课件28张PPT。3.1.1 变化率问题导数及其应用问题1：一个物体在3秒是的路程是10m,4秒是的路程是15m,在6秒是的路程是45m,问：
（1）物体3——4秒路程的平均变化率是多少？（2）物体3——6秒路程的平均变化率是多少？（3）物体4——6秒路程的平均变化率是多少？平均变化率
Δx=x2－x1, Δy=f(x2)－f(x1)这里Δx是x1的一个“增量” ：x2＝x1+Δx ;
Δy是ｆ(x1)的一个“增量” : f(x2)=f(x1) +Δy .则平均变化率为习惯上记：例 (1) 计算函数 f (x) = 2 x +1在区间[ –3 , –1]上的平均变化率 ；(2) 求函数f (x) = x2 +1的平均变化率。(1)解：
△y=f (-1)- f (-3)=4
△x=-1- (-3)=2
(2)解：
△y=f (x+△x)- f (x)
=2△x ·x+(△x )2
解：设在[3，3.1]内的平均速度为v1，则△t1=3.1-3=0.1(s)△s1=s(3.1)-s(3)=0.5g× 3.12-0.5g×32=0.305g(m)所以同理求函数y = f(x)在区间[x1，x2]上的平均
变化率的步骤：归纳：一差、二比 思考? 观察函数f(x)的图象
平均变化率 表示什么?OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=△xf(x2)-f(x1)=△y直线AB的斜率小 结:平均变化率的几何意义：就是两点间的斜率小结：1.函数的平均变化率2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);
(2)计算平均变化率
探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知， ，
所以，虽然运动员在 这段时间里的平均速度为 ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．此时，需用瞬时速度描述具体运动状态.导数的概念导入 如何知道运动员在每一时刻的速度呢？在高台跳水运动中，平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态.我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?求：从2s到(2+Δt)s这段时间内平均速度如何求运动员的瞬时速度呢?思考:当Δt趋近于0时,平均速度有什么样的变化趋势?当△t→0时， 该常数可作为运动员在2s时的瞬时速度。 当Δt趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值 –13.1. 从物理的角度看, 时间间隔 |Δt |无限变小时, 平均速度 就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时的瞬时速度是 –13.1.表示“当t =2, Δt趋近于0时, 平均速度 趋近于确定值– 13.1”.探究:1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?
2.函数f (x)在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示?定义:函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作或 , 即2.瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称.1. 与 的值有关，不同的 其导数值一般也不相同 例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单位: )为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是和根据导数的定义,所以,同理可得 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5. 它说明在第2h附近, 原油温度大约以3 / h的速率下降; 在第6h附近,原油温度大约以5 / h的速率上升.例题2求函数 在x=3处的导数. 求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:（1）求函数的增量（2）求平均变化率（3）求得导数归纳课堂小结1.瞬时速度的定义物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.2.导数的定义 一般地，函数 在 处的瞬时变化率是 我们称它为函数 在 处的导数（derivative）.3.求导数的步骤（1）求 ?y；（3）取极限得第一章 导数及其应用1.1.3 导数的几何意义 思考? 观察函数f(x)的图象
平均变化率 表示什么?OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=△xf(x2)-f(x1)=△y直线AB的斜率 设曲线C是函数y=f(x)的图象，在曲线C上取一点P(x0,y0)
及邻近一点Q(x0+△x,y0+△y),过P,Q两点作割线，当点Q沿着曲线无限接近于点P点P处的切线。即△x→0时, 如果割线PQ有一个极限位置PT, 那么直线PT叫做曲线在曲线在某一点处的切线的定义T此处切线定义与以前的定义有何不同？M△x△y割线与切线的斜率有何关系呢？ 即：当△x→0时，割线PQ的斜率的极限，就是曲线在点P处的切线的斜率，那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即:这个概念:
①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;
