滕一东校－高二－数列求和
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文档简介
数列求和
滕州一中东校 韩霞
教材分析
数列是高中数学的重点内容之一，而数列求和又是数列的重要内容，是历年高考考察的重点，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.数列求和的问题往往和其他知识综合在一起，综合性教强，数列求和就显得特别重要，数列求和就需要根据数列的特点选择最适合的方法，那么必须掌握几种常用的数列求和方法.本节课对数列求和的一些常用的方法举例进行了分析、小结，以期达到熟练求和的效果.
课时分配
本节内容用1课时的时间完成，等差数列与等比数列的有限项求和总是有公式可求的，其它的数列的求和不总是可求的，但某些特殊数列的求和可采用分组求和法转化为等差数列或等比数列的和或用裂项求和法、错位相减法、倒序相加法、分组求和法等 .
教学目标
重点: 注意观察数列的特点和规律,在分析数列通项的基础上,或分解为基本数列求和;或转化为基本数列求和.解题时的突破口在于认真分析数列通项,从通项的变形与分解中寻找方法.
难点：裂项相消法，错位相减法
知识点：(1)公式法(2) 倒序相加法 (3)错位相减法(4) 裂项相消法(5)分组求和法
能力点：数列求和的基本思路是，抓通项，找规律，套方法。培养他们观察、分析、归纳、推理的能力.通过阶梯性的强化练习，培养学生分析问题解决问题的能力。
教育点：通过对数列求和的研究，培养学生主动探索、勇于发现的探索精神；使学生逐步养成细心观察、认真分析、及时总结的好习惯.
自主探究点：探索并掌握一些基本的数列求前n项和的方法.
考试点：数列求和.
易错易混点：用错位相减法求和时学生在处理等比数列求和时数不清项数，有时最后求完，没有求出.
拓展点：对公比的值的分类讨论.
教具准备 多媒体课件
课堂模式 学案导学
一、引入新课
复习回顾
⒈公式法
①等差数列的前n项和公式
②等比数列的前n项和公式
⒉倒序相加法（等差数列求和公式的推导方法）
将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列可以用倒序相加法求和.
⒊错位相减法（等比数列求和公式的推导方法）
数列，为等差数列，为等比数列
⒋裂项相消法
主要用于求数列的前项和，其中为等差数列，也适合裂项后容易求和的数列.
⒌分组求和法
对于不是等差又不是等比数列的一类数列，若进行适当的拆分，可分成等差、等比数列然后求和.
二、应用与探索
例题选讲
⒈公式法
例1．（1）已知等差数列的通项公式为，求它的前n项和公式.
（2）已知数列，（x≠0），数列的前n项和，求。
【师生活动】请同学们仔细观察，看看这两个数列是什么数列，如何求和？
学生说出求和方法并且求和.
解：（2）当x=1时，
当x≠1时，为等比数列，公比为x
由等比数列求和公式得 （利用常用公式）
＝
小结：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n项和的公式来求.
【设计意图】本小题主要考查等差数列、等比数列基本知识和数列求和的基本方法以及运算能力.
【设计说明】利用等比数列求和公式．当公比是用字母表示时，应对其是否为1进行讨论，如本题若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列，还应对x是否为0进行讨论．要弄清数列共有多少项，末项不一定是第n项．
2、倒序相加法：
例2．已知函数
（1）证明：；
（2）求的值.
解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边
（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，
两式相加得：
所以.
小结：类似于等差数列的前n项和的公式的推导方法。如果一个数列，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和,这一种求和的方法称为倒序相加法.
【设计意图】准确运用倒序相加法求和
【设计说明】解题时，认真分析对某些前后具有对称性的数列，可以运用倒序相加法求和.
练习：求值：
3、错位相减法：
若，其中是等差数列，是公比为等比数列，令
则
两式相减并整理即得。
类似于等比数列的前n项和的公式的推导方法,若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差·比”数列，则采用错位相减法.
例3、已知 ，求数列｛an｝的前n项和Sn.
解： ①
②
②—①得
小结：错位相减法的求解步骤：①在等式两边同时乘以等比数列的公比；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n项和的公式求和.
【设计意图】错位相减法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和.错位相减法求和在高考中占有相当重要的位置，近几年来的高考题其中的数列方面都出了这方面的内容，需要我们的学生认真掌握好这种方法.
