滕一东校－高二-常用逻辑用语复习课

复习课: 常用逻辑用语
滕州一中东校 韩霞
教学目标
重点：充要条件的判断、四种命题的关系及等价性，命题真假的判断．
难点：对一些命题真假的判断.
知识点：1.了解命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系;2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义; 3．了解逻辑联结词‘‘或’’‘‘且’’‘‘非’’的含义;4．理解全称量词与存在量词的意义,能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
能力点：1．温故本章内容，使知识系统化，条理化，达到巩固与知新的效果.2.体会分类讨论，等价转化，数形结合的数学思想的应用.3.通过强化练习，培养学生分析问题解决问题的能力.
教育点：1.提高学生的逻辑思维能力；2.培养学生化归(或转化)的数学思想，分类讨论的数学思想；3.进一步提高学生的认知水平，培养学生自己解决问题的能力，为学生塑造良好的数学认识结构.
自主探究点：例题及变式的解题思路的探索.
考试点：对命题真假的判断、复合命题的构成、命题的四种形式、充要条件与必要条件的判断、全称量词与存在量词的应用.
易错易混点：充分条件与必要条件判断.
拓展点：求参数的取值范围问题.
学法与教具
学法：讲练结合、启发诱导 2.教具：多媒体、学案
一、【知识结构】
二、【知识梳理】
一．命题
1．命题的定义：我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的　　　　叫做命题。其中判断为真的语句叫做　　　　，判断为假的语句叫做　　　　.
2．命题的结构：在数学中，具有“若则”这种形式的命题中的叫做　　　　，叫做　　　　.
二．四种命题及其相互关系
3．四种命题的概念：一般地，用和分别表示原命题的条件和结论，用和分别表示和的否定，于是四种命题的形式就是：
原命题：若则；逆命题：　　　　；否命题：　　　　；逆否命题：　　　　.
4．四种命题之间的关系
　　四种命题之间的相互关系如下图所示：
　　由上图知逆命题与否命题也互为逆否命题，因此这四种命题的真假之间的关系如下：
（1）两个命题互为逆否命题，它们具有相同的　　　　；
（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性　　　　　　.
5．反证法
由于原命题与它的逆否命题具有相同的真假性，所以我们在直接证明某一命题有困难时，可以通过证明　　　　　　　　，来间接地证明原命题为真命题，这种证明的方法，称作是　　　　。用反证法证明的步骤如下：
（1）　　　　　　　　　　，即假设结论的反面成立；
（2）从　　　　　　　　　出发，经过推理论证得出矛盾；
（3）由矛盾判定假设不正确，　　　　　　　.
三．充分条件与必要条件
6．若，则叫做的 条件，则叫做的 条件；
若，则叫做的 条件，简称为 条件.
7．如果且，我们称为的 条件，如果且，则我们称为的 条件.
四．判断充要条件的方法
8．命题判断法
设“若则”为原命题，那么：
(1)原命题为真，逆命题为假时，则是的 条件；
(2)原命题为假，逆命题为真时是的 条件；
(3)原命题与逆命题都为真时，是的 条件；
(4) 原命题与逆命题都为假时，是的 条件.
9．集合判断法
从集合的观点看，建立命题相应的集合：成立，成立，那么：
(1)若，则是的 条件，若时，则是的 条件；
(2) 若，则是的 条件，若时，则是的 条件；
(3)若，则是的 条件，若且时，则是的　　条件.
五．逻辑联结词
10．逻辑联结词：在数学中，有时会使用一些联结词，如　　　　　　　.
11．“且”记作　　　　；“或”记作　　　；“非”记作　　　.
12．命题，和的真假判断
（1）当都是真命题时，为　　　；为　　　；为　　　.
（2）当有一个是真命题时，为　　　；为　　　.
(3)　当都是假命题时，为　　　；为　　　；为　　　.
上述语句可以描述为：对于“一假必假”；对于“一真必真”；对于“真假相反”。
可以用下表来判断：（即真值表）
真 真
真 假
假 真
假 假
六．全称量词与存在量词
13．全称量词：短语　　　　、　　　　在逻辑中通常叫做全称量词，用符号　　　来表示；
含有全称量词的命题，叫做　　　　　.
