滕一东校 - 高二 - 基本不等式1
文档属性
| 名称 | 滕一东校 - 高二 - 基本不等式1 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 90.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2013-06-29 08:05:02 | ||
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文档简介
§3.4基本不等式：
滕州一中东校 韩霞
教材分析
本节内容是数学必修5中第三章第四节第一课时的内容，是在学完不等式性质的基础上对不等式的进一步研究.同时也是为了以后学习（选修4—5）《不等式选讲》中的几种重要不等式，以及不等式的证明作铺垫，起着承上启下的作用.
本节内容具有变通灵活性、应用广泛性、条件约束性等特点，所以本节课可以培养学生应用数学知识灵活解决实际问题的能力，是学数学用数学的好素材.同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，所以有利于培养学生良好的思维品质.
课时分配
本节内容用1课时完成，主要讲解基本不等式的证明过程，了解这个基本不等式的几何意义，会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
教学目标
重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式 的证明过程.
难点：①通过实例抽象出基本不等式的过程；
②利用基本不等式求解实际问题中的最大值与最小值.
知识点：基本不等式公式.
能力点：通过所给出的实例抽象出基本不等式的形式，让学生体会从特殊到一般的数学思想方法.
教育点：通过实例探索，让学生体会数学源于生活，又服务于生活的思想，激发学习的热情，学习的兴趣。
自主探究点：理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等.
考试点：会用基本不等式解决简单的最（大）小值的问题.
易错易混点：基本不等式成立的条件学生容易忽略.
拓展点：引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件：“一正、二定、三相等”.
教具准备：多媒体课件
课堂模式：设计学案，借助多媒体辅助教学，增强课堂教学的生动性与直观性。
一.引入新课
问题：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
【师生活动】教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。
【设计意图】以赵爽的弦图引入新课，增强学生的民族自豪感，即活跃了课堂气氛，又激发了学生学习数学的兴趣,从而在感性上认识基本不等式.
【设计说明】创设问题情境，激发兴趣, 增强学生的求知欲望。
二．探究新知
1.借助图形，直观感知,探究图形中的不等关系.
问1：在正方形ABCD中,设AE=a,BE=b,则正方形的面积为S=，
问2：Rt△ABE,Rt△BCF,Rt△CDG,Rt△ADH是全等三角形，它们的面积和是S’=
问3：S与S’有什么样的关系？
从图形中易得，s > s’,即
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有。
生：分组讨论、交流。
【设计说明】教师鼓励学生探究、交流，引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考。
【设计意图】学生以填空形式合作探究，增强学生的自信心，加深学生对基础知识的印象
2．证明
师：这个公式是从图形上直观认识，需严格证明，你能得到结论并证明吗？
生：总结公式、证明方法.
生：如果
生：证明：因为
当
所以 ，即
【设计说明】结论的得出尽量发挥学生自主能动性，让学生总结，教师适时点拨引导。
3. 证明当且仅当时取等号
师：请大家思考：如果用,去替换中的,能得到什么结论？,要满足什么条件？
生： ，当且仅当时取等号.
师：通常我们把上式写作：，当且仅当时取等号.
你能用代数方法（不等式的性质）给出这个不等式的证明吗？
师：让学生自行探索其证明过程，根据教师的语言提示，寻找多种方法证明：
生：动手实践，探究本质.学生分组讨论、交流证明方法。
用作差法证明：
证明：
当且仅当时取等号.
师：用分析法证明：
要证 (1)
只要证 a+b (2)
要证（2），只要证 a+b- 0 （3）
要证（3），只要证 （ - ） （4）
显然，（4）是成立的.当且仅当a=b时，（4）中的等号成立.
注意不等式成立的条件：
⑴ a、 b是两个正数.
⑵ 当且仅当a=b等号成立
【设计说明】分析法：课件已给出,具体以填空的方式进，应让学生注重步骤.
三. 理解新知
1. 基本不等式的代数意义
称为的几何平均数；称为的算术平均数.所以基本不等式 的代数意义是：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数.
2.理解基本不等式的几何意义
师：如图，是圆的直径，点是上一点，，．过点作垂直于的弦，连接．你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？
师：引导学生发现,表示圆的半经，表示半弦长CD
易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB
即ＣD＝.
这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，
其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.
得到不等关系：
因此：基本不等式的几何意义是：半弦长不大于半径长.
【设计意图】学生通过复习初中的几何知识很容易完成，学生从形的角度认识基本不等式加深印象,让学生体会数形结合思想.
3.如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等比中项不大于它们的等差中项.
【设计意图】从不同角度归纳基本不等式，加深对基本不等式的理解,渗透数形结合的数学思想.
