说，动能定理不需要考虑中间过程，比牛顿运动定律要简单一些．
7.
解析：解法一：物体运动分两个物理过程，先自由落体，然后做匀减速运动．设物体落至地面时速度为v，则由动能定理可得：mgH＝mv2① 第二个物理过程中物体受重力和阻力，同理可得mgh－F阻h＝0－mv2② 由①②式得＝.
解法二：若视全过程为一整体，由于物体的初、末动能均为0，由动能定理可知，重力对物体做的功与物体克服阻力做的功相等，即
mg(H＋h)＝F阻h
解得＝.
8．3.5 m
解析 物体在斜面上受重力mg、支持力FN1、滑动摩擦力Ff1的作用，沿斜面加速下滑，在水平面上减速直到静止．
方法一：对物体在斜面上的受力分析如图甲所示，可知物体下滑阶段：
FN1＝mgcos 37°
故Ff1＝μFN1＝μmgcos 37°
由动能定理得
mgsin 37°·l1－μmgcos 37°·l1＝mv ①
在水平面上的运动过程中，受力分析如图乙所示
Ff2＝μFN2＝μmg
由动能定理得
－μmg·l2＝0－mv ②
由①②两式可得
l2＝l1＝×5 m＝3.5 m.
方法二：物体受力分析同上，物体运动的全过程中，初、末状态的速度均为零，对全过程运用动能定理有
mgsin 37°·l1－μmgcos 37°·l1－μmg·l2＝0
得l2＝l1＝×5 m＝3.5 m.
方法总结 应用动能定理解题时，在分析过程的基础上无需深究物体的运动过程中变化的细节，只需考虑整个过程的功及过程始末的动能．若过程包含了几个运动性质不同的分过程，既可分段考虑，也可整个过程考虑．若不涉及中间过程量时，用整个过程分析比较简单．但求功时，有些力不是全过程都作用的，必须根据不同情况分别对待，求出总功．计算时要把各力的功连同符号(正、负)一同代入公式．
9．B [小球缓慢移动，时时都处于平衡状态，由平衡条件可知，F＝mgtan θ，随着θ的增大，F也在增大，是一个变化的力，不能直接用功的公式求它的功，所以这道题要考虑用动能定理求解．由于物体缓慢移动，动能保持不变，由动能定理得：－mgL(1－cos θ)＋W＝0，所以W＝mgL(1－cos θ)．]
方法总结 利用动能定理求变力做的功时，可先把变力做的功用字母W表示出来，再结合物体动能的变化进行求解．
姓名： 班级： 学号： 组别：
【学习目标】
1．进一步理解动能的概念，掌握动能的计算式；
2．会运用演绎推导方式推导动能定理的表达式；
3．理解的确切含义，应用动能定理解决实际问题。
【知识准备】
1．物体由于运动而具有的能称为动能，表达式为__________，动能是______量，单位与功的单位相同，在国际单位制中都是________。
2．若两个质量为m的物体，速度相同，则两个物体的动能____ ____；若两个物体的动能相同，两个物体的速度________________。
3．力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中____________，这个结论叫动能定理．表达式为W＝________.式中W为合外力对物体做的功，也可理解为各力对物体做功的__________，如果外力做正功，物体的动能________；外力做负功，物体的动能减少。
4．动能定理既适用于________运动，也适用于________运动，既适用于________做功，也适用于________做功．且只需确定初、末状态而不必涉及过程细节，因而解题很方便。
【新课内容】
一、动能的表达式
1．动能的概念：初中我们曾对动能这一概念有简单、定性的了解，知道物体___ _____而具有的能叫动能，物体的动能跟物体的____ ___和____ __有关系。
2．动能的表达式
方法：我们知道，功与能密切相关。我们可以通过做功的多少来定量地确定动能。外力对物体做功使物体运动而具有动能，下面我们就通过这个途径研究一个运动物体的动能是多少。
设某物体的质量为m，在与运动方向相同的恒力F的作用下发生一段位移l，速度由v1增加到v2，如图所示。
结论： 。
上式中的是一个新的物理量。是物体末状态的一个物理量，是物体初状态的一个物理量，其差值正好等于合力对物体做的功。合力F所做的功等于这个物理量的变化，所以在物理学中就用这个物理量表示物体的动能。得到动能的表达式：
3．动能的理解
（1）动能的标矢性： 。
（2）动能的单位：与 的单位相同，在国际单位制中都是 ，简称： （J）。动能是 量，和物体的瞬时速度对应。
二、动能定理
1.式子： 也可以写成
2.分析：上面式子中等式两边的部分物理意义 ：
这个关系表明：力在一个过程中对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。这个结论叫做动能定理。
