2021-2022学年上海市普陀区梅陇中学九年级（下）期中数学试卷（Word版 含解析）

2021-2022学年上海市普陀区梅陇中学九年级（下）期中数学试卷
题号 一 二 三 四 总分
得分
一、选择题（本大题共6小题，共24分）
点是数轴上的任意一点，则下列说法正确的是( )
A. 点表示的数一定是整数 B. 点表示的数一定是分数
C. 点表示的数一定是有理数 D. 点表示的数可能是无理数
如果，那么下列结论不正确的是( )
A. B. C. D.
已知直线经过第一、二、四象限，那么直线一定不经过( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
在下列图形中，为中心对称图形的是( )
A. 等腰梯形 B. 平行四边形 C. 正五边形 D. 等腰三角形
已知在四边形中，与相交于点，那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，，
如图，已知，点、在射线上点在点、之间，半径长为的与直线相切，半径长为的与内含，那么的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共12小题，共48分）
计算：______．
分解因式：______．
方程的解为：______．
九章算术中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，大桶加小桶共盛斛米，大桶加小桶共盛斛米，依据该条件，大桶加小桶共盛______斛米．注：斛是古代一种容量单位
已知关于的方程，如果从、、、、、六个数中任取一个数作为方程的常数项，那么所得方程有实数根的概率是______．
的图象上有一点，点到轴、轴的距离相等，则点的坐标为______．
已知某校学生“科技创新社团”成员的年龄与人数情况如下表所示：那么“科技创新社团”成员年龄的中位数是______ 岁
年龄岁
人数
如图，已知直线，含角的三角板的直角顶点在上，角的顶点在上，如果边与的交点是的中点，那么______度．
如图，在中，点在边上，已知和的面积比是：，，那么向量用向量表示是______．
如图，小明从家步行到学校需走的路程为米．图中的折线反映了小明从家步行到学校所走的路程米与时间分钟的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行分钟时，到学校还需步行______米．
从三角形不是等腰三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的最美分割线．在中，，是的最美分割线．若为等腰三角形，则的度数为______．
如图，已知在中，两条直角边，，将绕着点顺时针旋转，其中的对应点分别记为点和点，当与边的交点恰好是的中点时，则的长为______．
三、计算题（本大题共1小题，共8分）
计算：．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，顶点为．
求这条抛物线的表达式和顶点的坐标．
点在这条抛物线的对称轴上，当时，求点的坐标．
如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行并且与地面成角的楼梯、和一段水平平台构成．已知天桥高度米，引桥水平跨度米．
求水平平台的长度；
若与地面垂直的平台立柱的高度为米，求两段楼梯、的长度之比．参考数据：取，，
如图，已知：正方形中，一个以点为顶点的绕着点旋转，角的两边分别与边、的延长线交于点、，联结．
如图，若被对角线平分时，求证：．
如图，求证：．
如图，在轴的上方，直角绕原点按顺时针方向旋转．若的两边分别与函数，的图象交于、两点．
当与轴的正半轴的夹角为时，求点、的坐标．
在直角绕原点按顺时针方向旋转过程中，大小会变化吗？如果不变，请求出的值；如果有变化，请说明理由．
如果交轴于点，若时，求点，的坐标．
已知，如图，在中，，，，点在边上，以点为圆心的圆经过点、两点，点为弧上的一个动点，联结并延长，交边的延长线于点．
用尺规作图的方法确定点的位置，并求出圆的半径；
若，求弦的长；
联结、，当四边形是梯形时，求的长；
若，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：数轴上的点与实数一一对性应，故A错误；
数轴上的点与实数一一对应，故B错误；
根据互为相反数的两个数的绝对值相等，故C错误；
数轴上的点与实数一一对应，所以点有可能是无理数，故D正确；
故选：．
根据数轴上的点与实数一一对应，可得答案．
本题考查了数轴，注意数轴上的点与实数一一对应．
2.【答案】
【解析】解：、两边都加，不等号的方向不变，故A结论正确；
B、两边都减，不等号的方向不变，故B结论正确；
C、两边都乘以，不等号的方向不变，故C结论正确；
D、两边都乘以，不等号的方向改变，故D结论不正确．
故选：．
根据不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
主要考查了不等式的基本性质．“”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“”存在与否，以防掉进“”的陷阱．不等式的基本性质：不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
3.【答案】
【解析】解：直线经过第一、二、四象限，
，，
直线一定不经过第二象限．
故选：．
由直线经过一、二、四象限可分析，，由此判定不经过第二象限．
本题考查了一次函数的性质，关键要知道和对图象的决定作用．