【设计说明】从不同角度探索基本不等式的证明过程，深化公式理解及探究能力.
四．运用新知
例1：(1) 用篱笆围一个面积为100的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
(2) 一段长为36的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大.最大面积是多少？
解：（1）设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy=100,篱笆的长为2（x+y）m.
由 ,
可得 x+y2,
2(x+y) 40.
等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.
因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用篱笆最短，最短篱笆是40m；
（2）设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则2（x+y）=36,x+y=18, 矩形菜园的面积为
xy m2.
由.==9，
可得 xy81,
当且仅当x=y，即x=y=9时，等号成立。
因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81 m2。
【设计意图】老师引导学生分析问题，引导学生选用基本不等式去解决这类问题
总结：,如果（定值），则当且仅当 时，积xy有最 值
若（定值），则当且仅当 时,和x+y有最 值
（积定和最小、和定积最大）使用基本不等式解决最值问题需要注意 “一正，二定，三相等”
【设计意图】总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化
练1 x>0，当x取什么值时，x+的值最小？最小值是多少？
练2 已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时，两条直角边的和最小，最小值是多少？
【设计意图】学生动手练习,加强学生的应用意识.
【设计说明】通过练习、巩固提高.
五.课堂小结
（1）若，则（当且仅当时，等号成立）
若，则（当且仅当时，等号成立）
（2）运用基本不等式解决简单最大（小）值问题的基本方法．
（把握“一正、二定、三等”）
（3）数学思想：基本不等式的探究过程（从特殊到一般）；
基本不等式的几何解释（数形结合）.
【设计意图】通过师生共同反思，优化学生的认知结构
六. 布置作业
书面作业：课本100页A组1,2
七.教后反思：
⑴本节课由实际问题引入课题，既自然，又能引起学生的兴趣，激发起学生的求知欲望，为本节重点的突破打下良好的基础．
⑵由学生已有知识归纳和总结得到这节课的两个定理，使学生易于理解和接受．对实际问题的解决体现了数学的应用价值．
⑶重要不等式灵活变形的使用不仅加深了对推理的理解，同时突破了对本节难点“等号成立的条件”的理解．关注基本不等式与现实的联系是这篇案例的突出特点，“问题驱动式”的设计是这篇案例成功的关键.
八、板书设计
课题: §3.4基本不等式（第1课时）
一．概念1.重要不等式2.基本不等式3.不等式的证明 二.例题例1.例2. 三．随堂练习四.课时小结
D
C
A
B
E
O
滕州一中东校 韩霞
教材分析
本节内容是数学必修5中第三章第四节第一课时的内容，是在学完不等式性质的基础上对不等式的进一步研究.同时也是为了以后学习（选修4—5）《不等式选讲》中的几种重要不等式，以及不等式的证明作铺垫，起着承上启下的作用.
本节内容具有变通灵活性、应用广泛性、条件约束性等特点，所以本节课可以培养学生应用数学知识灵活解决实际问题的能力，是学数学用数学的好素材.同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，所以有利于培养学生良好的思维品质.
课时分配
本节内容用1课时完成，主要讲解基本不等式的证明过程，了解这个基本不等式的几何意义，会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
教学目标
重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式 的证明过程.
难点：①通过实例抽象出基本不等式的过程；
②利用基本不等式求解实际问题中的最大值与最小值.
知识点：基本不等式公式.
能力点：通过所给出的实例抽象出基本不等式的形式，让学生体会从特殊到一般的数学思想方法.
教育点：通过实例探索，让学生体会数学源于生活，又服务于生活的思想，激发学习的热情，学习的兴趣。
自主探究点：理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等.
考试点：会用基本不等式解决简单的最（大）小值的问题.
易错易混点：基本不等式成立的条件学生容易忽略.
拓展点：引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件：“一正、二定、三相等”.
教具准备：多媒体课件
课堂模式：设计学案，借助多媒体辅助教学，增强课堂教学的生动性与直观性。
一.引入新课
问题：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
【师生活动】教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。
【设计意图】以赵爽的弦图引入新课，增强学生的民族自豪感，即活跃了课堂气氛，又激发了学生学习数学的兴趣,从而在感性上认识基本不等式.
【设计说明】创设问题情境，激发兴趣, 增强学生的求知欲望。
二．探究新知
1.借助图形，直观感知,探究图形中的不等关系.
问1：在正方形ABCD中,设AE=a,BE=b,则正方形的面积为S=，
问2：Rt△ABE,Rt△BCF,Rt△CDG,Rt△ADH是全等三角形，它们的面积和是S’=
问3：S与S’有什么样的关系？
从图形中易得，s > s’,即
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有。
生：分组讨论、交流。
【设计说明】教师鼓励学生探究、交流，引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考。
【设计意图】学生以填空形式合作探究，增强学生的自信心，加深学生对基础知识的印象
2．证明
师：这个公式是从图形上直观认识，需严格证明，你能得到结论并证明吗？
生：总结公式、证明方法.
