【满分计划】第二章 一元二次方程精选精练卷（含解析)

第二章 一元二次方程
一、单选题（共20分）
1．将一元二次方程化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A． B． C． D．
2．直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（ ）.
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
3．如图，把长40，宽30的矩形纸板剪掉2个小正方形和2个小矩形（阴影部分即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为（纸板的厚度忽略不计），若折成长方体盒子的表面积是950，则的值是（ ）
A．3 B．4 C．4.8 D．5
4．已知关于x的方程有一个根为1，则方程的另一个根为（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．-2
5．如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，花圃面积为80m2，设与墙垂直的一边长为xm，则可以列出关于x的方程是（　　）
A．x（26﹣2x）=80 B．x（24﹣2x）=80
C．（x﹣1）（26﹣2x）=80 D．（x-1）（25﹣2x）=80
6．将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ）
A．，21 B．，11 C．4，21 D．，69
7．下列方程：①；②；③；④；⑤．是一元二次方程的是（ ）
A．①② B．①②④⑤ C．①③④ D．①④⑤
8．定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数） 是关于x的方程，则它的根的情况是（ ）
A．有一个实根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
9．已知△ABC为等腰三角形，若BC＝6，且AB，AC为方程x2﹣8x+m＝0两根，则m的值等于（　　）
A．12 B．16 C．﹣12或﹣16 D．12或16
10．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则x12+x22的值是（　　）
A．﹣7 B．7 C．2 D．﹣2
二、填空题（共40分）
11．若代数式有意义，则x的取值范围是 _____．
12．如图，在一块长为22m，宽为14m的矩形空地内修建三条宽度相等的小路（阴影部分），其余部分种植花草．若花草的种植面积为240m2，则小路的宽为________m．
13．关于的方程，k=_____时，方程有实数根．
14．对任意实数a，b，定义一种运算：，若，则x的值为_________．
15．“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解高次方程x3－x＝0，它的解是_____________．
16．已知方程x2﹣3x＋1＝0的根是x1和x2，则x1＋x2﹣x1x2＝___．
17．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列结论：①若方程两根为-1和2，则2a+c=0；②若b＞a+c，则方程有两个不相等的实数根；③若b=2a+3c，则方程有两个不相等的实数根；④若m是方程的一个根，则一定有b2-4ac=（2am+b）2成立．其中结论正确的序号是__________．
三、解答题（共60分）
18．判断2、5、-4是不是一元二次方程的根
19．用配方法解方程：．
20．（1）计算：
（2）解方程：2（x﹣3）2＝50
21．水果批发市场有一种高档水果，如果每千克盈利(毛利)10元，每天可售出600kg．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20kg．
(1)若以每千克能盈利17元的单价出售，求每天的总毛利润为多少元；
(2)现市场要保证每天总毛利润为7500元，同时又要使顾客得到实惠，求每千克应涨价多少元；
(3)现需按毛利润的10%缴纳各种税费，人工费每日按销售量每千克支出1.5元，水电房租费每日300元．若每天剩下的总纯利润要达到6000元，求每千克应涨价多少元．
22．用适当的方法解下列方程：
(1)x2－x－1＝0；
(2)3x(x－2)＝x－2；
(3)x2－2x＋1＝0；
(4)(x＋8)(x＋1)＝－12．
23．某公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元．该公司缴税的年均增长率为多少？
试卷第1页，共3页
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程定义解答．
【详解】
解：一元二次方程化为一般形式为，
二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，-5，-1，
故选：C．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的定义，熟记方程的一般形式的特点及各字母的名称是解题的关键．
2．D
【解析】
【分析】
根据直线不经过第二象限，得到，再分两种情况判断方程的解的情况.
【详解】
∵直线不经过第二象限，
∴，
∵方程，
当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解，
当a<0时，方程为一元二次方程，
∵ =，
∴4-4a>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：D.
【点睛】
此题考查一次函数的性质：利用函数图象经过的象限判断字母的符号，方程的解的情况，注意易错点是a的取值范围，再分类讨论.
3．D
【解析】
【分析】
观察图形可知阴影部分小长方形的长为，再根据去除阴影部分的面积为950，列一元二次方程求解即可．
【详解】
解：由图可得出，
整理，得，
解得，（不合题意，舍去）．
故选：D．
【点睛】
本题考查的知识点是一元二次方程的应用，根据图形找出阴影部分小长方形的长是解此题的关键．
4．C
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系列出关于另一根t的方程，解方程即可．
【详解】
解：设关于x的方程的另一个根为x＝t，
∴1＋t＝3，
解得，t＝2
故选：C．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝ ，x1x2＝．
5．A
【解析】
【分析】
设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（26-2x）m，然后根据花圃面积为80m2列关于x的一元一次方程即可．
【详解】
解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（26-2x）m
由题意得：x（26-2x）=80．
故答案为A．
【点睛】
本题考查了根据题意列一元二次方程，理解题意、设出未知数、表示出相关的量、找到等量关系列方程是解答本题的关键．
6．A
【解析】
【分析】
根据配方法步骤解题即可．
【详解】
解：
移项得，
配方得，
即，
∴a=-4，b=21．
故选：A
【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是配方：在二次项系数为1时，方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
7．D
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义进行判断．
【详解】
①该方程符合一元二次方程的定义；
②该方程中含有2个未知数，不是一元二次方程；
③该方程含有分式，它不是一元二次方程；
④该方程符合一元二次方程的定义；
⑤该方程符合一元二次方程的定义．
综上，①④⑤一元二次方程．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
8．B
【解析】
【分析】
将按照题中的新运算方法展开，可得，所以可得，化简得：，，可得，即可得出答案.
