人教版数学九年级上册同步提优训练：24.4　第1课时　弧长和扇形面积（word、含答案）

24.4　第1课时　弧长和扇形面积
命题点 1　弧长公式的应用
1．2021云南如图，等边三角形ABC的三个顶点都在⊙O上，AD是⊙O的直径．若OA＝3，则劣弧BD的长是(　　)
A. B．π C. D．2π
2．如图，在等边三角形ABC中，将边AC逐渐变成以BA为半径的，其他两边的长度不变，则∠ABC的度数由60°变为(　　)
A．()°,) B．()°,)
C．()°,) D．()°,)
3．如图，AB为半圆O的直径，AB＝4，C，D为上两点，且＝.若∠CED＝∠COD，则的长为(　　)
A.(5,9)π B.π C.π D.π
4．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝150°，AC＝AO＝6，D为AC的中点，当弦AC沿运动时，点D所经过的路径长为(　　)
A.3π B.π C. π D．4π
5．已知一个圆心角为270°，半径为3 m的扇形工件未搬动前如图所示，A，B两点触地放置，搬动时，先将扇形以点B为圆心，做如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A，B两点再次触地时停止，则圆心O所经过的路线长为________m．(结果用含π的式子表示)
命题点 2　扇形面积公式的应用
6．如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以点A为圆心，AB长为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得扇形ADB的面积为(　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
7．2020西藏 如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上的一点，OD⊥AC，垂足为D，延长OD与半圆O交于点E.若AB＝8，∠CAB＝30°，则图中阴影部分的面积为(　　)
A.π－ B.π－2 C.π－ D.π－2
8.如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°得到△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积为(　　)
A.π－6 B.π C.π－3 D.＋π
9．运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB是⊙O的直径，CD，EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB＝10，CD＝6，EF＝8，则图中阴影部分的面积是(　　)
A.π B．10π C．24＋4π D．24＋5π
10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝6，以点C为圆心，以AC的长为半径作弧，交AB于点D，交BC于点E，则图中阴影部分的面积是________．(结果保留π)
11．如图，在边长为3的正方形ABCD中，以点A为圆心，2为半径作圆弧EF，以点D为圆心，3为半径作圆弧AC.若图中阴影部分的面积分别为S1，S2，则S1－S2＝________．
12．如图，△ABC是正三角形，曲线CDEFG…叫做“正三角形的渐开线”，曲线的各部分为圆弧．
(1)图中已经有4段圆弧，请接着画出第5段圆弧GH.
(2)设△ABC的边长为a，则第1段弧的长是________，第5段弧的长是________，前5段弧长的和(即曲线CDEFGH的长)是________．
(3)类似地，有“正方形的渐开线”“正五边形的渐开线”……边长为a的正方形的渐开线的前5段弧长的和是________．
(4)猜想：①边长为a的正n边形的前5段弧长的和是________；
②边长为a的正n边形的前m段弧长的和是____________．
方法点拨(2题) 遇切线，通常作过切点的半径，利用切线垂直于过切点的半径来求解. 解题突破(4题) 点D所走的路径是以点O为圆心，OD长为半径，圆心角为90°的一段弧. 方法点拨(5题) 对于连续翻转问题，要分情况进行讨论，在计算弧长时，要明确绕哪个点旋转(即圆心)，旋转半径是多少，旋转了多少度(即圆心角).
方法点拨(6题) 已知扇形的半径R，弧长l，则这个扇形的面积S＝lR. 解题突破(8题) △ABC旋转前后面积保持不变，故阴影部分的面积能够转化成一个规则图形的面积.
解题突破(11题) 观察图形，扇形DAC、扇形AEF、正方形ABCD的面积与S1，S2之间有怎样的等量关系？ 方法点拨(12题) 渐开线实际上是由多段圆心不同，半径不同的弧组成的，但是每段弧的半径之间存在着数量关系．解题思路是把每种情况的圆心角和半径找出来，然后把计算得到的各条弧长求和.
答案
1．B　 连接OB，BD，如图．
∵△ABC为等边三角形，∴∠C＝60°，
∴∠D＝∠C＝60°.
又∵OB＝OD，∴△BOD是等边三角形，
∴∠BOD＝60°.
∵半径OA＝3，∴劣弧BD的长为＝π.
2．A　 设变形后的∠B＝n°，AC＝的长＝a.由题意可得π·a＝a，解得n＝.
3．D
4．C　 如图，连接OD.∵D为AC的中点，AC＝AO＝6，∴OD⊥AC，AD＝AC＝AO＝3，∴∠AOD＝30°，OD＝3 .
作弦BF＝AC，E为BF的中点，连接OE.
同理可得∠BOE＝30°，
∴∠DOE＝150°－60°＝90°，
∴点D所经过的路径长为＝＝π.
5．6π　 由题意易知∠AOB＝90°，OA＝OB，
∴∠ABO＝45°，圆心O旋转的长度为2×＝(m)，圆心O平移的距离为＝(m)，则圆心O经过的路线长为＋＝6π(m)．
6．D　 ∵正方形的边长为3，∴的长度为6，∴S扇形ADB＝lR＝×6×3＝9.
7．D　 ∵OD⊥AC，
∴∠ADO＝90°，＝，AD＝CD，∴S△ADO＝S△CDO.
∵∠CAB＝30°，OA＝4，∴∠COD＝∠AOD＝60°，
OD＝OA＝2，∴AD＝＝2 ，
∴图中阴影部分的面积＝S扇形OCE－S△CDO＝S扇形OCE－S△ADO＝－×2 ×2＝－2 .
故选D.
8．B　 由旋转的性质得，△ADE的面积＝△ABC的面积，
由图形可知，阴影部分的面积＝△ADE的面积＋扇形ADB的面积－△ABC的面积，
∴阴影部分的面积＝扇形ADB的面积＝＝π.
9．A　 如图，作直径CG，连接OD，OE，OF，DG.
∵CG是⊙O的直径，
∴∠CDG＝90°，则DG＝＝8.
又∵EF＝8，∴DG＝EF，
∴＝，∴S扇形ODG＝S扇形OEF.
∵AB∥CD∥EF，∴S△OCD＝S△ACD，S△OEF＝S△AEF，
∴S阴影＝S扇形OCD＋S扇形OEF＝S扇形OCD＋S扇形ODG＝S半圆＝π×52＝π.
10．9 －3π　 如图，连接CD.
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝6，
∴∠BAC＝60°，AB＝12，则BC＝6 .
∵CA＝CD，∴△ACD是等边三角形，
∴AD＝AC＝6，∠ACD＝60°，∴∠ECD＝30°.
∵AB＝12，AD＝6，∴BD＝6，∴AD＝BD，
∴S阴影＝S△ABC－S扇形CDE＝××6×6 －＝9 －3π.
故答案为9 －3π.
11.－9　 ∵S正方形ABCD＝3×3＝9，S扇形DAC＝，S扇形AEF＝π，
∴S1－S2＝S扇形AEF－(S正方形ABCD－S扇形DAC)＝π－＝－9.
12．解：(1)如图．
(2)πa　πa　10πa
(3)
(4)①πa　②πa