高一下期末考试必备复习学案（6大环节高效复习）：7.8机械能守恒定律[有解析]

8 机械能守恒定律
1.知道机械能的概念，理解物体的动能和势能是可以相互转化的。
2.理解机械能守恒定律的内容和守恒条件。
3.学习从物理现象分析、推导机械能守恒定律及其适用条件的研究方法。
4.体会科学探究中的守恒思想，领悟运用机械能守恒定律解决问题的方法。
重点：1.机械能守恒定律的推导和理解。
2.机械能是否守恒的判断，应用机械能守恒定律解题。
难点：1.机械能守恒条件的理解和应用。
2.机械能守恒定律的灵活应用。
一、动能与势能的相互转化
1.重力势能与动能
物体自由下落或沿光滑斜面下滑时，重力对物体做______，物体的重力势能______，动能______，_______能转化成了___能，如图甲所示。
【答案】正功 减少 增加 重力势 动
2.弹性势能与动能
被压缩的弹簧具有______势能，弹簧恢复原来形状的过程，弹力做正功，弹性势能______，被弹出的物体的动能_____，__________转化为动能，如图乙所示。
3.机械能
_________、弹性势能和______的总称，通过重力或弹力做功，机械能可以从一种形式_____成另一种形式。
【答案】弹性 减少 增加 弹性势能
重力势能 动能 转化
【想一想】毛泽东的诗词中曾写到“一代天骄成吉思汗，只识弯弓射大雕”。试分析成吉思汗在弯弓射雕过程中，涉及机械能中哪些能量之间的转化？
提示：箭被射出过程中，弹性势能转化为箭的动能；箭上升过程中，动能向重力势能转化；下落过程中，重力势能又向动能转化。
二、机械能守恒定律
1.机械能
若物体的动能为Ek，系统的势能为Ep，则机械能的表达式为
E=______。
【答案】Ek+Ep
2.推导
物体自由下落过程中经过A、B两位置，如图所示。
3.内容:在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以
__________，而总的机械能__________。
4.守恒定律表达式
(1)Ek2-Ek1=_________，即ΔEk增=_______。
(2)Ek2+Ep2=_________。
(3)E2=____。
5.守恒条件:物体系统内只有______或______做功。
【答案】相互转化 保持不变
EP1-EP2 ΔEp减 Ek1+Ep1 E1
重力 弹力
【判一判】
(1)合力为零，物体的机械能一定守恒。( )
(2)合力做功为零，物体的机械能一定守恒。( )
(3)只有重力做功，物体的机械能一定守恒。( )
提示：合力为零或合力做功为零，物体的机械能都不一定守恒，如物体沿斜面匀速下滑时，物体的机械能就减少，(1)、
(2)错误。机械能守恒的条件是只有重力或弹力做功，(3)正确。
对机械能及其守恒定律的理解
【探究导引】
蹦极运动是一项极具刺激的极限运动，它让参与者既能体会到自由下落的快感，又能感受失重、超重状态下的美妙，请思考以下问题：
(1)人跳离高台后开始下落，若忽略空气阻力，到弹性绳伸直以前，人的机械能是否守恒？
(2)弹性绳逐渐伸长的过程中，人的机械能是否守恒？人与弹性绳总的机械能是否守恒？
【要点整合】
1.研究对象
(1)当只有重力做功时，可取一个物体(其实是物体与地球构成的系统)作为研究对象。
(2)当物体之间有弹力做功时，必须将这几个物体构成的系统作为研究对象(使这些弹力成为系统内力)。
2.机械能守恒定律表达式
3.机械能守恒条件的理解
(1)从能量特点看，系统内部只发生动能和势能的相互转化，无其他形式能量(如内能)之间转化，系统的机械能守恒。
(2)从做功角度来看，只有重力做功或系统弹力做功，系统的机械能守恒。具体表现为：
做功条件 例 证
只有重力(或弹簧弹力) 所有做抛体运动的物体(不计空气阻力)，机械能守恒
除重力、弹力外还受其他力，但其他力不做功 如物体沿光滑的曲面下滑，尽管受到支持力，但支持力不做功
做功条件 例 证