②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.因此,函数f(x)在x=x0处的导数就是切线PT的斜率.例1、根据函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象，如何描述、比较曲线h(t)在t0，t1，t2附近的变化情况？thOt0t1t2l0l1l2曲线在t＝t1附近比在 t＝t2附近下降得缓慢.在t＝t0附近曲线比较平坦在t＝t1及t＝t2
附近曲线下降，1．曲线y＝－2x2＋1在点(0,1)处的切线的斜率是( )
A.－4 B．0 C．4 D．不存例2、求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.切线方程为y-2=2(x-1)求曲线在某点处的切线方程的步骤:
①利用导数求切线的斜率;
②利用点斜式求切线方程.即y=2x.B例3、求曲线y=f(x)=3x2+7x+1在点x=3处的切线方程.课件17张PPT。函数的极值与导数 在某个区间(a,b)内,
如果 ，那么函数y =f(x)在这个区间内单调递增;
如果 ，那么函数y =f(x) 在这个区间内单调递减
如果 ，那么函数y =f(x) 在这个区间内为常函数1、函数的单调性与其导函数的正负关系复习2、用导数求函数单调区间的步骤：1.确定函数 的定义域.2.求导
3.解不等式 ，解集在定义域内的部分为递增区间;
解不等式 ,得函数递减区间.高台跳水：一、创设情景单调递增
单调递减
2.跳水运动员在最高处附近的情况：(2)当t
a时h(t)的单调性是怎样的呢？t=ata(4)导数的符号有什么变化规律？思考：对于一般函数是否也有同样的性质吗？＋－在t=a附近， 先增后减， 最大。 先正后负， 连续变化，于是有先正后负(1)当t=a时运动员距水面高度最大，h(t)在此点的导数是多少呢？ （1）函数y=f(x)在a.b点的函数值与它们附近点的函数值有什么关系?（2 ） 函数y=f(x)在a.b.点的导数值是多少?（3）在a.b点附近, y=f(x)的导数的符号分别是什么，并且有什么关系？oab点b---极大值点
f(b)---极大值 点a---极小值点
f(a)---极小值极大值f(b)极小值点、极大值点统称极值点，极大值和极小值统称为极值.极小值f(a)注：1、极值点是自变量的值，极值指的是函数值;2、函数的极值是一个局部性的概念，只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。极大值f(b)极小值f(a)口诀：左正右负极大值，左负右正极小值 x0为的极值点需要满足哪些条件？ 观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值,并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点.思考 (1) 函数的极值不唯一 (2)极大值与极小值之间无确定的大小关系(3)函数的极值点只出现在区间的内部探索: x =0是否为函数f(x)=x3的极值点? f?(x)=0的点一定是函数的极值点吗? f?(x)=3x2 当f?(x)=0时，x =0，而x =0不是该函数的极值点.f?(x0) =0 x0 是可导函数f(x)的极值点 注意：f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件探索例题1:求 的极值.典型例题例题1:求 的极值.典型例题① 确定函数的定义域；
② 求导数④ 检查 在方程 ＝0的根的左右两侧的
符号，确定极值点。若干个开区间，并列成表格求导—求极值点—列表—求极值练习1 下图是导函数 的图象, 试找出函数 的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点.abxyx1Ox2x3x4x5x6练习2求下列函数的极值:解: 解得 列表:– ++单调递增单调递减单调递增所以, 当 x = –3 时, f (x)有极大值 54 ;当 x = 3 时, f (x)有极小值 – 54 .思考：已知函数 在 处取得极值。
（1）求函数 的解析式
（2）求函数 的单调区间17必要条件函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.课件25张PPT。函数的最值与导数1.3.3f '(x)>0f '(x)<01、函数单调性与导数关系如果在某个区间内恒有 ,则 为常数.设函数y=f(x) 在 某个区间[a,b]内，f(x)在区间[a,b]内为增函数f(x)在区间[a,b]内为减函数旧知回顾x1x2在极大值点附近在极小值点附近 f ?(x)<0 f ?(x)>0 f ?(x)>0 f ?(x)<0左正右负为极大值左负右正为极小值2极值的判定求函数f(x)极值的步骤：f?(x0) =0 x0 是函数f(x)的极值点 x0左右侧导数异号 x0 是函数f(x)的极值点 f?(x0) =0注意：f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件结论 在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题 函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函数极值关系如何？新 课 引 入 极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。极大值点 ，极小值点你能说出函数的最大值点和最小值点吗？最大值点 ：a ，最小值点：d观察区间[a,b]上函数y=f (x)的图象，你能找出它的极大值点，极小值点吗？最小值是f (b).单调函数的最大值和最小值容易被找到。函数y=f(x)在区间[a,b]上最大值是f (a),图1最大值是f (x3),图2函数y=f (x)在区间[a,b]上最小值是f (x4).