3.动能定理的表达式：
说明：①动能定理揭示了物体的动能变化与外力功的关系，当合力对物体做正功时，末动能大于初动能，动能增加；当合力对物体做负功时，末动能小于初动能，动能减少；当合外力的功等于零时，初、末状态的动能相等。
②动能定理中的功应包括一切外力的功，而且在某一过程中，各力的功可以是同时的，也可以是不同阶段的。
③动能定理既适合于恒力做功，也适合于变力做功，既适用于直线运动，也适用于曲线运动。
④在中学阶段，动能定理的研究对象是单个质点，它反映功这个过程量和动能这个状态量之间的关系，动能定理表示了过程量等于状态量的改变量的关系。给出了力对空间累积的结果。
⑤动能定理是标量式，式中的功和动能必须是相对于同一惯性参考系的。
【典例精讲】
[例1]一架喷气式飞机，质量ｍ＝5×103 kg，起飞过程中从静止开始滑跑。 当位移达到l＝5.3×102 ｍ时，速度达到起飞速度v＝60 ｍ/s。在此过程中飞机受到的平均阻力是飞机重量的0.02倍。求飞机受到的牵引力
总结得到运用动能定理的解题步骤：①确定研究对象及所研究的物理过程；②分析物体受力情况，明确各个力是否做功，做正功还是做负功，进而明确合外力的功；③确定始、末态的动能。(未知量用符号表示)；④根据动能定理列方程；⑤求解方程、分析结果。
[例2]一质量为m的小球，用长为l的轻绳悬挂于0点，小球在水平力F的作用下，从平衡位置P点缓慢地移动到Q点，如图所示，则力F所做的功为 ( )
A．mglcosθ B.Flsinθ
C．mgl(1一cosθ) D．Flθ
[例3]将质量m=2 kg的一块石头从离地面H=2 m高处由静止开始释放，落人泥潭并陷入泥中h=5 cm深处，不计空气阻力，求泥对石头的平均阻力。(g取10 m／s2)
【课后作业】
1．对动能的理解，下列说法正确的是( )
A．动能是机械能的一种表现形式，凡是运动的物体都具有动能
B．动能不可能为负值
C．一定质量的物体，动能变化时，速度一定变化；但速度变化时，动能不一定变化
D．动能不变的物体，一定处于平衡状态
2．在下列几种情况中，甲、乙两物体的动能相等的是( )
A．甲的速度是乙的2倍，甲的质量是乙的
B．甲的质量是乙的2倍，甲的速度是乙的
C．甲的质量是乙的4倍，甲的速度是乙的
D．质量相同，速度大小也相同，但甲向东运动，乙向西运动
3．关于动能定理，下列说法中正确的是( )
A．在某过程中，外力做的总功等于各个力单独做功的绝对值之和
B．只要有力对物体做功，物体的动能就一定改变
C．动能定理只适用于直线运动，不适用于曲线运动
D．动能定理既适用于恒力做功的情况，又适用于变力做功的情况
4.有一质量为m的木块，从半径为r的圆弧曲面上的a点滑向b点，如图所示，如果由于摩擦使木块的运动速率保持不变，则以下叙述正确的是( )
A．木块所受的合外力为零
B．因木块所受的力都不对其做功，所以合外力的功为零
C．重力和摩擦力做的功代数和为零
D．重力和摩擦力的合力为零
5．一个25 kg的小孩从高度为3.0 m的滑梯顶端由静止开始滑下，滑到底端时的速度为2.0 m/s.取g＝10 m/s2，关于力对小孩做的功，以下结果正确的是( )
A．合外力做功50 J B．阻力做功500 J C．重力做功500 J D．支持力做功50 J
6．一辆汽车以v1＝6 m/s的速度沿水平路面行驶时，急刹车后能滑行x1＝3.6 m，如果以v2＝8 m/s的速度行驶，在同样路面上急刹车后滑行的距离x2应为( )
A．6.4 m B．5.6 m C．7.2 m D．10.8 m
7.物体从高出地面H处由静止自由落下，不考虑空气阻力，落至地面进入沙坑h处停止，如图所示，求物体在沙坑中受到的平均阻力是其重力的多少倍．
8.如图所示，物体在离斜面底端5 m处由静止开始下滑，然后滑上由小圆弧(长度忽略)与斜面连接的水平面上，若斜面及水平面的动摩擦因数均为0.4，斜面倾角为37°，则物体能在水平面上滑行多远？
9．如图所示，一质量为m的小球，用长为L的轻绳悬挂于O点，小球在水平拉力F作用下从平衡位置P点缓慢地移到Q点，此时悬线与竖直方向夹角为θ，则拉力F做的功为( )
A．mgLcos θ B．mgL(1－cos θ)
C．FLsin θ D．FLcos θ
【教材补充】
估算自行车受到的阻力
骑自行车时，如果停止用力蹬脚蹬，自行车前进一段距离l就会停下来。根据动能定理有：
即阻力
实验中需要测量出人停止用力后自行车前进的距离l，自行车和人的总质量m，以及初速度v0。
想一想：怎样测出自行车前进的速度 并写出其相应的表达式。一定要试着做一做噢。
【学习反思】
我学到了什么：
我的困惑：
[例1] [思路分析]