4.【答案】
【解析】解：中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转后能和原来的图形重合，、、都不符合；
是中心对称图形的只有．
故选：．
根据中心对称与轴对称的概念和各图形的特点即可求解．
本题考查了中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
5.【答案】
【解析】解：、不能，只能判定为矩形；
B、不能，只能判定为平行四边形；
C、能；
D、不能，只能判定为菱形．
故选：．
根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．
本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．
6.【答案】
【解析】解：设与直线相切时切点为，连接，
，
，，
，
当与相内切时，设切点为，如图，
，
；
与内含，那么的取值范围是：，
故选：．
作半径，根据直角三角形度角的性质得：，再确认与内切时，的长，可得结论．
本题考查了圆和圆的位置关系、切线的性质、勾股定理，熟练掌握圆和圆内含和相切的关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定的取值范围．
7.【答案】
【解析】解：，
，
．
根据幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减的运算性质计算即可．
本题主要考查幂的乘方，同底数幂的除法的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是三一分组．本题前三项可组成完全平方公式，可把前三项分为一组．
当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解，前三项可组成完全平方公式，可把前三项分为一组．
【解答】
解：，
，
．
9.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查无理方程的解法，关键是把两边平方解答．
两边平方解答即可，注意检验．
【解答】
解：原方程可化为：，
解得：，，
经检验，不符合题意，
是原方程的解，
故答案为：．
10.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键．
直接利用个大桶加上个小桶可以盛米斛，个大桶加上个小桶可以盛米斛，分别得出等式组成方程组求出答案．
【解答】
解：设个大桶可以盛米斛，个小桶可以盛米斛，
则，
故，
则．
答：大桶加小桶共盛斛米．
故答案为．
11.【答案】
【解析】解：把、、、、、依次代入方程得：，，，，，，
，方程有两个实数根；
，方程有两个实数根；
，方程有两个实数根；
，方程有两个相等的实数根；
，方程没有实数根；
，方程没实数根；
共有种可能，方程有实数根的情况有种，所以方程有实数根的概率为．
故答案为：．
把六个数字依次代入方程，由判别式判断出根的情况，然后根据概率公式求解．
本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系以及概率公式，难度适中．
12.【答案】或
【解析】解：当时，，
解得：，
点的坐标为；
当时，，
解得：，
点的坐标为．
综上，点的坐标为或．
故答案为：或．
代入或，求出的值，进而可得出点的坐标．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：该校学生“科技创新社团”的人数为人，
将这人的年龄从小到大排列后，处在中间位置的一个数为岁，因此中位数是岁，
故答案为：．
根据中位数的意义求解即可．
本题考查中位数，理解中位数的意义，掌握中位数的求法是正确解答的前提．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直角三角形斜边上的中线：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半即直角三角形的外心位于斜边的中点也考查了平行线的性质．
根据直角三角形斜边上的中线性质得到，则，再利用三角形外角性质得到，然后根据平行线的性质求的度数．
【解答】
解：是斜边的中点，
，
，
，
，
，
．
故答案为．
15.【答案】
【解析】解：和的面积比是：，
：：，
，
，
，
，
故答案为：．
利用三角形法则可知：，求出即可解决问题．
本题考查平面向量，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16.【答案】
【解析】解：当时，设与的函数关系式为，
点，在该函数图象上，
，
解得，
当时，与的函数关系式为，
当时，
，
，
故答案为：．
根据函数图象中的数据，可以求得当时，与的函数关系式，然后将代入函数解析式，求出的值即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．
17.【答案】或
【解析】解：当时，如图，
，
∽，
，
．
当时，如图，，
∽，
，
．
当时，如图，，
∽，
，
不合题意．
综上所述，或．
根据为等腰三角形，需要分三种情况讨论：当时，如当，当，然后结合最美分割线的定义，可得∽，可以分别求出的度数．
本题考查了相似三角形的性质以及等腰三角形的性质，理解最美分割线的定义是解决本题的关键．
18.【答案】
【解析】解：如图，连接，过点作于点，过点作于点．
由旋转可得，，，，，
在中，，
，