【详解】
解：根据新运算法则可得：，
则即为，
整理得：，
则，
可得：
，
；
，
方程有两个不相等的实数根；
故答案选：B.
【点睛】
本题考查新定义运算以及一元二次方程根的判别式.注意观察题干中新定义运算的计算方法，不能出错；在求一元二次方程根的判别式时，含有参数的一元二次方程要尤其注意各项系数的符号.
9．D
【解析】
【分析】
由△ABC为等腰三角形，BC＝6，且AB，AC为方程x2﹣8x+m＝0两根，可得两种情况：①BC＝6＝AB，把6代入方程得36﹣48+m＝0②AB＝AC，此时方程的判别式为0，分别求解即可．
【详解】
解：∵△ABC为等腰三角形，
若BC＝6，且AB，AC为方程x2﹣8x+m＝0两根，
则①BC＝6＝AB，把6代入方程得36﹣48+m＝0，
∴m＝12；
②AB＝AC，此时方程的判别式为0，
∴Δ＝64﹣4m＝0，
∴m＝16．
故m的值等于12或16．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的判别式和等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
10．B
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的根与系数的关系可得x1+x2＝3，x1x2＝1，再把代数式x12+x22化为，再整体代入求值即可.
【详解】
解：根据根与系数的关系得x1+x2＝3，x1x2＝1，
所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×1＝7．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，熟练的利用根与系数的关系求解代数式的值是解本题的关键.
11．﹣3≤x≤且x≠．
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质，被开方数大于等于0；分母中有字母，分母不为0．
【详解】
解：若代数式有意义，
必有，
解①得
解②移项得
两边平方得整理得
解得
③
∴解集为﹣3≤x≤且x≠．
故答案为：﹣3≤x≤且x≠．
【点睛】
本题考查了二次根式的概念：式子（a≥0）叫二次根式，（a≥0）是一个非负数．注意：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义；当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于0．
12．2
【解析】
【分析】
设小路宽为xm，则种植花草部分的面积等同于长（22-x）m，宽（14-x）m的矩形的面积，根据花草的种植面积为240m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】
解：设小路宽为xm，则种植花草部分的面积等同于长（22-x）m，宽（14-x）m的矩形的面积，
依题意得：（22-x）（14-x）=240，
整理得：x2-36x+68=0，
解得：x1=2，x2=34（不合题意，舍去）．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13．
【解析】
【分析】
由于最高次项前面的系数不确定，所以进行分类讨论：①当时，直接进行求解；②当时，方程为一元二次方程，利用根的判别式，确定k的取值范围，最后综合①②即可求出满足题意的k的取值范围．
【详解】
解：①当时，方程化为：，
解得：，符合题意；
②当时，
∵方程有实数根，
∴，
即，
解得：，
∴且；
综上所述，当时，方程有实数根，
故答案为：．
【点睛】
题目主要考查方程的解的情况，包括一元一次方程及一元二次方程的求解，分情况讨论方程的解是解题关键．
14．2或-3##-3或2
【解析】
【分析】
根据题意得到关于x的一元二次方程，解方程即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
解得或，
故答案为：2或-3．
【点睛】
本题主要考查了新定义下的实数运算，解一元二次方程，正确理解题意是解题的关键．
15．
【解析】
【分析】
先把方程的左边分解因式，再化为三个一次方程进行降次，再解一次方程即可.
【详解】
解：
则或或
解得：
故答案为：
【点睛】
本题考查的是利用因式分解的方法把高次方程转化为一次方程，掌握“因式分解的方法与应用”是解本题的关键.
16．2
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系可得出x1+x2＝3、x1x2＝1，将其代入x1+x2﹣x1x2中即可求出结论．
【详解】
解：∵方程x2﹣3x＋1＝0的两个实数根为x1、x2，
∴x1＋x2＝3、x1 x2＝1，
∴x1＋x2﹣x1x2＝3﹣1＝2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1 x2＝．
17．①③④
【解析】
【分析】
利用根与系数的关系判断①；由Δ=b2-4ac判断②；由判别式可判断③；将x=m代入方程得am2=-（bm+c），再代入=（2am+b）2变形可判断④．
【详解】
解：若方程两根为-1和2，则=-1×2=-2，即c=-2a，2a+c=2a-2a=0，故①正确；
由b＞a+c不能判断Δ=b2-4ac值的大小情况，故②错误；
若b=2a+3c，则Δ=b2-4ac=4（a+c）2+5c2＞0，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，故③正确．
若m是方程ax2+bx+c=0的一个根，所以有am2+bm+c=0，即am2=-（bm+c），
而（2am+b）2=4a2m2+4abm+b2
=4a[-（bm+c）]+4abm+b2
=4abm-4abm-4ac+b2
=b2-4ac．故④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系及根的判别式Δ=b2-4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
18．2，-4是一元二次方程的根，5不是一元二次方程的根.