只有重力或系统内的弹力做功 如图中，小球在摆动过程中，线的拉力不做功，若不计空气阻力，只有重力做功，小球的机械能守恒
如图中，A、B间及B与地面间摩擦不计，A自B上自由下滑过程中，只有重力和A、B间弹力做功，A、B组成的系统机械能守恒。但对B来说，A对B的弹力做功，这个力对B来说是外力，B的机械能不守恒
做功条件 例 证
只有重力或系统内的弹力做功 如图中，不计空气阻力，球在摆动过程中，只有重力和弹簧与球间的弹力做功，球与弹簧组成的系统机械能守恒。但对球来说，机械能不守恒
其他力做功，但做功的代数和为零 如图所示，A、B组成的系统，忽略绳的质量与滑轮间的摩擦，在A向下、B向上运动过程中，FA和FB都做功，但WA+WB=0。不存在机械能与其他形式的能的转化，则A、B组成的系统机械能守恒
【特别提醒】(1)机械能守恒的条件不是合力做的功等于零，也不是合力等于零。(2)对单个物体而言，从做功的力的特点去分析比较方便，对于某系统来说，从能量转化角度去分析相对比较简单。
【典例1】下列几种情况,系统的机械能守恒的是( )
A.图甲中一颗弹丸在光滑的碗内做复杂的曲线运动
B.图乙中运动员在蹦床上越跳越高
C.图丙中小车上放一木块,小车的左侧由弹簧与墙壁相连。小车在左右振动时,木块相对于小车无滑动(车轮与地面摩擦不计)
D.图丙中如果小车振动时,木块相对小车有滑动
【思路点拨】解答本题应明确以下两点：
关键点
(1)对单个物体而言，只有重力对它做功，机械能才守恒。
(2)对某系统而言，机械能守恒的前提是只有重力做功或系统内部的弹力做功。
【总结提升】判断机械能是否守恒应注意的问题
(1)合外力为零是物体处于平衡状态的条件。物体受到的合外力为零时，它一定处于匀速运动状态或静止状态，但它的机械能不一定守恒。
(2)合外力做功为零是物体动能守恒的条件。合外力对物体不做功，它的动能一定不变，但它的机械能不一定守恒。
(3)只有重力做功或系统内弹力做功是机械能守恒的条件。只有重力对物体做功时，物体的机械能一定守恒；只有重力或系统内弹力做功时，系统的机械能一定守恒。
【变式训练】(2011·新课标全国卷)一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离。假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法正确的是( )
A.运动员到达最低点前重力势能始终减小
B.蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力做负功，弹性势能增加
C.蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒
D.蹦极过程中，重力势能的改变与重力势能零点的选取有关
【解析】选A、B、C。运动员在下落过程中，重力做正功，重力势能减小，故A正确。蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力向上，位移向下，弹力做负功，弹性势能增加，故B正确。选取运动员、地球和蹦极绳为一系统，在蹦极过程中，只有重力和系统内弹力做功，这个系统的机械能守恒，故C正确。重力势能改变的表达式为ΔEp=mgΔh，由于Δh是绝对的，与选取的重力势能零点无关，故D错。
机械能守恒定律的应用
【探究导引】
运动员抛出的铅球所受空气的阻力远小于其重力，请思考以下问题：
(1)铅球在空中运动过程中，能否视为机械能守恒？
(2)若铅球被抛出时速度大小一定，铅球落地时的速度大小与运动员将铅球抛出的方向有关吗？
【要点整合】
1.应用步骤
(1)选取研究对象(物体或系统)。
(2)明确研究对象的运动过程，分析研究对象在运动过程中的受力情况，弄清各力的做功情况，判断机械能是否守恒。
(3)选取恰当的参考平面，确定研究对象在初、末状态的机械能。
(4)选取机械能守恒的某种表达式，列方程求解。
2.机械能守恒定律和动能定理的比较