【设计说明】错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题.
练习：求和：
4、裂项相消法：
例4、数列的通项公式为，求它的前n项和
解：
=
小结：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.适用于类似（其中是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法：
（1），特别地当时，
（2），特别地当时
【设计意图】这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.
【设计说明】裂项相消法求和的关键是数列的通项可以分解成两项的差，其中中间的大部分项都互相抵消了，只剩下有限的几项，并且消项时前后所剩的项数相同. 余下的项具有如下的特点：余下的项前后的位置前后是对称的，余下的项前后的正负性是相反的.
练习：求数列的前n项和.
5、分组求和法：
有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列.若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
例5、求和：
解：
【设计意图】这是求和的常用方法，按照一定规律将数列分成等差（比）数列或常见的数列，使问题得到顺利求解.
练习：求和：
三、课堂小结
1．数列求和的常用方法
（1）公式法：适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列；
（2）裂项相消法：适用于其中{ }是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等；
（3）错位相减法：适用于其中{ }是等差数列，是各项不为0的等比数列。
（4）倒序相加法：类似于等差数列前n项和公式的推导方法.
（5）分组求和法：对于不是等差又不是等比数列的一类数列，若进行适当的拆分，可分成等差、等比数列然后求和.
2．常用结论
（1） 1+2+3+...+n =
（2）1+3+5+...+(2n-1) =
（3）HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" \o "欢迎登陆21世纪教育网"
（4）
（5） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" \o "欢迎登陆21世纪教育网"
（6）
四、作业：
1、必做题：
（1）在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.
（2）设数列的前n项和为Sn=2n2，为等比数列，且
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前n项和Tn
2、选做题：数列{an}的前n项和，数列{bn}满 .
（Ⅰ）证明数列{an}为等比数列；（Ⅱ）求数列{bn}的前n项和Tn。
五、教后反思
1.本教案的亮点：本节课对数列求和的一些常用的方法举例进行了分析、小结，达到了熟练求和的效果.
2.本节课的弱项：由于求和方法较多，在课堂上没有充分暴露学生的思维过程，并给予针对性地诊断与分析.
六、板书设计
数列求和
1．复习公式：2．例1： 例4：例5.
例2
例3
滕州一中东校 韩霞
教材分析
数列是高中数学的重点内容之一，而数列求和又是数列的重要内容，是历年高考考察的重点，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.数列求和的问题往往和其他知识综合在一起，综合性教强，数列求和就显得特别重要，数列求和就需要根据数列的特点选择最适合的方法，那么必须掌握几种常用的数列求和方法.本节课对数列求和的一些常用的方法举例进行了分析、小结，以期达到熟练求和的效果.
课时分配
本节内容用1课时的时间完成，等差数列与等比数列的有限项求和总是有公式可求的，其它的数列的求和不总是可求的，但某些特殊数列的求和可采用分组求和法转化为等差数列或等比数列的和或用裂项求和法、错位相减法、倒序相加法、分组求和法等 .
教学目标
重点: 注意观察数列的特点和规律,在分析数列通项的基础上,或分解为基本数列求和;或转化为基本数列求和.解题时的突破口在于认真分析数列通项,从通项的变形与分解中寻找方法.
难点：裂项相消法，错位相减法
知识点：(1)公式法(2) 倒序相加法 (3)错位相减法(4) 裂项相消法(5)分组求和法
能力点：数列求和的基本思路是，抓通项，找规律，套方法。培养他们观察、分析、归纳、推理的能力.通过阶梯性的强化练习，培养学生分析问题解决问题的能力。
教育点：通过对数列求和的研究，培养学生主动探索、勇于发现的探索精神；使学生逐步养成细心观察、认真分析、及时总结的好习惯.
自主探究点：探索并掌握一些基本的数列求前n项和的方法.
考试点：数列求和.
易错易混点：用错位相减法求和时学生在处理等比数列求和时数不清项数，有时最后求完，没有求出.
拓展点：对公比的值的分类讨论.
教具准备 多媒体课件
课堂模式 学案导学
一、引入新课
复习回顾
⒈公式法
①等差数列的前n项和公式
②等比数列的前n项和公式
⒉倒序相加法（等差数列求和公式的推导方法）
将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列可以用倒序相加法求和.