：
[例2] [思路分析] 错解：由于外力F水平，小球在这一过程中的水平位移为lsinθ，所以，力F对小球所做的功为Flsinθ，选B。剖析：小球由平衡位置P点缓慢移动到Q点过程中，所受水平力F并非恒力作用，所以不能用公式W=Flcosθ来求解，应考虑用动能定理求解。
正解：小球缓慢地移动的过程中可认为动能不变，绳子拉力又不做功，所以，由动能定理可知：力F对小球做的功和重力对小球做的功的代数和为零。WF－mgl(1－cosθ)=0，即WF=mgl(1－cosθ)，选C。
答案：C
[例3] [思路分析] 对石头在整个运动阶段应用动能定理，有：mg(H十h) －Fh=0－0 所以，泥对石头的平均阻力=820 N
点评：从本例提供的解法可以看出，应用动能定理求解，要比应用牛顿第二定律与运动学求解简单得多；而在物体运动的全过程应用动能定理，则往往要比分段应用动能定理显得更为简捷．
课后作业
1．ABC [物体由于运动而具有的能叫动能，故A对；由Ek＝mv2知，B对；由于速度是矢量，当速度大小不变、方向变化时，动能不变，但动能变化时，速度大小一定改变，故C对；做匀速圆周运动的物体，其动能不变，但物体却处于非平衡状态，故D错．]
2．CD [由动能的表达式Ek＝mv2知A、B错误，C正确．动能是标量，D正确．] 3．D
4．C [物体做曲线运动，速度方向变化，加速度不为零，合外力不为零，A错．速率不变，动能不变，由动能定理知，合外力做的功为零，支持力始终不做功，重力做正功，所以重力做的功与阻力做的功代数和为零，但重力和阻力的合力不为零，C对，B、D错．]
点评 (1)动能定理反映的是合外力做的功和物体动能变化的关系．(2)速率不变，速度有可能变化．
5．A [由动能定理可得合力对小孩做的功，W合＝mv2＝×25×22 J＝50 J，又因为W合＝WG＋Wf所以Wf＝W合－WG＝50 J－750 J＝－700 J，由于支持力的方向始终与速度方向垂直，支持力对小孩不做功．]
6．A [急刹车后，车只受摩擦阻力Ff的作用，且两种情况下摩擦力大小是相同的，汽车的末速度皆为零．
－Ffx1＝0－mv ① －Ffx2＝0－mv ② ， ②式除以①式得＝.
故汽车滑行距离x2＝x1＝()2×3.6 m＝6.4 m]
点评：对恒力作用下的运动，可以考虑用牛顿运动定律分析．但在涉及力、位移、速度时，应优先考虑用动能定理分析．一般来说，动能定理不需要考虑中间过程，比牛顿运动定律要简单一些．
7.
解析：解法一：物体运动分两个物理过程，先自由落体，然后做匀减速运动．设物体落至地面时速度为v，则由动能定理可得：mgH＝mv2① 第二个物理过程中物体受重力和阻力，同理可得mgh－F阻h＝0－mv2② 由①②式得＝.
解法二：若视全过程为一整体，由于物体的初、末动能均为0，由动能定理可知，重力对物体做的功与物体克服阻力做的功相等，即
mg(H＋h)＝F阻h
解得＝.
8．3.5 m
解析 物体在斜面上受重力mg、支持力FN1、滑动摩擦力Ff1的作用，沿斜面加速下滑，在水平面上减速直到静止．
方法一：对物体在斜面上的受力分析如图甲所示，可知物体下滑阶段：
FN1＝mgcos 37°
故Ff1＝μFN1＝μmgcos 37°
由动能定理得
mgsin 37°·l1－μmgcos 37°·l1＝mv ①
在水平面上的运动过程中，受力分析如图乙所示
Ff2＝μFN2＝μmg
由动能定理得
－μmg·l2＝0－mv ②
由①②两式可得
l2＝l1＝×5 m＝3.5 m.
方法二：物体受力分析同上，物体运动的全过程中，初、末状态的速度均为零，对全过程运用动能定理有
mgsin 37°·l1－μmgcos 37°·l1－μmg·l2＝0
得l2＝l1＝×5 m＝3.5 m.
方法总结 应用动能定理解题时，在分析过程的基础上无需深究物体的运动过程中变化的细节，只需考虑整个过程的功及过程始末的动能．若过程包含了几个运动性质不同的分过程，既可分段考虑，也可整个过程考虑．若不涉及中间过程量时，用整个过程分析比较简单．但求功时，有些力不是全过程都作用的，必须根据不同情况分别对待，求出总功．计算时要把各力的功连同符号(正、负)一同代入公式．
9．B [小球缓慢移动，时时都处于平衡状态，由平衡条件可知，F＝mgtan θ，随着θ的增大，F也在增大，是一个变化的力，不能直接用功的公式求它的功，所以这道题要考虑用动能定理求解．由于物体缓慢移动，动能保持不变，由动能定理得：－mgL(1－cos θ)＋W＝0，所以W＝mgL(1－cos θ)．]
方法总结 利用动能定理求变力做的功时，可先把变力做的功用字母W表示出来，再结合物体动能的变化进行求解．
姓名： 班级： 学号： 组别：