人教版数学八年级上册同步提优训练：11.2.1　第1课时　三角形的内角和(word版含答案)

11.2.1　第1课时　三角形的内角和
命题点 1　三角形内角和定理的证明
1.利用下列图形,不能说明三角形的内角和是180°的是 (　　)
2.如图①,已知△ABC,求证:∠A+∠B+∠C=180°.
证明:如图图②,延长BC到点D,过点C作CE∥BA.
∵BA∥CE,∴∠A=∠1(两直线平行,内错角相等),∠B=∠2(两直线平行,同位角相等).
又∵∠BCD=∠ACB+∠1+∠2=180°(平角的定义),
∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换).
如图图③,过BC上任一点F(不与点B,C重合)作FH∥CA,FG∥BA,这种添加辅助线的方法能证明∠A+∠B+∠C=180°吗 请你试一试.
命题点 2　利用三角形内角和定理进行计算
3.若△ABC的三个内角的度数比为3∶5∶2,则△ABC是 (　　)
A.等腰三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.钝角三角形
4.已知:在△ABC中,∠B是∠A的3倍,∠C比∠A大30°,则∠A的度数是 (　　)
A.30° B.50°
C.70° D.90°
5.如图,BD是△ABC的角平分线,AE⊥BD,垂足为F,交BC于点E.若∠ABC=36°,∠C=44°,则∠EAC的度数为 (　　)
A.18° B.28° C.36° D.38°
6.如图,在△ABC中,∠1=∠2,∠ABC=70°,则∠BDC的度数是 (　　)
A.110° B.115° C.120° D.130°
7.如图,AB∥CD,∠B+∠D=80°,则∠E+∠F的度数为 (　　)
A.80° B.90° C.100° D.120°
8.如图,点D,E分别在△ABC的边AB,AC上,沿DE将△ADE翻折,点A的对应点为点A',∠A'EC=40°,∠A'DB=110°,则∠A等于 (　　)
A.30° B.35° C.60° D.70°
9.将一副三角板按如图图所示的位置摆放,若∠BDE=75°,则∠AMD的度数是　　　　.
10.如图图所示,有一块三角板DEF(足够大),其中∠EDF=90°,把三角板DEF放置在锐角三角形ABC上,三角板DEF的两边DE,DF恰好分别经过点B,C.
(1)若∠A=40°,则∠ABC+∠ACB=　　　　°,∠DBC+∠DCB=　　　　°,∠ABD+∠ACD=　　　　°;
(2)若∠A=55°,则∠ABD+∠ACD=　　　　°;
(3)请你猜想一下∠ABD+∠ACD与∠A所满足的数量关系,并说明理由.
命题点 3　三角形内角和定理的实际应用
11.如图,四边形ABCD是一个工件的平面图,它要求AD和BC这两边所在直线所夹的锐角应等于30°.佳佳、音音、昊昊三个工人在检验工件是否合格时,发生了以下争论:
佳佳:要检验工件是否合格,应延长AD和BC,设交点为O,然后检验∠AOB是否等于30°.
音音:这样太麻烦了,我看只需测量出∠A和∠B的度数就行了.
昊昊:量出∠C和∠D的度数也可以检验AD和BC所在直线所夹锐角是否等于30°.
请你用所学过的知识,说明音音、昊昊两人的方法是否正确.
12.概念学习:
已知P为△ABC内部一点,连接PA,PB,PC,在△PAB,△PBC和△PAC中,如图果存在一个三角形,其内角与△ABC的三个内角分别相等,那么就称点P为△ABC的等角点.
理解应用:
(1)判断以下两个命题是不是真命题,若是真命题,则在相应横线上写“真”;反之,则写“假”.
①内角分别为30°,60°,90°的三角形存在等角点;　　　
②任意三角形都存在等角点.　　　
(2)如图,若P为△ABC的等角点,△PBC与△ABC的三个内角分别相等,且∠BAC=∠PBC,探究∠BPC,∠ABC,∠ACP之间的数量关系,并说明理由.