【特别提醒】(1)无论直线运动还是曲线运动，动能定理和机械能守恒定律都可应用，都不必考虑中间过程，只需考虑始、末状态。
(2)能用机械能守恒定律求解的，一定能用动能定理求解，但满足守恒条件时，应用机械能守恒定律更方便。
【典例2】(2011·北京高考)如图所示，长度为l的轻绳上端固定在O点，下端系一质量为m的小球(小球的大小可以忽略)。
(1)在水平拉力F的作用下，轻绳与竖直方向的夹角为α，小球保持静止。画出此时小球的受力图，并求力F的大小。
(2)由图示位置无初速释放小球，求当小球通过最低点时的速度大小及轻绳对小球的拉力。不计空气阻力。
【规范解答】(1)小球受力图如图所示，
根据平衡条件得FTcosα=mg
FTsinα=F
所以拉力大小F=mgtanα
【互动探究】若例题中的拉力F=mg，方向恒为水平向右，在该拉力作用下，小球从最低点由静止向右摆动，当轻绳与竖直方向的夹角α=37°时，力F停止作用，求：
(1)小球上升的最大高度(相对于最低点)。
(2)小球重新回到最低点时的速度大小。
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【解析】(1)小球上升到最大高度时速度为零，设小球上升的最大高度为h，由动能定理得
Flsin37°-mgh=0，其中F=mg
所以小球上升的最大高度h=lsin37°=0.6l。
(2)小球从最高点向下运动过程中机械能守恒，选最低点所在平面为参考平面，所以
答案：(1)0.6l (2)
【总结提升】对比分析动能定理和机械能守恒定律的应用范围
定理定律项目 机械能守恒定律 动能定理
不同点 需要判断是否满足守恒条件，需要确定零势能面 不需要选参考面，一般不考虑适用条件
相同点 只需考虑初、末状态，不用考虑中间过程
应用范围 能用机械能守恒定律解决的问题一般都能用动能定理解决；能用动能定理解决的问题不一定都能用机械能守恒定律解决
结论 动能定理比机械能守恒定律应用更广泛，更普遍
机械能守恒的三种判断方法
1.做功条件分析法
应用系统机械能守恒的条件进行判断，分三种情况：
(1)物体只受重力(或系统内的弹力)作用。
(2)物体同时受重力和其他力，但其他力不做功。
(3)有系统的内力做功，但是内力做功的代数和为零。
2.能量转化分析法
若系统内物体间只有动能和重力势能及弹性势能的相互转化,系统跟外界没有发生机械能的传递,机械能也没有转变成其他形式的能,则系统的机械能守恒。
3.定义判断法
如物体沿水平方向匀速运动时，动能和势能之和不变，机械能守恒；物体沿竖直方向或沿斜面匀速运动时，动能不变，势能变化，机械能不守恒。
【案例展示】下列叙述中正确的是( )
A.做匀速直线运动的物体的机械能一定守恒
B.做变速直线运动的物体的机械能可能守恒
C.外力对物体做功为零，物体的机械能一定守恒
D.系统内只有重力或弹力做功时，系统的机械能一定守恒
【规范解答】系统机械能是否守恒可根据机械能守恒的条件来判断。做匀速直线运动的物体所受合力为零，动能不变，但重力势能可能改变，A错误；做变速直线运动的物体，若只有重力对它做功时，机械能守恒，B正确；外力对物体做功为零时，除重力之外的力有可能做功，此时机械能不一定守恒，C错误；系统内只有重力或弹力做功时，系统的机械能守恒，D正确。
答案：B、D
【名师点评】物体机械能守恒和系统机械能守恒
只有重力做功是单个物体的机械能守恒条件，对系统机械能守恒来说并不成立。对系统来说，外力的功和内力的功都可以改变系统的机械能，故判断系统机械能是否守恒时，既要看系统外力所做的功又要看内力所做的功。总之，应看是否存在机械能与其他形式能的相互转化。
1.下列说法正确的是( )
A.机械能守恒时，物体一定不受阻力
B.机械能守恒时，物体一定只受重力和弹力作用
C.物体处于平衡状态时，机械能必守恒
D.物体所受的外力不等于零，其机械能也可以守恒
【解析】选D。机械能守恒的条件是只有重力做功或系统内物体间的弹力做功。机械能守恒时，物体或系统可能不只受重力和弹力作用，也可能受其他力，但其他力不做功或做的总功一定为零，A、B错。物体沿斜面匀速下滑时，它处于平衡状态，但机械能不守恒，C错。物体做自由落体运动时，合力不为零，但机械能守恒，D对。