生：如果
生：证明：因为
当
所以 ，即
【设计说明】结论的得出尽量发挥学生自主能动性，让学生总结，教师适时点拨引导。
3. 证明当且仅当时取等号
师：请大家思考：如果用,去替换中的,能得到什么结论？,要满足什么条件？
生： ，当且仅当时取等号.
师：通常我们把上式写作：，当且仅当时取等号.
你能用代数方法（不等式的性质）给出这个不等式的证明吗？
师：让学生自行探索其证明过程，根据教师的语言提示，寻找多种方法证明：
生：动手实践，探究本质.学生分组讨论、交流证明方法。
用作差法证明：
证明：
当且仅当时取等号.
师：用分析法证明：
要证 (1)
只要证 a+b (2)
要证（2），只要证 a+b- 0 （3）
要证（3），只要证 （ - ） （4）
显然，（4）是成立的.当且仅当a=b时，（4）中的等号成立.
注意不等式成立的条件：
⑴ a、 b是两个正数.
⑵ 当且仅当a=b等号成立
【设计说明】分析法：课件已给出,具体以填空的方式进，应让学生注重步骤.
三. 理解新知
1. 基本不等式的代数意义
称为的几何平均数；称为的算术平均数.所以基本不等式 的代数意义是：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数.
2.理解基本不等式的几何意义
师：如图，是圆的直径，点是上一点，，．过点作垂直于的弦，连接．你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？
师：引导学生发现,表示圆的半经，表示半弦长CD
易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB
即ＣD＝.
这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，
其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.
得到不等关系：
因此：基本不等式的几何意义是：半弦长不大于半径长.
【设计意图】学生通过复习初中的几何知识很容易完成，学生从形的角度认识基本不等式加深印象,让学生体会数形结合思想.
3.如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等比中项不大于它们的等差中项.
【设计意图】从不同角度归纳基本不等式，加深对基本不等式的理解,渗透数形结合的数学思想.
【设计说明】从不同角度探索基本不等式的证明过程，深化公式理解及探究能力.
四．运用新知
例1：(1) 用篱笆围一个面积为100的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
(2) 一段长为36的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大.最大面积是多少？
解：（1）设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy=100,篱笆的长为2（x+y）m.
由 ,
可得 x+y2,
2(x+y) 40.
等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.
因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用篱笆最短，最短篱笆是40m；
（2）设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则2（x+y）=36,x+y=18, 矩形菜园的面积为
xy m2.
由.==9，
可得 xy81,
当且仅当x=y，即x=y=9时，等号成立。
因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81 m2。
【设计意图】老师引导学生分析问题，引导学生选用基本不等式去解决这类问题
总结：,如果（定值），则当且仅当 时，积xy有最 值
若（定值），则当且仅当 时,和x+y有最 值
（积定和最小、和定积最大）使用基本不等式解决最值问题需要注意 “一正，二定，三相等”
【设计意图】总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化
练1 x>0，当x取什么值时，x+的值最小？最小值是多少？
练2 已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时，两条直角边的和最小，最小值是多少？
【设计意图】学生动手练习,加强学生的应用意识.
【设计说明】通过练习、巩固提高.
五.课堂小结
（1）若，则（当且仅当时，等号成立）
若，则（当且仅当时，等号成立）
（2）运用基本不等式解决简单最大（小）值问题的基本方法．
（把握“一正、二定、三等”）
（3）数学思想：基本不等式的探究过程（从特殊到一般）；
基本不等式的几何解释（数形结合）.
【设计意图】通过师生共同反思，优化学生的认知结构
六. 布置作业
书面作业：课本100页A组1,2
七.教后反思：
⑴本节课由实际问题引入课题，既自然，又能引起学生的兴趣，激发起学生的求知欲望，为本节重点的突破打下良好的基础．
⑵由学生已有知识归纳和总结得到这节课的两个定理，使学生易于理解和接受．对实际问题的解决体现了数学的应用价值．
⑶重要不等式灵活变形的使用不仅加深了对推理的理解，同时突破了对本节难点“等号成立的条件”的理解．关注基本不等式与现实的联系是这篇案例的突出特点，“问题驱动式”的设计是这篇案例成功的关键.
八、板书设计
课题: §3.4基本不等式（第1课时）
一．概念1.重要不等式2.基本不等式3.不等式的证明 二.例题例1.例2. 三．随堂练习四.课时小结
D
C
A
B
E
O