滕一东校 - 高二文 - 导数的概念

§3.1.2导数的概念
滕州一中东校 韩霞
教材分析
本节课是高中数学（选修1-1）第三章导数及其应用的第一节《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时．是在学生学习了物理的平均速度和瞬时速度的背景下，以及前一节课所学的平均变化率基础上，阐述了平均变化率和瞬时变化率的关系，从实例出发得到导数的概念，为以后更好地研究导数的几何意义和导数的应用奠定基础.
导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度．导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用．导数概念是我们今后学习微积分的基础．同时，导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具.
课时分配
本节内容用1课时完成，使学生通过运动物体瞬时速度的探究，体会函数在某点附近的平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此建构导数的概念.
教学目标
重点：导数概念的形成，导数内涵的理解．
难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵.通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点.
知识点：知道瞬时变化率就是导数, 掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤.
能力点：通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力,通过问题的探究体会逼近、类比、从特殊到一般的数学思想方法.
教育点：通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣.
自主探究点：通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念．
考试点：导数概念的应用.
拓展点：从具体实例中抽象出共同的数学问题的本质.
教具准备：多媒体课件、计算器
课堂模式：启发诱导，引导发现式
一.引入新课
师：请说出函数从x1到x2的平均变化率公式．
生：
师：如果用x1与增量△x表示平均变化率的公式是怎样的？
生：
【设计意图】复习过程应使学生明确函数的平均变化率表示．
师：高台跳水的例子中，在时间段里的平均速度是零，而实际上运动员并不是静止的，这说明平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态.用一个什么样的量来反映运动员在某一时刻的运动状态？
生：学生在教师的讲述中思考用什么量来反映运动员的运动状态，让学生体会并明确瞬时速度的作用．
【设计意图】引起学生的好奇，意识到平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，为了能更精确地刻画物体运动，我们有必要研究某个时刻的速度即瞬时速度.使学生带着问题走进课堂，激发学生求知欲.
二．探究新知
师：请大家思考如何求运动员的瞬时速度，如时刻的瞬时速度？
【师生活动】组织学生讨论，引导他们自然地想到选取一个具体时刻如，研究它附近的平均速度变化情况来寻找到问题的思路，使抽象问题具体化.
【设计意图】让学生理解平均速度与瞬时速度的区别与联系，感受到平均速度在时间间隔很小时可以近似地表示瞬时速度．
【设计说明】创设问题情境，激发兴趣, 增强学生的求知欲望.
师：怎样使平均速度更好的表示瞬时速度？
生：我们将平均速度作为瞬时速度的近似值，为了使平均速度更好的表示瞬时速度，应该让时间间隔尽量小．
师：请大家继续思考，当Δt取不同值时,尝试计算的值？
-0.1 0.1
-0.01 0.01
-0.001 0.001
-0.0001 0.0001
-0.00001 0.00001
………. …. ……. …
【设计意图】帮助学生体会从平均速度出发，“以已知探求未知”的数学思想方法, 培养学生的动手操作能力
【设计说明】学生对概念的认知需要借助大量的直观数据，所以我让学生利用计算器，分组完成表格.
师：当Δt趋于0时，平均速度有怎样的变化趋势？
生：
-0.1 -12.61 0.1 -13.59
-0.01 -13.051 0.01 -13.149
-0.001 -13.0951 0.001 -13.1049
-0.0001 -13009951 0.0001 -13.10049
-0.00001 -13.099951 0.00001 -13.100049
………. …. ……. …
一方面分组讨论，上台板演，展示计算结果，同时口答：在时刻, 趋于0时，平均速度趋于一个确定的值，即瞬时速度，
师：当趋近于0时，即无论从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值．
从物理的角度看，时间间隔无限变小时，平均速度就无限趋近于的瞬时速度，因此，运动员在时的瞬时速度是,为了表述方便，我们用表示“当，趋近于时，平均速度趋近于定值”
【设计意图】第一次体会逼近思想；另一方面借助动画多渠道地引导学生观察、分析、比较、归纳，第二次体会逼近思想.