⒊错位相减法（等比数列求和公式的推导方法）
数列，为等差数列，为等比数列
⒋裂项相消法
主要用于求数列的前项和，其中为等差数列，也适合裂项后容易求和的数列.
⒌分组求和法
对于不是等差又不是等比数列的一类数列，若进行适当的拆分，可分成等差、等比数列然后求和.
二、应用与探索
例题选讲
⒈公式法
例1．（1）已知等差数列的通项公式为，求它的前n项和公式.
（2）已知数列，（x≠0），数列的前n项和，求。
【师生活动】请同学们仔细观察，看看这两个数列是什么数列，如何求和？
学生说出求和方法并且求和.
解：（2）当x=1时，
当x≠1时，为等比数列，公比为x
由等比数列求和公式得 （利用常用公式）
＝
小结：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n项和的公式来求.
【设计意图】本小题主要考查等差数列、等比数列基本知识和数列求和的基本方法以及运算能力.
【设计说明】利用等比数列求和公式．当公比是用字母表示时，应对其是否为1进行讨论，如本题若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列，还应对x是否为0进行讨论．要弄清数列共有多少项，末项不一定是第n项．
2、倒序相加法：
例2．已知函数
（1）证明：；
（2）求的值.
解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边
（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，
两式相加得：
所以.
小结：类似于等差数列的前n项和的公式的推导方法。如果一个数列，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和,这一种求和的方法称为倒序相加法.
【设计意图】准确运用倒序相加法求和
【设计说明】解题时，认真分析对某些前后具有对称性的数列，可以运用倒序相加法求和.
练习：求值：
3、错位相减法：
若，其中是等差数列，是公比为等比数列，令
则
两式相减并整理即得。
类似于等比数列的前n项和的公式的推导方法,若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差·比”数列，则采用错位相减法.
例3、已知 ，求数列｛an｝的前n项和Sn.
解： ①
②
②—①得
小结：错位相减法的求解步骤：①在等式两边同时乘以等比数列的公比；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n项和的公式求和.
【设计意图】错位相减法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和.错位相减法求和在高考中占有相当重要的位置，近几年来的高考题其中的数列方面都出了这方面的内容，需要我们的学生认真掌握好这种方法.
【设计说明】错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题.
练习：求和：
4、裂项相消法：
例4、数列的通项公式为，求它的前n项和
解：
=
小结：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.适用于类似（其中是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法：
（1），特别地当时，
（2），特别地当时
【设计意图】这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.
【设计说明】裂项相消法求和的关键是数列的通项可以分解成两项的差，其中中间的大部分项都互相抵消了，只剩下有限的几项，并且消项时前后所剩的项数相同. 余下的项具有如下的特点：余下的项前后的位置前后是对称的，余下的项前后的正负性是相反的.
练习：求数列的前n项和.
5、分组求和法：
有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列.若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
例5、求和：
解：
【设计意图】这是求和的常用方法，按照一定规律将数列分成等差（比）数列或常见的数列，使问题得到顺利求解.
练习：求和：
三、课堂小结
1．数列求和的常用方法
（1）公式法：适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列；
（2）裂项相消法：适用于其中{ }是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等；
（3）错位相减法：适用于其中{ }是等差数列，是各项不为0的等比数列。
（4）倒序相加法：类似于等差数列前n项和公式的推导方法.
（5）分组求和法：对于不是等差又不是等比数列的一类数列，若进行适当的拆分，可分成等差、等比数列然后求和.
2．常用结论
（1） 1+2+3+...+n =
（2）1+3+5+...+(2n-1) =
（3）HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" \o "欢迎登陆21世纪教育网"
（4）
（5） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" \o "欢迎登陆21世纪教育网"
（6）
四、作业：
1、必做题：
（1）在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.
（2）设数列的前n项和为Sn=2n2，为等比数列，且
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前n项和Tn
2、选做题：数列{an}的前n项和，数列{bn}满 .
（Ⅰ）证明数列{an}为等比数列；（Ⅱ）求数列{bn}的前n项和Tn。
五、教后反思
1.本教案的亮点：本节课对数列求和的一些常用的方法举例进行了分析、小结，达到了熟练求和的效果.
2.本节课的弱项：由于求和方法较多，在课堂上没有充分暴露学生的思维过程，并给予针对性地诊断与分析.
六、板书设计
数列求和
1．复习公式：2．例1： 例4：例5.
例2
例3