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： 知识回顾： 最大值与最小值 （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M;
（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M那么，称M是函数y=f(x)的最大值. 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M;
（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M那么，称M是函数y=f(x)的最小值. 一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f (x)
的图象是一条连续不断的曲线，那么
它必有最大值和最小值。y=f(x)oyxy=f(x)x1x2x4如果在闭区间【a，b】上函数y=f（x）的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值并且在端点或极值点取得。所有极值连同端点函数值进行比较，
最大的为最大值，最小的为最小值 探究一（闭区间上的最值问题）x3例1、求函数f(x)=x3-12x+12在[0, 3]上的
最大值，最小值。例1、求函数f(x)=x3-12x+12在[0,3]上的
最大值，最小值。解：由上节课的例1知，在[0,3]上， 当x=2时， f(x)=x3-12x+12有极小值，并且极小值为f (2)=-4.又由于f (0)=12,f (3)=3,因此，函数 f(x)=x3-12x+12在[0, 3]上的
最大值为12，最小值为-4。①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值
(极大值与极小值); ②将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)（即端点的函数值）作比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下练习：求函数 在[0，3]上的最 大值与最小值.解：f(x)的图象在[0,3]上是连续不断的.令 ，解得 因此函数 在[0，3]上的最大值为4，最小值为 .例2：求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大值与最小值.解:令 ,解得x=-1,0,1.当x变化时, 的变化情况如下表:从上表可知,最大值是13,最小值是4.例3：解：令解得x0(0, ) ( , )+-+00 ( , )当x变化时, ,f(x)的变化情况如下表:0值域？求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：①:求y=f(x)在(a，b)内的极值(极大值与极小值); ②:将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)作比较, 其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 总结20练习：1、求函数f(x)=x2-4x+3在区间[-1，4]内的最大值和最小值.f′(x)=2x- 4令f′(x)=0，即2x–4=0，得x =2 故函数f(x) 在区间[-1，4]内的最大值为8，最小值为-1 解: f(x)的图象在[0,3]上是连续不断的. 2、求函数 在[-1，2]上的最大值与最小值. 因此函数 在[-1，2]上的最大值 为10，最小值为 -2.f(x)在[-1，2]上是增函数.例4:若函数 的最大值为3,最小值为-29,求a,b的值. 解:令 得x=0, x=4（舍去）.当x变化时, ,f(x)的变化情况如下表:由表知,当x=0时,f(x)取得最大值b,故b=3.又f(-1)-f(2)=9a>0,
所以f(x)的最小值为f(2)=-16a+3=-29,故a=2.随堂练习1. 已知f(x)=2x3-6x2+m（m为常数），在[-2 , 2]上有最大值3，函数在[-2 , 2]上的最小值_____.-372. 函数f(x)=x3+ax+b，满足f(0)=0，且在x=1时取得极小值，则实数a的值为_____.-33. 函数f(x)=x3-3x+1在闭区间[-3,0]上的
最大值、最小值分别是（ ）
1，－1 B. 1，-17
C. 3，-17 D. 9，-19C4. 函数f(x)的定义域为R，导函数f ′(x)的图象如图，则函数f(x) （ ）
无极大值点，有两个极小值点
有三个极大值点，两个极小值点
有两个极大值点，两个极小值点
有四个极大值点，无极小值点C课件22张PPT。3.1.1 变化率问题导数及其应用我们从三个问题来看待
变化率问题问题一:工资增长率下面是一家公司的工资发放情况:
其中，工资的年薪s(单位：10元)与时间t(单位：年)成函数关系。
用y表示每年的平均工资增长率.
