34.4 二次函数的应用
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课件24张PPT。34.4 二次函数的应用 一、教学内容分析二、教学目标、重点、难点的确定三、教学方法与手段选择四、教学过程总体设计 本节课内容是义务教育课程标准实验教科书（冀教版）九年级下第三十四章第四节第二课时。下面我从教材、学情、教法与学法、教学过程等方面来谈谈我对这节课的教学设想。
1、函数的内容在整个初中阶段是以螺旋上升、逐层递进的方式呈现的。二次函数到了螺旋上升的顶点，也是最复杂的一个函数关系，特别是本节课二次函数的应用，对学生来说具有挑战性，也是中考的重要考点.
2、本节课通过张伯伯家建养兔场这个问题情境，抽象出数量关系，建立二次函数模型，进而利用二次函数的图像和性质解决实际问题，体现了“问题情境---数学模型---利用图像和性质解释、应用与拓展”的教学过程。通过建模解决实际问题培养了学生的抽象思维能力，进一步发展了学生的数感、符号感。
教材分析 3、最值问题是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，面积问题学生易于理解和接受，故而在这儿要好好把握，为求解最大利润等问题奠定基础。目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关应用问题，此部分内容既是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。 教材分析 首先从知识方面，学生已经学习了二次函数的图像和性质，有了一定的解决实际问题的经验；
第二，能力方面，他们动手能力较强，善于互相交流，但是独立思考和探究能力有待于培养和提高；
第三，情感方面，他们正处于形象思维 到抽象思维的过渡，思维较为活跃. 学情分析二、教学目标、重点、难点的确定结合本节课的教学内容和学生现有的学习水平，我确定本节课的教学目标如下： 1.知识与技能：通过本节学习，巩固二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会用顶点的性质求解最值问题。
2. 过程与方法：通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，培养数形结合思想，函数思想。3．情感、态度与价值观：通过学生之间的讨论、交流和探索，建立合作意识和提高探索能力，激发学习的兴趣和欲望，体会数学在生活中广泛的应用价值。
二、教学目标、重点、难点的确定二、教学目标、重点、难点的确定
教学重点：
利用二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的 图象与性质，求面积最值问题
教学难点：
1、正确构建数学模型。
2、对函数图象顶点、端点与最值关系 的理解与应用
三、教学方法与手段选择 由于本节课是应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，解决问题以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的。为了提高课堂效率，展示学生的学习效果，适当地辅以电脑多媒体技术。
四、教学过程 以张伯伯家建养兔场这个问题为情境，
引出本节课 张伯伯准备利用现有的一面墙和40 m长的篱笆，把墙外的空地围成四个相连且面积相等的矩形养兔场．如何才能使得养兔场的总面积最大呢？一起探究设小矩形垂直于墙的一边长为 x m2 、请写出用 x 表示y 的函数表达式．3 、你能求出所得函数的图像的顶点坐标吗？请你说出当x为何值时 y 取得最大值，y 的最大值是多少。1 、试用x表示养兔场平行与墙的篱笆的长度．养兔场的总面积为 y m2.4、你能画出这个函数的图像，并借助图像说出 y
的最大值吗？教学过程 张伯伯准备利用现有的一面墙和40 m长的篱笆，把墙外的空地围成四个相连且面积相等的矩形养兔场．如何才能使得养兔场的总面积最大呢？一起探究设小矩形垂直于墙的一边长为x m2 、请写出用 x 表示y 的函数表达式．3 、你能求出所得函数的顶点坐标吗？请你说出
当x为何值时 y 取得最大值，y 的最大值是多少。1 、试用x表示养兔场平行与墙的篱笆的长．养兔场的总面积为 y m2.变式：如果墙的长度为15 m，其他条件不变，当x为何值时 y 取得最大值，并说出 y 的最大值。 如图，张伯伯准备利用现有的一面墙和40 m长的篱笆，把墙外的空地围成四个相连且面积相等的矩形养兔场．如何才能使得养兔场的总面积最大呢？一起探究设小矩形垂直于墙的一边长为 x m2 、请写出用 x 表示y 的函数表达式．3 、你能求出所得函数的顶点坐标吗？请你说出