全称命题“对中任意一个，有成立”可用符号简记为　　　　 .
14．存在量词：短语　　　　、　　　　在逻辑中通常叫做存在量词，用符号　　　来表示；
含有存在量词的命题，叫做　　　　　.
存在命题“存在中一个，使成立” 可用符号简记为　　　　.
15．含有一个量词的命题的否定：
全称命题：，它的否定：　　　　　 ；即全称命题的否定是　　　 .
特称命题：，它的否定：　　　　 ；即全称命题的否定是　　　 .
三、【范例导航】
1.四种命题的关系
例1写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
（1）已知，，为实数，若，则有两个不相等的实数根；
（2）若或，则；
（3）若，则，全为零．
【分析】由定义写出其逆命题、否命题、逆否命题，然后判断其真假；也可利用命题间的等价性来判断．
【解答】（1）原命题是真命题；
逆命题：若有两个不相等的实数根，则，（假）；
否命题：若，则没有两个不相等的实数根，（假）；
逆否命题：若没有两个不相等的实数根，则，（真）．
（2）原命题是真命题；
逆命题：若，则或，是真命题；
　　否命题：若且，则，是真命题；
　　逆否命题：若，则且，是真命题．
（3）原命题是真命题；
逆命题：若，全为零，则，（真）；
否命题：若，则，不全为零，（真）；
逆否命题：若，不全为零，则，（真）．
【点评】(1)要注意四种命题之间的等价关系，即原命题与逆否命题等价，否命题与逆命题等价．判断一个命题是真命题时，要按照数学逻辑进行推理证明，而要说明它是假命题时，只需要举出一个反例即可．
(2)在否定条件或结论时，要注意否定词语的使用．常见否定词语有：
正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 有 是 都是 全是
否定词语 不等于（） 不大于（） 不小于（） 无 不是 不都是 不全是
正面词语 任意的 任意两个 至少有一个 至多有一个 所有的 至多有个 或
否定词语 某个 某两个 一个也没有 至少有两个 某些 至少有个 且
变式训练:
写出下列命题的否命题，并判断真假
（1）若xy=0，则x，y中至少有一个为0；
（2）若x + y =0，则x，y中至多有一个大于0.
答案：（1）否命题：若，则x，y都不为0；（真）（2）否命题：若，则x，y都大于0（假）
2.充分必要条件
例2（1） “”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】充要条件的判断前提是先明确条件与结论，即弄清楚哪个是条件，哪个是结论，再根据条件分析出推式的关系，从而利用定义和推式得到结论．
【解答】当时，，即．
反之，当时，有，
或，即．
综上所述，“”是“”的充分不必要条件，故选A．
（2）设集合,,那么“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】本题条件与结论的形式都是集合形式，只要理清集合之间的关系，按照充要条件与集合的对应关系即可作出判断．
【解答】∵，∴.故选A．
【点评】在从条件推结论，结论推条件时，可以利用学过的定理、定义和公式直接做逻辑判断，或利用数轴或Venn图分析两个集合的关系判断出“”和“”的真假．
例3已知是的充分条件而不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件．现有下列命题：①是的充要条件；②是的充分而不必要条件；③是的必要而不充分条件；④的必要而不充分条件；⑤是的充分而不必要条件，则正确命题序号是（ ）
A.①④⑤ B.①②④ C.②③⑤ D.②④⑤
【分析】本题命题及其关系较多，如果直接解决则比较麻烦，可以用符号“”、“”等符号表示，简化题意，解决方便．
【解答】由题意可知：，且，．
所以，①正确；，且，②正确；，③不正确；
，且，④正确；，⑤不正确．故选B．
【点评】（1）本题考查了充分条件、必要条件、充要条件的概念及命题之间关系的转化，逆否命题的等价性，考查了逻辑思辩能力和转化思想．
（2）在命题之间的充分条件、必要条件、充要条件的推导过程中，使用符号语言可以简化过程，降低思维量．
变式训练:
已知命题：，命题：，若￢是￢的充分不必要条件，求实数的取值范围．
答案：．
3. 命题真假的判断
例4（1）已知命题：所有有理数都是实数，命题：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是
A．　　　B．　　　C．　　　D．
【分析】本题只需要判断出命题和命题的真假，根据真值表进行判断即可．
【解答】由题意可以判断命题是真命题，命题是假命题，所以命题是假命题，命题是真命题．只有是真命题，故选D．
【点评】命题的真假判断是“一真必真”；命题的真假判断是“一假必假”；命题与的真假相反.
