【满分计划】第二十四章 圆精选精练卷（含解析)

第二十四章 圆
一、单选题（共20分）
1．如图，点O是△ABC的内心，若∠A＝70°，则∠BOC的度数是（　　）
A．120° B．125° C．130° D．135°
2．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D．设∠A＝α，∠D＝β，则（　　）
A．α﹣β B．α+β＝90° C．2α+β＝90° D．α+2β＝90°
3．如图，五边形是⊙O的内接正五边形，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（　　）
A．55° B．65° C．60° D．75°
5．如图，，是上直径两侧的两点．设，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，AB为的直径，C，D为上的两点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，为的直径，和相切于点E，和相交于点F，已知，，则的长为（ ）
A． B． C． D．2
8．如图，点在上，，则（ ）
A． B． C． D．
9．如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC＝50°，则∠BCD＝（　　）
A．105° B．110° C．115° D．120°
10．如图，⊙O的半径为5cm，直线l到点O的距离OM=3cm，点A在l上，AM=3.8cm，则点A与⊙O的位置关系是( )
A．在⊙O内 B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．以上都有可能
二、填空题（共40分）
11．如图，抛物线的图象与坐标轴交于点、、，顶点为，以为直径画半圆交轴的正半轴于点，圆心为，是半圆上的一动点，连接，是的中点，当沿半圆从点运动至点时，点运动的路径长是__________．
12．如图，将半径为的圆形纸片沿一条弦折叠，折叠后弧的中点与圆心重叠，则弦的长度为________．
13．如图，是的内接正三角形，点是圆心，点，分别在边，上，若，则的度数是____度．
14．刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，如图，若用圆的内接正十二边形的面积来近似估计的面积，设的半径为1，则__________.
15．如图，在中，，，则图中阴影部分的面积是_________．（结果保留）
16．如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，连接DF．若DF恰好是同圆的一个内接正多边形的一边，则这个正多边形的边数为 _____．
三、解答题（共60分）
17．如图，CD是⊙O的直径，∠EOD=84°，AE交⊙O于点B，且AB=OB，求∠A的度数．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E
（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若OB＝2，CD＝，求图中阴影部分的面积（结果保留）．
19．如图，已知，．
（1）在图中，用尺规作出的内切圆，并标出与边，，的切点（保留痕迹，不必写作法）；
（2）连接，，求的度数．
20．如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦交小圆于两点．求证：．
21．如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，D均在圆上．请仅用无刻度的直尺分别下列要求画图．
（1）在图①中，若AB是直径，CD与圆相切，画出圆心；
（2）在图②中，若CB，CD均与圆相切，画出圆心．
22．如图①已知抛物线的图象与轴交于、两点（在的左侧），与的正半轴交于点，连结；二次函数的对称轴与轴的交点.
（1）抛物线的对称轴与轴的交点坐标为，点的坐标为_____
（2）若以为圆心的圆与轴和直线都相切，试求出抛物线的解析式：
（3）在（2）的条件下，如图②是的正半轴上一点，过点作轴的平行线，与直线交于点与抛物线交于点，连结，将沿翻折，的对应点为’，在图②中探究：是否存在点，使得’恰好落在轴上？若存在，请求出的坐标：若不存在，请说明理由.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
利用内心的性质得∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，再根据三角形内角和计算出∠OBC+∠OCB＝55°，然后再利用三角形内角和计算∠BOC的度数．
【详解】
解：∵O是△ABC的内心，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣70°）＝55°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣55°＝125°．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
2．C
【解析】
【分析】
连接OC， 由∠BOC是△AOC的外角，可得∠BOC＝2∠A＝2α，由CD是⊙O的切线，可求∠OCD＝90°，可得∠D＝90°﹣2α＝β即可．
【详解】
连接OC，如图，
∵⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，
∴AB是直径，
∵∠A＝α，OA=OC，∠BOC是△AOC的外角，
∴∠A=∠ACO，