2.如图所示，弹簧固定在地面上，一小球从它的正上方A处自由下落，到达B处开始与弹簧接触，到达C处速度为0，不计空气阻力，则在小球从B到C的过程中( )
A.弹簧的弹性势能不断增大
B.弹簧的弹性势能不断减小
C.系统机械能不断减小
D.系统机械能保持不变
【解析】选A、D。从B到C，小球克服弹力做功，弹簧的弹性势能不断增加，A正确，B错误；对小球、弹簧组成的系统，只有重力和系统内弹力做功，系统机械能守恒，C错误，D正确。
一、选择题(本题包括5小题，每小题5分，共25分。每小题至少一个选项正确)
1.物体在平衡力作用下运动的过程中，下列说法正确的是( )
A.机械能一定不变
B.物体的动能保持不变，而势能一定变化
C.若物体的势能变化，则机械能一定变化
D.若物体的势能变化，则机械能不一定有变化
2.如图所示，斜面置于光滑水平地面，其光滑斜面上有一物体由静止沿斜面下滑，在物体下滑过程中，下列说法正确的是( )
A.物体的重力势能减少，动能增加
B.斜面的机械能不变
C.斜面对物体的作用力垂直于接触面，不对物体做功
D.物体和斜面组成的系统机械能守恒
3.(2012·衡水高一检测)如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体， 抛出后物体落到比地面低h的海平面。若以地面为参考平面且不计空气阻力，则( )
A.物体落到海平面时的重力势能为mgh
B.重力对物体做的功为mgh
C.物体在海平面上的动能为＋mgh
D.物体在海平面上的机械能为
4.(2012·福建高考)如图,表面光滑的固定斜面顶端安装一定滑轮,小物块A、B用轻绳连接并跨过滑轮(不计滑轮的质量和摩擦)。初始时刻,A、B处于同一高度并恰好处于静止状态。剪断轻绳后,A下落、B沿斜面下滑,则从剪断轻绳到物块着地,两物块( )
A.速率的变化量不同
B.机械能的变化量不同
C.重力势能的变化量相同
D.重力做功的平均功率相同
5.(2012·石家庄高一检测)如图所示，小球沿水平面通过O点进入半径为R的半圆弧轨道后恰能通过最高点P，然后落回水平面，不计一切阻力。下列说法正确的是( )
A.小球落地点离O点的水平距离为2R
B.小球落地时的动能为
C.小球运动到半圆弧最高点P时向心力恰好为零
D.若将半圆弧轨道上部的圆弧截去，其他条件不变，则小球能达到的最大高度比P点高0.5R
二、非选择题(本题包括3小题，共25分，要有必要的文字叙述)
6.(8分)如图所示，质量不计的轻杆一端安装在水平轴O上，杆的中央和另一端分别固定一个质量均为m的小球A和B(可以当做质点)，杆长为l，将轻杆从静止开始释放，不计空气阻力。当轻杆通过竖直位置时，求：小球A、B的速度各是多少？
7.(8分)长为L的均匀链条放在光滑的水平桌面上，且使其长度的垂在桌边，如图所示，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，则链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为多少？
8.(9分)滑板运动是一项惊险刺激的运动，深受青少年的喜爱。如图所示是滑板运动的轨道，AB和CD是一段圆弧形轨道，BC是一段长7 m的水平轨道。一运动员从AB轨道上的P点以6 m/s的速度下滑，经BC轨道后冲上CD轨道，到Q点时速度减为零。已知运动员的质量为50 kg，h=1.4 m，H=1.8 m，不计圆弧轨道上的摩擦。(g=10 m/s2)求：
(1)运动员第一次经过B点、C点时的速度各是多少？
(2)运动员与BC轨道的动摩擦因数。
答案解析
1.【解析】选C。由于物体在平衡力的作用下做匀速直线运动，所以物体的动能不变，而势能可能不变，也可能变化，当物体的势能变化时，机械能一定变化，当物体的势能不变时，机械能一定不变，故C正确，A、B、D错误。
