【满分计划】第二十一章 一元二次方程精选精练卷（含解析)

第21章 一元二次方程【满分计划】2022-2023学年九年级数学上册精选精练卷（人教版 含解析）
一、单选题（共20分）
1．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则x12+x22的值是（　　）
A．﹣7 B．7 C．2 D．﹣2
2．若实数满足，则的值是（ ）
A．1 B．-3或1 C．-3 D．-1或3
3．关于x的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
4．如图，一次函数y=-3x+4的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段AB上（不与点A，B重合），过点P分别作OA和OB的垂线，垂足为C，D．若矩形OCPD的面积为1时，则点P的坐标为（　　）
A．（，3） B．（，2） C．（，2）和（1，1） D．（，3）和（1，1）
5．距考试还有20天的时间，为鼓舞干劲，老师要求班上每一名同学要给同组的其他同学写一份拼搏进取的留言，小明所在的小组共写了30份留言，该小组共有（　　）
A．7人 B．6人 C．5人 D．4人
6．如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，花圃面积为80m2，设与墙垂直的一边长为xm，则可以列出关于x的方程是（　　）
A．x（26﹣2x）=80 B．x（24﹣2x）=80
C．（x﹣1）（26﹣2x）=80 D．（x-1）（25﹣2x）=80
7．下列方程：①；②；③；④；⑤．是一元二次方程的是（ ）
A．①② B．①②④⑤ C．①③④ D．①④⑤
8．设方程的两根分别是，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．
9．已知关于x的方程有一个根为1，则方程的另一个根为（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．-2
10．已知△ABC为等腰三角形，若BC＝6，且AB，AC为方程x2﹣8x+m＝0两根，则m的值等于（　　）
A．12 B．16 C．﹣12或﹣16 D．12或16
二、填空题（共40分）
11．若代数式有意义，则x的取值范围是 _____．
12．中国“一带一路”倡议给沿线国家带来很大的经济效益．若沿线某地区居民2017年人均收入300美元，预计2019年人均收入将达到432美元，则2017年到2019年该地区居民年人均收入增长率为______________.
13．已知关于x的一元二次方程的一个根比另一个根大2，则m的值为_____．
14．若关于x的一元二次方程的根的判别式的值为4，则m的值为_____．
15．已知方程x2﹣3x＋1＝0的根是x1和x2，则x1＋x2﹣x1x2＝___．
16．如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m ，设道路的宽为x m，则根据题意，可列方程为_______.
三、解答题（共60分）
17．今年忠县柑橘喜获丰收，某果园销售的柑橘“忠橙”和“爱媛”很受消费者的欢迎，“忠橙”售价80元/箱，“爱媛”售价60元/箱．在11月第一周“忠橙”的销量比“爱媛”的销量多100箱，且这两种柑橘的总销售额为50000元．
(1)在11月第一周，该果园“忠橙”和“爱媛”的销量各为多少箱？
(2)为了扩大销售，11月第二周“忠橙”售价降价，销量比第一周培加了，“爱媛”售价不变，销量比第一周增加了，结果这两种相橘第二周的总销售额比第一周的总销售额增加了，求的值
18．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都为正整数，求这个方程的根．
19．用配方法解方程：．
20．解下列方程：
（1）；（2）
21．用适当的方法解下列方程：
（1） （2）
22．已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．
（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的根与系数的关系可得x1+x2＝3，x1x2＝1，再把代数式x12+x22化为，再整体代入求值即可.
【详解】
解：根据根与系数的关系得x1+x2＝3，x1x2＝1，
所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×1＝7．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，熟练的利用根与系数的关系求解代数式的值是解本题的关键.
2．A
【解析】
【分析】
设x2-3x=y．将y代入原方程得到关于y的一元二次方程y2+2y-3=0即可，解这个方程求出y的值，然后利用根的判别式检验即可.
【详解】
设x2-3x=y．将y代入原方程，得
y2+2y-3=0，
解之得，
y=1或y=-3．
当y=1时，x2-3x=1，△=b2-4ac=（-3）2-4×1×（-1）=9+4=13＞0，有两个不相等的实数根，当y=-3时，x2-3x=-3，△=b2-4ac=（-3）2-4×1×3=9=12＜0，无解．故y=1，即x2-3x=1．
故选A．
【点睛】
本题考查了换元法解一元二次方程及一元二次方程根的判别式，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它,从而使问题得到简化，这叫换元法.换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理.
