滕一东校－高二-导数的应用复习课

复习课: 导数及其应用
滕州一中东校 韩霞
教学目标
重点：能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间、极值和最值．
难点：导数在求函数的单调区间、极值、最值、证明中的应用，方程根及恒成立问题.
知识点：（1）掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念（2）熟记基本导数公式,掌握两个函数和、差、积、商的求导法则（3）理解可导函数的单调性与其导数的关系. 理解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）.会求一些实际问题的最大值和最小值.
能力点：培养学生的数形结合、转化、分类讨论的数学思想，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力．
教育点：求极值和最值的步骤，需要具体练习和掌握. 这是一堂复习课，教学难度有所增加，培养学生思考问题的习惯，以及克服困难的信心.
自主探究点：函数导数等于零的点一定是极值点吗？
考试点：1.导数的概念、四则运算、常用函数的导数的考查2.利用导数求函数的单调区间、极值、最值.
易错易混点：使导函数等于零的点当成了是极值点，没有进一步的检验，在选择题、和填空题中经常出错.
拓展点：不等式恒成立和方程根的个数问题.
学法与教具
学法：1.采用“学案导学”方式进行教学2.讨论法、启发式、自主学习、合作探究式教学方法的综合运用 教具：多媒体、学案、直尺.
一、【知识结构】
二、【知识梳理】
1.导数的概念：对于函数，如果自变量在处有增量，那么函数相应的有增量.比值就叫做函数在到之间的平均变化率，
即，如果当时，有极限，就说函数在点处可导，并且把这个极限叫做在点处的导数（或瞬时变化率），记作 或
即＝＝
2.几种常见函数的导数
＝ ； ＝ ；() ＝ ;＝ ;
＝ ， ＝ ； ＝ ; ＝
3. 导数的四则运算 若 的导数存在，则
①　　 ②
③ ④
4.导数的意义
（1）导数的几何意义：函数在点处的导数，就是曲线在点处的切线的斜率，即.
（2）导数的物理意义：函数在点处的导数的物理意义是运动物体在时刻处的瞬时速度.
5.函数的单调性与导数的关系
（1）在某个区间内如果 ，那么函数在这个区间内单调递增；如果 ，那么函数在这个区间内单调递减；如果 ，那么函数在这个区间上是常数函数．
（2）求可导函数的单调区间的步骤：（1）求 (2)解不等式 (或)
(3)确认并写出单调区间.
6．函数的极值与导数
（1）若函数在点处的函数值比它在点附近其它点处的函数值 ，且，而且在点附近的左侧 ，右侧 ，则点叫函数的极小值点，叫做函数的极小值．
（2）若函数在点处的函数值比它在点附近其它点处的函数值 ，且，而且在点附近的左侧 ，右侧 ，则点叫函数的极大值点，叫做函数的极大值．
求函数 极值的步骤：
（1）确定函数的定义域 ; (2) 求方程的根;
（3）解不等式 (或)顺次将函数的定义域分成若干小开区间；
(4) 列表; (5)写出极值.
7．函数的最值与导数
函数在上有最值的条件：如果在区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
求在闭区间上的连续函数最值的步骤：（1）求在内的 值；
(2)将的各极值与、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
【设计说明】
第一步：自主复习，学生用6分钟时间利用《学案》将以上基础知识填完
第二步：合作学习，分组交流，解决知识漏洞及疑难点（老师注意发现学生的问题）
第三步：老师点评：老师根据情况有重点的进行知识讲评（大屏幕显示）
三、【范例导航】
1．利用导数研究曲线的切线
例1求曲线在点处的切线方程
【分析】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程.
【解答】因为，所以，在点处的切线斜率，所以，切线方程为，即.
【点评】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求导.
变式训练: 已知曲线
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）求曲线过点的切线方程.
答案：（1）∵,∴在点处的切线的斜率.
∴曲线在点处的切线方程为,即.
（2）设曲线与过点的切线相切于点，则切线的斜率
∴切线方程为即
∵点在切线上，∴ 即∴
∴,解得或,故所求的切线方程为或.
2. 利用导数研究函数的单调性
例2(1) 已知函数，讨论函数的单调性；
(2)已知函数，若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围.