当x为何值时 y 取得最大值，y 的最大值是多少。1 、试用x表示养兔场平行与墙的篱笆的长．养兔场的总面积为 y m2.变式2：设平行于墙的篱笆的长度为 x ，其他条件不变，当 x 为何值时 y 取得最大值，并说出 y 的最大值。做一做 已知AB = 2，C是AB上一点，四边形ACDE和四边形CBFG都是正方形，设BC= x .（1）AC= ;（2）设正方形ACDE和正方形CBFG的总面积为 S ，
用x表示S的函数表达式为
. （3）总面积 S 有最大值还是最小值？这个最大值或最
小值是多少？（4）总面积 S 取最大值或最小值时，点 C 在 AB 的什
么位置？1.某矩形场地的周长为 20 m ，设该矩形的一边长为 x，面积为 y ，那么 y 与 x 的函数关系式是 ，当x＝ 时，矩形场地面积最大，最大面积是 。2.用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,
养鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆
围成,并且在与砖墙相对的一面开2米宽的门(不用篱笆),问养鸡场的边长为多少米时,养鸡场占地面积最大?最大面积是多少?类比练习练习 如图，正方形ABCD的边长为4，P是边
BC上一点，QP⊥AP，并且交DC于点Q，（1）Rt△ABP与Rt△PCQ相似吗？为什么？（2）当点 P 在什么位置时，
Rt△ADQ的面积最小？
最小面积是多少？（2）当点P在什么位置时，
Rt△ADQ的面积最小？最
小面积是多少？解:设CQ=a , BP=x,则CP=4-x,
由(1)得：Rt△ABP∽Rt△PCQ∴ AB : PC=BP : CQ即：AB·CQ=PC·BP∴ 4a=(4-x)x回顾与反思谈谈你的收获。
学到了哪些知识和方法？
有哪些感想？ 由此可以看出，在利用二次函数的图像和性质解决实际问题时，常常需要根据条件建立二次函数的表达式，在求最大（或最小）值时，可以采取如下的方法： （1）画出函数的图像，观察图像的最高（或最低）点，就可以得到函数的最大（或最小）值． （2）依照二次函数的性质，判断该二次函数的开
口方向，进而确定它有最大值还是最小值；在利用
顶点坐标公式，直接计算出函数的最大（或最小）值． 小农场准备利用现有的一面墙和24m长的篱笆，把墙外的空地围成三个相连且面积相等的矩形羊圈．如何才能使得羊圈的总面积最大呢？小测作业 ΔABC为一铁板余料，已知底边BC=160mm，高AD=120mm，要用这块余料裁出一个矩形EFGH，使点H在BA上，点G在AC上，点E，F在BC上，AD交HG于点K， (1)设HG=ymm，HE=xmm，确定用x表示y的函数关系式（2）当x为何值时，矩形EFGH的面积S最大（3）以面积最大的矩形EFGH为侧面，围成一个无底圆桶，怎么围，圆桶体积较大？请说明理由。（接缝处忽略不计，结果保留 ）
1、函数的内容在整个初中阶段是以螺旋上升、逐层递进的方式呈现的。二次函数到了螺旋上升的顶点，也是最复杂的一个函数关系，特别是本节课二次函数的应用，对学生来说具有挑战性，也是中考的重要考点.
2、本节课通过张伯伯家建养兔场这个问题情境，抽象出数量关系，建立二次函数模型，进而利用二次函数的图像和性质解决实际问题，体现了“问题情境---数学模型---利用图像和性质解释、应用与拓展”的教学过程。通过建模解决实际问题培养了学生的抽象思维能力，进一步发展了学生的数感、符号感。
教材分析 3、最值问题是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，面积问题学生易于理解和接受，故而在这儿要好好把握，为求解最大利润等问题奠定基础。目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关应用问题，此部分内容既是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。 教材分析 首先从知识方面，学生已经学习了二次函数的图像和性质，有了一定的解决实际问题的经验；
第二，能力方面，他们动手能力较强，善于互相交流，但是独立思考和探究能力有待于培养和提高；
第三，情感方面，他们正处于形象思维 到抽象思维的过渡，思维较为活跃. 学情分析二、教学目标、重点、难点的确定结合本节课的教学内容和学生现有的学习水平，我确定本节课的教学目标如下： 1.知识与技能：通过本节学习，巩固二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会用顶点的性质求解最值问题。
2. 过程与方法：通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，培养数形结合思想，函数思想。3．情感、态度与价值观：通过学生之间的讨论、交流和探索，建立合作意识和提高探索能力，激发学习的兴趣和欲望，体会数学在生活中广泛的应用价值。
二、教学目标、重点、难点的确定二、教学目标、重点、难点的确定
教学重点：