变式训练:
有四个关于三角函数的命题：
：， ：、，
：, ：
其中是假命题的有（ ）
A．， B．， C．， D．，
答案：A．
4.命题的否定
例5已知命题：，则（ ）
A. B.C. D.
【分析】对全称（特称）命题的否定是将其全称（存在）量词改为存在（全称）量词，再将结论否定．
【解答】将变为，同时否定，可以得到，故选C．
【点评】一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：
全称命题：，它的否定￢：，￢．
特称命题：，它的否定￢：，￢．
变式训练:
命题“存在R，0”的否定是
A.不存在R, >0 B.存在R, 0 C.对任意的R, 0 D.对任意的R, >0
答案：D
四、【解法小结】
1．要理解命题的四种形式，会运用逻辑推理判断真命题，利用举反例判断假命题．原命题与其逆否命题为等价命题，逆命题与否命题为等价命题，当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题的真假．
2．理解逻辑联结词的含义，能正确分析命题形式，指出构成它们的简单命题，并会依据真值表判断命题的真假．
3．注意一个命题的否定与命题的否命题是不同的，原命题的否定只否定结论，原命题的否命题既否定条件，又否定结论．
4．判断充要条件的三种方法是：定义法、等价法、利用集合间的包含关系作判断．
五、【布置作业】
必做题：
1. 命题：“若，则”的逆否命题是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
2.“”是“”成立的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分条件 D.既不充分也不必要条件.
3．命题“对任意的”的否定是（ ）
A.不存在 B.存在
C.存在 D. 对任意的
4.下列命题是真命题的为
A．若,则 B．若,则 C．若,则 D．若,则
5、设m，n是平面 内的两条不同直线，，是平面 内的两条相交直线，则// 的一个充分而不必要条件是
A.m // 且l // B. m // l 且n // l C. m // 且n // D. m // 且n // l
6.若，则的 条件.
必做题答案：1. D. 2. A 3. C. 4.A.　5. B. 6. 充分不必要条件
选做题：1．已知a>0，则x0满足关于x的方程ax = b的充要条件是
(A) (B)
(C) (D)
2．“a=1”是“函数在区间[1, +∞)上为增函数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知p：有两个不等的负根，q：无实根．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．
选做题答案：1.C.2. A. 3. {或}
六、【教后反思】
1.本教案的亮点是：首先以结构图呈现本章的知识结构，直观简明；其次，复习相关知识并以填空和表格的形式呈现，.再次，例题选择典型，对知识点的覆盖面广.再次，讲练结合，学生落实较好.最后，在作业的布置上，选择高考和各地市摸底考试中的部分难度不大的题，对学生理解、巩固知识能够起到良好的作用.
2.本教案的弱项：由于课时安排和时间关系，本节课内容较多，学生在课下预习时应下功夫，基础薄弱的同学可能有点跟不上或者有点吃力，课下应注意消化.
四种命题
命题及其关系
充分条件与必要条件
或
且
非或
并集
交集
补集
运算
常用逻辑用语
简单的逻辑联结词
全称命题
量词
全称量词
存在量词
含有一个量词的否定
全称量词与存在量词
特称命题
互　　　　否
　　为　逆
　为　　　逆
互　　　　　否
互　否
互　否
互　逆
原命题
若p则q
互　逆
逆命题
若q则p
逆否命题
若则
逆否命题
若则