试分析公司的效益发展趋势？公司的工资发放情况公司的工资发放情况第1年到第2年的平均工资增长率第2年到第3年的平均工资增长率此公司的平均工资增长率是越来越大, 说明此公司效益越来越好问题二:气球膨胀率动画 观看第一次第二次0.62dm0.16dm观察小新接连两次
吹气球时,气球的膨胀程度。气球的体积V(单位：L)与半径r(单
位：dm)之间的函数关系是：用V 表示r得：1、当V从0增加到1L时，
气球的半径增加了2、当V从1增加到2L时，气球的半径增加了r(1)-r(0)≈0.62(dm)气球的平均膨胀率为r(2)-r(1)≈0.16(dm)气球的平均膨胀率为可以看出，随着气球的体积逐渐变大，气球的平均膨胀率逐渐变小了。当气球的空气容量从V1增加到V2时，
气球的平均膨胀率是多少？思考问题三:高空崩极动画 观看第0秒到第1秒这段时间内第1秒到第2秒这段时间内重复观看请按作崩极时，小男孩落下的高度h(单位：m)
与跳后的时间 t (单位：s)存在函数关系在0?t?1这段时间内在1?t?2这段时间内可以看出，随着跳后的时间的推移，
小男孩下落的速度越来越大。思考小男孩跳后的时间从t1变化到t2时，平均速度是多少。平均变化率的定义如果上述三个问题中的函数关系用f(x)
表示，那么问题中的变化率可用式子上式称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率。
Δx=x2－x1, Δy=f(x2)－f(x1)平均变化率的定义:这里Δx是x1的一个“增量” ：x2＝x1+Δx ;
Δy是ｆ(x1)的一个“增量” : f(x2)=f(x1) +Δy .则平均变化率为习惯上记：求函数y = f(x)在区间[x1，x2]上的平均
变化率的步骤：归纳：一差、二比 思考? 观察函数f(x)的图象
平均变化率 表示什么?OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=△xf(x2)-f(x1)=△y直线AB的斜率解：设在[3，3.1]内的平均速度为v1，则△t1=3.1-3=0.1(s)△s1=s(3.1)-s(3)=0.5g× 3.12-0.5g×32=0.305g(m)所以同理练习1、求函数y=5x2+6在区间[2，2+△x]
内的平均变化率。△ y=［5(2+ △x)2+6］-(5×22+6)
=20△x+5△x2所以平均变化率为小 结:函数f(x)从x1到x2的平均变化率：平均变化率的几何意义：就是两点间的斜率课件35张PPT。3.1.2 导数的概念
3.1.3 导数的几何意义平均变化率的定义如果函数关系用f(x)表示，那么变化率可用式子上式称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率。平均变化率的几何意义：就是两点间的斜率自由落体运动中，物体在不同时刻的
速度是不一样的。平均速度不一定能反映物体在某一时刻
的运动情况。物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。解：设在[3，3.1]内的平均速度为v1，则△t1=3.1-3=0.1(s)△s1=s(3.1)-s(3)= 0.5g× 3.12-0.5g×32
=0.305g(m)所以同理例1是计算了[3，3+△t]当t=0.1,t=0.01,t=0.001时的平均速度。上面是计算了△t>0时的情况下面再来计算△t<0时的情况解：设在[2.9，3]内的平均速度为v4，则△t1=3-2.9=0.1(s)△s1=s(3)-s(2.9)= 0.5g×32-0.5g×2.92=0.295g(m)所以设在[2.99，3]内的平均速度为v5，则设在[2.999，3]内的平均速度为v6，则当△t→0时，
物体的速度趋近于一个确定的值3g在 t=3s 这一时刻的瞬时速度等于
在 3s 到 (3+△t)s 这段时间内的平均速度
当△t→0的极限， 设物体的运动方程是 s=s(t),
物体在时刻 t 的瞬时速度为 v , 一般结论就是物体在 t 到 t+△t 这段时间内,
当△t→0 时平均速度的极限 ，即 一般地，
函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是上式称为函数y=f(x)在x=x0处的导数记作： 或 即由导数的定义可知,求函数y=f(x)在
点x0处的导数的方法是： (2)求平均变化率(3)取极限,得导数(1)求函数的增量注意：1、函数应在点的附近有定义，否则导数不存在。 2、在定义导数的极限式中，△x趋近于0