3．A
【解析】
【分析】
先计算判别式，再进行配方得到△=（k-1）2+4，然后根据非负数的性质得到△＞0，再利用判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根．
【详解】
△=(k-3)2-4(1-k)
=k2-6k+9-4+4k
=k2-2k+5
=(k-1)2+4，
∴（k-1）2+4＞0，即△＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
4．D
【解析】
【分析】
由点P在线段AB上可设点P的坐标为（m，-3m+4）（0＜m＜），进而可得出OC=m，OD=-3m+4，结合矩形OCPD的面积为1，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再将其代入点P的坐标中即可求出结论．
【详解】
解：∵点P在线段AB上（不与点A，B重合），且直线AB的解析式为y=-3x+4，
∴设点P的坐标为（m，-3m+4）（0＜m＜），
∴OC=m，OD=-3m+4．
∵矩形OCPD的面积为1，
∴m（-3m+4）=1，
∴m1=，m2=1，
∴点P的坐标为（，3）或（1，1）．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及解一元二次方程，利用一次函数图象上点的坐标特征及，找出关于m的一元二次方程是解题的关键．
5．B
【解析】
【分析】
设小组有x人，根据题意，得x(x-1)=30，解方程即可．
【详解】
设小组有x人，根据题意，得
x(x-1)=30，
整理，得
，
解方程，得
(舍去)，
故选B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程的应用是解题的关键．
6．A
【解析】
【分析】
设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（26-2x）m，然后根据花圃面积为80m2列关于x的一元一次方程即可．
【详解】
解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（26-2x）m
由题意得：x（26-2x）=80．
故答案为A．
【点睛】
本题考查了根据题意列一元二次方程，理解题意、设出未知数、表示出相关的量、找到等量关系列方程是解答本题的关键．
7．D
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义进行判断．
【详解】
①该方程符合一元二次方程的定义；
②该方程中含有2个未知数，不是一元二次方程；
③该方程含有分式，它不是一元二次方程；
④该方程符合一元二次方程的定义；
⑤该方程符合一元二次方程的定义．
综上，①④⑤一元二次方程．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
8．A
【解析】
【分析】
本题可利用韦达定理，求出该一元二次方程的二次项系数以及一次项系数的值，代入公式求解即可．
【详解】
由可知，其二次项系数，一次项系数，
由韦达定理：，
故选：A．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，求解时可利用常规思路求解一元二次方程，也可以通过韦达定理提升解题效率．
9．C
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系列出关于另一根t的方程，解方程即可．
【详解】
解：设关于x的方程的另一个根为x＝t，
∴1＋t＝3，
解得，t＝2
故选：C．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝ ，x1x2＝．
10．D
【解析】
【分析】
由△ABC为等腰三角形，BC＝6，且AB，AC为方程x2﹣8x+m＝0两根，可得两种情况：①BC＝6＝AB，把6代入方程得36﹣48+m＝0②AB＝AC，此时方程的判别式为0，分别求解即可．
【详解】
解：∵△ABC为等腰三角形，
若BC＝6，且AB，AC为方程x2﹣8x+m＝0两根，
则①BC＝6＝AB，把6代入方程得36﹣48+m＝0，
∴m＝12；
②AB＝AC，此时方程的判别式为0，
∴Δ＝64﹣4m＝0，
∴m＝16．
故m的值等于12或16．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的判别式和等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
11．﹣3≤x≤且x≠．
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质，被开方数大于等于0；分母中有字母，分母不为0．
【详解】
解：若代数式有意义，
必有，
解①得
解②移项得
两边平方得整理得
解得
③
∴解集为﹣3≤x≤且x≠．
故答案为：﹣3≤x≤且x≠．
【点睛】
本题考查了二次根式的概念：式子（a≥0）叫二次根式，（a≥0）是一个非负数．注意：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义；当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于0．
12．20
【解析】
【分析】
设该地区人均收入增长率为x，根据2017年人均收入300美元，预计2019年人均收入将达到432美元，可列方程求解.
【详解】
解：设该地区人均收入增长率为x，
则300×（1+x）2=432，
∴（1+x）2=1.44，
解得x=0.2（x=-2.2舍），
∴该地区人均收入增长率为20％.
故本题答案应为：20％.
【点睛】
一元二次方程在实际生活中的应用是本题的考点，根据题意列出方程是解题的关键.