【解析】
【分析】
分别将2、5、-4代入方程进行验证即可.
【详解】
解：将x=2代入可得：6=6，故x=2是该一元二次方程的根，
将x=5代入可得：30≠3，故x=5不是该一元二次方程的根，
将x=-4代入可得：12=12，故x=-4是该一元二次方程的根.
【点睛】
本题考查一元二次方程解的意义，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.
19．x1＝+3，x2＝﹣3．
【解析】
【分析】
根据配方法，两边配上一次项系数一半的平方即可得到，然后利用直接开平方法求解．
【详解】
解：x2-2x＝4，
x2-2x+5＝4+5，即（x-）2＝9，
∴x-＝±3，
∴x1＝+3，x2＝﹣3．
【点睛】
本题主要考查配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的方法与步骤是解题关键．
20．（1）﹣；（2）x＝8或﹣2．
【解析】
【分析】
（1）直接利用立方根以及算术平方根的性质化简得出答案；
（2）直接利用平方根的定义计算得出答案．
【详解】
（1）原式＝2﹣3﹣（﹣1）
＝﹣1﹣+1
＝﹣；
（2）2（x﹣3）2＝50
（x﹣3）2＝25，
则x﹣3＝±5，
解得：x＝8或﹣2．
【点睛】
此题考查实数的运算，解一元二次方程-配方法，解题关键在于掌握运算法则.
21．(1)每天的总毛利润为7820元；
(2)每千克应涨价5元；
(3)每千克应涨价15元或元
【解析】
【分析】
（1）设每千克盈利x元，可售y千克，由此求得关于y与x的函数解析式，进一步代入求得答案即可；
（2）利用每千克的盈利×销售的千克数＝总利润，列出方程解答即可；
（3）利用每天总毛利润﹣税费﹣人工费﹣水电房租费＝每天总纯利润，列出方程解答即可．
(1)
解：设每千克盈利x元，可售y千克，
设y=kx+b，
则当x＝10时，y＝600，
当x＝11时，y＝600﹣20＝580，
由题意得，，
解得．
所以销量y与盈利x元之间的关系为y＝﹣20x+800，
当x＝17时，y＝460，
则每天的毛利润为17×460＝7820元；
(2)
解：设每千克盈利x元，由（1）可得销量为（﹣20x+800）千克，
由题意得x（﹣20x+800）＝7500，
解得：x1＝25，x2＝15，
∵要使得顾客得到实惠，应选x＝15，
∴每千克应涨价15﹣10＝5元；
(3)
解：设每千克盈利x元，
由题意得x（﹣20x+800）﹣10%x（﹣20x+800）﹣1.5（﹣20x+800）﹣300＝6000，
解得：x1＝25，x2，
则每千克应涨价25﹣10＝15元或10元．
【点睛】
此题主要一元二次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系，理解销售问题中的基本关系是解决问题的关键．
22．(1)，
(2)x1＝，x2＝2
(3)x1＝，x2＝
(4)x1＝－4，x2＝－5
【解析】
【分析】
（1）利用公式法解答，即可求解；
（2）利用因式分解法解答，即可求解；
（3）利用配方法解答，即可求解；
（4）利用因式分解法解答，即可求解．
(1)
解： a＝1，b＝－1，c＝－1　
∴b2－4ac＝（－1）2－4×1×（－1）＝5
∴x＝＝
即原方程的根为x1＝，x2＝
(2)
解：移项，得3x（x－2）－（x－2）＝0，
即（3x－1）（x－2）＝0，
∴x1＝，x2＝2．
(3)
解：配方，得（x－）2＝1，
∴x－＝±1．
∴x1＝＋1，x2＝－1．
(4)
解：原方程可化为x2＋9x＋20＝0，
即（x＋4）（x＋5）＝0，
∴x1＝－4，x2＝－5．
【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
23．10%
【解析】
【分析】
设公司缴税的年平均增长率为x，根据增长后的纳税额＝增长前的纳税额×（1＋增长率），即可得到去年的纳税额是40（1＋x）万元，今年的纳税额是40（1＋x）2万元，据此即可列出方程求解．
【详解】
解：设该公司缴税的年平均增长率为x，依题意得40（1＋x）2＝48.4
解方程得x1＝0.1＝10%，x2＝ 2.1（舍去）
所以该公司缴税的年平均增长率为10%．
【点睛】
本题运用增长率（下降率）的模型解题．读懂题意，找到等量关系准确的列出式子是解题的关键．
答案第1页，共2页
21世纪教育网(www.21cnjy.com)