利用二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的 图象与性质，求面积最值问题
教学难点：
1、正确构建数学模型。
2、对函数图象顶点、端点与最值关系 的理解与应用
三、教学方法与手段选择 由于本节课是应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，解决问题以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的。为了提高课堂效率，展示学生的学习效果，适当地辅以电脑多媒体技术。
四、教学过程 以张伯伯家建养兔场这个问题为情境，
引出本节课 张伯伯准备利用现有的一面墙和40 m长的篱笆，把墙外的空地围成四个相连且面积相等的矩形养兔场．如何才能使得养兔场的总面积最大呢？一起探究设小矩形垂直于墙的一边长为 x m2 、请写出用 x 表示y 的函数表达式．3 、你能求出所得函数的图像的顶点坐标吗？请你说出当x为何值时 y 取得最大值，y 的最大值是多少。1 、试用x表示养兔场平行与墙的篱笆的长度．养兔场的总面积为 y m2.4、你能画出这个函数的图像，并借助图像说出 y
的最大值吗？教学过程 张伯伯准备利用现有的一面墙和40 m长的篱笆，把墙外的空地围成四个相连且面积相等的矩形养兔场．如何才能使得养兔场的总面积最大呢？一起探究设小矩形垂直于墙的一边长为x m2 、请写出用 x 表示y 的函数表达式．3 、你能求出所得函数的顶点坐标吗？请你说出
当x为何值时 y 取得最大值，y 的最大值是多少。1 、试用x表示养兔场平行与墙的篱笆的长．养兔场的总面积为 y m2.变式：如果墙的长度为15 m，其他条件不变，当x为何值时 y 取得最大值，并说出 y 的最大值。 如图，张伯伯准备利用现有的一面墙和40 m长的篱笆，把墙外的空地围成四个相连且面积相等的矩形养兔场．如何才能使得养兔场的总面积最大呢？一起探究设小矩形垂直于墙的一边长为 x m2 、请写出用 x 表示y 的函数表达式．3 、你能求出所得函数的顶点坐标吗？请你说出
当x为何值时 y 取得最大值，y 的最大值是多少。1 、试用x表示养兔场平行与墙的篱笆的长．养兔场的总面积为 y m2.变式2：设平行于墙的篱笆的长度为 x ，其他条件不变，当 x 为何值时 y 取得最大值，并说出 y 的最大值。做一做 已知AB = 2，C是AB上一点，四边形ACDE和四边形CBFG都是正方形，设BC= x .（1）AC= ;（2）设正方形ACDE和正方形CBFG的总面积为 S ，
用x表示S的函数表达式为
. （3）总面积 S 有最大值还是最小值？这个最大值或最
小值是多少？（4）总面积 S 取最大值或最小值时，点 C 在 AB 的什
么位置？1.某矩形场地的周长为 20 m ，设该矩形的一边长为 x，面积为 y ，那么 y 与 x 的函数关系式是 ，当x＝ 时，矩形场地面积最大，最大面积是 。2.用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,
养鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆
围成,并且在与砖墙相对的一面开2米宽的门(不用篱笆),问养鸡场的边长为多少米时,养鸡场占地面积最大?最大面积是多少?类比练习练习 如图，正方形ABCD的边长为4，P是边
BC上一点，QP⊥AP，并且交DC于点Q，（1）Rt△ABP与Rt△PCQ相似吗？为什么？（2）当点 P 在什么位置时，
Rt△ADQ的面积最小？
最小面积是多少？（2）当点P在什么位置时，
Rt△ADQ的面积最小？最
小面积是多少？解:设CQ=a , BP=x,则CP=4-x,
由(1)得：Rt△ABP∽Rt△PCQ∴ AB : PC=BP : CQ即：AB·CQ=PC·BP∴ 4a=(4-x)x回顾与反思谈谈你的收获。
学到了哪些知识和方法？
有哪些感想？ 由此可以看出，在利用二次函数的图像和性质解决实际问题时，常常需要根据条件建立二次函数的表达式，在求最大（或最小）值时，可以采取如下的方法： （1）画出函数的图像，观察图像的最高（或最低）点，就可以得到函数的最大（或最小）值． （2）依照二次函数的性质，判断该二次函数的开
口方向，进而确定它有最大值还是最小值；在利用
顶点坐标公式，直接计算出函数的最大（或最小）值． 小农场准备利用现有的一面墙和24m长的篱笆，把墙外的空地围成三个相连且面积相等的矩形羊圈．如何才能使得羊圈的总面积最大呢？小测作业 ΔABC为一铁板余料，已知底边BC=160mm，高AD=120mm，要用这块余料裁出一个矩形EFGH，使点H在BA上，点G在AC上，点E，F在BC上，AD交HG于点K， (1)设HG=ymm，HE=xmm，确定用x表示y的函数关系式（2）当x为何值时，矩形EFGH的面积S最大（3）以面积最大的矩形EFGH为侧面，围成一个无底圆桶，怎么围，圆桶体积较大？请说明理由。（接缝处忽略不计，结果保留 ）