【总结提升】机械能守恒的判断
(1)对单个物体判断机械能守恒时，看是否只有重力做功，若并非只受重力，看其他力是否做功或做功的代数和是否为零。
(2)对两个或几个物体组成的系统，判断机械能是否守恒时，①看是否只有重力做功，若有其他外力或内力做功(如内部有摩擦力等，系统内弹力除外)，则系统机械能不守恒。②看是否只有动能和势能之间的转化。
2.【解析】选A、D。物体由静止开始下滑的过程其重力势能减少，动能增加，A正确。物体在下滑过程中，斜面做加速运动，其机械能增加，B错误。物体沿斜面下滑时，既沿斜面向下运动，又随斜面向右运动，其合速度方向与弹力方向不垂直，弹力方向垂直于接触面，但与速度方向之间的夹角大于90°，所以斜面对物体的作用力对物体做负功，C错误。对物体与斜面组成的系统，只有物体的重力和物体与斜面间的弹力做功，机械能守恒，D正确。
【变式备选】游乐场中的一种滑梯如图所示。小朋友从轨道顶端由静止开始下滑，沿水平轨道滑动了一段距离后停下来，则( )
A.下滑过程中支持力对小朋友做功
B.下滑过程中小朋友的重力势能增加
C.整个运动过程中小朋友的机械能守恒
D.在水平面滑动过程中摩擦力对小朋友做负功
【解析】选D。支持力始终与速度垂直，不做功，A错。下滑过程中重力做正功，重力势能减小，B错。在滑动过程中摩擦力做负功，机械能减小，C错，D对。
3.【解析】选B、C、D。物体抛出后运动的全过程机械能守恒，以地面为参考平面，物体的机械能表示为，也等于全过程中任意位置的机械能，D正确；由动能定理知：mgh＝-，所以在海平面上的动能为mgh＋，C正确；重力做的功WG＝mgh，所以B正确；到达海平面时的重力势能Ep＝-mgh，A错误。所以正确答案为B、C、D。
4.【解题指南】解答本题时应明确以下三点：
(1)矢量和标量的描述不同。
(2)平均功率的计算公式的理解。
(3)据平衡状态得两物块的质量关系。
【解析】选D。设A、B离地高度为h,由于斜面表面光滑，A、B在运动过程中机械能守恒，故mgh=，物块着地时速率相等,均为，因此速率变化量相等，A、B错。由于初始时刻A、B处于同一高度并处于静止状态，因此有mAg=
mBgsinθ，又由于下落高度相同，所以重力势能变化量不相等，C错。从剪断轻绳到两物块着地过程的平均速度大小为 故选项D正确。
5.【解题指南】求解本题应注意以下问题：
(1)小球恰能通过最高点，表明它在最高点的向心力等于其重力。
(2)运动过程的各个阶段，小球的机械能不变。
【解析】选A、B、D。由题意知mg=,故小球经P点时的速度大小v=，C错。由2R=、x=vt得小球落地点离O点的水平距离为2R，A对。根据动能定理2mgR=Ek-得小球落地时的动能Ek=2mgR+=mgR，B对。由mgh=mgR得小球能达到的最大高度h=2.5R,比P点高0.5R ，D对。
6.【解析】对A、B(包括轻杆)组成的系统，由机械能守恒定律
ΔEp减=ΔEk增，得 ①
又因A、B两球的角速度ω相等，则 ②
vB=ωl ③
联立①②③式，代入数据解得
答案：
7.【解析】链条下滑时，因桌面光滑，没有摩擦力做功。整根链条总的机械能守恒，可用机械能守恒定律求解。设整根链条质量为m，则单位长度质量(质量线密度)为m/L，设桌面重力势能为零，由机械能守恒定律得：
答案：
8.【解析】以水平轨道为零势能面
(1)从P点到B点，根据机械能守恒定律有
解得vB=8 m/s
从C点到Q点，根据机械能守恒定律有
=mgH
解得vC=6 m/s。
(2)从B到C由动能定理，
解得μ=0.2。
答案:(1)8 m/s 6 m/s (2)0.2
【总结提升】应用机械能守恒定律解题的优越性
机械能守恒定律不涉及运动过程中的加速度和时间，用它来处理问题要比牛顿定律方便。应用机械能守恒定律解决问题，只需考虑运动的始末状态，不必考虑两个状态之间过程的细节。如果直接用牛顿运动定律解决问题，往往要分析过程中各个力的作用，而这些力往往又是变化的，因此一些难以用牛顿运动定律解决的问题，应用机械能守恒定律则易于解决。