解决问题:
(3)如图图,在△ABC中,∠BAC<∠ABC<∠ACB.若△ABC的三个内角的平分线的交点P是该三角形的等角点.求该三角形三个内角的度数.
答案
1.D　 A项可以利用“两直线平行,内错角相等”,结合“两直线平行,同旁内角互补”解释;B项可以利用“两直线平行,同位角相等”“两直线平行,内错角相等”,再结合平角的定义进行解释;C项可以利用“两直线平行,内错角相等”,再结合平角的定义进行解释.D项不能说明三角形的内角和是180°.
2.解:能.证明:∵FG∥BA,
∴∠CFG=∠B(两直线平行,同位角相等),
∠GFH=∠BHF(两直线平行,内错角相等).
∵FH∥CA,
∴∠BFH=∠C,∠BHF=∠A(两直线平行,同位角相等).
∴∠GFH=∠A(等量代换).
由平角的定义得∠BFH+∠GFH+∠CFG=180°,
∴∠A+∠B+∠C=180°.
3.C　4.A
5.B　 ∵∠ABC=36°,∠C=44°,
∴∠BAC=180°-36°-44°=100°.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠ABC=18°.
∵AE⊥BD,∴∠BFA=90°.
∴∠BAF=90°-18°=72°.
∴∠EAC=∠BAC-∠BAF=100°-72°=28°.
故选B.
6.A　 ∵∠ABC=70°,∴∠1+∠DBC=70°.
∵∠1=∠2,∴∠DBC+∠2=70°.
∴∠BDC=180°-∠DBC-∠2=180°-(∠DBC+∠2)=110°.
7.C　
8.B　 ∵∠A'EC=40°,
∴∠AED+∠A'ED=180°+40°=220°.
由翻折的性质可知:
∠AED=∠A'ED=×220°=110°.
∵∠A'DB=110°,∴∠A'DA=70°.
由翻折的性质可知:
∠ADE=∠A'DE=∠A'DA=35°.
∴∠A=180°-∠ADE-∠AED=35°.故选B.
9.90°　 ∵∠BDE=75°,∠FDE=45°,
∴∠ADF=180°-75°-45°=60°.
∴∠AMD=180°-30°-60°=90°.
10.解:(1)140　90　50　(2)35
(3)∠ABD+∠ACD与∠A之间的数量关系为:∠ABD+∠ACD=90°-∠A.
理由如图下:
在△ABC中,∠ABC+∠ACB=180°-∠A.
在△DBC中,∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°.
∴∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠ACB-(∠DBC+∠DCB)=180°-∠A-90°=90°-∠A.
11.解:如图图,延长AD和BC,设交点为O.
∵∠AOB=180°-∠A-∠B,
∴只要量出∠A和∠B的度数,如图果∠A+∠B=150°,就可以说明AD和BC所在直线所夹锐角等于30°.
∵∠AOB=180°-∠ODC-∠OCD=180°-(180°-∠ADC)-(180°-∠BCD)=∠ADC+∠BCD-180°,
∴只要量出∠BCD和∠ADC的度数,如图果∠BCD+∠ADC=210°,也可以说明AD和BC所在直线所夹锐角等于30°.
因此音音、昊昊两人的方法都是正确的.
12.解:(1)①真　②假
(2)∠BPC=∠ABC+∠ACP.理由:∵在△ABC和△PBC中,∠BPC+∠PBC+∠PCB=∠ABC+∠ACB+∠BAC=∠ABP+∠PBC+∠BAC+∠ACP+∠PCB=180°,∠BAC=∠PBC,
∴∠BPC=∠ABP+∠PBC+∠ACP=∠ABC+∠ACP.
(3)∵P为△ABC三个内角平分线的交点,
∴∠PBC=∠ABC,∠PCB=∠ACB.
∵P为△ABC的等角点,且∠BAC<∠ABC<∠ACB,
∴∠PBC=∠BAC,∠PCB=∠ABC=2∠PBC=2∠BAC,∠ACB=2∠PCB=4∠BAC.
又∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠BAC+2∠BAC+4∠BAC=180°.
∴∠BAC=°,∠ABC=°,∠ACB=°