∴∠BOC=∠A+∠ACO＝2∠A＝2α，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∴∠D＝90°﹣∠BOC＝90°﹣2α＝β，
∴2α+β＝90°．
故选：C．
【点睛】
本题考查圆的半径相等，三角形外角性质，切线性质，直角三角形两锐角互余性质，掌握圆的半径相等，三角形外角性质，切线性质，直角三角形两锐角互余性质．
3．D
【解析】
【分析】
先根据正五边形的内角和求出每个内角，再根据等边对等角得出∠ABE=∠AEB，然后利用三角形内角和求出∠ABE=即可．
【详解】
解：∵五边形是⊙O的内接正五边形，
∴∠A=∠ABC=，AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴∠ABE=，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查圆内接正五边形的性质，等腰三角形性质，三角形内角和公式，角的和差计算，掌握圆内接正五边形的性质，等腰三角形性质，三角形内角和公式，角的和差计算是解题关键．
4．B
【解析】
【分析】
连接CD，根据圆内接四边形的性质得到∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，根据垂径定理得到OD⊥BC，求得BD＝CD，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：连接CD，
∵∠A＝50°，
∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，
∵E是边BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴∠ODB＝∠ODC＝∠BDC＝65°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质等知识．正确理解题意是解题的关键．
5．D
【解析】
【分析】
先利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，从而求出∠BAC，再利用同弧所对的圆周角相等即可求出∠BDC．
【详解】
解：∵C ，D是⊙O上直径AB两侧的两点，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=25°，
∴∠BAC=90°-25°=65°，
∴∠BDC=∠BAC=65°，
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆周角定理的推论，即直径所对的圆周角是90°和同弧或等弧所对的圆周角相等，解决本题的关键是牢记相关概念与推论，本题蕴含了属性结合的思想方法．
6．B
【解析】
【分析】
连接AD，如图，根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算出，从而得到的度数．
【详解】
解：连接AD，如图，
AB为的直径，
，
，
．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了同弦所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
7．C
【解析】
【分析】
首先求出圆心角∠EOF的度数，再根据弧长公式，即可解决问题．
【详解】
解：如图连接OE、OF，
∵CD是⊙O的切线，
∴OE⊥CD，
∴∠OED=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠C=60°，
∴∠A=∠C=60°，∠D=120°，
∵OA=OF，
∴∠A=∠OFA=60°，
∴∠DFO=120°，
∴∠EOF=360°-∠D-∠DFO-∠DEO=30°，
∴的长．
故选：C．
【点睛】
本题考查切线的性质、平行四边形的性质、弧长公式等知识，解题的关键是求出圆心角的度数，记住弧长公式．
8．D
【解析】
【分析】
先证明再利用等弧的性质及圆周角定理可得答案．
【详解】
解： 点在上，，
故选：
【点睛】
本题考查的两条弧，两个圆心角，两条弦之间的关系，圆周角定理，等弧的概念与性质，掌握同弧或等弧的概念与性质是解题的关键．
9．C
【解析】
【分析】
连接AC，然后根据圆内接四边形的性质，可以得到∠ADC的度数，再根据点D是弧AC的中点，可以得到∠DCA的度数，直径所对的圆周角是90°，从而可以求得∠BCD的度数．
【详解】
解：连接AC，
∵∠ABC＝50°，四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC＝130°，
∵点D是弧AC的中点，
∴CD＝AC，
∴∠DCA＝∠DAC＝25°，
∵AB是直径，
∴∠BCA＝90°，
∴∠BCD＝∠BCA+∠DCA＝115°，
故选：C．
【点睛】
本题考查圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10．A
【解析】
【详解】
如图，连接OA，则在直角△OMA中，根据勾股定理得到OA=．
∴点A与⊙O的位置关系是：点A在⊙O内．
故选A．
11．
【解析】
【分析】
先求出A、B、E的坐标，然后求出半圆的直径为4，由于E为定点，P是半圆AB上的动点，N为EP的中点，所以N的运动路经为直径为2的半圆，计算即可.
【详解】
解：，
∴点E的坐标为（1，-2），
令y=0，则，
解得，，，
∴A（-1，0），B（3,0），
∴AB=4，
由于E为定点，P是半圆AB上的动点，N为EP的中点，所以N的运动路经为直径为2的半圆，如图，
∴点运动的路径长是.
【点睛】
本题属于二次函数和圆的综合问题，考查了运动路径的问题，熟练掌握二次函数和圆的基础是解题的关键.