可正、可负，但不为0，而△y可能为0。3、导数是一个局部概念，它只与函数在x0
及其附近的函数值有关，与△x无关。4、若极限 不存在，则称
函数在点x0处不可导。例1、将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第xh时，原油的温度(单位：℃)为f(x)=x2-7x+15 (0?x ?8).计算第2h和第6h时，原油温度的瞬进变化率，并说明它们的意义。解：第2h和第6h时，原油温度的
瞬进变化率就是f ' (2)和f ' (6)根据导数定义：所以，同理可得 f '(6)=5f(x)=x2-7x+15 f '(6)=5 说明在第6h附近，原油温度
大约以5 ℃/h的速度上升；说明在第2h附近，原油温度
大约以3 ℃/h的速度下降；导数的意义P相切相交再来一次观察并思考P再来一次观察并思考设曲线C是函数 y=f(x) 的图象，
在曲线C上取一点 P及P点邻近的任一点
Q(x0+△x,y0+△y) , 过P,Q两点作割线，
则直线PQ的斜率为上面我们研究了切线的斜率问题,可以将以上的过程概括如下：当直线PQ转动时，Q逐渐向P靠近，
也即△x 变小当△x→0时，PQ无限靠近PT因此：相应的 ,
y=f(x)在点P( x0 , f(x0) )处的切线方程为：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0, f(x0))处的切线的斜率．导数可以描述任何事物的瞬时变化率．瞬时变化率除了瞬时速度，切线的斜率还有：点密度，国内生产总值(GDP)的增
长率，经济学上讲的一切边际量
等．例1、如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图象。根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t0,t1,t2附近的变化情况。解：我们用曲线h(t)在t0,t1,t2处的切线，
刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的
变化情况。 当t=t0时,曲线h(t)在t0处的切线l0平行
于x轴. 所以,在t=t0附近曲线比较平坦,
几乎没有下降. 当t=t1时,曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率
h′(t1)<0. 所以,在t=t1附近曲线下降,
即函数h(t)在t=t1附近单调递减. (3) 当t=t2时,曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率
h′(t2)<0. 所以,在t=t2附近曲线下降,
即函数h(t)在t=t2附近也单调递减. 与t2相比,曲线在t1附近下降得缓慢些.00.20.10.40.60.51.10.70.31.00.90.80.20.10.40.60.51.10.70.31.00.90.8t(min)c(mg/mL)例2、如图，它表示人体血管中药物浓度c=f(t)(单位：mg/mL)随时间t(单位：min)变化的函数图象。根据图象，估计t=0.5,0.8时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1)00.20.10.40.60.51.10.70.31.00.90.80.20.10.40.60.51.10.70.31.00.90.8t(min)c(mg/mL)解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化
率，就是药物浓度f(t)在此时刻的导数。作t=0.5处的切线,它的斜率约为0作t=0.8处的切线,它的斜率约为-1.5所以,因此在t=0.5和0.8处药物浓度的瞬时
变化率分别为0和-1.5.所以
物体在时刻t0处的瞬时速度为v0-gt0.练习2、质点按规律s(t)=at2+1做直线运动
(位移单位：m , 时间单位：s).若质点在
t=2时的瞬时速度为8m/s,求常数a的值。a=2由导数的定义可知,求函数y=f(x)在
点x0处的导数的方法是：
(1)求函数的增量
(2)求平均变化率
(3)取极限,得导数小 结:函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率
的定义。课件15张PPT。几个常用函数的导数一、复习求函数的导数的方法是:说明:上面的方法中把x换x0即为求函数在点x0处的 导数.