13．1
【解析】
【分析】
利用因式分解法求出x1,x2，再根据根的关系即可求解．
【详解】
解
（x-3m）（x-m）=0
∴x-3m=0或x-m=0
解得x1=3m,x2=m，
∴3m-m=2
解得m=1
故答案为：1．
【点睛】
此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知因式分解法的运用．
14．
【解析】
【分析】
利用根的判别式，建立关于m的方程求得m的值．
【详解】
关于x的一元二次方程的根的判别式的值为4，
∵，，，
，
解得．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程（a≠0）的根的判别式．
15．2
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系可得出x1+x2＝3、x1x2＝1，将其代入x1+x2﹣x1x2中即可求出结论．
【详解】
解：∵方程x2﹣3x＋1＝0的两个实数根为x1、x2，
∴x1＋x2＝3、x1 x2＝1，
∴x1＋x2﹣x1x2＝3﹣1＝2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1 x2＝．
16．（12-x）（8-x）=77
【解析】
【分析】
道路外的四块土地拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是(12-x)和(8-x)，根据矩形的面积公式，列出关于道路宽的方程求解．
【详解】
道路的宽为x米．依题意得：
(12-x)(8-x)=77，
故答案为(12-x)(8-x)=77.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，关键将四个矩形用恰当的方式拼成大矩形列出等量关系．
17．(1)该果11月园第一周销售“忠橙”400箱，销售“爱媛”300箱
(2)40
【解析】
【分析】
（1）设该果园11月第一周销售“忠橙”箱，则销售“爱媛”箱，根据等量关系是“忠橙”售价×销量箱数+“爱媛”售价×销量箱数=50000，列方程，解方程即可；
（2）根据等量关系是“忠橙”降价后售价×降价后销量箱数+“爱媛”售价×增加后销量箱数=总销售额比第一周的总销售额增加了，列方程，解方程即可．
(1)
解：设该果园11月第一周销售“忠橙”箱，则销售“爱媛”箱，
由题意得，
解得，
经检验是原方程的根，
．
答：该果11月园第一周销售“忠橙”400箱，销售“爱媛”300箱．
(2)
解：由题意得
整理，得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：的值为40．
【点睛】
本题考查列一元一次方程解销售问题应用题，列一元二次方程解应用题，掌握列一元一次方程，一元二次方程解应用题的方法与步骤，抓住等量关系“忠橙”售价×销量箱数+“爱媛”售价×销量箱数=50000列方程是解题关键．
18．证明见祥解； ．
【解析】
【分析】
（1）先求出判别式，再配方变为即可；
（2）用十字相乘法可以求出根的表达式，方程的两个实数根都为正整数，列不等式组
，即可得出m的值．
【详解】
证明：∵是关于的一元二次方程，
，
∴此方程总有两个实数根．
解：∵，
∴，
∴，．
∵方程的两个实数根都为正整数，
，
解得，，
∴．
．
【点睛】
本题考查了根的判别式，配方为平方式，根据方程的两个实数根都为正整数，列出不等式组，求出是解题的关键．
19．x1＝+3，x2＝﹣3．
【解析】
【分析】
根据配方法，两边配上一次项系数一半的平方即可得到，然后利用直接开平方法求解．
【详解】
解：x2-2x＝4，
x2-2x+5＝4+5，即（x-）2＝9，
∴x-＝±3，
∴x1＝+3，x2＝﹣3．
【点睛】
本题主要考查配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的方法与步骤是解题关键．
20．（1），；（2），．
【解析】
【分析】
（1）确定公式中的a，b，c的值，计算判别式△的值验证方程是否有根，若有解，将a，b，c的值代入求根公式即可．
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可得．
【详解】
解：（1），
a=3，b= 4，c= 1，
，
∴ ，
；
（2）
．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，主要解法包括：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等，熟练掌握各解法．公式法掌握用于一般式，确定a、b、c的值，然后检验方程是否有解，若有解代入公式计算解决问题，因式分解法适合特殊的一元二次方程，要针对不同的方程选取恰当的方法是解题关键．
21．（1），；（2），
【解析】
【分析】
（1）根据因式分解法求解一元二次方程的性质计算，通过计算即可得到答案；
（2）根据公式法求解一元二次方程的性质计算，即可得到答案．
【详解】
（1）∵
∴
∴
∴，；
（2）∵
∴
∴，．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解．
22．（1）1秒；（2）不可能，见解析
【解析】
【分析】
（1）经过x秒钟，△PBQ的面积等于4cm2，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解；
（2）看△PBQ的面积能否等于7cm2，只需令×2x（5﹣x）＝7，化简该方程后，判断该方程的△与0的关系，大于或等于0则可以，否则不可以．
【详解】
解：（1）设经过x秒以后△PBQ面积为4cm2，根据题意得（5﹣x）×2x＝4，
整理得：x2﹣5x+4＝0，
解得：x＝1或x＝4（舍去）．
答：1秒后△PBQ的面积等于4cm2；
（2）由（1）同理可得（5﹣x）2x＝7．
整理，得x2﹣5x+7＝0，因为b2﹣4ac＝25﹣28＜0，
所以，此方程无解．
所以△PBQ的面积不可能等于7cm2．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解，判断某个三角形的面积是否等于一个值，只需根据题意列出方程，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在．
答案第1页，共2页
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