【分析】直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性,同时应注意分类标准的选择. 求参数的范围，应该首选分离参数法，这样比较简单．
【解答】(1) 函数的定义域是，由于
（i）若即,则，故在单调递增.
(ii)若,而,故,则当时，;
当及时，
故在单调递减，在单调递增.
(iii)若,即,同理可得在单调减少，在单调增加.
(2) 函数的定义域是，，
因为函数在区间上为单调函数
所以只需在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
解得,所以实数的取值范围是
【点评】本题主要考查利用导数研究函数性质的能力.考查分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想.
变式训练: １、已知函数，．
（１）讨论函数的单调区间；（２）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．
答案：（1）求导：
当时，，，在上递增．
当，求得两根为．
即在递增，递减，递增．
（2）因为函数在区间内是减函数，所以当时恒成立，结合二次函数的图像可知即解得．所以的取值范围
3．利用导数研究函数的极值与最值
例3.已知函数,曲线在点处的切线为 ，若时，有极值.（1）求的值； （2）求在上的最大值和最小值.
【分析】利用导数及函数的性质解题．
【解答】（1）由,得,
当时，切线 的斜率为3，可得 ①
当时，有极值，则,可得 ②
由①②解得由于切点的横坐标为,∴.
∴∴.
（2）由（1）可得,∴，令,得，
当变化时，的取值及变化如下表：
+ - +
单调递增↗ 单调递减↘ 单调递增↗
∴在上的最大值为，最小值为
【点评】本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值以及最值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力.
变式训练: 已知函数在与时都取得极值（1）求的值与函数的单调区间
（2）若对，不等式恒成立，求的取值范围.
答案：（1）由,得,
由，得
，函数的单调区间如下表：
＋ － ＋
极大值 极小值
所以函数的递增区间是和，递减区间是.
（2），，当时，为极大值，
而，则.
要使（）恒成立，只需，解得
四、【解法小结】
1．掌握求单调区间、极值、最值的步骤，在解题中一定要列表.
2．在解题中注意变量分离的思想，分类讨论的思想．
五、【布置作业】
必做题：
１、函数的单调递增区间是 ( )
A. B.(0,3) C.(1,4) D.
2、曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
3、若函数在处取极值，则
4、设函数.
（Ⅰ）若曲线在点处与直线相切，求的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间与极值点.
必做题答案：
1.D 2.B 3. 3
4. （Ⅰ）,
∵曲线在点处与直线相切，
∴
（Ⅱ）∵,
当时，，函数在上单调递增，
此时函数没有极值点.
当时，由，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
∴此时是的极大值点，是的极小值点.
选做题：
1.已知函数, ,求函数的单调区间
2.已知函数．若函数在区间上不单调，求的取值范围．
选做题答案：1..函数的定义域为. ∴.
① 当, 即时, 得,则.
∴函数在上单调递增.
② 当, 即时, 令 得,
解得.
(ⅰ) 若, 则.
∵, ∴, ∴函数在上单调递增.
(ⅱ)若,则时, ; 时, ,
∴函数在区间上单调递减, 在区间上单调递增.
综上所述, 当时, 函数的单调递增区间为;
当时, 函数的单调递减区间为, 单调递增区间为.
2.函数在区间上不单调，等价于在区间上有实数解，且无重根．
又，由，得，从而
或解得或
所以的取值范围是
六、【教后反思】
1.本教案的亮点是：首先以结构图呈现本章的知识结构，直观简明；其次，复习相关知识并以填空的形式呈现，.再次，例题选择典型，对知识点的覆盖面广;再次，讲练结合，学生落实较好.最后，在作业的布置上，选择高考和各地市摸底考试中的部分难度不大的题，对学生理解、巩固知识能够起到良好的作用.
2.本教案的弱项：由于课时安排和时间关系，本节课内容较多，学生在课下预习时应下功夫，基础薄弱的同学可能有点跟不上或者有点吃力，课下应注意消化.
导　数
导数的概念
导数的运算
导数的应用
导数的几何意义
基本的导数公式
两个函数的和差积商的导数
函数的单调性
函数的极值
函数的最值
几种常见函数的导数