二、几种常见函数的导数根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.公式1: .1) 函数y=f(x)=c的导数.请同学们求下列函数的导数:猜想：总结归纳：基本初等函数导数公式及运算法则基本初等函数的导数公式练习1、求下列函数的导数。(1) y= 5
(2) y= x 4
(3) y= x -2
y= 2 x
y=log3x导数的运算法则:(和差积商的导数)轮流求导之和上导乘下,下导乘上,差比下方例1.求函数y=x3-2x+3的导数练习2、求下列函数的导数。 (1)y=3x(x2+2); (3)y=(x-1)(2x2+1); (2)y=(2+x3)2;(4)y=(2x2+3)(3x-2).9x2+66x5+12x26x2-4x+118x2-8x+9练习2、求下列函数的导数（6）、（7）、练习3、求下列函数的导数(1)、(2)、(3)、例2：日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯净度的提高，所学净化费用不断增加，已知将1吨水净化到纯净度为x%时所学费用（单位：元）为：求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）、90% （2）、98% 例3：已知曲线 C: y=x3-3x2+2x, 直线 l: y=kx, 且直线 l 与曲线 C 相切于点 (x0, y0)(x0?0), 求直线 l 的方程及切点坐标.∵点 (x0, y0) 在曲线 C 上, ∴y0=x03-3x02+2x0.又 y?=3x2-6x+2,∴在点 (x0, y0) 处曲线 C 的切线斜率 k=y?|x=x0.∴x02-3x0+2=3x02-6x0+2.整理得 2x02-3x0=0. 注 有关曲线的切线问题, 可考虑利用导数的几何意义. 曲线 C 在某一定点处的切线是唯一的, 因此斜率也是唯一的(若存在的话), 采用斜率相等这一重要关系, 往往都可解决这类问题. 课件9张PPT。复合函数的求导基本初等函数的导数公式复习导数的运算法则:(和差积商的导数)轮流求导之和上导乘下,下导乘上,差比下方练习2、求函数 f(x)=(x+1)2(x-1) 在x=1处的 导数1、求下列函数的导数：（1）、（2）、思考如何求函数 y=ln(2x+1) 的导数一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作：y=f(g(x))复合函数的求导方法复合函数 y=f(g(x)) 的导数和函数 y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为：例1：求下列函数的导数（1）、（2）、（3）、练习:求下列函数的导数（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（7）、（8）、（9）、（10）、（6）、课件17张PPT。1.3.1函数的单调性与导数高99班 李友忠函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时函数单调性判定单调函数的图象特征1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )，则 f ( x ) 在G 上是增函数；2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )，则 f ( x ) 在G 上是减函数；若 f(x) 在G上是增函数或减函数，增函数减函数则 f(x) 在G上具有严格的单调性。G 称为单调区间G = ( a , b )复习引入:思考：怎样利用函数的导数来讨论其在定义域的单调性一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1，x2，当x1 (1)若f(x1) .(2)若f(x1)>f (x2)，那么f(x)在这个区间
上是减函数此时x1-x2与f(x1)-f(x2)异号,即这表明：导数的正、负与函数的单调性密
切相关xyxyyxyxyxy观察图象斜率 >0斜率 <0斜率 >0导数为正导数为负导数为正增函数增函数减函数2.......观察函数y=x2－4x＋3的图象：总结:该函数在区间
（－∞，2）上单减,
切线斜率小于0,即其
导数为负,
在区间（2，+∞）上单增,切线斜率大于0,即其导数为正.
而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0.