12．
【解析】
【分析】
连接OC交AB于点D，再连接OA．根据轴对称的性质确定，OD=CD；再根据垂径定理确定AD=BD；再根据勾股定理求出AD的长度，进而即可求出AB的长度．
【详解】
解：如下图所示，连接OC交AB于点D，再连接OA．
∵折叠后弧的中点与圆心重叠，
∴，OD=CD．
∴AD=BD．
∵圆形纸片的半径为10cm，
∴OA=OC=10cm．
∴OD=5cm．
∴cm．
∴BD=cm．
∴cm．
故答案为：．
【点睛】
本题考查轴对称的性质，垂径定理，勾股定理，综合应用这些知识点是解题关键．
13．120
【解析】
【分析】
本题可通过构造辅助线，利用垂径定理证明角等，继而利用SAS定理证明三角形全等，最后根据角的互换结合同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解本题．
【详解】
连接OA，OB，作OH⊥AC，OM⊥AB，如下图所示：
因为等边三角形ABC，OH⊥AC，OM⊥AB，
由垂径定理得：AH=AM，
又因为OA=OA，故△OAH△OAM（HL）．
∴∠OAH=∠OAM．
又∵OA=OB,AD=EB,
∴∠OAB=∠OBA=∠OAD,
∴△ODA△OEB（SAS）,
∴∠DOA=∠EOB,
∴∠DOE=∠DOA+∠AOE=∠AOE+∠EOB=∠AOB．
又∵∠C=60°以及同弧，
∴∠AOB=∠DOE=120°．
故本题答案为：120．
【点睛】
本题考查圆与等边三角形的综合，本题目需要根据等角的互换将所求问题进行转化，构造辅助线是本题难点，全等以及垂径定理的应用在圆综合题目极为常见，圆心角、弧、圆周角的关系需熟练掌握．
14．
【解析】
【分析】
如图，过点A作AC⊥OB，垂足为C，先求出圆的面积，再求出△ABC面积，继而求得正十二边形的面积即可求得答案.
【详解】
如图，过点A作AC⊥OB，垂足为C，
∵的半径为1，
∴的面积，OA=OB=1，
∴圆的内接正十二边形的中心角为∠AOB=，
∴AC=OB=，
∴S△AOB=OB AC=，
∴圆的内接正十二边形的面积S1=12S△AOB=3，
∴则，
故答案为．
【点睛】
本题考查了正多边形与圆，正确的求出正十二边形的面积是解题的关键．
15．
【解析】
【分析】
由，根据圆周角定理得出，根据S阴影=S扇形AOB－可得出结论．
【详解】
解：∵，
∴，
∴S阴影=S扇形AOB－
，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查圆周角定理、扇形的面积计算，根据题意求得三角形与扇形的面积是解答此题的关键．
16．12
【解析】
【分析】
连接OA、OD、OF，如图，利用正多边形与圆，分别计算⊙O的内接正四边形与内接正三角形的中心角得到∠AOD=90°，∠AOF=120°，则∠DOF=30°，然后计算即可得到n的值．
【详解】
解：连接OA、OD、OF，如图，设这个正多边形为n边形，
∵AD，AF分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，
∴∠AOD==90°，∠AOF==120°，
∴∠DOF=∠AOF-∠AOD=30°，
∴n==12，即DF恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆；熟练掌握正多边形的有关概念．
17．28°
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质，可得∠A与∠AOB的关系，∠BEO与∠EBO的关系，根据三角形外角的性质，可得关于∠A的方程，根据解方程，可得答案．
【详解】
∵AB=BO，
∴∠BOC=∠A，
∴∠EBO=∠BOC+∠A=2∠A，
而OB=OE，得∠E=∠EBO=2∠A，
∴∠EOD=∠E+∠A=3∠A，
而∠EOD=84°，
∴3∠A=84°，
∴∠A=28°．
【点睛】
本题考查了三角形的性质与圆的相关知识点，解题的关键是熟练的掌握三角形的性质与圆的认识.
