人教版数学九年级上册同步提优训练：24.3　正多边形和圆（word、含答案）

24.3　正多边形和圆
命题点 1　利用正多边形的性质进行计算
1．正八边形的中心角是(　　)
A．45° B．135° C．360° D．1080°
2．2021绍兴 如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在上，则∠BPC的度数为(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
3.2021安顺、贵阳 如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD分别相切于A，C两点，则∠AOC的度数是(　　)
A．144° B．130° C．129° D．108°
4．已知正六边形的半径为r，则它的边长、边心距、面积分别为(　　)
A.r，r，r2 B．r，，2r2
C.r，r，r2 D．r，，r2
5．2020成都模拟如图,已知⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，P为⊙O上除C，D外任意一点，则∠CPD的度数为(　　)
A．30° B．30°或150°
C．60° D．60°或120°
6．如图是由7个全等的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，设定AB边如图所示，则使△ABC是直角三角形的格点有(　　)
A．10个 B．8个
C．6个 D．4个
7．如图，边长为3的正五边形ABCDE的顶点A，B在半径为3的⊙O上，其他各点在圆内，将正五边形ABCDE绕点A逆时针旋转，当点E第一次落在⊙O上时，点C转过的度数为(　　)
A．12° B．16°
C．20° D．24°
8．2021石家庄长安区二模 如图，正方形ABCD和正六边形AEFCGH均内接于⊙O，连接HD，若线段HD恰好是⊙O的一个内接正n边形的一条边，则n＝________．
9．如图，已知正十二边形A1A2…A12，连接A3A7，A7A10，则∠A3A7A10＝________°.
10．2021衡水景县期末 某校的校内有一个由两个相同的正六边形(即六条边都相等，六个角都相等)围成的花坛，边长为2.5 m，如图中的阴影部分所示，校方要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示，则扩建后菱形区域的周长为(　　)
A．20 m B．25 m C．30 m D．35 m
11.如图，AB，AC分别为⊙O的内接正方形与内接正三角形的一边，而BC恰好是⊙O内接正n边形的一边，则n等于________．
命题点 2　正多边形的画法
12．下列用尺规等分圆周的作法正确的有(　　)
①在圆上依次截取等于半径的弦，就可以六等分圆；②作相互垂直的两条直径，就可以四等分圆；③按①的方法将圆六等分，六个等分点中三个不相邻的点三等分圆；④按②的方法将圆四等分，再平分四条弧，就可以八等分圆．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
13．如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别如图下：
甲：1.以点D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点；
2．连接AB，BC，AC.△ABC即为所求作的三角形．
乙：1.作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点；
2．连接AB，AC.△ABC即为所求作的三角形．
对于甲、乙两人的作法，可判断(　　)
A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对
C．两人都对 D．两人都不对
14．如图，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.
(1)求图①中∠MON的度数;
(2)图②中∠MON的度数是________,图③中∠MON的度数是___________；
(3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系(直接写出答案)．
方法点拨(11题) 在圆中，一条弦若是圆内接正n边形的一边，则只需求出弦所对圆心角的度数，便可求出n.
解题突破(14题) 利用从特殊到一般的数学思想．本题中始终有△OBM≌△OCN，从而有∠MON始终等于正多边形的中心角.
答案
1．A　
2．B　 连接OB，OC，如图．
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴所对的圆心角为90°，
∴∠BOC＝90°，∴∠BPC＝∠BOC＝45°.
3．A　 五边形的内角和为180°×(5－2)＝540°，则正五边形每一个内角的度数是108°.
∴∠AED＝∠EDC＝108°.∵⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD分别相切于A，C两点，∴∠OAE＝∠OCD＝90°，∴∠AOC＝540°－108°×2－90°×2＝144°.
4．D
5．B　 连接OC，OD.
∵⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，
∴∠COD＝60°.
当点P在上时，∠CPD＝∠COD＝30°；
当点P在上时，∠CPD＝180°－30°＝150°.
综上所述，∠CPD的度数为30°或150°.
故选B.
6．A　 如图，当AB是直角边时，点C共有6个位置，即有6个直角三角形；当AB是斜边时，点C共有4个位置，即有4个直角三角形．
综上所述，使△ABC是直角三角形的格点有6＋4＝10(个)．故选A.
7．A　 设点E第一次落在⊙O上时的对应点为E′，连接OA，OB，OE′，如图．
∵五边形ABCDE为正五边形，
∴∠EAB＝108°.
∵正五边形ABCDE绕点A逆时针旋转，点E第一次落在⊙O上的点E′处，
∴AE′＝AE＝3.
∵OA＝AB＝OB＝OE′＝AE′＝3，
∴△OAE′，△OAB都为等边三角形，
∴∠OAB＝∠OAE′＝60°，
∴∠E′AB＝120°，
∴∠EAE′＝12°，
∴当点E第一次落在⊙O上时，点C转过的度数为12°.
8．12　 如图，连接OH，OD，OA.
∵正方形ABCD和正六边形AEFCGH均内接于⊙O，
∴∠HOA＝＝60°，∠DOA＝＝90°，
∴∠DOH＝∠DOA－∠HOA＝90°－60°＝30°，
∴n＝＝12，即HD恰好是⊙O内接正十二边形的一条边．
9．75　 设该正十二边形的外心为O，如图，连接A10O和A3O.由题意知，∠A3OA10＝×5＝150°，
∴∠A3A7A10＝75°.
10．C　 如图．
∵花坛是由两个相同的正六边形围成的，
∴∠FGM＝∠GMN＝120°，GM＝GF＝EF，
∴∠BMG＝∠BGM＝60°，∴△BMG是等边三角形，∴BG＝GM＝2.5 m.
同理可证AF＝EF＝2.5 m，
∴AB＝BG＋GF＋AF＝2.5×3＝7.5(m)，
∴扩建后菱形区域的周长为7.5×4＝30(m)．故选C.
11．12　 连接OA，OB，OC，如图．
∵AB，AC分别为⊙O的内接正方形与内接正三角形的一边，
∴∠AOB＝90°，∠AOC＝120°，
∴∠BOC＝∠AOC－∠AOB＝30°，
∴n＝＝12，即BC恰好是⊙O内接正十二边形的一边．
12．A
13．C　 由甲的作法可知连接OB，BD，OC，CD后，OB＝BD＝OD＝OC＝CD，所以△BOD和△COD都是等边三角形，四边形OBDC是菱形，所以∠BOC＝120°，则∠BAC＝60°.因为四边形OBDC是菱形，所以AD⊥BC，AD平分BC，所以AB＝AC，所以△ABC是等边三角形，所以甲的作法是正确的．由乙的作法可知∠BOC＝120°，所以∠BAC＝60°.又因为AD⊥BC，所以AD平分BC，所以AB＝AC，所以△ABC是等边三角形，所以乙的作法是正确的．故选C.
14．解：(1)方法一：连接OB，OC.
∵正三角形ABC内接于⊙O，
∴∠OBM＝∠OCN＝30°，∠BOC＝120°.
又∵BM＝CN，OB＝OC，
∴△OBM≌△OCN，∴∠BOM＝∠CON，
∴∠MON＝∠BOC＝120°.
方法二：连接OA，OB.
∵正三角形ABC内接于⊙O，
∴AB＝BC，∠OAM＝∠OBN＝30°，∠AOB＝120°.
∵BM＝CN，∴AM＝BN.
又∵OA＝OB，
∴△AOM≌△BON，
∴∠AOM＝∠BON，
∴∠MON＝∠AOB＝120°.
(2)90°　72°
(3)∠MON＝°.