函数在该点单调性发生改变.一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导,则函数在该区间
如果f′(x)>0, 如果在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)为常数函数.如果f′(x)<0, 则f(x)为增函数;则f(x)为减函数.总结归纳变1：求函数 的单调区间。例2：求函数f(x)=2x3-6x2+7的单调区间.解:函数的定义域为R,f′(x)=6x2-12x
令6x2-12x>0,解得x<0或x>2，
则f(x)的单增区间为（－∞，0）和
（2，＋∞）.
再令6x2-12x<0,解得0则f(x)的单减区间(0,2).注:当x=0或2时, f′(x)=0,即函数在该点单
调性发生改变.
根据导数确定函数的单调性的步骤1.确定函数f(x)的定义域.2.求出函数的导数.3.解不等式f ′(x)>0,得函数单增区间;
解不等式f′(x)<0,得函数单减区间.方法总结判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:(1)(2)练习练习、 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:解:(1) 因为 , 所以因此, 函数 在 上单调递增.(2) 因为 , 所以当 , 即 时, 函数 单调递增;当 , 即 时, 函数 单调递减.解:(3) 因为 , 所以因此, 函数 在 上单调递减.(4) 因为 , 所以 当 , 即 时, 函数 单调递增; 当 , 即 时, 函数 单调递减.例3、如图，水以常速注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像。ABCD设 是函数 的导函数， 的图象如
右图所示,则 的图象最有可能的是( )(A)(B)(C)(D)C尝试高考B课件6张PPT。1.3.2函数的极值与导数一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是函数的一个极大值，函数极值的定义——极大值与极小值统称为极值如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小，我们就说f(x0)是函数的一个极小值。如果x0是f/(x)=0的一个根，并且在x0的左侧附近f/(x)<0，在x0右侧附近f/(x)>0，那么是f(x0)函数f(x)的一个极小值. 导数的应用二、求函数的极值如果x0是f/(x)=0的一个根，并且在x0的
左侧附近f/(x)>0，在x0右侧附近f/(x)<0，
那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值
(1)?求导函数f `(x)；
(2)?求解方程f `(x)=0；
(3)?检查f `(x)在方程f `(x)=0的根的左右
的符号，并根据符号确定极大值与极小值.口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。 用导数法求解函数极值的步骤：例１：求f（x）＝x２－x－２的极值.解：因为 所以例2 求函数 的极值.解:令 解得 或当 , 即 , 或 ;
当 , 即 .当 x 变化时, f (x) 的变化情况如下表:– ++单调递增单调递减单调递增所以, 当 x = –2 时, f (x)有极大值 28 / 3 ;当 x = 2 时, f (x)有极小值 – 4 / 3 .课件15张PPT。1.3.3函数的最大（小）值与导数f '(x)>0f '(x)<01、函数单调性与导数关系如果在某个区间内恒有 ,则 为常数.设函数y=f(x) 在 某个区间[a,b]内，f(x)在区间[a,b]内为增函数f(x)在区间[a,b]内为减函数复习x1x2在极大值点附近在极小值点附近 f ?(x)<0 f ?(x)>0 f ?(x)>0 f ?(x)<0左正右负为极大值左负右正为极小值2、极值的判定求函数f(x)极值的步骤：极大值点 ，极小值点你能说出函数的最大值点和最小值点吗？最大值点 ：a ，最小值点：d观察区间[a,b]上函数y=f (x)的图象，你能找出它的极大值点，极小值点吗？最小值是f (b).单调函数的最大值和最小值容易被找到。函数y=f(x)在区间[a,b]上最大值是f (a),图1最大值是f (x3),图2函数y=f (x)在区间[a,b]上最小值是f (x4).思考：如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： 最大值与最小值 （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M;
（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M那么，称M是函数y=f(x)的最大值. 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M;
（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M那么，称M是函数y=f(x)的最小值. y=f(x)oyxy=f(x)x1x2x4如果在闭区间【a，b】上函数y=f（x）的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值并且在端点或极值点取得。所有极值连同端点函数值进行比较，