18．（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）欲证明AC是⊙O的切线，只要证明OD⊥AC即可．
（2）证明△OBE是等边三角形即可解决问题．
【详解】
（1）证明：连接OD，如图，
∵BD为∠ABC平分线，
∴∠1＝∠2，
∵OB＝OD，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴OD∥BC，
∵∠C＝90°，
∴∠ODA＝90°，
∴OD⊥AC，
∴AC是⊙O的切线．
（2）过O作OG⊥BC，连接OE，则四边形ODCG为矩形，
∴GC＝OD＝OB＝2，OG＝CD＝，
在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG＝1，
∴BE＝2，则△OBE是等边三角形，
∴阴影部分面积为﹣×2×＝．
【点睛】
本题考查切线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，思想的面积公式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
19．（1）作图见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的内心就是角平分线的交点即可作出图形；
（2）由切线性质可得，再利用四边形内角和等于360°可得，进而根据圆周角定理即可得出．
【详解】
解：（1）如图1，
即为所求．
作法：①作△ABC的任意两条角平分线得交点O即内心，
②过内心O作边BC的垂线得内切圆的半径OE，
③以O为圆心，OE为半径作圆，则与边AB切与D点，与AC切与点F．
（2）如图2，
连接，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了三角形内切圆的性质及基本作图，解题关键是掌握三角形的内切圆圆心（即内心）就是三角形的角平分线交点．
20．见解析
【解析】
【分析】
过点O作OP⊥AB，由等腰三角形的性质可知AP=BP，再由垂径定理可知CP=DP，故可得出结论．
【详解】
证明：如图所示，过点O作OP⊥AB，垂足为点P，
由垂径定理可得PA＝PB，PC＝PD，PA－PC＝PB－PD，
AC＝BD．
【点睛】
本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，利用垂径定理求解是解答此题的关键．
21．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）延长CB交圆于一点，把这点与点D连接，与AB交点即为圆心；
（2）连接AC、BD交于点G，AC交圆于点E，射线DE交BC于F，射线FG交DA于H，连接BH交AC于O即可．
【详解】
（1）如图1所示，延长CB交圆于点E，连接DE，与AB交点即为圆心； 由已知可得∠A+∠DBA=90°，∠EBA=∠C=∠A,故∠EBA +∠DBA=90°，DE为直径；
（2）如图2所示，连接AC、BD交于点G，AC交圆于点E，射线DE交BC于F，射线FG交DA于H，连接BH交AC于O．点即为所求．说明：由已知可得，△ADB为等边三角形，由作图可知，AE为直径，DF⊥BC，可得，F是BC中点，进而得出H是AD中点，BH⊥AD，BH过圆心；
【点睛】
本题考查了无刻度直尺作图，解题关键是准确理解题意，根据圆的有关性质进行作图．
22．（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）由抛物线的对称轴为直线，即可求得点E的坐标；在y=ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）令y=0可得关于x的方程ax2﹣3ax﹣4a=0，解方程即可求得点A的坐标；
（2）如图1，设⊙E与直线BC相切于点D，连接DE，则DE⊥BC，结合（1）可得DE=OE=，EB=，OC=-4a，在Rt△BDE中由勾股定理可得BD=2，这样由tan∠OBC=即可列出关于a的方程，解方程求得a的值即可得到抛物线的解析式；
（3）由折叠的性质和MN∥y轴可得∠MCN=∠M′CN=∠MNC，由此可得CM=MN，由点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，3）可得线段BC=5，直线BC的解析式为y=﹣x+3，由此即可得到M、N的坐标分别为（m，﹣m+3）、（m，﹣m2+m+3），作MF⊥OC于F，这样由sin∠BCO=即可解得CM=m，然后分点N在直线BC的上方和下方两种情况用含m的代数式表达出MN的长度，结合MN=CM即可列出关于m的方程，解方程即可求得对应的m的值，从而得到对应的点Q的坐标.
【详解】
解：（1）∵对称轴x=，
∴点E坐标（，0），
令y=0，则有ax2﹣3ax﹣4a=0，
∴x=﹣1或4，
∴点A坐标（﹣1，0）．
故答案分别为（，0），（﹣1，0）．
（2）如图①中，设⊙E与直线BC相切于点D，连接DE，则DE⊥BC，
∵DE=OE=，EB=，OC=﹣4a，
∴DB=，
∵tan∠OBC=，
∴，解得a=，
∴抛物线解析式为y=．
（3）如图②中，由题意∠M′CN=∠NCB，
∵MN∥OM′，
∴∠M′CN=∠CNM，
∴MN=CM，
∵点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，3），
∴ 直线BC解析式为y=﹣x+3，BC=5，
∴M（m，﹣m+3），N（m，﹣m2+m+3），作MF⊥OC于F，
∵sin∠BCO=，
∴，
∴CM=m，
①当N在直线BC上方时，﹣x2+x+3﹣（﹣x+3）=m，
解得：m=或0（舍弃），
∴Q1（，0）．
②当N在直线BC下方时，（﹣m+3）﹣（﹣m2+m+3）=m，
解得m=或0（舍弃），
∴Q2（，0），
综上所述：点Q坐标为（，0）或（，0）．
【点睛】
本题是一道二次函数与几何及锐角三角函数综合的题，解题的要点是：（1）熟悉二次函数的对称轴方程及二次函数与一元二次方程的关系是解第1小题的关键；（2）由切线的性质得到DE⊥BC，从而得到tan∠OBC=，这样结合已知条件求出a的值是解第2小题的关键；（3）过点M作MF⊥y轴于点F，这样由sin∠BCO=变形把MC用含m的代数式表达出来，再由折叠的性质和MN∥y轴证得MN=MC，这样就可分点N在BC的上方和下方两种情况列出关于m的方程，解方程求得对应的m的值是解第3小题的关键.
答案第1页，共2页
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