师：气球在体积时的瞬时膨胀率如何表示呢？
生：瞬时膨胀率的表示
【设计意图】积极的师生互动能帮助学生看到知识点之间的联系，有助于知识的重组和迁移,寻找不同实际背景下的数学共性，即对于不同实际问题，瞬时变化率富于不同的实际意义 .
三.理解新知
师：如果将这两个变化率问题中的函数用来表示，那么函数在处的瞬时变化率如何呢？
函数在处的瞬时变化率是，
我们称它为函数在处的导数，记作或，
即=.例如：2秒时的瞬时速度可以表示为或.
注：①导数即为函数在处的瞬时变化率；
②定义的变化形式：=；
=；=；
③求函数在处的导数步骤：
（1）.求函数的变化量.
（2）.求平均变化率.
（3）.取极限，得导数＝.
即“一差；二比；三极限”.
【设计意图】引导学生舍弃具体问题的实际意义,抽象得到导数定义,由浅入深、由易到难、由特殊到一般，帮助学生完成了思维的飞跃，归纳概念的过程，体现了从特殊到一般的数学思想.
四．运用新知
例1.求函数在处的导数.
解：,
，，
练习：求函数在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
解：
例2．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第时，原油的温度（单位：）为，计算第时和第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
解：在第时和第时，原油温度的瞬时变化率就是和
根据导数定义
所以；同理可得:
在第时和第时，原油温度的瞬时变化率分别为和5，说明在附近，原油温度大约以的速率下降，在第附近，原油温度大约以的速率上升．
【师生活动】共同归纳得到，导数即瞬时变化率，可反映物体在时刻附近变化的快慢.
【设计意图】让学生进一步理解导数概念，体会导数的应用价值，熟悉求导数的步骤．以具体问题为载体,加深学生对导数内涵的理解，体验数学在实际生活中的应用.
练习：已知一个物体运动的位移与时间满足关系
（1）求物体第5秒和第6秒的瞬时速度
（2）求物体在时刻的瞬时速度
（3）求物体时刻运动的加速度，并判断物体作什么运动？
【设计意图】让学生学会用数学的眼光去看待物理模型，建立各学科之间的联系，更深刻地把握事物变化的规律.
五.课堂小结1.瞬时速度的概念
2.导数的概念:导数就是瞬时变化率；
导数的计算公式：=
3．求函数在处的导数步骤：“一差；二比；三极限”
4.思想方法：以已知探求未知、逼近、类比、从特殊到一般.
【师生活动】引导学生进行讨论，相互补充后进行回答，老师评析，并用幻灯片给出.
【设计意图】让学生自己小结，不仅仅总结知识更重要地是总结数学思想方法.这是一个重组知识的过程，是一个多维整合的过程，是一个高层次的自我认识过程，这样可帮助学生自行构建知识体系，理清知识脉络，养成良好的学习习惯.
六. 布置作业
必做：
1、若质点A按规律运动，则在秒的瞬时速度为（ ）
A、6 B、18 C、54 D、81
2、设函数可导，则=（ ）
A、 B、 C、不存在 D、以上都不对
3、求下列函数的导数：
（1）　　　　　　　　　　　　　　　　　　（2）
选作：
1、函数在处的导数是______________
2、已知自由下落物体的运动方程是，(的单位是,的单位是s)，求：
（1）物体在到这段时间内的平均速度；
（2）物体在时的瞬时速度；
（3）物体在时的瞬时速度.　　　　　　　　　　　　　　　　
七.教后反思：
1.本节课由平均速度到瞬时速度再到导数，展示了一个完整的数学探究过程.提出问题、计算观察、发现规律、给出定义，让学生经历了知识再发现的过程，促进了个性化学习.
2.通过列表计算、直观地把握函数变化趋势（蕴涵着极限的描述性定义），学生容易理解.
3.教学过程设计充分尊重学生认知事物的基本规律，使学生在操作感知的基础上形成导数概念的表象，再通过表象抽象出导数概念，并通过运用导数概念解决实际问题使学生进一步体会导数的本质．
八、板书设计
课题: §3.1.2导数的概念
一．瞬时速度的概念二、导数的概念 二.例题例1.例2. 三．随堂练习四.课时小结