最大的为最大值，最小的为最小值 探究一（闭区间上的最值问题）x3 例1、求函数f(x)=x2-4x+3在区间
[-1，4]内的最大值和最小值 解:f ′(x)=2x- 4令f′(x)=0，即2x–4=0，得x =2-+83-1 故函数f (x) 在区间[-1，4]内的最大值为8，最小值为-1 练习、求函数f(x)=x3-12x+12在[0,3]上的
最大值，最小值。因此，函数 f(x)=x3-12x+12在[0, 3]上的
最大值为12，最小值为-4。解:f ′(x)=3x2 - 12令f′(x)=0，即3x2–12=0，得x =2-+123-4①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值
(极大值与极小值); ②将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)（即端点的函数值）作比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下方法总结归纳1、求函数 在[0，3]上的最 大值与最小值.解：f(x)的图象在[0,3]上是连续不断的.令 ，解得 因此函数 在[0，3]上的最大值为4，最小值为 .2：求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大值与最小值.解:令 ,解得x=-1,0,1.当x变化时, 的变化情况如下表:从上表可知,最大值是13,最小值是4.3：解：令解得x0(0, ) ( , )+-+00 ( , )当x变化时, ,f(x)的变化情况如下表:0值域？课件22张PPT。定积分曲边梯形的面积砖是直边的长方体烟囱的截面是弯曲的圆“直的砖”砌成了“弯的圆”局部以直代曲 y = f(x)曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲线y=f(x)，直线x=a、x=b及x轴所围成的图形叫做曲边梯形。一、求曲边梯形的面积 y = f(x)用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A，
得用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得A ? A1+ A2+ A3+ A4用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积A ? A1+ A2 + ? ? ? + An 将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替
小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似为—— 以直代曲,无限逼近 曲边梯形如图所示，小曲边梯形的底：小曲边梯形的高：小曲边梯形的面积：曲边梯形面积的近似值为:曲边梯形面积为小曲边梯形的面积：总结归纳分割求曲边梯形面积的步骤近似代替取极限求和例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形的面积。 解:把底边[0,1]分成n等份,然后在每个分点作底边的垂线, 这样曲边三角形被分成n个窄条, 用矩形来近似代替,然后把这些小矩形的面积加起来, 得到一个近似值:因此, 我们有理由相信, 这个曲边三角形的面积为:二、定积分的定义 如果当n?∞时，S 的无限接近某个常数，这个常数为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，记作从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步曲”:
分割---近似代替----求和------取极限得到解决.定积分的定义： 定积分的相关名称：
? ———叫做积分号，
f(x) ——叫做被积函数，
f(x)dx —叫做被积表达式，
x ———叫做积分变量，
a ———叫做积分下限，
b ———叫做积分上限，
[a, b] —叫做积分区间。 三 定积分的几何意义.当 f (x) ≥ 0，定积分的几何意义就是曲线 y = f (x)
直线 x = a， x = b， y = 0 所
围成的曲边梯形的面积当函数 f (x) ? 0 ， x?[a, b] 时
定积分就是位于 x 轴下方的曲边梯形面积的相反数. 即根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的面积?探究：定积分的性质四: 定积分的基本性质 性质1. 性质2. 四: 定积分的基本性质 定积分关于积分区间具有可加性性质3. 性质 3 不论a，b，c的相对位置如何都有规定：性质1：性质2：性质3：性质4：例2 利用定义计算定积分解课件6张PPT。定积分微积分基本定理定积分的定义： 定积分的相关名称：
? ———叫做积分号，
f(x) ——叫做被积函数，
f(x)dx —叫做被积表达式，
x ———叫做积分变量，
a ———叫做积分下限，
b ———叫做积分上限，
[a, b] —叫做积分区间。微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数，并且F’(x)=f(x)，那么
这个结论叫做微积分基本定理我们常把 记成 ，即
例1：计算下列定积分（1）、（2）、（2）、（1）、（3）、例2：计算下列定积分例3：计算由曲线y2=x ，y=x2所围图形的面积例4：计算由直线y=x-4，曲线 以及x轴所围图形的面积s