为的中点，
，
，
，
，，
在中，，，
在中，，
，
，，
，
在中，由勾股定理可得，
．
故答案为：．
连接，过点作于点，过点作于点．
本题考查旋转的性质、解直角三角形、勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．
19.【答案】解：原式
．
【解析】先计算小括号里面的，再算中括号里面的，最后合并同类项．
本题考查负分数指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值，属于实数运算，解题关键是熟练掌握以上运算性质．
20.【答案】解：由，
得．
解得．
由，
得．
解得：．
在数轴上可表示为：
所以，原不等式组的解集为．
在数轴上画出不等式组的解集正确．
【解析】本题可根据不等式组分别求出的取值，然后画出数轴，数轴上相交的点的集合就是该不等式的解集．若没有交点，则不等式无解．
此题主要考查了一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若较小的数、较大的数，那么解集为介于两数之间．
21.【答案】解：由题意得，
解得，
抛物线解析式为，
，
顶点的坐标为；
设直线为，
把，代入得，
解得，
直线为，
，，
的中点为，
，
是的垂直平分线上的点，
设的垂直平分线的解析式为，
代入得，
解得，
的垂直平分线的解析式为，
把代入得，
点的坐标为
【解析】把点和点代入，利用待定系数法求抛物线解析式；
先求得直线的解析式，根据题意求得直线的垂直平分线的解析式，代入即可求得的坐标．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法是解题的关键．
22.【答案】解：延长交于点，过点作，垂足为，
由题意得：，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
在中，米，
米，
米，
米，
水平平台的长度约为米；
由题意得：
米，
在中，米，
米，
在中，米，
米，
米，
两段楼梯、的长度之比为：：．
【解析】延长交于点，过点作，垂足为，由题意得：，从而可得，四边形是平行四边形，进而可得，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，即可解答；
根据题意可得：米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，平行四边形的判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.【答案】证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
平分，
，
，
≌，
；
四边形是正方形，
，
，
，
是的一个外角，
，
，
由得：，
∽，
，
，
，
．
【解析】根据正方形的性质可得，再利用对顶角相等可得，然后根据角平分线的定义可得，从而证明≌，利用全等三角形的性质即可解答；
根据正方形的性质可得，再利用三角形的外角和已知，可得，然后再利用的结论可证明∽，利用相似三角形的性质即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，旋转的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
24.【答案】解：与轴的正半轴的夹角为，
，
，
，
，
，
与轴正半轴的夹角为，
同理得；
不变，作轴于，作轴于，
的两边分别与函数，的图象交于、两点．
，，
，
，，
，
，
∽，
，
，
的值为；
作轴于，轴于，
∽，
，
设，则，
，，
，
，
∽，
，
，，
，，
，
，
，
，．
【解析】根据与轴的正半轴的夹角为，可知点的横纵坐标相等，则，可得答案；
作轴于，作轴于，则，，再利用∽，得，从而解决问题；
作轴于，轴于，由∽，得，设，则，再由∽，得，则，，从而表示出点、的坐标．
本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数中的几何意义，相似三角形的判定与性质，函数图象上点的坐标的特征，熟练掌握相似三角形的基本模型是解题的关键．
25.【答案】解：如图，作的垂直平分线，交于点，点即为所求；
连接，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
圆的半径为；
作于，
，，
由勾股定理得，，
，，
∽，
，
，
，
；
当时，
∽，
，
，
，
当时，作于，
四边形是矩形，
，
，
，
，
∽，
，
，
解得，
综上：或；
如图，延长，交于，连接，，，，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理得，，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】作的垂直平分线，交于点，点即为所求，再利用勾股定理列方程可得，从而求出半径；
作于，利用∽，得，可得的长，再根据垂径定理可得答案；
当时，由∽，得，当时，作于，可得∽，得，从而求出的长；
延长，交于，连接，，，，根据，得，由勾股定理得，，则，说明，得，进而得出的长．
本题是圆的综合题，主要考查了线段垂直平分线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，垂径定理等知识，作辅助线构造相似三角形是解题的关键，
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